多元函數(shù)微分法講義全

1、 . . . 多元函數(shù)微分法講義第十章 多元函數(shù)微分學(xué)§10.1多元函數(shù)：一、平面點(diǎn)集1、定義：把全體有序?qū)崝?shù)對(duì)組成的集合，稱為二維空間，記為（或），（實(shí)際上這里的二維空間的概念就是解析幾何中的二維空間概念）。下面我們看一看這里的二維空間有一個(gè)什么樣的幾何意義，顯然都唯一對(duì)應(yīng)著直角坐標(biāo)平面的一個(gè)點(diǎn)，反之然，中的有序數(shù)對(duì)與直角平面上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，它們的本質(zhì)是一樣的，可以不加區(qū)別，所以：可以把看成直角坐標(biāo)平面，坐標(biāo)平面也可以看成是二維空間，以后把叫點(diǎn)的坐標(biāo)，而把看成是平面全體點(diǎn)的集合.2、平面上兩點(diǎn)的距離（由解析幾何知：）：設(shè)中的兩點(diǎn)，則稱叫P1與P2兩點(diǎn)間的距離.·

2、83;·有叫三角不等式.請(qǐng)同學(xué)們回憶：數(shù)軸上鄰域的概念（一維空間的領(lǐng)域）：3、定義2：設(shè)，以點(diǎn)為中心，為半徑的全體點(diǎn)組成的集合：叫以點(diǎn)為中心，為半徑的圓形領(lǐng)域記為：即·從幾何上看：圓形領(lǐng)域就是平面上的一個(gè)開圓：討論：集合表示一個(gè)什么圖形？以為中心，為邊長(zhǎng)的開矩形的全體點(diǎn)組成的集合叫以為中心的半徑的方形鄰域.圓中有方，方中有圓，方形領(lǐng)域與圓形領(lǐng)域是等價(jià)的.以后在證明題目時(shí)，可以取圓形領(lǐng)域，也可以取方形領(lǐng)域，都一樣.把圓形領(lǐng)域和方形領(lǐng)域統(tǒng)稱為為心，為半徑的領(lǐng)域，記為.去掉鄰域中心后的集合叫去心領(lǐng)域，記為.討論：去心領(lǐng)域怎樣表示：圓形去心領(lǐng)域，方形去心領(lǐng)域：當(dāng)不需指出半徑時(shí)，領(lǐng)域

3、可簡(jiǎn)寫為有了領(lǐng)域的概念后，就可以定義兩個(gè)特殊的概念：開區(qū)域和閉區(qū)域。3、定義3：設(shè)是平面點(diǎn)集，是平面上一點(diǎn)。1）若，有，則稱是的點(diǎn)。2）若，既含有中的點(diǎn)，同時(shí)又含有不屬于的點(diǎn)，則稱是的界點(diǎn)，并把全體界點(diǎn)組成的集合叫點(diǎn)集的邊界.1）討論：的點(diǎn)和界點(diǎn)的區(qū)別在哪里？點(diǎn)是，存在一個(gè)正數(shù)，使以為中心為半徑的領(lǐng)域完全包含在中，若有中的點(diǎn)同時(shí)也有不屬于的點(diǎn)就是界點(diǎn)討論：下面點(diǎn)是點(diǎn)還是界點(diǎn)，為什么？2）的界點(diǎn)有多少個(gè)？都屬于嗎？的邊界是否屬于？（）（2）（1）···3）若，領(lǐng)域含有的無限多個(gè)點(diǎn)，則稱點(diǎn)叫的聚點(diǎn)，（討論如上圖，點(diǎn)是不是聚點(diǎn)？界點(diǎn)呢？（不一定?。┚埸c(diǎn)是否一定屬于？）4

4、）若，使，則稱是有界點(diǎn)集，否則叫無界點(diǎn)集。討論：下面點(diǎn)集是有界點(diǎn)集還不是無界點(diǎn)集？1）2）第一象限：3）4、定義：設(shè)是平面點(diǎn)集：（開、閉區(qū)域統(tǒng)稱為區(qū)域）1）若的任意點(diǎn)都是的點(diǎn)，且的任意兩點(diǎn)都能用屬于的折線連接起來（稱的連通性）則稱是開區(qū)域。（如上圖）2）由開區(qū)域和它的邊界構(gòu)成的區(qū)域G的閉區(qū)域。討論：下列點(diǎn)集是不是開或閉區(qū)域。并指出它的有界性和點(diǎn)、聚點(diǎn)和界點(diǎn)。1）（開區(qū)域，有界）2）3）4）（閉區(qū)域，無界）5）（不是區(qū)域（？沒有點(diǎn)；只有界點(diǎn)集）6）（是區(qū)域的邊是，表示拋物線下方全體點(diǎn)組成的點(diǎn)集，不含邊界）5、有界區(qū)域的直徑：設(shè)是有界區(qū)域，把叫有界區(qū)域的直徑，記為：.討論：下列點(diǎn)集的直徑（）？1）

5、 2）長(zhǎng)方形：3） 是無界區(qū)域（沒有直徑）4）,.注：上面的定義與定理（概念）可以推擴(kuò)到n維空間上去.例：描繪下列點(diǎn)集，并指出開、閉性，有界性，聚點(diǎn)、界點(diǎn)與邊界。2）3）1）解：1）是二維空間的點(diǎn)集，點(diǎn)集的邊界是（是無界閉區(qū)域）2）是二維空間的點(diǎn)集，邊界是曲面，是橢球部的點(diǎn)，不含托球面上的點(diǎn)，是有界開區(qū)域.3）是的點(diǎn)集，邊界是三個(gè)坐標(biāo)面與平面，是這四個(gè)面圍成的四面體的全體點(diǎn)，是有界閉區(qū)域。作業(yè)1521、5二 多元函數(shù)1. 二元函數(shù)定義：設(shè)是二維空間的非空子集，若，按某一對(duì)應(yīng)法則，都唯一的對(duì)應(yīng)著一個(gè)實(shí)數(shù)，則稱對(duì)應(yīng)法則是定義在上的一個(gè)二元函數(shù)記為，。把叫的定義域，全體函數(shù)值組成立集合：叫函數(shù)的值域

6、。例如：是定義在閉圓的一個(gè)二元函數(shù)。2. 二元函數(shù)的圖像設(shè)二元函數(shù)的定義域?yàn)?，顯然是是平面上的一個(gè)點(diǎn)集。，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)函數(shù)值，于是就確定了中的一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)在中變化時(shí)，就得到了中的若干個(gè)點(diǎn)，把這些點(diǎn)組成的集合叫函數(shù)的圖象。一般地二元函數(shù)的圖象是中的一塊曲面。例：判別下列函數(shù)的圖象是什么圖形1）（）閉圓上的上半球。2）， ，是在三個(gè)軸上截距為的一個(gè)平面。當(dāng)自變量是三個(gè)時(shí)，叫三元函數(shù)，是個(gè)時(shí)叫元函數(shù)（見P144定義），. 把二元和二元以上的函數(shù)叫多元函數(shù)。為什么要把函數(shù)分為一元和多元呢？因?yàn)橐辉瘮?shù)過渡到二元函數(shù)時(shí)，有些性質(zhì)要發(fā)生變化，但從二元過渡到三、多元函數(shù)時(shí)，性質(zhì)就完全一樣了.我們知道二元函數(shù)的

