復(fù)變函數(shù)與積分變換ppt課件(0001)

1、復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換賈厚玉 第一章第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)第二章第二章 解析函數(shù)解析函數(shù)第三章第三章 復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分第四章第四章 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)第五章第五章 留數(shù)留數(shù)第六章第六章 保角映射保角映射第七章第七章 Laplace Laplace變換變換第一章第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算復(fù)數(shù)的表示復(fù)數(shù)的乘冪與方根復(fù)平面點(diǎn)集與區(qū)域復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)的極限與延續(xù)復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算a) 復(fù)數(shù)：一對(duì)有序?qū)崝?shù)復(fù)數(shù)：一對(duì)有序?qū)崝?shù)x, y，記為，記為 z=x+ i y12i規(guī)定：規(guī)定：212121,yyxxzz)()(2

2、12121yyixxzz)()(2121212121xyyxiyyxxzz221121iyxiyxzzb) 按上述定義容易驗(yàn)證按上述定義容易驗(yàn)證 加法交換律、結(jié)合律加法交換律、結(jié)合律 乘法交換律、結(jié)合律和分配律乘法交換律、結(jié)合律和分配律 均成立。均成立。22222211iyxiyxiyxiyx222221122121 yxyxyxiyyxxc) 共軛復(fù)數(shù)：共軛復(fù)數(shù)：iyxz,iyxz互為共軛復(fù)數(shù), zz 22yxz z,Re22zxzzziiyzzIm222121zzzz2121zzzz2121zzzz容易驗(yàn)證d) 復(fù)平面復(fù)平面一對(duì)有序?qū)崝?shù)x，y平面上一點(diǎn)P復(fù)數(shù) z = x + i y xyz

3、 = x + i yO實(shí)軸、 虛軸、復(fù)平面Z 平面、 w 平面e) 復(fù)數(shù)的幾種表示法復(fù)數(shù)的幾種表示法幾何表示：平面上一矢量與一復(fù)數(shù)幾何表示：平面上一矢量與一復(fù)數(shù)z構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)，復(fù)構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)，復(fù) 數(shù)的加減與矢量的加減一致。數(shù)的加減與矢量的加減一致。xyO21zz 1z2z2121zzzz加法運(yùn)算xyO21zz 1z2z2z2121zzzz減法運(yùn)算復(fù)數(shù)的三角方式與指數(shù)方式復(fù)數(shù)的三角方式與指數(shù)方式利用極坐標(biāo)來(lái)表示復(fù)數(shù)z，sincosryrxxyyxrarctan22那么復(fù)數(shù) z 可表示為三角式：三角式：sincosirzirez 指數(shù)式：指數(shù)式：zr z Arg復(fù)數(shù)的 模復(fù)數(shù)的 幅角討論：討論：復(fù)

4、數(shù)的幅角不能獨(dú)一地確定。恣意非零復(fù)數(shù)均有無(wú)窮多個(gè)幅角。通常把 的幅角稱(chēng)為Arg z的主值。記為0zarg02復(fù)數(shù)“零的幅角沒(méi)有意義，其模為零。3當(dāng) r = 1時(shí)，復(fù)數(shù)z稱(chēng)為單位復(fù)數(shù)。利用復(fù)數(shù)的三角方式或指數(shù)方式作乘除法比較方便。),sin(cos1111irz設(shè))sin(cos2222irz)sin)(cossin(cos22112121iirrzz)sin()cos(212121irr定理2121zzzz)()()(2121zArgzArgzzArg留意多值性留意多值性xyO1z2z21zz指數(shù)方式表示)(2121212121iiierrererzz推行至有限個(gè)復(fù)數(shù)的乘法)(21212121

5、21 nnininiinerrrerererzzz除法運(yùn)算除法運(yùn)算01z1122zzzz 1122zzzz1122 Arg Arg Argzzzz,1212zzzz1212 Arg- Arg Argzzzz)(121212ierrzz或者例：知正三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)為例：知正三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)為, 11ziz 22求三角形的另一個(gè)頂點(diǎn)。xyO1z2z3z31213)(iezzzz)2321)(1 (iiiz2312333iz2312333i231231復(fù)數(shù)的乘冪復(fù)數(shù)的乘冪n個(gè)一樣復(fù)數(shù)z的乘積成為z的n次冪nz)sin(cosninrzzzznn復(fù)數(shù)的方根復(fù)數(shù)的方根設(shè)irez 為知復(fù)數(shù)，n為正整數(shù)，那

6、么稱(chēng)滿(mǎn)足方程zwn的一切w值為z的n次方根，并且記為nzw 設(shè),iew 那么iinnreerniinee,nr,2kn, 2, 1, 0k即,nr,2nk, 2, 1, 0k)2sin2(cos12nkinkrerwnnkin當(dāng)k0，1，2，n1時(shí)，得到n個(gè)相異的根：)sin(cos10ninrwn)2sin2(cos11ninrwn) 1(2sin) 1(2(cos11nninnrwnn)4sin4(cos12ninrwn例：例：38)sin(cos283i)32sin32(cos283kik2 , 1 , 0k即2103123183kkkiizPN球極平面射影法取一個(gè)在原點(diǎn)O與z平面相切的

