2019高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)不等式的性質(zhì)與一元二次不等式

1、第七章.不等式第1節(jié) 不等式的性質(zhì)與一元二次不等式最新考綱1.了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系， 了解不等式(組) 的實(shí)際背景；2.會(huì)從實(shí)際問題的情境中抽象出一元二次不等式模型； 3.通過(guò)函數(shù)圖 象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系；4.會(huì)解一元二次不等式，對(duì)給定的一元二次不等式，會(huì)設(shè)計(jì)求解的程序框圖 .建砒修斷I回歸教材，夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)梳理1 .兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法，ab0? a_b,(1)作差法 ab=0? a=b, 、ab0? a1? ab (a R, b0),a(2)作商法0),、：0).2 .不等式的性質(zhì)(1)對(duì)稱性：ab? bb, bc? ac；(3

2、)可加性：ab? a+ c_b+ c； ab, cd?a+c*b+d;(4)可乘性：ab, c0? ac_bc； ab0, cd0?ac*bd;(5)可乘方：ab0?an2bn(nCN, n1)；(6)可開方：ab0? %之nb(n N , n2).3.三個(gè)“二次”間的關(guān)系判別式A = b2 - 4acA 0-0A 0)的圖象y1 /.1L1，兀一次方程ax2+bx+c=0(a0)的根啟兩相異實(shí)根x1 , x2(x1 0(a0)的解集兇 或xx用 X1fuxxRax2+bx+c0)的解集x|x1_ xb0, m0,貝Wv； a a m mb bma a m(bm0).若 ab0,且 ab? 1

3、0,求解時(shí)不要忘記討論a= 0時(shí)的情形.3 .當(dāng)A0(aw0)的解集為R還是？，要注意區(qū)別.診斷自測(cè)1 .思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“或 X ”)(1)ab? ac bc .()(2)若不等式ax2+bx+ c0.()(3)若方程ax2 + bx+ c=0(a0的解集為 R.()不等式ax2+bx+ c00在R上包成立的條件是 20且八=b2 - 4acbc2? a b；反之，c= 0時(shí)，ab? / ac2bc2.(3)若方程ax2+ bx+ c=0(a0的解集為?.(4)當(dāng)a=b=0, c00時(shí)，不等式ax2+bx+c00也在R上恒成立.答案 (1)X (2)V (3)X (4)X2 .若 ab0

4、, c d- d ca bC.- c do a b B.d ca bD c d解析 因?yàn)閏d1,兩邊同乘一1,得一工 一10,又ab0, c dd c故由不等式的性質(zhì)可知一a-bc0.兩邊同乘一1,得3號(hào)故選b.答案 BA. (0, 4B.0 , 4)C. -1, 0)D.(-1 , 03 .設(shè)集合 M = x|x2 3x 40, N = x|0&x&5,則 MAN 等于()解析 v M = xM 3x-40 = x| 1x4,.MnN = 0, 4).答案 B4 .(2018梧州模擬)不等式一)1的解集是.x十1解析由系1得三x0,解得 x1 或 x1.答案x|x15 .已知函數(shù)f(x) =

5、 ax2 + ax1,若對(duì)任意實(shí)數(shù)x,恒有f(x)&0,則實(shí)數(shù)a的取值范 圍是.解析 若a= 0,則f(x)=100恒成立，若a*0,則由題意，得a0, ,2. 一A =a + 4a 0,解得40acbA. c baC.cbaD.acb1 1111(2)(一題多解)若a0;a：1b b；ln a2ln b?.其中正確的不等式是()A.B.C.D.解析 (1)= c- b= 44a+a2= (a-2)20,cb.又 b+c= 6 4a+3a2, . .2b = 2 + 2a2, . .b=a2+1,1213c 力 + 40,. ba,cba.一1 1(2)法一 因?yàn)間0,故可取 a=1, b=

6、2. a b顯然|a|+b=12= 10,所以錯(cuò)誤.綜上所述，可排除A, B, D.，1 111法二 由a60，可知 ba0.中，因?yàn)?a+ b0,所以0.故有丁不，即正確；a 十 b ab中，因?yàn)閎aa0.故一b|a|,即|a|+b0,故錯(cuò)誤；中，因?yàn)?ba0,又11 10, a ba b一.11 ,一 、所以a-b-,故正確； ab中，因?yàn)閎aa20,而y =ln x在定義域(0, +00)上為增函數(shù)，所以ln b2ln a2,故錯(cuò)誤.由以上分析， 知正確.答案(1)A (2)C規(guī)律方法1.比較大小常用的方法: (1)作差法；(2)作商法；(3)函數(shù)的單調(diào)性法.2.判斷多個(gè)不等式是否成立，

