專升本資料3(一元函數(shù)積分學(xué))

1、四川省普通高等學(xué)?！皩Ｉ尽边x拔高等數(shù)學(xué)考試大綱理工類總體要求考生應(yīng)理解或了解高等數(shù)學(xué)中函數(shù)、極限、連續(xù)、一元函數(shù)微分學(xué)、一元函數(shù)積分分學(xué)、向量代數(shù)與空間解析幾何、多元函數(shù)微積分學(xué)、無窮級數(shù)、常微分方程以及線性代數(shù)的行列式、矩陣、向量、方程組的基本概念與基本理論；掌握上述各部分的基本方法。應(yīng)注意各部分知識的結(jié)構(gòu)及知識的內(nèi)在聯(lián)系；應(yīng)具備一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力、空間想象能力；能運(yùn)用基本概念、基本理論和基本方法正確地推理證明，準(zhǔn)確、簡捷地計(jì)算；能綜合運(yùn)用所學(xué)知識分析并解決簡單的實(shí)際問題。本大綱對內(nèi)容的要求由低到高，對概念和理論分為“了解”和“理解”兩個層次；對方法和運(yùn)算分為“會”

2、、“掌握”、“熟練掌握”三人層次?？荚囉脮r：120分鐘考試范圍及要求一 函數(shù)、極限和連續(xù)二 一元函數(shù)微分學(xué)三 一元函數(shù)積分學(xué)一不定積分成都理工大學(xué)13：理文科1個選3分； 成都理工大學(xué)14：理文科1個選3分； 攀枝花學(xué)院13：理科選擇3分、解答兩個12分；文科選擇3分、解答一個5分； 1. 理解原函數(shù)和不定積分的概念，掌握不定積分的性質(zhì)，了解原函數(shù)的存在定理。1 是的一個原函數(shù) 是的一個原函數(shù) 2 不定積分的基本性質(zhì) ， ， ， 例1 攀枝花學(xué)院：理科選擇3分設(shè)是的一個原函數(shù)，則 .A、 B、 C、 D、例2 攀枝花學(xué)院：文科選擇3分1、假設(shè)為連續(xù)函數(shù)，則等于.A B C D 2. 熟練掌握基

3、本的不定積分公式。不定積分的基本公式是最基礎(chǔ)的，是做一切積分題的前提，必須要能默寫13個+2個3. 熟練掌握不定積分第一類換元法，第二類換元積分法限于三角代換與簡單的根式代換1第一類換元法： 湊微分 換元， 可以省略，寫到草稿紙上 用積分公式，可以省略，寫到草稿紙上 回代復(fù)原。 2第二類換元法： 主要解決：帶有根式的函數(shù)的積分：，令，則基本的三角代換： 含有時，令，從而， 含有時，令，從而，含有時，令，從而，4. 掌握不定積分的分部積分法。主要解決：對數(shù)、反三角、五類基本初等函數(shù)中的兩類相乘的積分。5. 會求簡單的有理函數(shù)及簡單的無理函數(shù)的不定積分。先將被積函數(shù)化為：整式+真分式。 再化部分分

4、式：將分式化為多個分式相加減。每一個分式的分母僅為一次式或不可分解的二次式。例1成都理工大學(xué)13：理科、文科選擇題1個3分已知，則【 】(A) (B) (C) (D)例2成都理工大學(xué)14：理科、文科選擇題1個3分假設(shè)，則=【 】A B C D例3 (1)攀枝花學(xué)院13：理科解答題2個12分求以下積分 ； ；攀枝花學(xué)院13：理科解答題2個12分 攀枝花學(xué)院13：文科解答題1個5分(1)攀枝花學(xué)院14：理科解答題1個6分計(jì)算例4 求以下積分 ； ； ； ； 二定積分1. 理解定積分的概念與幾何意義，了解函數(shù)可積的條件。1 定義 2結(jié)論： 定積分與積分變量的無關(guān)： ， ，4函數(shù)可積的兩個充分條件 在

5、上連續(xù)在上可積。 在上有界，且只有有限個間斷點(diǎn)在上可積。5 定積分的幾何意義 在上 ； 在上 ； 在上有正有負(fù) 由曲線、直線、及軸圍成的圖形的面積為：2. 掌握定積分的基本性質(zhì)。性質(zhì)1 運(yùn)算性質(zhì) ； 。性質(zhì)2 可加性 性質(zhì)3 可比性在上， 性質(zhì)4估值定理，M與m分別是函數(shù)在上的最大值及最小值。性質(zhì)5 定積分中值定理 如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在積分區(qū)間上至少存在一點(diǎn)，使得 3. 了解變上限定積分是變上限的函數(shù)，掌握對變上限定積分求導(dǎo)的方法。 ； 4. 熟練掌握牛頓萊布尼茲公式。 函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的一個原函數(shù) 分段函數(shù)、帶絕對值符號的函數(shù)的積分： 可加性5. 掌握定積分的換元法和分部積分法

6、，并會證明一些簡單的積分恒等式。1定積分的換元法令，則當(dāng)時，；當(dāng)時，2定積分的分部積分法主要解決：對數(shù)、反三角、五類基本初等函數(shù)中的兩類相乘的積分。3重要結(jié)論 奇、偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分當(dāng)在上為奇函數(shù)時，； 當(dāng)在上為偶函數(shù)時， 周期函數(shù)的積分 正、余弦函數(shù)的 上的積分對 有遞推公式：； 當(dāng) 為奇數(shù)時：當(dāng) 為偶數(shù)時：6. 理解無窮區(qū)間廣義積分的概念，掌握其計(jì)算方法。 其中： ,例1 成都理工大學(xué)13：理科、文科選擇3分 廣義積分=【 】(A) 0 (B) 2 (C) 4 (D) 例2 成都理工大學(xué)13：理科、文科填空3分 = 例3成都理工大學(xué)14：理科、文科解答題8分設(shè)函數(shù) ，計(jì)算定積分；例4

7、 1攀大13：理科填空3分 .2攀大14：理科填空3分 例5 攀大13：理科計(jì)算6分 例6 計(jì)算 例7 證明 (1) ； (2) ；由此計(jì)算(3) (4) 7. 掌握直角坐標(biāo)系下用定積分計(jì)算平面圖形的面積，會求平面圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)體的體積。1由曲線 及直線 與 與軸所圍成的曲邊梯形面積如圖321 2由曲線 與 及直線與 所圍成的圖形面積如圖322 3 由曲線及直線與 與軸所圍成的曲邊梯形面積。取作積分變量，其面積為如圖323 4由曲線與及直線與 與()所圍成的曲邊梯形面積為如圖324 求平面圖形面積的步聚： 確定積分變量，確定積分區(qū)間； 在積分區(qū)間上任取一小區(qū)間，并在該小區(qū)間上找出

8、所求的面積微元； 寫出面積的定積分表達(dá)式，并求計(jì)算結(jié)果。5 設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)，由曲線與直線、及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體。 取為積分變量，在任取區(qū)間,過點(diǎn)作垂直于軸的平面，則截面是一個以為半徑的圓，圓面積為；再過作垂直于軸平面，得另一截面，而夾在兩個截面之間的小薄片的體積可以近似地看作為一個以為底面半徑，為高的圓柱體的體積。 叫體積微元。把體積微元在上求定積分，得到旋轉(zhuǎn)體的體積： 6由曲線及直線、與軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而得的旋轉(zhuǎn)體如圖333的體積為。例1 成都理工大學(xué)14：理科、文科填空3分由曲線所圍成的平面圖形繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積等于【 】A B C D例3攀大14：理