均勻傳輸線方程的正弦穩(wěn)態(tài)解

1、§14.3 均勻傳輸線方程的正弦穩(wěn)態(tài)解14.3.1 傳輸線上的電壓（電流）相量本節(jié)主要研究當(dāng)傳輸線的始端接正弦激勵源時電路的穩(wěn)態(tài)分析。在前面第七章的中研究過集總參數(shù)電路的正弦穩(wěn)態(tài)情況。對于集總參數(shù)電路而言，當(dāng)激勵源為正弦信號時，電路中的任一電壓和電流應(yīng)為和激勵源同頻率的正弦量。對于本章中所研究的分布參數(shù)電路，當(dāng)傳輸線的始端接正弦電源時，雖然傳輸線上的電壓、電流和距離有關(guān)，但仍為和激勵源同頻率的正弦時間函數(shù)，這一點和集總參數(shù)電路是相同的。在第七章中，使用了相量法分析電路的正弦穩(wěn)態(tài)情況以簡化計算，這一方法仍可用于分布參數(shù)電路的正弦穩(wěn)態(tài)分析中。根據(jù)相量法的基本思想，先應(yīng)將待求量用其相量表示

2、出來。現(xiàn)在的待求量是和，根據(jù)相量法的基本思想，其相量應(yīng)表示如下 （14-2）其中、分別為、的相量，是的函數(shù)。這一點和第七章所涉及的相量是有區(qū)別的。為方便，將、簡寫為、。將式（14-2）代入式（14-1）中，可得含待求相量的方程為 （14-3）其中為單位長度的阻抗，為單位長度的導(dǎo)納。因為、僅為的函數(shù)，所以偏導(dǎo)數(shù)變?yōu)槿珜?dǎo)數(shù)。為方便求解，對式（14-3）兩端再取一次的導(dǎo)數(shù)得將式（14-3）中的和的表達(dá)式代入上式的右端，可得其中，是一個沒有單位的復(fù)數(shù)，稱為均勻傳輸線的傳播常數(shù)。上式是兩個線性常系數(shù)的微分方程，故其解的形式應(yīng)為其中、為待定的系數(shù)，但這四個系數(shù)不是獨立的，因為根據(jù)式（14-3）有令，可見和

3、、和的關(guān)系為，故電流又可寫為式中是一個復(fù)數(shù)，有阻抗的單位，稱為傳輸線的特性阻抗。特性阻抗和前面談到的傳播常數(shù)是兩個很重要的概念，后面會用來表征均勻傳輸線的主要特性。綜上所述，要求解和，可先解出其相量和，其表達(dá)式為 （14-4）式中的、統(tǒng)稱為均勻傳輸線的副參數(shù)，在已知均勻傳輸線的原參數(shù)后即可求出兩者的值，所以只要求出待定系數(shù)、后就可以寫出、的表達(dá)式了。、可通過兩種方法求得。圖14-8 均勻傳輸線電路（1）根據(jù)始端條件待定。設(shè)已知始端的電壓和電流分別為和，參考方向如圖14-8所示。因為始端是傳輸線上的位置，所以將代入式（14-4）中有從上面的方程中可解得待定系數(shù)、為代入式（14-4）中有 （14-

4、5）式（14-5）就是均勻傳輸線方程的正弦穩(wěn)態(tài)解。為方便表示，利用雙曲函數(shù)式（14-5）又可寫為 （14-6）（2）根據(jù)終端條件待定。設(shè)已知終端處的電壓和電流分別為、，參考方向如圖14-8所示。因為終端是傳輸線上（為線長）的位置，所以將代入式（14-4）中，有從上式中可解得代入式（14-4）中可得均勻傳輸線方程的正弦穩(wěn)態(tài)解的另一種表達(dá)式為因為代表的是線上一點到始端的距離，代表線長，所以代表的就是線上一點到終端處的距離。令，則上式又可寫為 （14-7）注意式中的指的是到終端的距離。利用雙曲函數(shù)，式（14-7）又可表示為 （14-8）可見，只要始端或終端的條件任意知道一個，就可以求出待定系數(shù)、，從

5、而求得傳輸線的電壓相量和電流相量。在使用式（14-5）和（14-7）計算時，請?zhí)貏e這兩個表達(dá)式之間的異同。14.3.2 傳輸線上的電壓（電流）的時域表達(dá)式在求得傳輸線上的電壓和電流相量后，即可根據(jù)相量和正弦量的關(guān)系寫出傳輸線上的電壓和電流的時域表達(dá)式和了。為方便后面討論，將式（14-4）寫成如下兩個分量之和其中，由于、均為復(fù)數(shù)，為方便寫出和的時域表達(dá)式，分別將、用復(fù)數(shù)的代數(shù)式或極坐標(biāo)式表示如下則各電壓、電流分量可表示為由上式可寫出傳輸線上的電壓和電流的時域表達(dá)式為可見，傳輸線上的電壓和電流均由兩個分量疊加得到，每個分量均是、的二元函數(shù)。下面來研究電壓和電流的表達(dá)式中的兩個分量的物理意義。14.