7、定義域是中的一個(gè)點(diǎn)集，其圖象是的一塊曲面（一般情況下）三元函數(shù)的的定義域是的一個(gè)一個(gè)立體，而函數(shù)的圖象是的一個(gè)點(diǎn)集，沒有同和何模型.例：求下列多元函數(shù)的定義域，并指出定義域所表示的圖形，1）2）3）解：1）定義域是上以為邊界（不包含邊界）的半平面2）是上以為中心1與2為半徑的閉圓環(huán)。3）是上以球面為邊界的開球體。例：已知求作業(yè)：1439, 10, 11, 123. 二元函數(shù)的極限在一元函數(shù)中，是指當(dāng)在X軸上，從的兩側(cè)以任意方式趨于時(shí)，都超于，用“”語言來描述，。那么二元函數(shù)的極限又怎樣呢？設(shè)是的定義域D的一個(gè)聚點(diǎn)。A是一個(gè)常數(shù)。二元函數(shù)的自變量的變化圍不再只是軸上的一個(gè)區(qū)間，而是平面的一個(gè)平面

8、區(qū)域.所以二元函數(shù)的極限應(yīng)該是：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)以任意路徑和任何方式(其趨于的路線可以是直線，拋物線或任意曲線)都有：，這時(shí)把A叫二元函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限記為，又，上面的極限又可改寫成：上面根據(jù)只是一種形象的描述，下面定出嚴(yán)格中的“”定義。（1）二重極限定義：設(shè)函數(shù)在區(qū)域的有定義，是的聚點(diǎn)，是常數(shù).若，則稱函數(shù)在點(diǎn)二重極限是.因?yàn)椋荷厦娑x又可寫成：定義：設(shè)定義在點(diǎn)集上，是D的聚點(diǎn)，是常數(shù).若則稱函數(shù)在存在極限A，記為.1）解釋定義的義意：，當(dāng)點(diǎn)一旦入進(jìn)了以為心的的去心鄰域，函數(shù)在點(diǎn)的函數(shù)值與A的著的絕對(duì)值就小于.2）上面定義可寫為：例：用“”定義證明：1）1）分析：用定義證明二元函數(shù)的極限的方法與一元函數(shù)完

9、全一定：首先后有.可先由解出一個(gè)含與的不等式，通過觀察可找出.證明：1）（本題領(lǐng)域是，要想辦法在絕對(duì)值中找出），就有。2）分析：（要通過不等式向右方放大，消去，這須把點(diǎn)限制在的某一個(gè)鄰域里找出它們的界即可. （把限制在以點(diǎn)的“”領(lǐng)域中），證明：取，限制：，要使成立，只要取即可.討論1：限制的目的是什么？半徑不取，可不可？例：證明：函數(shù)，在原點(diǎn)（0,0）的極限是0.討論：函數(shù)在原點(diǎn)（0,0）有沒有定義。（沒有?。┳C明：0,（分兩種情況討論。？當(dāng)進(jìn)入以（0,0）為心的領(lǐng)域時(shí)，函數(shù)值有兩種情況）；1）當(dāng)時(shí)，顯然都2）當(dāng)， 綜上所述：從本題看到在（0,0）無定義，但存在極限，函數(shù)在點(diǎn)P0的極限與在點(diǎn)P

10、是否有定義無關(guān)。討論2：當(dāng)沿一條固定的路徑，趨于：時(shí)，能不能說在存在極限？（不能）。例：證明在原點(diǎn)（0,0）不存在極限分析：極限定義的意思是：不管點(diǎn)以什么方式和什么路徑超時(shí)于時(shí)，都有，因此要證在不存在極限，只須證明，當(dāng)沿兩條不同的路徑超于時(shí)，超于不同的兩個(gè)數(shù)；或沿某一條路徑不存在極限不存在即可。（可通過觀察取兩條特殊路徑證之）.證明：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿直線趨于點(diǎn)時(shí)有：。當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿拋物線趨于（0,0）時(shí)。在點(diǎn)（0,0）不存在極限。課堂作業(yè)：證明：在（0,0）不存極限。取路徑：1）；2）作業(yè)：P1551, 3, 4前面我們講了時(shí)的極限概念，下面對(duì)這個(gè)概念加以擴(kuò)展，在一元函數(shù)有：，類似的定義：1）：2）：3）：

11、上面我們講的二元函數(shù)的二重極限在本質(zhì)上是：是兩個(gè)互不相關(guān)的，互相獨(dú)立的變量，當(dāng)它們以獨(dú)立的，任意方式同時(shí)，時(shí)，都有，就稱A是在點(diǎn)的二元函數(shù)的二重極限（即：極限）.二重極限的性質(zhì)和有關(guān)定理與一元函數(shù)的極限相似，略：下面講一種新的極限：二次累次極限（2） 二次累次極限：（1）若當(dāng)時(shí)（看作常數(shù)），函數(shù)存在極限，設(shè)，且當(dāng)時(shí)，存在極限：，則稱B叫在點(diǎn)先后的二次累次極限：，（1）若當(dāng)時(shí)（看作常數(shù)），函數(shù)存在極限，設(shè)，且當(dāng)時(shí)，存在極限：，則稱叫在點(diǎn)先后的二次累次極限：，注：一般情況下不一定等于C.實(shí)際上二次累次極限就是兩次求一次元函數(shù)的極限，只須用求一元函數(shù)的極限方面的知識(shí)就能求二次累次極限。例：求因?yàn)槎?/p>

12、極限和二次累次極限是兩個(gè)完全不同的概念，它們沒有必然的聯(lián)系。注：1. 因?yàn)閮蓚€(gè)累次極限：實(shí)上是對(duì)的一元函數(shù)不同順序的極限，所以兩個(gè)累次極限可能不同，甚至一個(gè)存在另一個(gè)不存在；例如：不存在（存在，時(shí)不存在）；而累次極限可以不存在.注2. 二重極限存在，但累次極限可能不存在；或兩個(gè)累次極限存在相等，但二重極限可能不存在：例如：，在原點(diǎn)（0,0）兩個(gè)累次極限存在且相等，但二重極限不存在；例. 證明：函數(shù)在（0,0）二重極限存在，但累次極限不存在.證明：顯然，累次極限的計(jì)算要比二垂極限簡(jiǎn)單得多，所以我們希望通過累次極限來計(jì)算二重極限，那么在什么條件下它們相等嗎？4. 定理：若二元函數(shù)的二重極限和累次極

13、限（都存在，則：推論：（充分條件）：若下面三個(gè)極限都存在：，則兩個(gè)累次極限存在且相等；等于其二垂極限：例：已知：存在點(diǎn)（0,0）存在二重極限，求；作業(yè)：P15674. 二元函數(shù)的連續(xù)性我們?cè)?jīng)定義了一元函數(shù)一元函數(shù)在一點(diǎn)：連續(xù)：若，則稱在點(diǎn)連續(xù).這個(gè)定義我們可以推廣到二元函數(shù)和元函數(shù)上去：（1）定義：設(shè)二元函數(shù)在區(qū)域有定義，點(diǎn)(a,b)，若：，則稱在(,)連續(xù).討論：上面定義用“點(diǎn)表示法”怎樣書寫：設(shè)函數(shù)在區(qū)域有定義，點(diǎn)，若，則稱二元函數(shù)。即：設(shè)是區(qū)域的點(diǎn)，在，例：已知.定義：若二元函數(shù)在區(qū)域的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱在區(qū)域連續(xù)。2、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（150）1）若在點(diǎn)都連續(xù)，則；，（）在點(diǎn)也連續(xù)，稱