7、球面，過(guò)O點(diǎn)作z平面的垂線(xiàn)與球面交于N點(diǎn)稱(chēng)為北極或者球極。2NS平面zzP對(duì)于平面上的任一點(diǎn)z，用一條空間直線(xiàn)把它和球極銜接起來(lái)，交球面于P。從幾何上可以看出： Z平面上每個(gè)以原點(diǎn)為圓心的圓周對(duì)應(yīng)于球面上的某一個(gè)緯圈，這個(gè)圓周以外的點(diǎn)那么對(duì)應(yīng)于相應(yīng)緯圈以北的點(diǎn)，而且假設(shè)點(diǎn)z的模越大，球面上相應(yīng)的點(diǎn)那么越接近北極N。由此我們引進(jìn)一個(gè)理想“點(diǎn)與北極N對(duì)應(yīng)。稱(chēng)之為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)擴(kuò)展復(fù)平面 復(fù)平面,zz商定無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的實(shí)部、虛部及幅角都沒(méi)有意義；另外, 0,等也沒(méi)有意義。N1鄰域:),(00rzzCzrzB2去心鄰域0:),(000rzzCzzrzB3內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)z是點(diǎn)集E的內(nèi)點(diǎn)存在z的某個(gè)r鄰域含于E內(nèi)，即Erz

8、B),(04外點(diǎn)點(diǎn)z是點(diǎn)集E的外點(diǎn)存在z的某個(gè)r鄰域不含E內(nèi)的點(diǎn) ErzB),(05邊境點(diǎn)點(diǎn)z 既非 E 的內(nèi)點(diǎn)，又非 E 的外點(diǎn)邊境點(diǎn)的任一鄰域無(wú)論多小，都既含有E的內(nèi)點(diǎn)，又同時(shí)含有E的外點(diǎn)。6開(kāi)集點(diǎn)集E中的點(diǎn)全是內(nèi)點(diǎn)7閉集開(kāi)集的余集空集和整個(gè)復(fù)平面既是開(kāi)集，又是閉集。8連通集E中恣意兩點(diǎn)可以用一條全在E中的曲線(xiàn)銜接起來(lái)。9區(qū)域非空的連通開(kāi)集10有界區(qū)域假設(shè)存在正數(shù)M，使得對(duì)于一切D中的點(diǎn)z，有Mz 11簡(jiǎn)單曲線(xiàn)、光滑曲線(xiàn)ttiytxtzzz),()()(:點(diǎn)集稱(chēng)為z平面上的一條有向曲線(xiàn)。)(tzz )(zA )(zB 那么稱(chēng) D為有界區(qū)域。簡(jiǎn)單曲線(xiàn)：簡(jiǎn)單曲線(xiàn)：)()(,2121tztztt

9、簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)：簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)：光滑曲線(xiàn)：光滑曲線(xiàn)：存在、連續(xù)且不全為零)(),(tytx12單連通區(qū)域設(shè)D為復(fù)平面上的區(qū)域，假設(shè)在D內(nèi)的恣意簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)的內(nèi)部仍屬于D，那么稱(chēng)D為單連通區(qū)域，否那么稱(chēng)多連通區(qū)域。沒(méi)有交叉點(diǎn)。 很多平面圖形能用復(fù)數(shù)方式的方程或不等式來(lái)表示；也可以由給定的復(fù)數(shù)方式的方程或不等式來(lái)確定所表示的平面圖形。例：Z平面上以原點(diǎn)為中心、R為半徑的圓周方程為Rz Z平面上以 z_0為中心、R為半徑的圓周方程為Rzz0例： 1銜接z1 和z2兩點(diǎn)的線(xiàn)段的參數(shù)方程為) 10( ),(121tzztzz2過(guò)兩點(diǎn) z1 和z2的直線(xiàn)L的參數(shù)方程為)( ),(121tzztzz3z1、z2，z3

10、 三點(diǎn)共線(xiàn)得充要條件為)(t ,1213為一非零實(shí)數(shù)tzzzz例： 調(diào)查以下方程或不等式在平面上所描畫(huà)的幾何圖形。122ziz該方程表示到點(diǎn)2i和2間隔相等的點(diǎn)的軌跡，所以方程表示的曲線(xiàn)就是銜接點(diǎn)2i 和2的線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，它的方程為y = x。24)Im( zi設(shè) z = x+ iy,4)1 (Im()Im(yixzi3y34)arg(iz)arg(iz 表示實(shí)軸方向與由點(diǎn)i 到 z 的向量之間交角的主值，因此滿(mǎn)足方程的點(diǎn)的全體是自 i 點(diǎn)出發(fā)且與實(shí)軸正向夾角為45度的一條半射線(xiàn)。不包括 i點(diǎn)41Re2zixyyxiyxz2)()(22221Re222yxz1Im2z例： 指出不等式4ar

