教案（橢圓）

1、1.橢圓的概念平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于F1F2)的點的軌跡叫做橢圓，兩個定點F1，F(xiàn)2叫做橢圓的熱點，兩熱點間的距離叫做橢圓的焦距.集合PM|MF1MF22a，F(xiàn)1F22c，其中a>0，c>0，且a，c為常數(shù)：(1)若a>c，則集合P為橢圓；(2)若ac，則集合P為線段；(3)若a<c，則集合P為空集.2.橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)標準方程1 (a>b>0)1(a>b>0)圖形性質(zhì)范圍a*abybb*baya對稱性對稱軸：坐標軸對稱中心：原點頂點A1(a,0)，A2(a,0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A

2、2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)軸長軸A1A2的長為2a；短軸B1B2的長為2b焦距F1F22c離心率e(0,1)a，b，c的關(guān)系a2b2c2【學問拓展】點P(*0，y0)和橢圓的關(guān)系(1)點P(*0，y0)在橢圓內(nèi)<1.(2)點P(*0，y0)在橢圓上1.(3)點P(*0，y0)在橢圓外>1.【思考辨析】判定下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓.(×)(2)橢圓上一點P與兩熱點F1，F(xiàn)2構(gòu)成PF1F2的周長為2a2c(其中a為橢圓的長半軸長，c為橢圓的半焦距).()(3)橢圓的

3、離心率e越大，橢圓就越圓.(×)(4)方程m*2ny21(m>0，n>0，mn)表示的曲線是橢圓.()(5)1 (ab)表示熱點在y軸上的橢圓.(×)(6)1 (a>b>0)與1(a>b>0)的焦距相等.()1.(教材改編)橢圓1的焦距為4，則m_.答案4或8解析當熱點在*軸上時，10m>m2>0，10m(m2)4，m4.當熱點在y軸上時，m2>10m>0，m2(10m)4，m8.2.(2015·廣東)已知橢圓1(m>0)的左熱點為F1(4,0)，則m_.答案3解析由題意知25m216，解得m29，

4、又m>0，所以m3.3.已知橢圓C：1 (a>b>0)的左、右熱點為F1、F2，離心率為，過F2的直線l交C于A、B兩點，若AF1B的周長為4，則C的方程為_.答案1解析AF1B的周長為4，4a4，a，離心率為，c1，b，橢圓C的方程為1.4.假如方程*2ky22表示熱點在y軸上的橢圓，那么實數(shù)k的取值范圍是_.答案(0,1)解析將橢圓方程化為1，由于熱點在y軸上，則>2，即k<1，又k>0，所以0<k<1.5.(教材改編)已知點P是橢圓1上y軸右側(cè)的一點，且以點P及熱點F1，F(xiàn)2為頂點的三角形的面積等于1，則點P的坐標為_.答案或解析設P(*，

5、y)，由題意知c2a2b2541，所以c1，則F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，由題意可得點P到*軸的距離為1，所以y±1，把y±1代進1，得*±，又*>0，所以*，P點坐標為或.題型一橢圓的定義及標準方程命題點1橢圓定義的應用例1如圖所示，一圓形紙片的圓心為O，F(xiàn)是圓內(nèi)確定點，M是圓周上一動點，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設CD與OM交于點P，則點P的軌跡是_.答案橢圓解析由條件知PMPF.POPFPOPMOMR>OF.P點的軌跡是以O，F(xiàn)為熱點的橢圓.命題點2利用待定系數(shù)法求橢圓方程例2(1)已知橢圓以坐標軸為對稱軸，且長軸是短

6、軸的3倍，并且過點P(3,0)，則橢圓的方程為_.(2)已知橢圓的中心在原點，以坐標軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點P1(，1)，P2(，)，則橢圓的方程為_.答案(1)y21或1(2)1 解析(1)若熱點在*軸上，設方程為1(a>b>0)，橢圓過P(3,0)，1，即a3，又2a3×2b，b1，方程為y21.若熱點在y軸上，設方程為1(a>b>0).橢圓過點P(3,0).1，即b3.又2a3×2b，a9，方程為1.所求橢圓的方程為y21或1.(2)設橢圓方程為m*2ny21(m>0，n>0且mn).橢圓經(jīng)過點P1，P2，點P1，P2的坐標適合橢圓方