14、為連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算。2）連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)也連。（P150）3）Th4（保號(hào)性）4）若二元函數(shù)關(guān)于或的一元是初等函數(shù)，則稱是二元初等函數(shù)。二元初等了函數(shù)在有定義的點(diǎn)都連續(xù)，（一般地，用一個(gè)解析式表達(dá)的二元函數(shù)都是初等函數(shù)）。請(qǐng)同學(xué)們自學(xué) Th3Th8下面介紹一個(gè)間斷點(diǎn)的概念：請(qǐng)大家想一想在點(diǎn)連續(xù)應(yīng)滿足幾個(gè)條件：1）在有定義；2）存在極限；3）在的極限值等于其函數(shù)值。上面三條任破壞一條，函數(shù)在點(diǎn)都不連續(xù)。定義：若在不連續(xù)，則稱是的間斷點(diǎn)（或不連續(xù)點(diǎn)）。二元函數(shù)的間斷點(diǎn)集常常是平面上的一條曲線。（裂縫）例：求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)，并指出其圖形1） 2）解：1）由得。間斷點(diǎn)集(0,0)，且。例：求下列

15、極限：1） 2） （令，則） 3）4）上面二元函數(shù)的定義和性質(zhì)可以推廣到元函數(shù)上去.作業(yè)：（參考）5；6.10作業(yè)評(píng)講：1、下面做法是否正確，為什么？（是否正確關(guān)鍵是判別是否存在）上面做法不正確。由定理知：必須是二重極限和累次極限存在時(shí)，才能象上面這樣做。正確做法：令，則原式=2（）=2（）2、注：令，則.3、若將函數(shù)限制在區(qū)域=(x,y)|y|<x2，例函數(shù)在原點(diǎn)（0,0）存在極限（關(guān)于）。分析：這里動(dòng)點(diǎn)P(x,y)的變化圍是，P只能取的點(diǎn)：|y|<x2，只須證明：（即：滿足條件|y|x2的點(diǎn)P（x,y）：的，的找法與前面的一樣。證明：；要使只須?。ㄗⅲ翰坏仁街胁缓硎緦?duì)任意，

16、時(shí)，都能保證）證明：，取都有.#.討論：能源能說在（0，0）的二重極限是？（不能，二重極限的動(dòng)點(diǎn)必須是鄰域：，的全體點(diǎn)，但上題中的P不能取M域的全體點(diǎn)，而只能?。?。不是二重極限，而只是限制在中的極限，實(shí)際上在（0,0）不存在二重極限。當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿軸x=c趨于（0,0）時(shí)，當(dāng)沿x軸y=0趨于（0,0）時(shí)，。 作業(yè)： : 1 (1),(2); 6; 7;10; 11. §10.3 多元函數(shù)的微分法在講多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)前，首先來回憶一下導(dǎo)數(shù)的概念：設(shè)在有定義：若把一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念推廣到多元函數(shù)上去，就是下面要講的偏導(dǎo)數(shù)的概念：偏改變量：設(shè)二元函數(shù)定義在區(qū)域，是的點(diǎn)，將看作常數(shù)，給一個(gè)改變量，于

17、是就得到的另一個(gè)點(diǎn)（），把這兩點(diǎn)的函數(shù)值之差：叫在點(diǎn)關(guān)于x的偏改變量。同樣：把叫在點(diǎn)關(guān)于的偏導(dǎo)改變量。1.偏導(dǎo)數(shù)定義：若函數(shù)在點(diǎn)的關(guān)于的偏改變量與之比的極限：存在，則稱此極限叫在關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)，記為（）. 同理稱：，叫在關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)，記為例：已知： ， 求解：當(dāng)為區(qū)域的任意點(diǎn)時(shí)：二元函數(shù)在任意點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)為：（叫在關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)）（叫在關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)）它們?nèi)匀皇顷P(guān)于、的二元函數(shù)，又簡(jiǎn)稱偏導(dǎo)函數(shù)。由于偏導(dǎo)數(shù)在本質(zhì)上就是導(dǎo)數(shù)的概念，所求關(guān)于偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，只須把看成常數(shù)，對(duì)求導(dǎo)即可.例：已知，求，例：已知： ，求關(guān)于與的偏導(dǎo)函數(shù)，.分析：是分段函數(shù)，對(duì)于不同的表達(dá)式，要分成不同的情況來計(jì)算。解：當(dāng)，（是一個(gè)

18、連續(xù)可導(dǎo)的函數(shù)，可以直接求偏導(dǎo)）當(dāng)（,）=（0，0）時(shí)（是求節(jié)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，只能根據(jù)定義求），例：設(shè) .分析：在求時(shí)，看成常數(shù)，對(duì)求導(dǎo).解：例：設(shè)，求分析：函數(shù)是與=的復(fù)合函數(shù)，由復(fù)合了函數(shù)的求導(dǎo)法則：（也可以兩邊先取對(duì)數(shù)再求導(dǎo)）。解：由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則下面兩個(gè)請(qǐng)同學(xué)們自己計(jì)算。課堂作業(yè)，計(jì)算 求導(dǎo)，解：令，則，由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則在一元函數(shù)中，在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在的切線的斜率。那么偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義是什么？的幾何意義：曲面與過軸點(diǎn)且垂于y軸的平面交線的方程為：偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義：表示過交線上的點(diǎn)的切線的斜率；表示過曲線上點(diǎn)的切線斜率。在一元函數(shù)中，若在可導(dǎo)，則在連續(xù)，即在連續(xù)是在可微的必要

19、條件。那么這一條性質(zhì)在二元函數(shù)中是否成立呢？實(shí)際上：注：在二元函數(shù)中，僅管在點(diǎn)兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，都存在，也推不出連續(xù)，這是多元函數(shù)與一元函數(shù)的一個(gè)不同之點(diǎn)。例：證明，在存在兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，但在原點(diǎn)不連續(xù).證明：同理（要證在不連續(xù)，只須證明：不存在極限）當(dāng)以趨于時(shí)，當(dāng)以趨于時(shí)，所以連續(xù).作業(yè)：P176 1、2、2全微分定義：在一元函數(shù)時(shí)我們?cè)?jīng)定義了函數(shù)在一點(diǎn)的微分的概念：若函數(shù)在點(diǎn)的改變量能表成：（即表成的一個(gè)線性函數(shù)與高階無窮小的和）就稱在可微，并把就微分，后面我們進(jìn)一步推出：。這一概念可以推廣到多元函數(shù)上，就是下面的全微分的概念：2. 全微分的定義：若二元函數(shù)在點(diǎn)的全改變量：可表成：，其中，是與、的