11、g0iziz中點(diǎn)z的軌跡所在范圍。解：222222) 1(2) 1(1yxxiyxyxiziz由于,4arg0iziz所以0) 1(2) 1(1222222yxxyxyx于是有xyxyxx21010222222) 1(102222yxyxx它表示在圓2) 1(22yx外且屬于左半平面的一切點(diǎn)的集合i復(fù)變函數(shù)的定義復(fù)變函數(shù)的定義 設(shè) D 是復(fù)變數(shù)z的一個(gè)集合，對(duì)于 D 中的每一個(gè)z，按照一定的規(guī)律，有一個(gè)或多個(gè)復(fù)數(shù)w的值與之對(duì)應(yīng)，那么稱(chēng)w為定義在 D 上的復(fù)變函數(shù)，記做D)(z )(zfw單值函數(shù)單值函數(shù) f(z):對(duì)于D中的每個(gè)z，有且僅有一個(gè)w與之對(duì)應(yīng)。多值函數(shù)多值函數(shù) f(z):對(duì)于D中的

12、每個(gè)z，有兩個(gè)或兩個(gè)以上 w 與之對(duì)應(yīng)。GD : )(zfw定義：定義：我們主要思索單值函數(shù)f(z)是單射或一對(duì)一映射對(duì)于恣意,21zz ).()(21zfzff(z)是滿(mǎn)射GDf)(f(z)是雙射f(z) 既是單射，又是滿(mǎn)射。GD : )(zfwiyxz),(),(yxivyxuivuw22iyxzwi222xyyx例：例：xyyxvyxyxu2),(,),(22)2sin2(cos22irzw0rz 2zw 20rw zarg0r2argw20r2zw ayx22bxy 2au bv 2zw 函數(shù)的極限函數(shù)的極限定義：設(shè)函數(shù)w = f (z)定義在z0的去心鄰域,00rzz假設(shè)有一確定的數(shù)

13、A存在，對(duì)于恣意給定的, 0相應(yīng)地必有一正數(shù),使得當(dāng) 時(shí)有00zz Azf)(那么稱(chēng)A為f (z) 當(dāng)z 趨向z0時(shí)的極限，記作Azfzz)(lim0)(zf幾何意義：當(dāng)變點(diǎn)z一旦進(jìn)入z0的充分小的去心鄰域時(shí)，它的象點(diǎn) f(z)就落入A的預(yù)先給定的小鄰域內(nèi)。關(guān)于極限的計(jì)算，有下面的定理。留意：留意：z趨于趨于z0的方式是恣意的，就是說(shuō)，無(wú)論的方式是恣意的，就是說(shuō)，無(wú)論z從什么方向，從什么方向，以何種方式趨向于以何種方式趨向于z0，f(z)都要趨向于同一個(gè)常數(shù)。都要趨向于同一個(gè)常數(shù)。定理一ibaAzfzz)(lim0ayxuyyxx),(lim00byxvyyxx),(lim00定理二)(lim

14、)(lim)()(lim000zgzfzgzfzzzzzz)(lim)(lim)()(lim000zgzfzgzfzzzzzz)(lim)(lim)()(lim000zgzfzgzfzzzzzz例證明函數(shù)zzzfRe)(當(dāng)z趨于0時(shí)的極限不存在。解法一令z=x+iy, 那么22Re)(yxxzzzf0),(,),(22yxvyxxyxu2220011)(lim),(limkkxxxyxukxyxkxyx所以極限不存在。解法2利用復(fù)數(shù)的三角表示式coscosRe)(rrzzzf當(dāng)z沿著不同的射線(xiàn)zarg趨于零時(shí)，f(z) 趨于不同的值。如0argz2argz1)(zf0)(zf極限不存在。函數(shù)的

15、延續(xù)函數(shù)的延續(xù)),()(lim00zfzfzz假設(shè)那么f(z)在z0處延續(xù)。假設(shè) f(z)在D內(nèi)各點(diǎn)都延續(xù)，那么 f(z) 在 D 內(nèi)延續(xù)。定理：定理： f(z)在在z0處延續(xù)的充分必要條件是處延續(xù)的充分必要條件是 u(x,y), v(x,y)在x0，y0處延續(xù)。延續(xù)函數(shù)的四那么運(yùn)算、復(fù)合運(yùn)算都成立。有界閉區(qū)域上的延續(xù)函數(shù)的最值定理。例：122lim21zzzzzz) 1)(1() 1)(2(lim1zzzzz2312lim1zzz例： 研討函數(shù) f(z) = arg z 在復(fù)平面上的延續(xù)性00z由于無(wú)意義，0arg z故在原點(diǎn)不延續(xù)。0,0 xxz且不延續(xù)，理由是分別從上半平面與下半平面趨于負(fù)實(shí)軸時(shí)，極限值不等。其他地方均延續(xù)。例： 證明：假設(shè)|z1|=|z2|=|z3|=1,z1+z2+z3=0, 那么z1，z2，z3是內(nèi)接于單位圓|z|=1的一個(gè)正三角形的三頂點(diǎn)。證明： 由于, 1321zzz所以 z1，z2，z3