一22對數(shù)的性質(zhì)及其應用

1、2.2.2 對數(shù)的性質(zhì)及其應用【學習目標】1.掌握對數(shù)的運算性質(zhì)，并能理解推導這些法則的依據(jù)和過程.2.能較熟練地運用對數(shù)運算法則解決問題.1.對數(shù)的運算性質(zhì)logaMlogaNlogaMlogaN如果 a0，且 a1，M0，N0，那么：nlogaM(1)loga(MN)_.log525_. 122.對數(shù)換底公式logab115()A.2C.0B.2D.1A【問題探究】)對于等式 lg(mn)lgmlgn，下面說法正確的是(A.對任意正數(shù) m，n，等式都成立B.對任意正數(shù) m，n，等式都不成立C.只存在有限個正數(shù) m，n，使等式成立D.存在無數(shù)個 m，n，使等式成立答案：D題型 1 對數(shù)的運算

2、性質(zhì)【例 1】 (1)用 lg2 和 lg3 表示 lg75；用已知對數(shù)表示未知對數(shù)，就是把要表示的對數(shù)的真數(shù)分解成已知對數(shù)的真數(shù)的積、商和冪的形式，然后再用對數(shù)的運算性質(zhì)進行求解.注意運算性質(zhì)只有在同底的情況下才能運用.第(2)題中，沒有指明 a，x，y，z 的范圍，這時我們就認為是使每個對數(shù)符號都有意義的a，x，y，z 的最大范圍，即 a0，且 a1，x0，y0，z0.【變式與拓展】)D1.下列各等式中，正確運用對數(shù)運算性質(zhì)的是(題型 2 對數(shù)運算性質(zhì)的應用【例 2】 求下列各式的值：思維突破：逆用對數(shù)運算性質(zhì)可求值.在應用對數(shù)運算性質(zhì)時，要注意公式的逆用，譬如在常用對數(shù)中，lg21lg5

3、，lg51lg2 的運用.解：(1)原式lg2lg72lg72lg3lg7lg22lg3(2)原式(lg5)2(2lg2)lg2(lg5)2(1lg5)lg2(lg5)21g2lg5lg2(lg51g2)lg5lg2lg5lg21.【變式與拓展】2.2log510log50.25() CA.0B.1C.2D.4解析：2log510log50.25log5100log50.25log5252.3.計算：(lg2)2lg2lg50lg25_.2 解析：原式(lg2)2(1lg5)lg2lg52(lg2lg51)lg22lg5(11)lg22lg52(lg2lg5)2.題型 3 換底公式的應用【例3

4、】 (1)已知log1227a，試用a表示log616；(2)已知log23a,3b7，試用a，b表示log1256.對不同底數(shù)的對數(shù)不能運用運算性質(zhì)，可先統(tǒng)一化成同一個實數(shù)為底的對數(shù)，再根據(jù)運算性質(zhì)進行化簡和求值.【變式與拓展】易錯分析：容易忽略等式成立的前提條件，求出增根.解：由已知等式，得lg(xy)(x2y)lg(2xy)，(xy)(x2y)2xy.即x2xy2y20.方法規(guī)律小結1.對數(shù)的運算性質(zhì).(1)在運算過程中，避免出現(xiàn)以下錯誤：loga(MN)logaMlogaN；logaNn(logaN)n；logaMlogaNloga(MN).(2)要特別注意它的前提條件：a0，a1，M0，N0，尤其是 M，N 都是正數(shù)這一條件.若 M，N 中有一個小于或等于0，就導致 logaM 或 logaN 無意義.另外還要注意，M0，N0與 MN0 并不等價.(3)在應用對數(shù)運算性質(zhì)時，要注意公式的逆用，例如 log232.換底公式.(1)對數(shù)換底公式的證明：設xlogab，化為指數(shù)式為axb，兩邊取以c為底的對數(shù)，得logcaxlogcb，即xlogcalogcb.(2)對數(shù)換底公式的選用：在運算過程中，出現(xiàn)不能直接用計算器或查表獲得對數(shù)值時，可化為以 10 為底的常用對數(shù)進行運算；在化簡求值過程中，出現(xiàn)不同