2015年荊楚理工學院普通專升本數(shù)學分析考試大綱

1、2015年荊楚理工學院普通專升本數(shù)學分析考試大綱一、課程名稱：數(shù)學分析二、適用專業(yè)：數(shù)學與應用數(shù)學三、考試方法：閉卷考試四、考試時間：100分鐘五、試卷結構：總分：150分，選擇題30分，填空題30分，計算題50分，證明題40分。六、參考書目： 1、華東師范大學數(shù)學系編著，數(shù)學分析（上、下冊），高等教育出版社，2010年第4版。2、中國科學技術大學常庚哲史濟懷編著，數(shù)學分析教程（上、下冊），高等教育出版社，2003年第1版。七、考試的基本要求：數(shù)學分析是數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)專升本入學考試中專業(yè)課考試內容，考生應理解和掌握數(shù)學分析中函數(shù)、極限、連續(xù)、微分學、積分學和級數(shù)的基本概念、基本理論、基本方

2、法。應具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力和空間想象能力，能運用所學知識正確拙推理證明，準確、簡捷地計算。能綜合運用數(shù)學分析中的基本理論、基本方法分析和解決實際問題。八、考試范圍第一章實數(shù)集與函數(shù)（一）考核內容實數(shù)及其性質，絕對值與不等式。區(qū)間與鄰域，有界集與確界原理。函數(shù)概念，函數(shù)的表示法。函數(shù)的四則運算，復合函數(shù)，反函數(shù)，初等函數(shù)。具有某些特性的函數(shù)：有界函數(shù)、單調函數(shù)、 奇函數(shù)與偶函數(shù)、周期函數(shù)。（二）考核知識點1、實數(shù)：實數(shù)的概念，實數(shù)的性質，絕對值與不等式；2、數(shù)集、確界原理：區(qū)間與鄰域，有界集與無界集，上確界與下確界，確界原理；3、函數(shù)概念：函數(shù)的定義，函數(shù)的表示法（解析法、列

3、表法、和圖象法 ），分段函數(shù)；4、具有某些特征的函數(shù)：有界函數(shù)，單調函數(shù)，奇函數(shù)與偶函數(shù)，周期函數(shù)。（三）考核要求1、了解實數(shù)域及性質；2、掌握幾種不等式及應用；3、熟練掌握數(shù)域，上確界，下確界，確界原理；4、牢固掌握函數(shù)復合、基本初等函數(shù)、初等函數(shù)及某些特性（單調性、周期性、奇偶性、 有界性等）。第二章數(shù)列極限（一）考核內容數(shù)列。數(shù)列極限的定義，無窮小數(shù)列。收斂數(shù)列性質：唯一性、有界性、保號性、不等式性 質、迫斂性、四則運算法則。子列及子列定理。數(shù)列極限存在的條件：數(shù)列極限的單調有界 定理、柯西收斂準則。（二）考核知識點1、極限概念；2、收斂數(shù)列的性質：唯一性，有界性，保號性，單調性；3、數(shù)

4、列極限存在的條件：單調有界準則，迫斂性法則，柯西準則。（三）考核要求1、熟練掌握數(shù)列極限定義；2、掌握收斂數(shù)列的若干性質；3、掌握數(shù)列收斂的條件（單調有界原理、迫斂法則、柯西準則等） 。第三章函數(shù)極限（一）考核內容求函數(shù)的極限，單側極限。函數(shù)極限的性質：唯一性、局部有界性、局部保號性、不等式性質、迫斂性和四則運算法則。函數(shù)極限存在的條件：歸結原則、函數(shù)極限的單調有界定理和柯西準則。兩個重要極限。無窮小量及其階的比較，無窮大量，曲線的漸近線。（二）考核知識點1、函數(shù)極限的概念，單側極限的概念；2、函數(shù)極限的性質：唯一性，局部有界性，局部保號性，不等式性，迫斂性；3、函數(shù)極限存在的條件：歸結原則（

5、 Heine定理）,柯西準則；4、兩個重要極限；5、無窮小量與無窮大量，階的比較。（三）考核要求1、熟練掌握使用語言，熟練敘述各類型函數(shù)極限；2、掌握函數(shù)極限的若干性質；3、掌握函數(shù)極限存在的條件。（歸結原則，柯西準則，左、右極限，單調有界等）；4、熟練應用兩個特殊極限；5、牢固掌握無窮小（大）的定義、性質、階的比較。第四章函數(shù)連續(xù)性（一）考核內容函數(shù)在一點的連續(xù)性，左、右連續(xù)，間斷點及其分類，區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)。連續(xù)函數(shù)的局部性 質：局部有界性、局部保號性、四則運算、復合函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質： 最值定理、介值性定理、根的存在定理，反函數(shù)的連續(xù)性，一致連續(xù)與一致連續(xù)性定理。指數(shù)函