20、無關(guān)的常數(shù)。則稱二元函數(shù)在點(diǎn)可微，且把線性主部叫函數(shù)在點(diǎn)的全微分，記為注：全微分的定義必須滿足兩條：1）的線性（一次）函數(shù)（即A、B與無關(guān)的常數(shù)）。2）是的高階窮?。ǎ?，即在上面定義中，我們自然要問系數(shù)A、B是什么呢？3. 定理：（可微的必要條件）：若二元函數(shù)在點(diǎn)可微，則函數(shù)存在兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)與，且，。討論：上面定理實(shí)際上告訴我們?cè)诳晌⒌谋匾獥l件是什么？證明：在點(diǎn)存在全微分。，令，想一想變成了什么？則存在，同理：=。由上面定理得：，當(dāng)在區(qū)域的任一點(diǎn)都可微時(shí)，稱在區(qū)域可微，且.這里我們要指出：在一元函數(shù)中，在一點(diǎn)可微在可導(dǎo)，但在二元（或多元）函數(shù)中：可微在存在兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)（即：；但存在兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)（可導(dǎo)

21、）在可微。注：在二元函數(shù)中，“可導(dǎo)”僅僅是“可微”必要而不充分的條件.例：設(shè)，證明在可導(dǎo)，但不可微.證明：由前面17頁例題知：，在點(diǎn)可導(dǎo)，又，取。則，不是的高階無窮小，。于是，自然要問，在什么條件下，可微呢？即：充分條件.4.定理（可微充分條件）： 若二元函數(shù)的鄰域存在偏導(dǎo)數(shù)，且兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)，則在可微。注：的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)，連續(xù)僅是在可微的充分而非必要的條件.例：設(shè)=，則函數(shù)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，在點(diǎn)不連續(xù)，但在可微.分析：首先計(jì)算偏導(dǎo)數(shù).證：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?同理（下面證明導(dǎo)函數(shù)在不連續(xù)）取軸，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P軸超于時(shí)，在（0,0）不存在二重極限，在原點(diǎn)不連續(xù).（下面證明在點(diǎn)（0，0）可微，只須證明：）因

22、為：，所以： （注：）.例：計(jì)算出數(shù)在點(diǎn)，0.01，0.03的全微分，并計(jì)算：的近似值.解：，函數(shù)在點(diǎn)（2,01，1，03）的全微分+0.0278=0.6944上面全微分的概念也可以推廣到多元函數(shù)上去：在點(diǎn)的全微分：例：計(jì)算=的全微分。注：在一元函數(shù)中，一階微分具有形式不變性，而高階微分不具有形式不變性，這一性質(zhì)對(duì)于多元函數(shù)是否成立呢？多元函數(shù)也具有一階全微分形式不變形，而高階全微分不具有形式不變性.作業(yè)：P177 9、10、11、16、154. 全可微的幾何意義（偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用）：一元函數(shù)在可微的幾何意義是：曲線在點(diǎn)存在切線斜率是：.那么二元函數(shù)，可微的幾何意義又是什么呢？（1）切平角

23、和法線：在空間解析幾何中知道：一個(gè)三元一次方程表示一個(gè)平面，而一個(gè)三元高次方程表示一個(gè)曲面S：.設(shè)空間有一個(gè)曲面S，其方程為，點(diǎn)是曲面S上一點(diǎn)，則曲面S可看成是過M點(diǎn)的無限條光滑曲線組成的，而每一條光滑曲線在點(diǎn)都有一條切線，過點(diǎn)也就有無限多條切線（由立體幾何知：）這無數(shù)條切線位于同一個(gè)平面，從而這無數(shù)條切線就構(gòu)成了一個(gè)平面，這個(gè)平面叫曲面S在點(diǎn)的切平面，過點(diǎn)而垂直于切平面的直線叫曲面S在點(diǎn)的法線，叫切點(diǎn).（2）定理：二元函數(shù)在點(diǎn)P0(x0,y0)可微平面：是曲面S：在的切平面.曲面S：在的切平面，且切平面的法向量是：.而這個(gè)法向量正好是法線的方向矢量，所以法線方程：注：（由必要性知：）函數(shù)在點(diǎn)

24、可微的幾何意義是：由面S：z=存在切平面，且切平面的法向量是：.這就為我們認(rèn)識(shí)全微分提供了一個(gè)很好的幾何模型.例如錐面在頂點(diǎn)不存在切平面，函數(shù)點(diǎn)（0,0,0）不可微.注：在解析幾何中知道：空間矢量與三個(gè)坐標(biāo)軸正向夾角;叫矢量的方向角。而方向角的余弦叫矢量的方向余弦.矢量的方向余弦也叫空間直線的方向余弦.由解析幾何知道：若，則 .例：求曲面在點(diǎn)M（2 1 4），的切平面、法線和法線的方向余弦。解：，切平面的法向量，切平面：法線： 又， ，.作業(yè)：P188：12， 15， 165. 復(fù)合函數(shù)的微分法下面我們來講多元函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的微分法：1、定理：若二元函數(shù)在點(diǎn)的鄰域存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)（可微）而，可

25、導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在地可導(dǎo)，且。定理的意思是：函數(shù)與所復(fù)合成的復(fù)合函數(shù)：的導(dǎo)數(shù)為：z對(duì)第一個(gè)中間變量的偏導(dǎo)乘以第一個(gè)中間變量對(duì)的導(dǎo)數(shù)，加上對(duì)第二個(gè)中間變量的偏導(dǎo)乘以第二個(gè)中間變量對(duì)t的導(dǎo)數(shù)。例：設(shè)，其中，計(jì)算解：，而，熟悉以后可以直接計(jì)算：討論：本題可不可以用一元函數(shù)的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：當(dāng)然對(duì)于一般情況而言，用一元函數(shù)的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，在計(jì)算上是很麻煩的。課堂作業(yè)：計(jì)算下列導(dǎo)數(shù)1、，（。2、，求注意：在函數(shù)中，本身含有自變量，這時(shí)，我們可以即把復(fù)合函數(shù)中含的自變量看成中間變量，這時(shí)該自變量相對(duì)于其它自變量而言是常數(shù)。即：復(fù)合函數(shù)是由函數(shù)是由與中間變量，復(fù)合成復(fù)合函數(shù)：）解：以后可以直接寫成：上面定理實(shí)際

26、上解決了復(fù)合函數(shù)是一元函數(shù)的求導(dǎo)問題，那么當(dāng)復(fù)合函數(shù)不是一元函數(shù)而是二元函數(shù)時(shí)怎么辦呢？例如：由，而，求。推論：若二元函數(shù)在點(diǎn)可微，在點(diǎn)存在偏導(dǎo)數(shù)，則； .例. 已知，而，求.解：+課堂作業(yè)：求下列偏導(dǎo)數(shù)：1、 其中，計(jì)算，2、求，求分析：這里，是自變量，若直接計(jì)算是比較困難的，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，可考慮復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法，這就要引進(jìn)適當(dāng)?shù)闹虚g變量。解：令，則是由，注：若函數(shù)的解析式中含有中間變量，同時(shí)還含有自變量時(shí)，要把解析式中的自變量也看成中間變量，而應(yīng)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：若在點(diǎn)（），而在點(diǎn)存在偏導(dǎo)數(shù)，則：例. 設(shè)求：解：令則函數(shù)由復(fù)合而成.（注上面求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，首先要搞清楚自變量是那兩個(gè)量，這兩個(gè)