7、程.則兩式聯(lián)立，解得所求橢圓方程為1.思維升華(1)求橢圓的方程多采納定義法和待定系數(shù)法，利用橢圓的定義定外形時，確定要留意常數(shù)2a>F1F2這一條件.(2)求橢圓標準方程的基本方法是待定系數(shù)法，具體過程是先定形，再定量，即首先確定熱點所在位置，然后再依據(jù)條件建立關(guān)于a，b的方程組.假如熱點位置不確定，要考慮是否有兩解，有時為掌握題便利，也可把橢圓方程設為m*2ny21 (m>0，n>0，mn)的形式.(1)已知圓(*2)2y236的圓心為M，設A為圓上任一點，且點N(2,0)，線段AN的垂直平分線交MA于點P，則動點P的軌跡是_.(2)過點(，)，且與橢圓1有相同熱點的橢圓

8、的標準方程為_.(3)(2014·安徽)設F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：*21(0<b<1)的左，右熱點，過點F1的直線交橢圓E于A，B兩點.若AF13F1B，AF2*軸，則橢圓E的方程為_.答案(1)橢圓(2)1(3)*2y21解析(1)點P在線段AN的垂直平分線上，故PAPN，又AM是圓的半徑，PMPNPMPAAM6>MN，由橢圓定義知，P的軌跡是橢圓.(2)方法一橢圓1的熱點為(0，4)，(0,4)，即c4.由橢圓的定義知，2a，解得a2.由c2a2b2可得b24.所求橢圓的標準方程為1.方法二所求橢圓與橢圓1的熱點相同，其熱點在y軸上，且c225916.設它的標準

9、方程為1(a>b>0).c216，且c2a2b2，故a2b216.又點(，)在所求橢圓上，1，即1.由得b24，a220，所求橢圓的標準方程為1.(3)設點B的坐標為(*0，y0).*21，F(xiàn)1(，0)，F(xiàn)2(，0).AF2*軸，可取A(，b2).AF13F1B，3，(2，b2)3(*0，y0).*0，y0.點B的坐標為.將B代進*21，得b2.橢圓E的方程為*2y21.題型二橢圓的幾何性質(zhì)例(1)已知點F1，F(xiàn)2是橢圓*22y22的左，右熱點，點P是該橢圓上的一個動點，那么|的最小值是_.(2)(2015·浙江)橢圓1(ab0)的右熱點F(c，0)關(guān)于直線y*的對稱點Q

10、在橢圓上，則橢圓的離心率是_.答案(1)2(2)解析(1)設P(*0，y0)，則(1*0，y0)，(1*0，y0)，(2*0，2y0)，|22.點P在橢圓上，0y1，當y1時，|取最小值2.(2)設橢圓的另一個熱點為F1(c,0)，如圖，連結(jié)QF1，QF，設QF與直線y*交于點M.由題意知M為線段QF的中點，且OMFQ.又O為線段F1F的中點，F(xiàn)1QOM，F(xiàn)1QQF，F(xiàn)1Q2OM.在RtMOF中，tanMOF，OFc，可解得OM，MF，故QF2MF，QF12OM.由橢圓的定義得QFQF12a，整理得bc，ac，故e.方法二設Q(*0，y0)，則FQ的中點坐標，kFQ，依題意解得又由于(*0，y

11、0)在橢圓上，所以1，令e，則4e6e21，離心率e.思維升華(1)利用橢圓幾何性質(zhì)的留意點及技巧留意橢圓幾何性質(zhì)中的不等關(guān)系：在求與橢圓有關(guān)的一些量的范圍，或者最大值、最小值時，經(jīng)常用到橢圓標準方程中*，y的范圍，離心率的范圍等不等關(guān)系.利用橢圓幾何性質(zhì)的技巧：求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的沖突時，要結(jié)合圖形進行爭論，當涉及頂點、熱點、長軸、短軸等橢圓的基本量時，要理清它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.(2)求橢圓的離心率沖突的一般思路求橢圓的離心率或其范圍時，一般是依據(jù)題設得出一個關(guān)于a，b，c的等式或不等式，利用a2b2c2消往b，即可求得離心率或離心率的范圍.(1)已知橢圓1(a>b>0)與雙

12、曲線1(m>0，n>0)有相同的熱點(c,0)和(c,0)，若c是a、m的等比中項，n2是2m2與c2的等差中項，則橢圓的離心率是_.(2)已知兩定點A(1,0)和B(1,0)，動點P(*，y)在直線l：y*2上移動，橢圓C以A，B為熱點且經(jīng)過點P，則橢圓C的離心率的最大值為_.答案(1)(2)解析(1)在雙曲線中m2n2c2，又2n22m2c2，解得m，又c2am，故橢圓的離心率e.(2)A(1,0)關(guān)于直線l：y*2的對稱點為A(2，1)，連結(jié)AB交直線l于點P，則橢圓C的長軸長的最小值為AB，所以橢圓C的離心率的最大值為.題型三直線與橢圓的綜合沖突命題點1由直線與橢圓的位置關(guān)