6、數(shù)的連續(xù)性，初等函數(shù)連續(xù)性。（二）考核知識點1、函數(shù)連續(xù)的概念：一點連續(xù)的定義，區(qū)間連續(xù)的定義，單側連續(xù)的定義，間斷點及其分類；2、連續(xù)函數(shù)的性質：局部性質及運算，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質 （最大最小值性、有界性、 介值性、一致連續(xù)性），復合函數(shù)的連續(xù)性，反函數(shù)的連續(xù)性；3、初等函數(shù)的連續(xù)性。（三）考核要求1、熟練掌握在點連續(xù)的定義，等價定義；2、掌握間斷點及其類型；3、了解在區(qū)間上連續(xù)的定義；4、掌握在一點連續(xù)的性質及閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質；5、了解初等函數(shù)的連續(xù)性。第五章導數(shù)與微分（一）考核內容導數(shù)的定義，導函數(shù)，導數(shù)的幾何意義，極值，費馬定理。導數(shù)的四則運算法則，反函數(shù)的導數(shù)，復合函數(shù)的導

7、數(shù)，基本求導法則與公式。參變量函數(shù)的導數(shù)，隱函數(shù)的導數(shù)，初等函數(shù) 的導數(shù)。高階導數(shù)。微分概念，微分的幾何意義，微分的運算法則，一階微分形式的不變性， 高階微分，微分在近似計算中的應用。（二）考核知識點1、導數(shù)概念：導數(shù)的定義、單側導數(shù)、導函數(shù)、導數(shù)的幾何意義；2、求導法則：導數(shù)公式、導數(shù)的運算（四則運算卜求導法則（反函數(shù)的求導法則，復合函數(shù)的求導法則，隱函數(shù)的求導法則，參數(shù)方程的求導法則）；3、微分：微分的定義，微分的運算法則，微分的應用；4、高階導數(shù)與高階微分。（三）考核要求1、熟練掌握導數(shù)的定義及其幾何意義；2、牢固記住求導法則、求導公式；3、會求各類函數(shù)的導數(shù)（復合函數(shù)、含參變量函數(shù)、隱

8、函數(shù)、塞指函數(shù)、高階導數(shù)（萊布尼茲公式）；4、掌握微分的概念，并會用微分進行近似計算；5、理解連續(xù)、可導、可微的關系。第六章微分中值定量、不定式極限（一）考核內容羅爾中值定理，拉格朗日中值定理， 單調函數(shù)。柯西中值定理。不定式極限，羅比塔法則。 帶有皮亞諾型余項、拉格朗日型余項的泰勒公式，泰勒公式在近似計算上的應用（二）考核知識點1、中值定理：羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；2、幾種特殊類型的不定式極限與羅比塔法則；3、泰勒公式。（三）考核要求1、牢固掌握微分中值定理及應用（包括羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理）2、會用洛比達法則求極限（將其他類型的不定型轉化為等類型）

9、。第七章導數(shù)的應用（一）考核內容函數(shù)單調性與極值。 最大值與最小值。函數(shù)的凸性與曲線的拐點。函數(shù)圖象的討論。方程的近似解。極值的判別法； 函數(shù)的升降、凸性討論的有關理論及結果；畫函數(shù)草圖的基本要素和方法。（二）考核知識點1、函數(shù)的單調性與極值；2、函數(shù)凹凸性與拐點.（三）考核要求1、掌握單調與導數(shù)符號的關系，并用它證明單調，不等式、求單調區(qū)間、極值等；2、利用的二階導數(shù)判定凹凸性及拐點；3、了解凸函數(shù)及性質；4、會求曲線各種類型的漸近線性 .第八章極限與連續(xù)（續(xù)）（一）考核內容關于實數(shù)集完備性的基本定理：閉區(qū)間套定理、柯西收斂準則、聚點定理、有限覆蓋定理與致密性定理，實數(shù)完備性基本定理的等價性

10、。閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質的證明。（二）考核知識點1、實數(shù)完備性六個等價定理：閉區(qū)間套定理、單調有界定理、柯西收斂準則、確界存在定理、聚點定理、有限覆蓋定理；2、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)整體性質的證明：有界性定理的證明，最大小值性定理的證明，介值性定理的證明，一致連續(xù)性定理的證明；（三）考核要求1、掌握下列基本概念：區(qū)間套、覆蓋、有限覆蓋、聚點、予列；2、了解刻劃實數(shù)完備性的六個定理的等價性，并掌握各定理的條件與結論；3、學會用六個定理證明其他問題，如連續(xù)函數(shù)性質定理等第九章不定積分（一）考核內容原函數(shù)與不定積分概念，基本積分表，線性運算法則。換元積分法，分部積分法。有理函數(shù)的 不定積分，三角函數(shù)有理式的