7、常用方法：一是直接使用不等式性質(zhì)，逐個(gè)驗(yàn)證;二是用特殊法排除【訓(xùn)練1】（1）（2018贛州、吉安、撫州七校聯(lián)考）設(shè)0一1,則下列不等式成立D. lg(b-a)b3C. ab1一，1門 R2 2_i入一、,一.已知P = a+a, q=之，其中a2, xe R,則p, q的大小關(guān)系是（A. pqB. pqC. pqD. p2, 故p = a+-=(a-2) + -+22 + 2 = 4,當(dāng)且僅當(dāng) a = 3 時(shí)取等 a 2a 2x22i-2號(hào).因?yàn)閤22方 2,所以q=3J=2)=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)，所以pq.答案(1)D (2)A考點(diǎn)二一元二次不等式的解法（多維探究）命題角度1不含參的

8、不等式【例21 （2018河北重點(diǎn)八所中學(xué)模擬）不等式2x2-x- 30的解集為（A. 1x|- 1x2或x 1，3、,3C. |x|_ 2x1 或x0,得(x+ 1)(2x-3)0,3解得x2或x0的解集為x|x2或x2x ax（a0.當(dāng)a = 0時(shí)，原不等式化為x+ K0,解得x0 - 1.當(dāng)a0時(shí)，原不等式化為x-| (x+1) 1,即 a 2 時(shí)，解得一1x2; aa,2當(dāng)2=1,即a= 2時(shí)，解得x= 1滿足題意；a當(dāng)21,即一2a0,解得20x& - 1. aa綜上所述，當(dāng)a = 0時(shí)，不等式的解集為x|xw1；當(dāng)一2a0時(shí)，不等式的解集為4 2x-1)；,a當(dāng)a= 2時(shí)，不等式的

9、解集為 1;當(dāng)a 2時(shí)，不等式的解集為1x|-1x a規(guī)律方法 含有參數(shù)的不等式的求解，往往需要比較 (相應(yīng)方程)根的大小，對(duì)參 數(shù)進(jìn)行分類討論:(1)若二次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)，可先考慮分解因式，再對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論；若不易分解因式，則可對(duì)判別式進(jìn)行分類討論;(2)若二次項(xiàng)系數(shù)為參數(shù)，則應(yīng)先考慮二次項(xiàng)系數(shù)是否為零，然后再討論二次項(xiàng)系數(shù)不為零的情形，以便確定解集的形式;其次對(duì)相應(yīng)方程的根進(jìn)行討論，比較大小，以便寫出解集 .【訓(xùn)練2】 已知不等式ax2 bx 10的解集是?|2x0的解集是:解析由題意，知1,1是方程ax2bx1=0的兩個(gè)根，且 a0為x25x+60,解得x3或x02.答案 xk3或x02考

10、點(diǎn)三不等式的包成立問題(多維探究) 命題角度1在R上恒成立【例3-11若一元二次不等式2kx2+kx10對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則k的取 O值范圍為()A. (-3, 0 B. -3, 0)C. -3, 0D. (-3, 0)解析 一元二次不等式2kx2+kx30對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，O2k0,則必有= k24X 2kx解之得3k0.答案 D命題角度2在給定區(qū)間上包成立【例 3 2】(一題多解)設(shè)函數(shù) f(x) = mx2mx 1(mw0),若對(duì)于 xC1, 3, f(x) m+5恒成立，則m的取值范圍是.解析 要使f(x) m+5在1 , 3上恒成立，故 mW mx+ m60,1 2 3即 m J

11、+m60時(shí)，g(x)在1, 3上是增函數(shù),所以 g(x)max=g(3) = 7m60.所以 m7，則 0m7.當(dāng)m0時(shí)，g(x)在1, 3上是減函數(shù)，所以g(x)max= g(1) = m60.所以m6,所以m0.r綜上所述，m的取值范圍是m 0Vm7或m0，又因?yàn)?m(x2 x+ 1) 60,所以 mx2_:+1.因?yàn)楹瘮?shù)y= 2_6+ 1 = 6在1, 3上的最小值為6,所以只需m6即可.x2卜4因?yàn)閙w0,所以m的取值范圍是661，m 0Vm7 或m0 .答案im 0Vm7或m0恒成立，則x的取 值范圍為()A. (-oo, 2) U (3, i)B. (-oo, 1)U(2, +3C

12、. (8, 1)U(3, +oo)D. (1, 3)解析 把不等式的左端看成關(guān)于a的一次函數(shù)，記f(a)=(x 2)a+x2-4x+ 4,則由f(a) 0對(duì)于任意的a 1, 1恒成立，所以 f(1) = x25x+60,且 f(1) = x2 3x+ 20 即可，x2-5x+60,解不等式組2 2得x3.x23x+20,答案 C規(guī)律方法 1.對(duì)于一元二次不等式包成立問題，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方，恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方.另外常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)法求 最值.2.解決包成立問題一定要搞清誰(shuí)是主元，誰(shuí)是參數(shù)，一