27、自變量是獨(dú)立的，即：對(duì)求導(dǎo)把看成常數(shù)?。┱n堂作業(yè)：討論怎用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，計(jì)算下面偏導(dǎo)：（1） （2）（，是自變量，令）則. (當(dāng)變化時(shí)，t不變，相對(duì)于而言是常數(shù))2、則：當(dāng)中間變量的個(gè)數(shù)多于2時(shí)，并且滿足定理的條件，其結(jié)果類似：設(shè)在點(diǎn)可微，而在都存在偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)：在也存在關(guān)于s,t的偏導(dǎo),且：討論：如果中間音量有四個(gè)、五個(gè)等時(shí)，偏導(dǎo)數(shù)怎樣求例：設(shè)， ，求解：（對(duì)那個(gè)字母求導(dǎo)，就把這字母看成變量，其它字母看成常量）例：設(shè)解：令可看成是復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)）課作業(yè)：已知：求解：令，課作業(yè)：已知：求解：令，例：設(shè)其中，計(jì)算.分析：此題的函數(shù)與上面例子不同，函數(shù)本身含有自變量，同時(shí)還含有中間

28、變量，這時(shí)我們可以把數(shù)函中的自變量看成是中間變量，于是函數(shù)可看成是由中間變量，復(fù)合成的復(fù)合函數(shù)：。于是由復(fù)合涵數(shù)的微分法：.作業(yè)P174，2 (1) (3) (6) (7) (8)（用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則）；5、6、11、12五、方向?qū)?shù)在研究方向?qū)?shù)以前，先來看一看一元函數(shù)在導(dǎo)數(shù)的義意：在一元函數(shù)中我們把函數(shù)的改變量與自變量在的改變量之比：叫函數(shù)在的平均變化率，而把叫函數(shù)在的瞬時(shí)變化率，也叫在的導(dǎo)數(shù)。在的導(dǎo)數(shù)實(shí)際上就是函數(shù)的瞬時(shí)變化率。那么，這個(gè)瞬時(shí)變化率：的物理意義是什么呢？設(shè)表示質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程，（表路程，表時(shí)間），則表示質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻的瞬速率，瞬時(shí)速率不是瞬速度，速度有方向，當(dāng)時(shí)，把叫函數(shù)沿軸

29、正向的變化率，而在則表示質(zhì)點(diǎn)沿軸正、負(fù)向的速度.而函數(shù)的瞬時(shí)變化率的幾何意是什么呢？它表示曲線在點(diǎn)的切線的斜率為：。在二元（或多元）函數(shù)中，的偏導(dǎo)數(shù)的義意：實(shí)際上表示函數(shù)沿著軸（兩個(gè)）方向的改變量，（動(dòng)點(diǎn)P是從P0點(diǎn)出收沿軸方向變動(dòng)的）。實(shí)際上表示二元函數(shù)在沿平行于軸（兩個(gè)）方向的平均變化率，而偏導(dǎo)數(shù)則表示函數(shù)在點(diǎn)沿平行于軸兩個(gè)方向瞬時(shí)變化率，它的幾何意義，則表示交線，在點(diǎn)，的切線斜率。同樣，表示函數(shù)在P0點(diǎn)沿y軸方向的瞬時(shí)變化率，幾何義意是交線在點(diǎn)的切線斜率。但在物理、化學(xué)或其它斜研中，常常要研究函數(shù)在P0點(diǎn)沿任意方向的瞬時(shí)變化率，這就是我們下面要介紹的方向?qū)?shù)的概念。1、方向?qū)?shù)：設(shè)射線的

30、頂點(diǎn)為，給任一個(gè)改變量得到上任一點(diǎn)，用，則： （其中是射線的方向角）。定義1在以為頂點(diǎn)的射線上任取設(shè)，若極限存在，則稱此極限是函數(shù)在P0點(diǎn)沿射線的方向?qū)?shù)，記為或。即：/討論：1、方向?qū)?shù)，是不是沿射線方向的瞬時(shí)變化率？（）相當(dāng)于自變量的改變量，在沿射線方向的方向?qū)?shù)就是在點(diǎn)沿方向的瞬時(shí)變化率。討論2：偏導(dǎo)數(shù)是不是方向?qū)?shù)？偏導(dǎo)數(shù)實(shí)際上是特殊的方向?qū)?shù)，當(dāng)，偏導(dǎo)數(shù)（）就是在點(diǎn)沿軸平行的方向（兩個(gè)方向）的方向?qū)?shù)，（注方向?qū)?shù)只沿一個(gè)方向：射線的方向）反之，方向?qū)?shù)是偏導(dǎo)數(shù)沿任意方向的推廣。我們還可以把方向?qū)?shù)（二元函數(shù)）推廣到三元乃致多元函數(shù)上去：定義2，設(shè)是空間射線的頂點(diǎn)，在上任取一點(diǎn)，設(shè)，

31、若極限：存在，則稱此極限值叫函數(shù)在P0點(diǎn)設(shè)沿射線的方向?qū)?shù)，記為或，即：。同樣：三元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和方向?qū)?shù)之間的關(guān)系是：分別表示函數(shù)沿平行軸方向的方向?qū)?shù)；而在沿任意方向的方向?qū)?shù)實(shí)際上是偏導(dǎo)數(shù)沿任意方向的推廣。注：方向?qū)?shù)實(shí)質(zhì)上是函數(shù)在點(diǎn)P0關(guān)于任意方向的改變量：與之比的極限：（其中：）這概念還可以推廣到多元函數(shù)上去介紹了方向?qū)?shù)的概念后，下面我們來研究一下方向?qū)?shù)存在的條件。下面以三元函數(shù)為例介紹方向?qū)?shù)存在的條件。Th5，若函數(shù)在點(diǎn)可微，則函數(shù)在點(diǎn)沿任意射線的方向?qū)?shù)都存在，且.（其中：是射線的方向余弦.）注：Th5告訴我們?cè)邳c(diǎn)沿任意方向的方向?qū)?shù)存在的充分條件是：在可微，而且進(jìn)一步指出

32、了方向?qū)?shù)可由偏導(dǎo)數(shù)表示出來：證明：（分析：由在可微能得出什么結(jié)論：在點(diǎn)的全改變量）=，那么怎樣由此等式結(jié)論：，將等兩邊同除證明：在可微，全改變量。有存在.討論：我們用表示射線在點(diǎn)關(guān)于射線反向的方向?qū)?shù)，那么，是否存在，如果存在（存在，與的方向余弦只是一個(gè)頁號(hào)，）討論：用分別表示在點(diǎn)軸正方和負(fù)向的方向?qū)?shù)，則：在存在偏導(dǎo)數(shù)的充要條件：最后我們指出Th的條件只是充分的，而不是必要的：即：若在點(diǎn)不可微，則在沿任意線射的方向?qū)?shù)可能存在.例：證明：函數(shù)在點(diǎn)（0,0）不可微，但沿任意射線的方向?qū)?shù)都存在.證明（欲證在（0,0）不可微，只須證明在（0,0）不存在兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)），當(dāng)時(shí)，不存在，在（0,0）不