11、不定積分，某些無理函數(shù)的不定積分。（二）考核知識點1、不定積分概念；2、換元積分法與分部積分法；3、幾類可化為有理函數(shù)的積分；（三）考核要求1、掌握原函數(shù)與不定積分的概念；2、記住基本積分公式；3、熟練掌握換元法、分部積分法；4、了解有理函數(shù)積分步驟，并會求可化為有理函數(shù)的積分。第十章定積分（一）考核內容概念引入（曲邊梯形面積與變力作功），定積分定義，定積分的幾何意義。牛頓-萊布尼茲公式?？煞e的必要條件，可積的充要條件，可積函數(shù)類：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)、只有有限個 間斷點的有界函數(shù)、 單調函數(shù)。定積分的基本性質，積分中值定理。變限積分與原函數(shù)的存 在性，微積分學基本定理、定積分的換元積分法和分部

12、積分法?？煞e性理論補敘（二）考核知識點1、定積分的概念：概念的引入、黎曼積分定義，函數(shù)可積的必要條件；2、可積性條件：可積的必要條件和充要條件， 達布上和與達布下和， 可積函數(shù)類（連續(xù)函數(shù)， 只有有限個間斷點的有界函數(shù)，單調函數(shù)）；3、微積分學基本定理：可變上限積分，牛頓-萊布尼茲公式；4、非正常積分：無窮積分收斂與發(fā)散的概念，審斂法（柯西準則，比較法，狄利克雷與阿 貝爾判別法）；瑕積分的收斂與發(fā)散的概念，收斂判別法。（三）考核要求1、掌握定積分定義、性質；2、了解可積條件，可積函數(shù)類；3、深刻理解微積分基本定理，并會熟練應用；4、熟練計算定積分；5、掌握廣義積分收斂定義及判別法，會計算廣義積

13、分。第十一章定積分應用（一）考核內容微元法。平面圖形的面積。由平行截面面積求體積， 旋轉體體積。平面曲線的弧長、曲率。 旋轉曲面的面積。定積分的近似計算.（二）考核知識點1、定積分的幾何應用：平面圖形的面積，微元法，已知截面面積函數(shù)的立體體積，旋轉體的體積平面曲線的弧長與微分，曲率；（三）考核要求1、熟練計算各種平面圖形面積；2、會求旋轉體或已知截面面積的體積；3、會利用定積分求孤長、曲率、旋轉體的側面積第十二章數(shù)項級數(shù)（一）考核內容數(shù)項級數(shù)極其收斂與和的定義， 柯西收斂準則，收斂級數(shù)的基本性質。 正頂級數(shù)收斂性的一 般判別原則（比較原則），比式判別法與根式判別法，積分判別法。拉貝判別法。交錯

14、級數(shù)， 萊布尼茲判別法，絕對收斂級數(shù)與性質，條件收斂，阿貝爾判別法與狄利克雷判別法。（二）考核知識點1、級數(shù)的斂散性：無窮級數(shù)收斂，發(fā)散等概念，柯西準則，收斂級數(shù)的基本性質；2、正項級數(shù)：比較原理，達朗貝爾判別法，柯西判別法，積分判別法；3、一般項級數(shù)：交錯級數(shù)與萊布尼茲判別法，絕對收斂級數(shù)與條件收斂級數(shù)及其性質，阿 貝爾判別法與狄利克雷判別法。（三）考核要求1、掌握數(shù)項級數(shù)斂散的定義、性質；2、熟練掌握正項級數(shù)的斂、散判別法；3、掌握條件、絕對收斂及萊布尼茲定理。第十三章函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)（一）考核內容函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的收斂、一致收斂性以及一致收斂的柯西準則，函數(shù)項級數(shù)的維爾斯特拉斯優(yōu)級數(shù)

15、判別法（M判別法），阿貝爾判別法與狄利克雷判別法。函數(shù)列極限函數(shù)與函數(shù) 項級數(shù)和函數(shù)的連續(xù)性、可積性與可微性。（二）考核知識點1、一致收斂性及一致收斂判別法（柯西準則，優(yōu)級數(shù)判別法，狄利克雷與阿貝爾判別法）2、一致收斂的函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的性質（連續(xù)性，可積性，可微性）。（三）考核要求1、掌握函數(shù)列及函數(shù)項級數(shù)的一致收斂定義；2、掌握函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判別法；3、函數(shù)列的極限函數(shù)，函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)的性質。第十四章哥級數(shù)（一）考核內容阿貝爾第一定理,哥級數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間，內閉一致收斂性，哥級數(shù)的性質，塞級數(shù)的 四則運算。泰勒級數(shù)，函數(shù)可以展開成泰勒級數(shù)的條件，初等函數(shù)的哥級數(shù)展

