等積法求體積點(diǎn)到面地距離

1、等積法求三棱錐的體積【教師版】2014/10/14由于三棱錐是由4個(gè)三角形圍成的四面體，任何一個(gè)三角形都可以看成其底面。 但在求 體積時(shí)需要選擇合適的底和高，這就需要靈活換底面，但是三棱錐的體積保持不變。這種方 法我們稱為“等積法”，它是三棱錐求體積的巧妙方法，也是其“專屬產(chǎn)品”。其他的，如四 棱錐求體積就不能隨意換底，不能用等積法求體積。另外，等積法的優(yōu)越性還體現(xiàn)在求“點(diǎn) 到平面的距離”中。【注意】等積法求體積時(shí)，要謹(jǐn)記“先證后求”的原則，先作出或證明底面的高，再計(jì) 算三棱錐的體積。例1a（本小題滿分14分）如圖：邊長為2的正方體ABCD-A.BD,中, 場(chǎng)C與占G相交于點(diǎn)（X（求證：Bq”

2、平面AA.D.D ;（2）求證；丄平面BDC.18.（本小題滿分14分）（1）證明*連結(jié)D,-IE方體3-心場(chǎng)中（3）求四面體B廠BDC、的體積+ABCD是平行四邊形代 BCJl AD 2 分在平面外.彳D在平面AAD內(nèi)代BCJ!平面AADD 4分2）證明：正方體招CD-4罵GD中，哎分DC 1BCDC 丄 GCI:、DC 丄平面 BCCBA DC 丄 BC、*7 分v5,C與DC相交于點(diǎn)? 昇BCt丄平面BDC. 9分d）解：正方體ABCD-AC中= qBBi B&i = 2 *1G 分*點(diǎn)到平面BB.C,的距高等于點(diǎn)D劃平面的距高*為2 12分:*-VD-M.C, = Jx2x2 =14

3、分例2 . （2011佛山一中三校聯(lián)考）如圖，已知三棱錐 A BPC中，API PC AC丄BCM為AB中點(diǎn)，D為PB中點(diǎn)，且 PMB為正三角形。求證：DM/平面APC求證：平面 ABCL平面APC(出)若 BC= 4, AB= 20,求三棱錐 D-BCM勺體積.解：（I）由已知得， MD是厶ABP的中位線MD / APMD -面APC, AP 二面APC.MD / 面APC.：PMB為正三角形，D為PB的中點(diǎn),MD _ PB,AP _ PB又 AP _ PC, PB 一 PC = P AP _ 面PBCBC 面 PBCAP _ BC又 BC _ AC, AC 一 AP =A BC _ 面AP

4、C BC 面ABC 平面ABCL平面APC10分(川) MD _面PBC , - MD是三棱錐 M- DBC的高，且MD= 5.311分 又在直角三角形 PCB中，由PB= 10, BC= 4,可得PC= 2、21 F是 S bcd = S bcp = 2 -21 ,12分13分(1)(2)14分VDCM = SBC 冷恥僅7 例3.（茂名2010二模）如圖，在底 面是菱形的四棱錐 S ABCD中, SA=AB=2 SB = SD = 2血.證明：BD _平面SAC(3)右BAD - 120，求幾何體A SBD的體積。問：側(cè)棱SD上是否存在點(diǎn)E,使得SB/平面ACE請(qǐng)證明你的結(jié)論;例3.解：(

5、1) T四棱錐sABCD底面是菱形, .BD _ AC 且 AD=AB又 SA=AB=2 SB = SD = 22.SA2 AB2 = SB2, SA2 AD2 =SD2.SA_ AB,SA _ AD ,又 AB - AD = A ,2 分二SA丄平面ABCD BD U平面ABCD從而SA丄BD 3分 又 SA - AC = A，BD丄平面SAC 4分（2）在側(cè)棱SD上存在點(diǎn)E,使得SB/平面ACE其中E為SD的中點(diǎn) 6 分 證明如下：設(shè) BD - AC =0，則0為BD的中點(diǎn)，又E為SD的中點(diǎn)，連接0E則0E為 SBD的中位線。7分二 0E/SB，又 0E u 平面 AEC SBb 平面 A