13、系爭論橢圓的性質(zhì)例4(2015·重慶)如圖，橢圓1(ab0)的左，右熱點分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線交橢圓于P、Q兩點，且PQPF1.(1)若PF12，PF22，求橢圓的標準方程；(2)若PF1PQ，求橢圓的離心率e.解(1)由橢圓的定義，2aPF1PF2(2)(2)4，故a2.設橢圓的半焦距為c，由已知PF1PF2，因此2cF1F22，即c，從而b1.故所求橢圓的標準方程為y21.(2)方法一連結(jié)F1Q，如圖，設點P(*0，y0)在橢圓上，且PF1PF2，則1，*yc2，求得*0± ，y0±.由PF1PQPF2得*00，從而PF2.2(a2b2)2a(a)2.

14、由橢圓的定義，PF1PF22a，QF1QF22a，從而由PF1PQPF2QF2，有QF14a2PF1.又由PF1PQ，PF1PQ，知QF1PF1，因此，(2)PF14a，即(2)(a)4a，于是(2)(1)4，解得e.方法二如圖，由橢圓的定義，PF1PF22a，QF1QF22a.從而由PF1PQPF2QF2，有QF14a2PF1.又由PF1PQ，PF1PQ，知QF1PF1，因此，4a2PF1PF1，得PF12(2)a，從而PF22aPF12a2(2)a2(1)a.由PF1PF2，知PFPFF1F(2c)2，因此e.命題點2由直線與橢圓的位置關(guān)系爭論直線的性質(zhì)例5(2015·江蘇)如圖

15、，在平面直角坐標系*Oy中，已知橢圓1(ab0)的離心率為，且右熱點F到左準線l的距離為3.(1)求橢圓的標準方程；(2)過F的直線與橢圓交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點P，C，若PC2AB，求直線AB的方程.解(1)由題意，得且c3，解得a，c1，則b1，所以橢圓的標準方程為y21.(2)當AB*軸時，AB，又CP3，不合題意.當AB與*軸不垂直時，設直線AB的方程為yk(*1)，A(*1，y1)，B(*2，y2)，將AB的方程代進橢圓方程，得(12k2)*24k2*2(k21)0，則*1,2，C的坐標為，且AB.若k0，則線段AB的垂直平分線為y軸，與左準線平行，

16、不合題意.從而k0，故直線PC的方程為y，則P點的坐標為，從而PC.由于PC2AB，所以，解得k±1.此時直線AB的方程為y*1或y*1.思維升華解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)沖突，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)沖突.涉及弦中點的沖突時用“點差法”解決，往往會更簡潔.(2015·北京)已知橢圓C：*23y23，過點D(1,0)且不過點E(2,1)的直線與橢圓C交于A，B兩點，直線AE與直線*3交于點M.(1)求橢圓C的離心率；(2)若AB垂直于*軸，求直線BM的斜率；(3)試判定直線BM與直線DE的位置關(guān)系，并說

17、明理由.解(1)橢圓C的標準方程為y21，所以a，b1，c.所以橢圓C的離心率e.(2)由于AB過點D(1,0)且垂直于*軸，所以可設A(1，y1)，B(1，y1)，直線AE的方程為y1(1y1)(*2)，令*3，得M(3,2y1)，所以直線BM的斜率kBM1.(3)直線BM與直線DE平行，證明如下：當直線AB的斜率不存在時，由(2)可知kBM1.又由于直線DE的斜率kDE1，所以BMDE，當直線AB的斜率存在時，設其方程為yk(*1)(k1)，設A(*1，y1)，B(*2，y2)，則直線AE的方程為y1(*2).令*3，得點M，由得(13k2)*26k2*3k230，所以*1*2，*1*2，

