第三章結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析及抗震驗算3—2單自由度體系的彈性地震反應(yīng)分析

1、 32 單單自由度彈性體系自由度彈性體系的的地震反應(yīng)分析與抗震地震反應(yīng)分析與抗震設(shè)計反應(yīng)譜設(shè)計反應(yīng)譜本本節(jié)內(nèi)容節(jié)內(nèi)容u3.2.1 結(jié)構(gòu)的質(zhì)量模型及節(jié)點運動自由度u3.2.2 單自由度彈性體系的地震反應(yīng)分析 理論解析法u3.2.3自由度彈性體系的地震反應(yīng)分析 數(shù)值時程分析法u 3.2.4 水平與豎向地震動的反應(yīng)譜 u 3.2.5 水平抗震設(shè)計反應(yīng)譜 u 3.2.6 豎向抗震設(shè)計反應(yīng)譜 u 3.2.7單自由度彈性體系地震作用標(biāo)準(zhǔn)值的計算引言引言v 某些簡單的建筑結(jié)構(gòu)，例如等高單層廠房，因其質(zhì)量絕大部分集中于屋蓋，故在進行地震反應(yīng)分析時，可將該結(jié)構(gòu)中參與振動的所有質(zhì)量按動能等效的原理全部折算至屋蓋，

2、而將柱視作一無重量的彈性直桿，這樣就形成了一個單質(zhì)點彈性體系。若忽略桿的軸向變形，當(dāng)該體系只做水平單向振動時，質(zhì)點只有單向水平位移，故為一個單自由度彈性體系。又如水塔，因其質(zhì)量絕大部分集中于塔頂儲水柜處，故亦可按單質(zhì)點體系來分析其振動。3.2.1 結(jié)構(gòu)的質(zhì)量模型及節(jié)點運動自由度結(jié)構(gòu)的質(zhì)量模型及節(jié)點運動自由度 進行結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析的第一步，就是確定結(jié)構(gòu)動力計算簡圖。 由于結(jié)構(gòu)的慣性是結(jié)構(gòu)質(zhì)量引起的，因此結(jié)構(gòu)動力計算簡圖的核心內(nèi)容是結(jié)構(gòu)質(zhì)量的描述。 描述結(jié)構(gòu)質(zhì)量的方法有兩種，一種是連續(xù)化描述(分布質(zhì)量)，另一種是集中化描述(集中質(zhì)量)。 如采用連續(xù)化方法描述結(jié)構(gòu)的質(zhì)量，結(jié)構(gòu)的運動方程將為偏微分方程

3、的形式，而一般情況下偏微分方程的求解和實際應(yīng)用不方便。 因此，工程上常采用集中化方法描述結(jié)構(gòu)的質(zhì)量，以此確定結(jié)構(gòu)動力計算簡圖。 采用集中質(zhì)量方法確定結(jié)構(gòu)動力計算簡圖時，需先定出結(jié)構(gòu)質(zhì)量集中位置。可取結(jié)構(gòu)各區(qū)域主要質(zhì)量的質(zhì)心為質(zhì)量集中位置，將該區(qū)域主要質(zhì)量集中在該點上，忽略其他次要質(zhì)量或?qū)⒋我|(zhì)量合并到相鄰主要質(zhì)量的質(zhì)點上去。 確定結(jié)構(gòu)各質(zhì)點運動的獨立參量數(shù)為結(jié)構(gòu)運動的體系自由度幾種典型結(jié)構(gòu)的計算簡圖如下：3.2.1 結(jié)構(gòu)的質(zhì)量模型及節(jié)點運動自由度結(jié)構(gòu)的質(zhì)量模型及節(jié)點運動自由度3.2.1 結(jié)構(gòu)的質(zhì)量模型及節(jié)點運動自由度結(jié)構(gòu)的質(zhì)量模型及節(jié)點運動自由度3.2.2 單自由度彈性體系的地震反應(yīng)分析單自由

4、度彈性體系的地震反應(yīng)分析 理論解析法理論解析法)(tx)(txgmm)(gxxm kxxc質(zhì)點位移)()()(txtxtXg+=質(zhì)點加速度)()()(txtxtXg +=慣性力)()(gxmxmtI +=彈性恢復(fù)力kxtS=)(阻尼力xctR=)(gxmkxxcxm =+運動方程 取質(zhì)點作隔離體，由動力學(xué)可知，此時刻作用在它上面的力有三種，即慣性力、彈性恢復(fù)力及阻尼力。3.2.2 單自由度彈性體系的地震反應(yīng)單自由度彈性體系的地震反應(yīng)分析分析（1）無阻尼時0=+kxxm 02=+xx 得mk =2令)sincos()(txtxtx00+=0=+kxxcxm （2）有阻尼時3.2.2 單自由度彈性