6、3.3 均勻傳輸線中的行波對于分量，由波動學(xué)的知識可知，這是一個以速度從始端向終端傳播的衰減的正弦波。圖14-9（a）作出了三個不同時刻的沿線分布的情況。對于分量，這是一個以速度從終端向始端傳播的衰減的正弦波。圖14-9（b）作出了三個不同時刻的沿線分布的情況。根據(jù)其傳播方向，通常將稱為電壓的正向行波或入射波，稱為電壓的反向行波或反射波。傳輸線上的電壓就可以看作是由這兩個傳播方向相反的衰減正弦波疊加而成的。注意，此時、和這三者的參考方向是相同的。如圖14-9（c）所示。t 1t 2t 3t1<t2<t3ou-(a)ot 1t 2t 3t1<t2<t3（b）(c)圖14-

7、9 均勻傳輸線的傳播同理，電流分量是以速度從始端向終端傳播的衰減的正向行波（入射波），是以速度從終端向始端傳播的反向行波（反射波），傳輸線上的電流就可以看成是這兩個傳播方向相反的正弦波疊加而成。注意，此時和的參考方向相同，和的方向相反。如圖14-9（c）所示。將傳輸線上的電壓（電流）看成是由入射波和反射波疊加而成的是有其原因的。入射波是從始端向終端傳播的，反映著電源向負(fù)載供給能量的情況；反射波是從終端往始端傳播的，反映著負(fù)載將能量返送回電源的情況。從上面的分析可以看出，均勻傳輸線上的電壓（電流）的入射波和反射波的振幅沿其傳播方向都是衰減的，其衰減的原因可以從能量的角度加以解釋。因為振幅的大小代

8、表了正弦波的能量，正弦波在均勻傳輸線上傳播時，其能量會被傳輸線的電阻和電導(dǎo)消耗，正弦波傳播的距離越遠(yuǎn)，其能量就被消耗的越多，故入射波和反射波的振幅都會隨著傳播距離的增加而逐漸衰減。14.3.4 反射系數(shù)及匹配的概念終端處的反射系數(shù)為該處反射波與入射波電壓相量或電流相量之比，即反射系數(shù)是一個復(fù)數(shù)，由式（14-7）可知，可見，時，此時傳輸線中只有入射波，沒有反射波，這種情況稱為終端阻抗和傳輸線阻抗相匹配。對通信線路和信號接收設(shè)備而言，均要求匹配，避免反射。當(dāng)傳輸線的終端開路（）或短路（）時，即，此時稱終端處產(chǎn)生了全反射。從能量的角度很容易解釋產(chǎn)生全反射的原因，入射波行進(jìn)到終端后，因為終端處沒有可以

9、消耗能量的元件，所以終端處的入射波和反射波是等幅的。§14.4 均勻傳輸線的原參數(shù)和副參數(shù)14.4.1 研究的問題在前面談到， 、稱為均勻傳輸線的原參數(shù)，傳播常數(shù)和特性阻抗就稱為均勻傳輸線的副參數(shù)。在本節(jié)中，主要研究當(dāng)原參數(shù)和激勵源的角頻率發(fā)生變化時副參數(shù)的變化情況，并結(jié)合上一節(jié)中傳輸線上電壓和電流的表達(dá)式討論副參數(shù)的變化對傳輸線上的電壓和電流的影響。14.4.2 均勻傳輸線的傳播常數(shù)1. 和原參數(shù)及的關(guān)系根據(jù)的定義可得 （14-9）從上面的表達(dá)式可以看出，、都和激勵源的角頻率有關(guān)，它們隨的變化情況如圖14-10所示。從圖中可看出，當(dāng)很高時，近似為一常數(shù)；為的增函數(shù)，當(dāng)很高時，隨近似

10、成正比增加，此時。圖14-10 和的頻率特性2的變化對傳輸線上電壓和電流的影響為方便討論，將上一小節(jié)解得的傳輸線上的電壓和電流的表達(dá)式重寫于下式中（）因子的衰減速度決定了電壓（電流）行波衰減的快慢程度，而（）因子的衰減速度又取決于的實部。越大，（）的衰減速度就越快，相應(yīng)的，電壓（電流）的行波衰減程度就越快，即是說在相同的傳播距離內(nèi)，消耗在傳輸線上的能量就越多。故也稱為衰減常數(shù)。由于行波的速度，波長，可見，的虛部的大小影響著行波的速度和波長。也稱為相位常數(shù)。3. 無畸變線根據(jù)傅立葉變換的基本知識，一個非正弦的周期信號可看成是一系列頻率不同的諧波（正弦波）分量合成的。當(dāng)一個非正弦周期信號沿均勻傳輸

11、線傳播從始端向終端傳播時，由于各諧波分量的角頻率不同，故對于各諧波分量而言，衰減常數(shù)和相位常數(shù)也是不相同的，所以各諧波分量在傳輸線上傳播時，其衰減程度和傳播速度都不盡相同，這就導(dǎo)致這些分量傳播到終端后合成的信號和始端信號在波形上產(chǎn)生差異，也稱信號在傳輸過程中產(chǎn)生了畸變。從上面的分析可以看出，若要求非正弦信號沿傳輸線傳播時無畸變，則非正弦信號的各次諧波分量在傳播過程中發(fā)生同樣程度的衰減且以相同的速度傳播?？紤]到衰減程度和有關(guān)，而傳播速度取決于的值，故無畸變的條件就是要求為常數(shù)且和成正比。滿足無畸變條件的傳輸線就稱為無畸變線。當(dāng)傳輸線的原參數(shù)滿足條件時，由式（14-9）可得，此時和滿足無畸變條件，傳輸線為無畸變線，故常常也將稱為傳輸線無畸變的條件。另外，當(dāng)信號的角頻率很高時，從圖14-10中可見，和近似滿足無畸變條件，此時傳輸線也接近于無畸變線。14.