18、直線BM的斜率kBM，由于kBM10所以kBM1kDE，所以BMDE.綜上可知，直線BM與直線DE平行.8.高考中求橢圓的離心率沖突典例(1)(2015·福建)已知橢圓E：1(ab0)的右熱點為F，短軸的一個端點為M，直線l：3*4y0交橢圓E于A，B兩點.若AFBF4，點M到直線l的距離不小于，則橢圓E的離心率的取值范圍是_.(2)(2014·江西)設橢圓C：1(a>b>0)的左，右熱點為F1，F(xiàn)2，過F2作*軸的垂線與C相交于A，B兩點，F(xiàn)1B與y軸相交于點D，若ADF1B，則橢圓C的離心率等于_.解析(1)如圖，設左熱點為F0，連結(jié)F0A，F(xiàn)0B，則四邊形

19、AFBF0為平行四邊形.AFBF4，AFAF04，a2.設M(0，b)，則，1b2.離心率e .(2)直線AB：*c，代進1，得y±.A(c，)，B(c，).kBF1.直線BF1：y0(*c).令*0，則y，D(0，)，kAD.由于ADBF1，·1，3b44a2c2，b22ac，即(a2c2)2ac，e22e0，e.e>0，e.答案(1)(2)溫馨提示離心率是橢圓的重要幾何性質(zhì)，是高考要點考查的一個學問點.這類沖突一般有兩類：一類是依據(jù)確定的條件求橢圓的離心率；另一類是依據(jù)確定的條件求離心率的取值范圍.無論是哪類沖突，其難點都是建立關(guān)于a，b，c的關(guān)系式(等式或不等式

20、)，并且最終要把其中的b用a，c表達，轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的關(guān)系式，這是化解有關(guān)橢圓的離心率沖突難點的根本方法. 方法與技巧1.橢圓的定義揭示了橢圓的本質(zhì)屬性，正確理解、把握定義是要害，應留意定義中的常數(shù)大于F1F2，幸免了動點軌跡是線段或不存在的狀況.2.求橢圓方程的方法，除了挺直依據(jù)定義外，常用待定系數(shù)法.當橢圓的熱點位置不明確而無法確定其標準方程時，設方程為1 (m>0，n>0，且mn)可以幸免爭辯和煩瑣的計算，也可以設為A*2By21 (A>0，B>0，且AB)，這種形式在解題中更簡便.3.爭辯橢圓的幾何性質(zhì)時，離心率沖突是要點，求離心率的常用方法有以下兩種：(1

21、)求得a，c的值，挺直代進公式e求得；(2)列出關(guān)于a，b，c的齊次方程(或不等式)，然后依據(jù)b2a2c2，消往b，轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解.失誤與防范1.判定兩種標準方程的方法為比較標準形式中*2與y2的分母大小.2.留意橢圓的范圍，在設橢圓1 (a>b>0)上點的坐標為P(*，y)時，則|*|a，這往往在求與點P有關(guān)的最值沖突中用到，也是簡潔被忽視而導致求最值錯誤的緣由.A組專項前提練習(時間：40分鐘)1.設F1，F(xiàn)2分別是橢圓1的左，右熱點，P為橢圓上一點，M是F1P的中點，OM3，則P點到橢圓左熱點的距離為_.答案4解析由題意知，在PF1F2中 ，OMPF23，

22、PF26，PF12aPF21064.2.橢圓1(a>b>0)的左、右頂點分別是A、B，左、右熱點分別是F1、F2，若AF1，F(xiàn)1F2，F(xiàn)1B成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為_.答案解析由題意知AF1ac，F(xiàn)1F22c，F(xiàn)1Bac，且三者成等比數(shù)列，則F1FAF1·F1B，即4c2a2c2，a25c2，所以e2，所以e.3.已知F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)是橢圓C的兩個熱點，過F2且垂直于*的直線與橢圓C交于A，B兩點，且AB3，則C的方程為_.答案1解析設橢圓C的方程為1(a>b>0)，則c1.由于過F2且垂直于*軸的直線與橢圓交于A，B兩點，且AB3，所以，

23、b2a2c2，所以a24，b2a2c2413，橢圓的方程為1.4.已知橢圓1上有一點P，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的左，右熱點，若F1PF2為直角三角形，則這樣的點P有_個.答案6解析當PF1F2為直角時，依據(jù)橢圓的對稱性知，這樣的點P有2個；同理當PF2F1為直角時，這樣的點P有2個；當P點為橢圓的短軸端點時，F(xiàn)1PF2最大，且為直角，此時這樣的點P有2個.故符合要求的點P有6個.5.已知橢圓y21的左、右熱點分別為F1，F(xiàn)2，在長軸A1A2上任取一點M，過M作垂直于A1A2的直線，與橢圓的一個交點為P，則使得·<0的點M的概率為_.答案解析設P(*，y)，(c*，y)，(c*，y)，

