2007年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽(A卷)參考答案

1、2007年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽（卷）參考答案一、 選擇題1.如果，則使的的取值范圍為（ B ）A. B. C. D. 解：顯然，且。要使。當(dāng)時，即；當(dāng)時，此時無解。由此可得， 使的的取值范圍為。2.已知集合，則（C）A. B. C. D. 解：沒有實(shí)數(shù)可以使上述不等式成立。故。從而有。3.以為六條棱長的四面體個數(shù)為（B）A. 2 B. 3 C.4 D. 6解：以這些邊為三角形僅有四種：，。固定四面體的一面作為底面：當(dāng)?shù)酌娴娜厼闀r，另外三邊的取法只有一種情況，即；當(dāng)?shù)酌娴娜厼闀r，另外三邊的取法有兩種情形，即，。其余情形得到的四面體均在上述情形中。由此可知，四面體個數(shù)有個。4.從至169的自然數(shù)

2、中任意取出個數(shù)構(gòu)成以整數(shù)為公比的遞增等比數(shù)列的取法有（ C ）種。A. 89 B. 90 C.91 D. 92解：若取出的個數(shù)構(gòu)成遞增等比數(shù)列，則有。由此有。當(dāng)固定時，使三個數(shù)為整數(shù)的的個數(shù)記作。由，知應(yīng)是的整數(shù)部分。，,，,. 因此，取法共有。5.若在復(fù)平面上三個點(diǎn)構(gòu)成以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，其中，則ABC的面積為（ A）A. B. C.1 D. 解：依題意，。ABC的面積為。2007重6. 的末二位數(shù)字是（C） A. 01 B. 07 C.43 D. 49重解：記。題目要求的末二位數(shù)。其中M為正整數(shù)。由此可得的末二位數(shù)與的末二位數(shù)字相同。首先來觀察的末二位數(shù)字的變化規(guī)律。23456

3、789的末二位數(shù)字4943010749430107的末二位數(shù)字的變化是以為周期的規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)。（為奇整數(shù)）（為正整數(shù)）因此，與的末二位數(shù)字相同，為43。二、 填空題7. 設(shè)為的單調(diào)遞增數(shù)列，且滿足，則。解：（由題意可知取正號。）因此，公差為的等差數(shù)列，即。從而可得。8. 設(shè)為方程的根（），則。解：由題意，。由此可得，以及。9. 設(shè)均為非負(fù)實(shí)數(shù)，則的最小值為2007。解：在直角坐標(biāo)系中，作點(diǎn)，。則I（應(yīng)用三角不等式）2007。如果取，即，那么I取到最小值2007。10. 設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足；又當(dāng)時，則。解：依題意，即是以為周期的周期函數(shù)。因為當(dāng)時，且為奇函數(shù)，所以當(dāng)時，。此時有?？傻?/p>

4、。又因為是以為周期的周期函數(shù)，所以也有，（）。11. 設(shè)，則不超過的最大整數(shù)為。解：,不超過的最大整數(shù)為。12. 整數(shù)，且，則整數(shù)組為。解：方程兩邊同乘以，得。因為，所以要使左邊為奇數(shù)，只有，即。則。要使左邊為奇數(shù)，只有，即。從而有，即。故有。三、 解答題13. 已知拋物線和點(diǎn)。過點(diǎn)任作直線，交拋物線于B,C兩點(diǎn)。（） 求ABC的重心軌跡方程，并表示成形式；（） 若數(shù)列，滿足。試證：。解：（）設(shè)過的直線方程為。又設(shè)，聯(lián)立方程組， 消去，得。從而有，。 設(shè)ABC的重心坐標(biāo)為，則 消去k，即得。 （）因為，所以，上式右邊等號成立當(dāng)且僅當(dāng)。假設(shè)，則， 上式右邊等號成立當(dāng)且僅當(dāng)。由此得到（）。從而有 。 14. 設(shè)正實(shí)數(shù)及非負(fù)實(shí)數(shù)滿足條件求的最小值，并論證之。解：根據(jù)，有 .（） 上式取等號當(dāng)且僅當(dāng)。 15. 設(shè)，為子集。若，且存在，則稱為“好集”。求最大的，使含的 任意33元子集為好集。解：令，。顯然對任意，不存在，使得成立。故是非好集。因此。 下面證明：包含21的任意一個33元子集A一定為好集。設(shè)。若1，3，7，42，63中之一為集合A的元素，顯然為好集。 現(xiàn)考慮1，3，7，42，63都不屬于集合A。構(gòu)造集合，。 由上可見，每個集合中兩個元素都是倍數(shù)關(guān)系?？紤]最不利的情況，即，也即中16個元素全部選作A的元素，A中剩下16個元素必須從這15個集合中選取16個元素。