5、體系的地震反應(yīng)分析單自由度彈性體系的地震反應(yīng)分析mcmk22=,令022=+xxx 得)sincos()(txxtxetxdtdd000+=1時v 自振周期只與體系的質(zhì)量和剛度有關(guān)，質(zhì)量越大，周期越長，而剛度越大，周期越短。v 自振周期是結(jié)構(gòu)的一種固有屬性，是結(jié)構(gòu)本身的一個很重要的動力特征。重要結(jié)論：v【例例3-13-1】 已知一水塔結(jié)構(gòu)，可簡化 為單自由度體系見圖3-1a）。m 10000kg，1Ncm，求該結(jié)構(gòu)的自震周期?！窘饨狻?直接由式（3-2-16），并采用國際單位可得skmT99. 110/1011000022233.2.2 單自由度彈性體系的地震反應(yīng)分析單自由度彈性體系的地震反應(yīng)

6、分析 將荷載看成是連續(xù)作用的一系列沖量，求出每個沖量引起的位移后將這些位移相加即為動荷載引起的位移。)(tP)(tx)(tPtttm)(tP)(tx0 xmP=（1）.瞬時沖量的反應(yīng))(tPttPa.t=0 時作用瞬時沖量mSmPx/=02021)(mPx =0txtxtxsincos)(00+=tmPsin=b. 時刻作用瞬時沖量)(tPttP)(sin)(tmPtx-=(2).動荷載的位移反應(yīng)m)(tP)(ty)(tPtt)(PdtmPtyt)(sin)()(-0=-杜哈美積分temPtytDtDd )-(sin)()()-(0=計阻尼時若t=0 時體系有初位移、初速度temPtAetyt

7、DtDDtd )-(sin)()()-(0+=)sin(b. 時刻作用瞬時沖量)(tPttP)(sin)(tmPtx-=gxmkxxcxm -=+運動方程mtFxxxe/ )(=+22 或mcmk22=,其中g(shù)exmtF -=)(01ttteFmtxd-d-Ed)(sin)()()(=由Duhamel積分可得零初始條件下質(zhì)點相對于地面的位移為01tttexd-d-gd)(sin)()( =max)(max)(sin)()(01ttdtextxSd-g =最大位最大位移反應(yīng)移反應(yīng)質(zhì)點相對于地面的速度為00tdtgdttdtextexdtdxtx)(sin)()(cos)()()()(-d-d-g

8、 +=max)(max)(sin)()(0ttvtextxSd-g =質(zhì)點相對于地面的最大速度反應(yīng)為xxxxg22- =+質(zhì)點的絕對加速度為02tttexd-d-gd)(sin)()( +022022tdtgdttdtextex)(sin)()(cos)()()(-d-d-g =質(zhì)點相對于地面的最大加速度反應(yīng)為max)(max)(sin)()(0ttgatexxtxSd-g =+=最大相對速度最大加速度最大反應(yīng)之間的關(guān)系dvaSSS2=在阻尼比、地面運動確定后，最大反應(yīng)只是結(jié)構(gòu)周期的函數(shù)。max)(max)(sin)()(01ttdtextxSd-g =max)(max)(sin)()(0tt

9、vtextxSd-g =max)(max)(sin)()(0ttgatexxtxSd-g =+=最大相對位移3.2.4 水平與豎向水平與豎向地震動的反應(yīng)譜地震動的反應(yīng)譜 max)()(sin)(01ttdtexSd-g =位移反應(yīng)譜t)( tyg Elcentro 1940 （N-S） 地震記錄)(ms2)(s相對速度反應(yīng)譜t)( tyg Elcentro 1940 （N-S） 地震記錄)(ms2)(smax)(max)(sin)()(0ttvtextxSd-g =絕對加速度反應(yīng)譜t)( tyg Elcentro 1940 （N-S） 地震記錄)(ms2)(smax)(max)(sin)()(

10、0ttgatexxtxSd-g =+=相對位移反應(yīng)譜絕對加速度反應(yīng)譜相對速度反應(yīng)譜地震反應(yīng)譜的特點1.阻尼比對反應(yīng)譜影響很大2.對于加速度反應(yīng)譜，當(dāng)結(jié)構(gòu)周期小 于某個值時幅值隨周期急劇增大， 大于某個值時，快速下降。3.對于速度反應(yīng)譜，當(dāng)結(jié)構(gòu)周期小于某 個值時幅值隨周期增大，隨后趨于常數(shù)。4.對于位移反應(yīng)譜，幅值隨周期增大。不同場地條件對反應(yīng)譜的影響將多個地震反應(yīng)譜平均后得平均加速度反應(yīng)譜 地震反應(yīng)譜是現(xiàn)階段計算地震作用的基礎(chǔ)，通過反應(yīng)譜把隨時程變化的地震作用轉(zhuǎn)化為最大的等效側(cè)向力。gSa/周期（s)巖石堅硬場地厚的無粘性土層軟土層結(jié)構(gòu)的阻尼比和場地條件對反應(yīng)譜有很大影響。v 地面水平運動時，