33、存在關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)，同理也不存在關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)。在（0,0）不可微。又設(shè)點(diǎn)（0,0）沿任意射線的方向余弦是，在上任取一點(diǎn)0+,0+，所以，存在.作業(yè)：P177,6P188： 13, 14§10.3 二元函數(shù)的泰勒公式一、高階偏導(dǎo)數(shù)：前面我們看到二元函數(shù)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍是二元函數(shù)，例如. 于是我們又可對(duì)偏導(dǎo)數(shù)在求導(dǎo)。把對(duì)的關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)記為或,即：，同樣有：fxy(x1y)()討論：或；或表什么意思？把函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，fyx(x1y)，叫函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)。（其中fxy與fyx叫混）。討論1：怎樣寫出函數(shù)在點(diǎn)的二階偏導(dǎo)數(shù)的定義？討論2：二階混合偏導(dǎo)數(shù)fxy與fyx是對(duì)自度量x、y的不

34、同順序的求偏導(dǎo)，它們是否根等呢？（看下列例子）例：已知f(x1y)= 證明.證明：，當(dāng)時(shí), =同理:=. 于是：兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)是關(guān)于不同順序的求偏導(dǎo)，它們不一定相等。那么兩個(gè)混合偏導(dǎo)在什么條件下才相等呢？定理：若二元出函在區(qū)域D存在二階混合偏導(dǎo)數(shù)且它們?cè)邳c(diǎn)連續(xù)，則此定理告訴我們二階混合偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)的條件下就相等。因二階偏導(dǎo)數(shù)是偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，求二階偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，只須對(duì)一階偏導(dǎo)數(shù)再求偏導(dǎo)就可以了。例：的二階偏導(dǎo)數(shù)解：，課堂作業(yè)，求二階偏導(dǎo)數(shù)：（1） (按課堂作業(yè)（2），見后面)1.已知：.2. 設(shè).解：令，則，所以;課堂作業(yè)：求（）課堂作業(yè)：例. 設(shè)令：，則：，例一，證明：若，則：分析：實(shí)際上是證明

35、 是偏微方程的解。這只須把三個(gè)二階導(dǎo)數(shù)求出即可。證明：P168例2已知：=-，= ,=-，代入方程左邊得：補(bǔ)充作業(yè)：1、證明：滿足微分方程：2、設(shè)，求：，3、設(shè)， , ,求 、.4. 設(shè)，證明：二.二元函數(shù)的中值定理與二元函數(shù)的泰勒公式1. 二元函數(shù)的中值定理：若函數(shù)f（x、y）在點(diǎn)P0（xo、yo）的鄰域G存在兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，則全改變量：其中，這個(gè)定理叫二元函數(shù)的中值定理.在上冊(cè)我曾介紹了一元函數(shù)y=f(x)的泰勒公式：若在a的鄰域存在n+1階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有：（0），令a=0，就得到了f（x）在a點(diǎn)的麥克勞林公式.把這個(gè)定理推廣到二函數(shù)上去就是下面的二元函數(shù)的泰勒公式.2.（P163）定理2：若

36、函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)P（a，b）的鄰域存在n+1階的導(dǎo)數(shù)，則有+.其中符號(hào)（在點(diǎn)P（a，b）的值.當(dāng)點(diǎn)P（a，b）=（0，0）時(shí)，就是麥克勞林公式：f（h，k）=f（0，0）+ （想一想：令h=x，k=y公式的形式怎樣？）.二元函數(shù)的泰勒公式中，當(dāng)n=0時(shí)，有：f（a+h，b+k）=f（a，b）+k. 這就是我們前面介紹二元函數(shù)的中值定理另一種形式.2. 二元函數(shù)的極值：上冊(cè)學(xué)習(xí)了一元函數(shù)的極值，把一元函數(shù)的極值推廣到二元函數(shù)上，就是下面所研究的二元函數(shù)的極值.（1）定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的鄰域有有定義：，若稱是函數(shù)的一個(gè)極大值，并把點(diǎn)叫函數(shù)的一個(gè)極大值；若稱是函數(shù)的一個(gè)極大值，并把點(diǎn)叫函數(shù)的一個(gè)極

37、大值點(diǎn)；（2）穩(wěn)定點(diǎn)定義：把方程組的解所確定的點(diǎn)叫函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn).（3）定理：設(shè)點(diǎn)是函數(shù)的極值點(diǎn)，則.注：本定理說明：極值點(diǎn)必是穩(wěn)定點(diǎn)，但反之不然.（4）極值的充分判別法：設(shè)函數(shù)有穩(wěn)定點(diǎn)，且在的某鄰域存在二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).令,則： 若，則是函數(shù)的極值點(diǎn)，且若，則不是函數(shù)的極值點(diǎn)，若，則可能是，也可能不是函數(shù)的極值點(diǎn).例1. 求函數(shù)的極值.解：因?yàn)榻獾梅€(wěn)定點(diǎn)：, (為了計(jì)算，先求二階偏導(dǎo)數(shù))， A或C不去極值不去極值不去極值極大值所以是極大值點(diǎn)，極大值為.（4）二元函數(shù)的最值：設(shè)函數(shù)在區(qū)域有定義， (或)，則稱是函數(shù)在區(qū)域的最大值（或最小值），稱其最大值點(diǎn)（最小值點(diǎn)）.注：最值可能在區(qū)域部取得，也可

38、能在區(qū)域邊界取得，所以必須把區(qū)域部的全體極值和邊界的全體最值求出來，加以比較方可得到函數(shù)在區(qū)域的最值.例2. 求函數(shù)的最值.解：（先求定義域）函數(shù)的定義域，得穩(wěn)定點(diǎn)，而邊界，（因?yàn)槭浅?shù)，所以可以看成是最大值，也可看成是最小值）所以：，所以函數(shù)的最小值是0，最大值是注：在一些實(shí)際問題中，可以根據(jù)實(shí)際意義判別函數(shù)的最值：若函數(shù)有最大值（或最小值），且在區(qū)域只有唯一的穩(wěn)定點(diǎn)，則這個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)必是最值點(diǎn).例. 用鋼板制造容積為的無蓋長(zhǎng)方形水箱. 問水箱的長(zhǎng)、寬、高各為多少時(shí)，水箱的容積最大？分析：設(shè)水箱的長(zhǎng)、寬、高各為； 鋼板最省表面積最小，所以：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化為：各為多少時(shí)，表面積最小. 這關(guān)鍵是找出：和的

39、函數(shù)關(guān)系.解：設(shè)水箱的長(zhǎng)、寬、高各為表面積為，則（想辦法化為二元函數(shù)-？）代之有： 得：函數(shù)在區(qū)域有唯一穩(wěn)定點(diǎn)，又因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)域有最小值，所以唯一穩(wěn)定點(diǎn)就是其最小值點(diǎn)，此時(shí). 所以當(dāng)：長(zhǎng)寬，高時(shí)鋼板最省.例3. 設(shè)有半徑為的圓的接三角形，問怎樣的接三角形有最大面積？分析：設(shè)面積為，三個(gè)中心角為.因?yàn)?#183;的形狀由三個(gè)中心角為唯一確定，所以問題就轉(zhuǎn)化為為多少時(shí)，面積最大.解：設(shè)三邊所對(duì)的中心角為:, 面積為. ，定義域?yàn)椋海驗(yàn)楹瘮?shù)在區(qū)域只有唯一穩(wěn)定點(diǎn)，又因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)域有最大值，所以唯一穩(wěn)定點(diǎn)就是的最大值點(diǎn)，當(dāng),最大，這時(shí)三角形為等邊三角形. 作業(yè)： P210：12.：（1）（3）（4）、