13、般地，知道誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是主元，求誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是參數(shù)【訓(xùn)練3】(1)若不等式x2-2x+5a2-3a對(duì)任意實(shí)數(shù)x包成立，則實(shí)數(shù)a的取 值范圍是()A.-1, 4B. (oo, 2 U 5, +oo)C. ( 00, 1 U 4, + 00)D.-2, 5已知函數(shù)f(x) = x2+mx 1,若對(duì)于任意xCm, m+1,都有f(x)0成立，則 實(shí)數(shù)m的取值范圍是.解析 (1)由于4 2x+ 5=(x 1)2+4的最小值為4,所以x2 2x+ 5a2 3a對(duì) 任意實(shí)數(shù)x包成立，只需a2-3a4,解彳31a4.(2)二次函數(shù)f(x)對(duì)于任意x m, m+1,都有f(x)0成立，f (m) =m2+

14、m210,則32J (m+1) = ( m+ 1) +m (m+1) - 10,解得-2mg(x)C. f(x)0? f(x)g(x).答案 B3. (2018河南百校聯(lián)盟模擬)設(shè)2, bCR,則“(a b)a20是“ab”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析 由(ab)a20,推不出ab,如a=0, b = 2, 因?yàn)閍20, ab,所以(ab)a20, 故(ab)a20”是“ab”的必要不充分條件. 答案 B4. (2018清遠(yuǎn)一中一模)關(guān)于x的不等式ax-b0的解集是()A. (-oo, 1)U(3, i)B. (1, 3)C. (-1, 3

15、)D. (oo, 1)U(3, i)解析 關(guān)于x的不等式ax b0即axb的解集是(1, +00),a= b0 可化為(x+1)(x 3)0,解得一1x0恒成立，則b的取值范圍是()A. (-1, 0)B. (2, +oo)C. (8, 1)U (2,D.不能確定解析 由f(1x) = f(1+x)知f(x)的圖象關(guān)于直線x= 1對(duì)稱，即1,解得a = 2. 又因?yàn)閒(x)開口向下，所以當(dāng)xC 1, 1時(shí)，f(x)為增函數(shù)，所以 f(x)min = f( 1) 1 2+b? b+ 1=b? b 2,f(x)0何成立，即b2b 20何成立，解得b2.答案 C二、填空題x? + 2x, x0 ,6

16、 .已知函數(shù)f(x) =3_x2 + 2x XV 0則不等式f(x)3的解集為.解析fx”由題意知2 cc或,、x +2x3x 3,解得x1.故原不等式的解集為xx1.答案 xx17 .(2018鄭州調(diào)研改編)規(guī)定記號(hào)表示一種運(yùn)算，定義aOb=Vab+ a+b(a, b為正實(shí)數(shù))，若1Ok23,則k的取值范圍是.解析由題意知#2+ 1 + k23,化為(|k|+2)(|k|1)0,所以 |k|1,所以1k1.答案 (一1, 1)8 .不等式(a2)x2 + 2(a 2)x40對(duì)一切x R恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是解析 當(dāng)a 2=0,即a = 2時(shí)，不等式即為一40,對(duì)一切xCR包成立,當(dāng)aw

17、 2時(shí)，則有a-20,=4 (a-2)2 一， 一、 一2+ 16 (a-2) 0,解得2a0;(2)若不等式f(x)b的解集為(一1, 3),求實(shí)數(shù)a, b的值.解(1)由題意知 f(1) = 3+a(6a)+6= -a2+6a+30,即 a2-6a-30,解得 3-23a3+2/3.所以不等式的解集為a|3 2/3ab的解集為(一1, 3),方程3x2+a(6 a)x+6b = 0 的兩根為一1, 3,/ xa(6 _ a)(-D +3=3,3i/3,(1) X3= 6-b3 ，、b= - 3.3故a的值為3監(jiān) b的值為一3.10 .某商品每件成本價(jià)為80元，售價(jià)為100元，每天售出100

18、件.若售價(jià)降低x成(1成=10%),售出商品數(shù)量就增加8x成.要求售價(jià)不能低于成本價(jià).5設(shè)該商店一天的營(yíng)業(yè)額為y,試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式v= f(x),并寫出定 義域；(2)若再要求該商品一大營(yíng)業(yè)額至少為 10 260元，求x的取值范圍.解(1)由題意得，v= 100110 10011+器)因?yàn)槭蹆r(jià)不能低于成本價(jià)，所以。110，- 80 0.所以 y = f(x) = 40(10 x)(25 + 4x),定義域?yàn)閤|0 x10 260,113化簡(jiǎn)得 8x2-30x+ 1300.解得2&x&.所以x的取值范圍是|2, 21能力提升題組(建議用時(shí)：20分鐘)11. (2018咸陽(yáng)模擬)已知0a0C. log2a+ 10g2b 2B. 2a b2D. 2a+ b1b a 2解析 由題意知0a1,此時(shí)10g2a0, A錯(cuò)誤；由已知得0a1, 0Vb1,所以.一一 八、，一一