11、作用于單自由度體系質(zhì)點上的慣性力F(t)為 )()()(txtxmtFg +=- 上式為任意時刻作用于單自由度體系質(zhì)點上的慣性力，也就是地震作用。 但是在結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計中，只需求出水平地震作用的最大絕對值，即質(zhì)點質(zhì)量m與最大絕對加速度的乘積。max)(max)(sin)( )()(0ttggdtexmtxtxmF- =+=3.2.4 水平與豎向水平與豎向地震動的反應(yīng)譜地震動的反應(yīng)譜 T2=體系自振周期max)(max)(sin)( )()(0222ttTggdtTexTmtxtxmF- =+= 為便于求地震作用，將單自由度體系的地震最大絕對加速度反應(yīng)與其自振周期T的關(guān)系定義為地震加速度反應(yīng)譜，或

12、簡稱地震反應(yīng)譜，記為Sa(T)。即 max)()(sin)()(0222ttTgadtTexTTS- =這樣，地震作用就可表示為)(TmSFa=3.2.4 水平與豎向水平與豎向地震動的反應(yīng)譜地震動的反應(yīng)譜 Sa(T)的意義與影響因素 地震加速度反應(yīng)譜可理解為一個確定的地面運動，通過一組阻尼比相同但自振周期各不相同的單自由度體系，所引起的各體系最大加速度反應(yīng)與相應(yīng)體系自振周期間的關(guān)系曲線，如圖3-7所示。 影響地震反應(yīng)譜的因素有兩個：一是體系阻尼比，二是地震動。 一般體系阻尼比越小，體系地震加速度反應(yīng)越大，因此地震反應(yīng)譜值越大，如圖3-8所示。 地震動記錄不同，地震反應(yīng)譜也將不同，即不同的地震動

13、有不同的地震反應(yīng)譜。而地震動特性有三要素：振幅、頻譜和持續(xù)時間。振幅主要影響地震反應(yīng)譜值的大小，頻譜影響著反應(yīng)譜“峰值”的位置，但持續(xù)時間則影響不大。 3.2.4 水平與豎向水平與豎向地震動的反應(yīng)譜地震動的反應(yīng)譜 3.2.4 水平與豎向水平與豎向地震動的反應(yīng)譜地震動的反應(yīng)譜 vaGgSmgmSFaa=v 下面討論a的確定：v 為此，引入表示地面振動強弱的地面運動最大加速度 和重力加速度g，將上式改寫為)()(maxmax)(TGktxSgxmgFgatg= 式中 G 體系重量；k和（T）分別稱為地震系數(shù)和動力系數(shù)，它們均具有一定的物理意義，反映了與地震影響系數(shù)有關(guān)的因素。3.2.4 水平與豎向

14、水平與豎向地震動的反應(yīng)譜地震動的反應(yīng)譜 一般，地面運動加速度峰值越大，地震烈度越大，即地震系數(shù)與地震烈度之間有一定的對應(yīng)關(guān)系。根據(jù)統(tǒng)計分析，烈度每增加一度，地震系數(shù)大致增加一倍。我國抗震規(guī)范規(guī)定的對應(yīng)于各地震基本烈度的k值，如表31所示。 從表中可以看出，地震系數(shù)反映某地區(qū)基本烈度的大小，當(dāng)基本烈度確定后，地震系數(shù)為常數(shù)。 1、地震系數(shù)、地震系數(shù) )()(maxmax)(TGktxSgxmgFgatg= 在式中稱為地震系數(shù)gtxkgmax)( =3.2.4 水平與豎向水平與豎向地震動的反應(yīng)譜地震動的反應(yīng)譜 2、動力系數(shù)、動力系數(shù) max)(max)(sin)()()(2122dtTextxTT

15、tTgg- =)()(maxmax)(TGktxSgxmgFgatg= 在式中max)(txSTga =）（稱為動力系數(shù)3.2.4 水平與豎向水平與豎向地震動的反應(yīng)譜地震動的反應(yīng)譜 (T)與T構(gòu)成一一對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，如以(T)為縱坐標(biāo)，T為橫坐標(biāo)，則可得到一條(T)與T的關(guān)系曲線，即-T曲線。對于不同的值，就可以得到不同的這種曲線。這類曲線稱為動力系數(shù)反應(yīng)譜曲線(或譜曲線)。 譜曲線有如下特點： (1) 譜曲線為多峰點的曲線，這是由于地面運動的不規(guī)則造成的。 (2)當(dāng)結(jié)構(gòu)自振周期小時，隨著周期的增大急劇增長，至峰值后，隨著周期的增大逐漸衰減，而且漸趨平緩。 (3)阻尼比值對譜曲線影響很大，它不