40、13.、14、11.第十一章 隱函數(shù)存在定理§11.1 隱函數(shù)的存在性隱函數(shù)的概念: 在上冊(cè)P177我們已經(jīng)介紹過，一個(gè)二元方程F(x，y)0在一定條件下可以確定一個(gè)函數(shù)，把由方程F(x，y)=0所確定的函數(shù)叫隱數(shù)。如果用代數(shù)的方法將由方程F(x，y)=0所確定的隱函數(shù)表為：例如：由，可解得：，這樣就把由方程所確定的隱函數(shù)表示成了顯函數(shù)，并且這樣的隱函數(shù)都是初等函數(shù).例：求由方程所確定的隱函數(shù).實(shí)際上，由一個(gè)方程組也可以確定一個(gè)隱函數(shù)組，例如： 在的條件下就確定一個(gè)隱函數(shù)組： 一般地一個(gè)元個(gè)方程組成的方程組，在一定的條件也可以確定一個(gè)個(gè)函數(shù)組成的隱函數(shù)組.現(xiàn)在我們提出一個(gè)問題：怎樣來

41、研究隱函數(shù)（或者隱函數(shù)組）的分析性質(zhì)？（即：連續(xù)、可微、可導(dǎo)性）顯然如果能把隱函數(shù)表成顯函數(shù)，則隱函數(shù)的分析性質(zhì)就可以轉(zhuǎn)化成顯函數(shù)來研究，但絕大多數(shù)隱函數(shù)都不是初等函數(shù)，從而不能用代數(shù)的辦法解出來。例如：在原點(diǎn)（0,0）的某鄰域確定一個(gè)隱函數(shù)，但卻不能把此隱函數(shù)表成顯函數(shù)的形式.那么怎樣來研究由方程，所確定的隱函數(shù)的分析性質(zhì)呢？這就是下面我們要的隱函數(shù)存在定理.1. 由一個(gè)二元方程確定的隱函數(shù)存在性定理：（1）隱函數(shù)存在定理1：若函數(shù)在以點(diǎn)P(x0，y0)為心的矩形區(qū)域D滿足下列條件：1）2）3）.則：）隱函數(shù),使, ,且).討論：定理結(jié)論中的）) )說明什么?例:驗(yàn)證方程在原點(diǎn)(0,0)的某

42、鄰域確定了唯一的隱函數(shù)并求.解:,在點(diǎn)(0,0)為中心的矩形鄰域連續(xù); 2) F(0,0)，3) 由定理1: 在的鄰域，而注:求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí),可以將方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo),求導(dǎo)時(shí)要把隱函數(shù)看成中間變量應(yīng)用復(fù)合函授的求導(dǎo)法則進(jìn)行計(jì)算.解: 兩邊對(duì)求導(dǎo): y+xy, .例: 驗(yàn)證方程 在點(diǎn)(1,0)某鄰域確定隱函數(shù)解:令 ，= ，在點(diǎn)(1,0) 某鄰域D連續(xù). 2) F(1,0), 3) 所以由方程在點(diǎn)鄰域(1-確定隱函數(shù) 且)注: 以后當(dāng)題目沒要求時(shí),可以不驗(yàn)證,而直接求導(dǎo).例: 求由方程所確定的曲線在點(diǎn)的切線和法線. 解：， 切線：2.定理2（書P205）：若函數(shù)在點(diǎn)為中心的矩形鄰域滿足條件:

43、). )=0 ),則在點(diǎn) 的鄰域存在唯一一個(gè)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù) 且注:上面定理2就是定理1推廣到元隱函數(shù)的情形, 應(yīng)用定理2時(shí),關(guān)鍵要搞清楚那一個(gè)變量是隱函數(shù).例: 求由方程所確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).解: 令 ,=注: 在求多元隱函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)時(shí),也可將方程兩邊同對(duì)自變量求偏導(dǎo)數(shù), 求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)只須把隱函數(shù)看成中間變量,應(yīng)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則計(jì)算即可.解: 將方程兩邊對(duì)求偏導(dǎo):cosz , .作業(yè): P216: 1. 2. 3. §11.1隱函數(shù)的存在性在上新課之前,我們先來復(fù)習(xí)一下變換的概念: 設(shè),則把A到R的一個(gè)映射:叫A到R的一個(gè)變換,也叫定義在A上關(guān)于的一個(gè)函數(shù)記為 ,所以A上的一

44、個(gè)函數(shù)就是A到R的一個(gè)變換.同樣,二函數(shù)就是二維空間的子集A(A到R的一個(gè)變換.元函數(shù) 就是維空間的子集A到R的一個(gè)變換.也可以把這個(gè)概念推廣到函數(shù)組上去就是維空間的子集A到二維空間的一個(gè)變換.而函數(shù)組, 就是維空間到維空間的一個(gè)變換,它把的點(diǎn)變換到了中.1.函數(shù)行列式(雅可比行列式): 設(shè)有個(gè)元函數(shù)組成的元函數(shù)組: (1)特點(diǎn)與記憶方法.式記為: (, 若(I=1,2,; j=1,2,n)都存在, 則稱行列式: 叫函數(shù)組(1) (的函數(shù)行列式記為: (或)=, 請(qǐng)大家觀察一下函數(shù)行列式的結(jié)構(gòu) 當(dāng)然函數(shù)行列式的結(jié)果還是一個(gè)函數(shù),且當(dāng)動(dòng)點(diǎn)為一個(gè)已知點(diǎn)時(shí), 函數(shù)行列式:=的結(jié)果就是一個(gè)數(shù).例: 求

45、函數(shù)組的的函數(shù)行列式與 解: =2z(-3=前面我們介紹了由一個(gè)n+1元的方程可以確定一個(gè)元函數(shù):,其實(shí)由一個(gè)方程組也可以確定一個(gè)隱函數(shù)組，那么這個(gè)隱函數(shù)組的連續(xù)性與可導(dǎo)性怎樣呢？下面就來討論這一個(gè)問題. 首先討論四元方程組的情況：定理3: 設(shè)有四元方程組: 若函數(shù)在點(diǎn))的G鄰域滿足下列條件:1）函數(shù)與的所有偏導(dǎo)數(shù)在G連續(xù)(從而與也連續(xù)).2）； 3）行列式則存在點(diǎn)的鄰域V, 在V存在唯一一組有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)組: 且 討論: 1)樣判別隱函數(shù)是哪兩個(gè)變量( 確定隱函數(shù))2)定理有幾個(gè)條件,有幾個(gè)結(jié)論.3)在這個(gè)隱函數(shù)組之下,把平面上的點(diǎn)映射到了平面的點(diǎn).本定理僅告訴了我們隱函數(shù)組的存在性,