6、EC 8 分.SB/平面 ACE 10 分(3)當(dāng).BAD =120 時(shí),S Abd1AB AD sin1202.幾何體A SBD的體積為1 1Vzd =V“bd SS abd SAS14分點(diǎn)到面的距離、知識(shí)點(diǎn)（求點(diǎn)到面的距離主要方法：）（1）直接法：由定義作出垂線段并計(jì)算，用線面和面面垂直的判定及性質(zhì)來作；（2 ）轉(zhuǎn)移法：若直線 AB/平面，則直線AB上任意一點(diǎn)到平面的距離相等;（3）等體積法：用同一個(gè)三棱錐選不同底計(jì)算體積，再求高，即點(diǎn)到面的距離。、基礎(chǔ)熱身1、在棱長為a的正方體 AC1中找出表示下列距離的垂線段直接法：（1） 點(diǎn)A到面BCC1B1的距離；（2）B1 D1到面ABCD的距離

7、；(3)點(diǎn)A到面BDDiB的距離(4)求C到平面BDC1的距離。 A,C轉(zhuǎn)移法：棱長為1的正方體 ABCD _ ABCD中，E,F分別是棱 AA,BB中點(diǎn)，求點(diǎn)B到平面DEF的距離- 5提示：因?yàn)锳B/EF= AB/平面DEF，所以點(diǎn)B到平面DEF的距離即為點(diǎn) A到平面DEF的距離。作 A H _ ED，證明A H _平面DEF 。 AH【活學(xué)活用】3、在棱長為1的正方體ABCD - ABCD中,E,F分別為棱BB和CD的中點(diǎn),求點(diǎn)F到平面ADE的距離。提示：法直接法：將三角形擴(kuò)大到平行四邊形，高FH 平面ADGE。取CC 的中點(diǎn)G,連接D G、eg過f作垂線FHi D G實(shí)用文檔可以證得EG

8、/ AD ，所以平面 ADGE，即平面ADE?？梢宰C得EGL平面 DCCD，所以EGL FH由 FH! D G、EGL FH, EG A DG = G 可知 FH 丄平面 A DGE所以FH即F到平面AD E距離。根據(jù)勾股定理可以求得:DG2 =1(-)2DG 二-52又知： FDG的面積 =s四邊形DCCDsa DD F - sa D C G - safgcFHDG3、5To-ADCP B法二：轉(zhuǎn)移法:FP/平面 ADE，作 PQ _ AE。等積法求點(diǎn)到面的距離：4. 已知在棱長為1的正方體 ABCD-A BCD中，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，求點(diǎn)B到平面AECF 的距離。V：等積法Vb丄

9、EF Vf JEB3三、知識(shí)運(yùn)用例 1:如圖四棱錐 S-ABCD , AB _ AD, AB/CD,CD =3AB,面SAD 面ABCD , M 是線段 AD上一點(diǎn)，AB =AM =1,DM =DC,SM_AD.（1）證明：BM _ 面SMC求點(diǎn)C到面SMB的距離。EX1如圖，在邊長為 a的菱形ABCD中，.ABC =60 , PC _面ABCD , E,F是PA和AB的中點(diǎn)。（1）求證：EF/平面PBC（2）求E到平面PBC的距離。提示：由（1 ）知EF/平面PBC所以E到平面PBC的距離等于點(diǎn) F到平面PBC的距離aFH _ BC， FH即為所求。2例2:（2010江蘇卷）如圖,在四棱錐