16、僅能降低的幅值，而且可以削平不少峰點，使譜曲線變得平緩。3.2.4 水平與豎向水平與豎向地震動的反應(yīng)譜地震動的反應(yīng)譜 v 因此，為了滿足一般房屋結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計的需要，應(yīng)從大量強震地面運動加速度記錄算出對應(yīng)于每一條記錄的譜曲線，按照影響譜曲線形狀的因素進行分類，然后按每種分類進行統(tǒng)計分析，求出最有代表性的平均曲線作為設(shè)計依據(jù)，這種曲線稱為標(biāo)準(zhǔn)反應(yīng)譜。如圖3-11所示。3 3、水平、水平地震影響系數(shù)地震影響系數(shù)k=稱為水平地震影響系數(shù)單自由度體系水平地震作用aGF =3.2.4 水平與豎向水平與豎向地震動的反應(yīng)譜地震動的反應(yīng)譜 )(sT01 . 0gTgT50 . 6max2max45. 0max2

17、)(TTgmax12)5(2 . 0gTT 建筑結(jié)構(gòu)地震影響系數(shù)曲線抗震設(shè)計反應(yīng)譜曲線中各符號的含義如下：3.2.5 水平抗震水平抗震設(shè)計反應(yīng)設(shè)計反應(yīng)譜譜)(sT01 . 0gTgT50 . 6max2max45. 0max2)(TTgmax12)5(2 . 0gTT -地震影響系數(shù)；max-地震影響系數(shù)最大值； 括號數(shù)字分別對應(yīng)于設(shè)計基本加速度0.15g和0.30g地區(qū)的地震影響系數(shù)T-結(jié)構(gòu)周期；地震影響地震影響6度度7度度8度度9度度多遇地震0.040.08（0.12） 0.16（0.24）0.32罕遇地震0.280.50（0.72） 0.90（1.20）1.40取值如下表gT-特征周期；

18、取值如下)(sT01 .0gTgT50 .6max2max45.0max2)(TTgmax12)5(2 .0gTT 設(shè)計地震設(shè)計地震分組分組場地類別場地類別01第一組0.200.250.350.450.65第二組0.250.300.400.550.75第三組0.300.350.450.650.903.3.4 抗震抗震設(shè)計反應(yīng)譜設(shè)計反應(yīng)譜 )(sT01 .0gTgT50 .6max2max45.0max2)(TTgmax12)5(2 .0gTT -曲線下降段的衰減指數(shù)；1-直線下降段的斜率調(diào)整系數(shù)；2-阻尼調(diào)整系數(shù)，小于0.55時，應(yīng)取0.55。63005090+=.-3240500201+=-

19、.6108005012.+=-3.2.6 豎向抗震豎向抗震設(shè)計反應(yīng)設(shè)計反應(yīng)譜譜v3.2.6 豎向抗震豎向抗震設(shè)計反應(yīng)譜設(shè)計反應(yīng)譜maxmaxmaxmaxmaxmaxmax)(ktzSgtzgSgavgavv65032.,=）（）（ 3.2.7 單自由度體系地震作用標(biāo)準(zhǔn)值計算單自由度體系地震作用標(biāo)準(zhǔn)值計算一、單自由度體系水平地震作用標(biāo)準(zhǔn)值EEKGTaF）（=二、單自由度體系豎向地震作用標(biāo)準(zhǔn)值EvEVKGaFmax,=式中，GE重力荷載代表值，確定方法如下： 進行結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計時，所考慮的重力荷載，稱為重力荷載代表值。它包括恒載（自重）和活載（可變荷載）兩種，其中，地震發(fā)生時，活載不一定達到標(biāo)準(zhǔn)值的水平，一般小于標(biāo)準(zhǔn)值，因此計算重力荷載標(biāo)準(zhǔn)值時可對活載進行折減?？拐鹨?guī)范規(guī)定按下式計算3.2.7 單自由度體系地震作用標(biāo)準(zhǔn)值計算單自由度體系地震作用標(biāo)準(zhǔn)值計算重力荷載代表值GE的確定1niikQikQGG=+=ikQ-第i個可變荷載標(biāo)準(zhǔn)值；Qi-第i個可變荷載的組合值系數(shù)；可變荷載種類組合值系數(shù)雪荷載0.5屋面積灰荷載0.5屋面活荷載不計