16、開式。復變量的指數(shù)函數(shù)和歐拉公式。（二）考核知識點1、哥級數(shù)：阿貝爾定理，收斂半徑與收斂區(qū)間，哥級數(shù)的一致收斂性，哥級數(shù)和函數(shù)的分析性質；2、幾種常見初等函數(shù)的哥級數(shù)展開與泰勒定理。（三）考核要求1、熟練掌握哥級數(shù)收斂域、收斂半徑及和函數(shù)的求法；2、了解哥級數(shù)的若干性質；3、了解求一般任意階可微函數(shù)的哥級數(shù)展開式的方法；4、會利用間接法求一些初等函數(shù)的哥級數(shù)展開式。第十六章多元函數(shù)極限與連續(xù)（一）考核內容平面點集概念，R2上的完備性定理，二元函數(shù)和n元函數(shù)概念。二重極限，累次極限。二元函 數(shù)的連續(xù)性，復合函數(shù)的連續(xù)性。有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質。（二）考核知識點1、平面點集與多元函數(shù)的概念；2、

17、二元函數(shù)的極限、累次極限；3、二元函數(shù)的連續(xù)性：二元函數(shù)的連續(xù)性概念、連續(xù)函數(shù)的局部性質及初等函數(shù)連續(xù)性。（三）考核要求1、了解平面點集的若干概念；2、掌握二元函數(shù)二重極限定義、性質；3、掌握二次極限，并掌握二重極限與二次極限的關系；4、掌握二元連續(xù)函數(shù)定義、性質 .第十七章 多元函數(shù)微分學（一）考核內容多元函數(shù)的可微性與全微分，偏導數(shù)及其幾何意義，全微分存在的必要條件、充分條件，可微性的幾何意義及應用。 復合函數(shù)的求導法則，復合函數(shù)的全微分。方向導數(shù)與梯度。高階偏導數(shù)，二元函數(shù)的中值定理和秦勒公式，二元函數(shù)的極值與最值。（二）考核知識點1、可微性：偏導數(shù)的概念，偏導數(shù)的幾何意義，偏導數(shù)與連續(xù)

18、性；全微分概念；連續(xù)性與可微性，偏導數(shù)與可微性；2、多元復合函數(shù)微分法及求導公式；3、方向導數(shù)與梯度；4、泰勒定理與極值。（三）考核要求1、熟練掌握可微，偏導，可微的意義；2、掌握二元函數(shù)可微，連續(xù)以及偏導函數(shù)連續(xù)等概念之間的關系；3、會計算各種類型函數(shù)的偏導，函數(shù)的全微分；4、會求空間曲面的切平面，法線；5、會求函數(shù)的方向導數(shù)；6、會求二元函數(shù)的無條件極值。第十八章隱函數(shù)定理及其應用（一）考核內容隱函數(shù)概念，隱函數(shù)存在性條件的分析，隱函數(shù)（存在惟一性、可微性）定理，隱函數(shù)求導。隱函數(shù)組概念，函數(shù)行列式，隱函數(shù)組定理，隱函數(shù)組求導，反函數(shù)組與坐標變換。幾何應用。條件極值與拉格朗日乘數(shù)法。（二）

19、考核知識點1、隱函數(shù)：隱函數(shù)的概念，隱函數(shù)的定理，隱函數(shù)求導舉例；2、隱函數(shù)組：隱函數(shù)組存在定理，反函數(shù)組與坐標變換，雅可比行列式；3、幾何應用：平面曲線的切線與法線，空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面和法線；條件極值：條件極值的概念，條件極值的必要條件。（三）考核要求1、掌握一個方程確定的隱函數(shù)的條件，隱函數(shù)性質，隱函數(shù)的導數(shù)（偏導）公式；2、會求空間曲線的切線與法平面；3、會求空間曲面的切平面與法線；4、掌握條件極值的拉格朗日乘子法。第二十章重積分（一）考核內容平面圖形的面積，二重積分的定義及其存在性， 二重積分性質。直角坐標系下二重積分的計 算（化為累af積分）。格林公式，平面曲線積分與路線無關的等價條件，原函數(shù)。二重積分的 變量替換公式，用極坐標計算二重積分。三重積分的概念與性質，化三重積分為累次積分， 三重積分的換元法，柱坐標變換與球坐標變換。重積分在的應用：曲面的面積。（二）考核知識點1、二重積分概念：二重積分的概念，可積條件，可積函數(shù)，二重積分的性質；2、二重積分的計算：化二重積分為累次積分，換元法（極坐標變換，一般變換）；3、含參變量的積分；4、三