46、那么怎么來求隱函數(shù)組的偏導(dǎo)數(shù)呢? 只須對(duì)方程組兩邊對(duì)自變量求偏導(dǎo),而把隱函數(shù)看成中間變量即可.（參看書225頁） ，實(shí)際上在解題中可以不用公式，而直接計(jì)算，計(jì)算時(shí)只須把隱函數(shù)看成中間變量應(yīng)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則即可.例: 驗(yàn)證方程組，在點(diǎn)的鄰域滿足定理3的條件，從而在點(diǎn)某鄰域存在唯一一組有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)組，并求.解：（為了驗(yàn)證定理3條件成立，先求偏導(dǎo)），在點(diǎn):的某鄰域連續(xù)；， ，所以由定理3得：在點(diǎn)某鄰域存在唯一一組有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)組，（將方程組兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，求導(dǎo)時(shí)把隱函數(shù)看成中間變量，應(yīng)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則計(jì)算）將方程組兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)例: 驗(yàn)證方程組, 在點(diǎn)的鄰域滿足定理的條件,在點(diǎn)的鄰

47、域存在唯一一組有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)組與并求. 分析：方程組所確定的隱函數(shù)組是一個(gè)一元函數(shù)，所以用導(dǎo)數(shù)符號(hào).解: =2z 在點(diǎn)(1,-2,1)的鄰域連續(xù), 且， 方程組在點(diǎn)的鄰域存在唯一一個(gè)有偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)組:. 作業(yè): 書229頁 5. 8.2. 函數(shù)函數(shù)行列式的性質(zhì)前面我們介紹了函數(shù)行列式的概念：)，下面介紹函數(shù)行列式的性質(zhì).我們看到一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性態(tài)時(shí)具有重要作用，而雅可比行列式在研究函數(shù)組時(shí)也有類似的作用.在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則中：若，則復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)：，類似的：2. 定理1 若函數(shù)組 有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而也有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則：.即：復(fù)合函數(shù)組對(duì)自變量組的雅可比等于函數(shù)組對(duì)對(duì)中間變

48、量的雅可比乘以中間變量對(duì)自變量的雅可比.在反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于它直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)：，類似的:3. 定理2： 設(shè) 有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，則反函數(shù)組 也有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且.4. 函數(shù)函數(shù)行列式的幾何性質(zhì)一元函數(shù)實(shí)際上是的一個(gè)變換：取，給一個(gè)改變量，相應(yīng)的象點(diǎn)也有一個(gè)改變量把線段之比叫映射在到的平均伸縮系數(shù)（變化率）.若極限存在，則稱此極限值叫映射在點(diǎn)的伸縮系數(shù)，（即：導(dǎo)數(shù)值的絕對(duì)值：叫映射在點(diǎn)的伸縮系數(shù)）這就是導(dǎo)數(shù)的幾何本質(zhì). 對(duì)于二元函數(shù)的雅可比也有類似的意義.··設(shè)二元函數(shù)組 在開區(qū)域有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，這個(gè)函數(shù)組是的一個(gè)變換，平面的開區(qū)域點(diǎn)：今： 以為一個(gè)定點(diǎn)作邊長(zhǎng)為的微正方形，其

49、面積為，稱為平面上的面積微元，變換把平面上的開區(qū)域中點(diǎn)變換到，平面上的開區(qū)域中點(diǎn)，在變換之下：（是對(duì)應(yīng)的上的面積微元），那么在該變換之下回答是否定的！實(shí)際上：在變換之下：，其形狀和大小都要發(fā)生改變. 但他們的面積微元之比則為一個(gè)常數(shù),等于：，即：這就是雅可比的幾何意義.函數(shù)函數(shù)行列式的幾何意義：在變換之下，平面上的面積微元與平面上的面積微元之比為，即：5. 條件極值：前面學(xué)習(xí)的函數(shù)的極值，是指與是互相獨(dú)立的(與沒有關(guān)系)，沒有什么條件限制. 例如函數(shù)的極值是指與沒有任何條件限制.下面來看一個(gè)問題：例3. 設(shè)有半徑為的圓的接三角形，問當(dāng)接三角形的面積最大？設(shè)面積為，三個(gè)中心角為.則，顯然三個(gè)自變

50、量之間是有條件限制的： （它們不是獨(dú)立的?。?1) 條件極值的概念：函數(shù)在一組條件限制之下：（） 的極值叫條件極值.，其中方程組（1）叫限制條件（或約束條件）.當(dāng)限制條件比較簡(jiǎn)單時(shí)，可以把條件極值轉(zhuǎn)化為無條件極值計(jì)算：代入函數(shù)：，這樣就把求條件極值的問題轉(zhuǎn)化成了求無條件極值問題了. 但在一般情況下是無法把條件極值轉(zhuǎn)化為普通極值計(jì)算的，所以有必要研究條件極值的計(jì)算方法.（2）拉格朗日乘數(shù)法則：設(shè)函數(shù)，在區(qū)域存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則，在限制條件之下（） 的條件極值點(diǎn)必是方程組：，（即：）的所確定的點(diǎn). 其中+（叫拉格朗日函數(shù)）注：上面定理：指出函數(shù)在限制條件（）之下條件極值點(diǎn)全部包含于方程組的解所確定的

51、點(diǎn)（即包含于拉格朗日函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)）.這實(shí)際指出了求條件極值點(diǎn)的方法：只需把拉格朗日函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)求出來，再逐個(gè)加以判別即可求出函數(shù)的全部條件極值點(diǎn).例3. 設(shè)有半徑為的圓的接三角形，問怎樣的接三角形有最大面積？解：設(shè)三邊所對(duì)的中心角為:, 面積為. ，且，得;拉格朗日函數(shù)：所以： ，由得所以：，由實(shí)際意義有最大值，所以點(diǎn)是函數(shù)的最大值點(diǎn). 所以當(dāng)時(shí)，即為等邊三角形時(shí)，其面積最大.··討論：求條件極值分幾步？（三步：構(gòu)造拉格朗日函數(shù)；求拉格朗日函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)；求函數(shù)的極值點(diǎn).）課堂作業(yè)：例. 求拋物線與直線之間的距離.分析：其距離是指：拋物線與直線上任意兩點(diǎn)的距離的最小值.解：在拋物線和直線上各任取一點(diǎn)與，令（問題就是要求的最小值?。┰O(shè)且， 設(shè)，則：，. 解該方程組得：，所以函數(shù)在點(diǎn)取最小值：.例. 證明不定式：.分析：設(shè)，則不定式為，所以問題就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在條件之下的最小值是.解：設(shè)， ，設(shè)，解方程組 ，的穩(wěn)定點(diǎn)因?yàn)楹瘮?shù)定義域是閉三角形因?yàn)樵谶吔绾蜕系闹担?，所以函?shù)在取最小值，所以.隱函數(shù)存在Th在幾何上的應(yīng)用一. 空間曲線的切線與法平面首先復(fù)習(xí)一下空間切線的兩點(diǎn)式，設(shè)空間曲線L上有兩已知點(diǎn)P1(x1，y1，z1)與P2(x2，y2，z2)（P1P2），則L的方程：或，其中T（a，b，c）3是直線的方向矢量。下面我們來