24、·(c*，y)·(c*，y)*2y2c2*232<0，<*<.使得·<0的點M的概率為.6.已知P為橢圓1上的一點，M，N分別為圓(*3)2y21和圓(*3)2y24上的點，則PMPN的最小值為_.答案7解析由題意知橢圓的兩個熱點F1，F(xiàn)2分別是兩圓的圓心，且PF1PF210，從而PMPN的最小值為PF1PF2127.7.已知橢圓1(a>b>0)的離心率等于，其熱點分別為A、B、C為橢圓上異于長軸端點的任意一點，則在ABC中，的值等于_.答案3解析在ABC中，由正弦定理得，由于點C在橢圓上，所以由橢圓定義知CACB2a，而AB2

25、c，所以3.8.已知F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)為橢圓1(a>b>0)的兩個熱點，P為橢圓上一點，且·c2，則此橢圓離心率的取值范圍是_.答案解析設P(*，y)，則·(c*，y)·(c*，y)*2c2y2c2，將y2b2*2代進式解得*2，又*20，a2，2c2a23c2，e.9.如圖，在平面直角坐標系*Oy中，橢圓C：1 (a>b>0)的右準線方程為*4，右頂點為A，上頂點為B，右熱點為F，斜率為2的直線l經(jīng)過點A，且點F到直線l的距離為.(1)求橢圓C的標準方程；(2)將直線l繞點A旋轉(zhuǎn)，它與橢圓C相交于另一點P，當B，F(xiàn)，P三點共線

26、時，試確定直線l的斜率.解(1)由題意知，直線l的方程為y2(*a)，即2*y2a0，所以右熱點F到直線l的距離為，所以ac1.又由于橢圓C的右準線為*4，即4，所以c，代進上式解得a2，c1，所以b23，所以橢圓C的方程為1.(2)由(1)知B(0，)，F(xiàn)(1,0)，所以直線BF的方程為y(*1)，聯(lián)立方程組解得(舍往)或所以P，所以直線l的斜率k.10.(2015·安徽)設橢圓E的方程為1(a>b>0)，點O為坐標原點，點A的坐標為(a,0)，點B的坐標為(0，b)，點M在線段AB上，滿意BM2MA，直線OM的斜率為.(1)求E的離心率e；(2)設點C的坐標為(0，b

27、)，N為線段AC的中點，點N關(guān)于直線AB的對稱點的縱坐標為，求E的方程.解(1)由題設條件知，點M的坐標為，又kOM，從而，進而得ab，c2b，故e.(2)由題設條件和(1)的計算結(jié)果可得，直線AB的方程為1，點N的坐標為.設點N關(guān)于直線AB的對稱點S的坐標為，則線段NS的中點T的坐標為.又點T在直線AB上，且kNS·kAB1，從而有解得b3.所以a3，故橢圓E的方程為1.B組專項力量提升(時間：30分鐘)11.從橢圓1(a>b>0)上一點P向*軸作垂線，垂足恰為左熱點F1，A是橢圓與*軸正半軸的交點，B是橢圓與y軸正半軸的交點，且ABOP(O是坐標原點)，則該橢圓的離心

28、率是_.答案解析由題意可設P(c，y0)(c為半焦距)，kOP，kAB，由于OPAB，y0，把P代進橢圓方程得1，2，e.12.如圖，已知橢圓C的中心為原點O，F(xiàn)(2，0)為C的左熱點，P為C上一點，滿意OPOF，且PF4，則橢圓C的方程為_.答案1解析設橢圓的標準方程為1(a>b>0)，焦距為2c，右熱點為F，連結(jié)PF，如圖所示.由于F(2，0)為C的左熱點，所以c2.由OPOFOF知，PFFFPO，OFPOPF，所以PFFOFPFPOOPF180°，知FPOOPF90°，即FPPF.在RtPFF中，由勾股定理，得PF8.由橢圓定義，得PFPF2a4812，從而a6，得a236，于是b2a2c236(2)216，所以橢圓的方程為1.13.橢圓y21的左，右熱點分別為F1，F(xiàn)2，點P為橢圓上一動點，若F1PF2為鈍角，則點P的橫坐標的取值范圍是_.答案(，)解析設橢圓上一點P的坐標為(*，y)，則(*，y)，(*，y).F1PF2為鈍角，·<0，即*23y2<0，y21，代進得*231<0，*2&