10、P-ABCD中，PD丄平面 ABCD PD=DC=BC=,AB=2 AB/ DC / BCD=90。求點(diǎn)A到平面PBC的距離。解析（方法一）分別取AB PC的中點(diǎn)E、F,連DE DF,則： 易證DE/ CB DE/平面PBC點(diǎn)D、E到平面PBC的距離相等。又點(diǎn)A到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離的2倍。由（1）知：BC丄平面PCD所以平面 PBCL平面PCD于 PC,因?yàn)镻D=DC PF=FC 所以 DF丄PC,所以DF丄平面 PBC于 F。易知DF=乙，故點(diǎn)A到平面PBC的距離等于,2。2（方法二）等體積法：連結(jié)AG設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為h。因?yàn)?AB/ DC / BCD=90,

11、所以/ ABC=90。從而 AB=2 BC=1,得 ABC 的面積 S.ABC =1。11由PD丄平面ABCD及 PD=1,得三棱錐 P-ABC的體積VS ABc -PD =。33因?yàn)镻D丄平面 ABCD DC 平面ABCD所以PD丄DC 又 PD=DC=1 所以 PC = . PD2 DC2 = ,2 。由 PCX BC BC=1,得 PBC 的面積 S PBC由 VA_PBC=Vp1PBC故點(diǎn)A到平面PBC的距離等于.2。EX2:（2010廣東文數(shù)）如圖4,弧AEC是半徑為a的半圓，AC為直 徑，點(diǎn)E為弧AC的中點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)C為線段AD的三等分點(diǎn)，平面AEC外一點(diǎn) F 滿足 FC_ 平面

12、BED,FB= . 5a（1）證明：EB_FD（2）求點(diǎn)B到平面FED的距離.【解析】（1）證明：點(diǎn) B和點(diǎn)C為線段AD的三等分點(diǎn)，點(diǎn)B為圓的圓心又 E是弧AC的中點(diǎn)，AC為直徑,BC _ EB 即 BD _ EB FC _ 平面 BDE , 又BD 平面FBD ,EB 平面 BDE ,- FC _ EBFC 平面 FBD 且 BD FC 二 C EB _ 平面 FBD又 FD 平面 FBD , EB _ FD（2）解：設(shè)點(diǎn)B到平面FED的距離（即三棱錐 B - FED的高）為h. FC丄平面BDE , FC是三棱錐F-BDE的高，且三角形 FBC為直角三角形由已知可得 BC 二 a，又 FB

13、 h$5a FC（、5a）2 - a2 = 2a1 在 Rt BDE 中，BD=2a,BE=a，故 S BDE2a a 二 a2,2-Vf -bdeS bde FC a 2a a ,333又 EB _平面FBD，故三角形EFB和三角形BDE為直角三角形， EF = 6a, DE =5a，在 Rt FCD 中，F(xiàn)D = - 5a , S FED = -21 a2,2V F -BDEs即丄亠宀,3234 21 a ,4121即點(diǎn)B到平面FED的距離為h = a備用題:1、四棱錐P-ABCD中，底面ABC為直角梯形，PD丄底面ABCQ PD=DC=BC= AB=2, ABll CD,.ABC=90。

14、，求點(diǎn)D到平面PAB的距離.PA_底面ABCD AB= 6，分別求點(diǎn)中，底面ABC助正方形,EA山C與點(diǎn)D到平面PAB的距離.3、 如圖幾何體是由正方體 ABCD-ABiCD與四棱錐E-ABCD組成，E為CC的延長線上一點(diǎn)， 且EC=CC, AB=2, M為EB的中點(diǎn)，求點(diǎn)M到平面ACD的距離.4、 如圖也BCD與 MCDS是邊長為2的正三角形，平面 MCD平面BCD AB丄平面BCD求B第5題5、圓錐PO如圖5所示，圖6是它的正(主)視圖.已知圓0的直徑為AB , C是AB的中點(diǎn)，D為AC的中占I 八、第6題(1)求該圓錐的側(cè)面積；(2)證明：AC _平面POD ;(3) 求點(diǎn)0到平面PAC的距離.6、 如圖，ABCD是邊長為4的正方形，E、F分