七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)13二元一次方程組的應(yīng)用典型例題素材湘教版

1、二元一次方程組的應(yīng)用典型例題例1 小明家去年結(jié)余 5000元，估計(jì)今年可結(jié)余 9500元，并且今年收入比去年高15%,支出比去年低10%,求去年的收入與支出各是多少例2 要配制成濃度為30%的燒堿溶液50千克，需要濃度為10%和60%的兩種燒堿溶液 多少千克例3 一輛汽車(chē)在相距70千米的甲、乙兩地往返行駛，由于行駛中有一坡度均勻的小山， 該汽車(chē)由甲地到乙地需用 2小時(shí)30分，而從乙地回到甲地需用 2小時(shí)18分.若汽車(chē)在平地 上的速度為30千米/時(shí)，上坡的速度為20千米/時(shí)，下坡的速度為 40千米/時(shí)，求從甲地到 乙地的行程中，平路、上坡路、下坡路各多少千米例4 某中學(xué)初三（1）班計(jì)劃用66元錢(qián)

2、同時(shí)購(gòu)買(mǎi)單價(jià)分別為 3元、2元、1元的甲、乙、 丙三種紀(jì)念品，獎(jiǎng)勵(lì)參加藝術(shù)節(jié)活動(dòng)的同學(xué)，已知購(gòu)買(mǎi)乙種紀(jì)念品的件數(shù)比購(gòu)買(mǎi)甲種紀(jì)念品的件數(shù)多2件，而購(gòu)買(mǎi)甲種紀(jì)念品的件數(shù)不少于10件，且購(gòu)買(mǎi)甲種紀(jì)念品的費(fèi)用不超過(guò)總費(fèi)用的一半.若購(gòu)買(mǎi)甲、乙、丙三種紀(jì)念品恰好用了66元錢(qián)，那么可有幾種購(gòu)買(mǎi)方案每種方案中，購(gòu)買(mǎi)的甲、乙、丙三種紀(jì)念品各是多少件例5某工程隊(duì)計(jì)劃在 695米線(xiàn)路上分別裝米和米長(zhǎng)兩種規(guī)格的水管共100根，問(wèn)這兩種水管各需多少根例6若甲、乙兩庫(kù)共存糧 95噸，現(xiàn)從甲庫(kù)運(yùn)出存糧的 2,從乙?guī)爝\(yùn)出存糧的 40%,那么3乙?guī)焖嗉Z食是甲庫(kù)的 2倍，問(wèn)甲、乙兩庫(kù)原各存多少?lài)嵓Z食例7甲、乙兩人從相距 36千

3、米的兩地相向而行.如果甲比乙先走2小時(shí)，那么他們?cè)谝页?發(fā)后經(jīng)小時(shí)相遇；如果乙比甲先走 2小時(shí)，那么他們?cè)诩壮霭l(fā)后經(jīng) 3小時(shí)相遇；求甲、乙兩 人的速度.例8 通訊員在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)由 A地前往B地.如果他每小時(shí)走 35公里，那么他就要遲到 2 小時(shí)；如果他每小時(shí)走 50公里，那么他就可以比規(guī)定時(shí)間早到1小時(shí)，求A、B兩地間的距離.例9 某車(chē)間加工螺釘和螺母，當(dāng)螺釘和螺母恰好配套（一個(gè)螺釘配一個(gè)螺母）時(shí)就可以運(yùn)進(jìn)庫(kù)房.若一名工人每天平均可以加工螺釘120個(gè)或螺母96個(gè)，該車(chē)間共有工人 81名.問(wèn)應(yīng)怎樣分配人力，才能使每天生產(chǎn)出來(lái)的零件及時(shí)包裝運(yùn)進(jìn)庫(kù)房例10 要修一段420千米長(zhǎng)的公路.甲工程隊(duì)先干

4、2天乙工程隊(duì)加入，兩隊(duì)再合干2天完成任務(wù)；如果乙隊(duì)先干 2天，甲、乙兩隊(duì)再合干 3天完成任務(wù)，問(wèn)甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)每天各能 修路多少千米例11甲乙兩物體分別以均勻的速度在周長(zhǎng)為600米的圓形軌道上運(yùn)動(dòng)，甲的速度較快，當(dāng)兩物體反向運(yùn)動(dòng)時(shí)，每 15秒鐘相遇一次，當(dāng)兩物體同向運(yùn)動(dòng)時(shí)，每 1分鐘相遇一次，求 各物體的速度參考答案例1 分析 若設(shè)去年收收x元，支出y元，則可由去年結(jié)余 5000元，今年結(jié)余9500元這 兩個(gè)條件列出兩個(gè)方程.解 設(shè)去年收入x元，支出y元，根據(jù)題意，得x y 5000,(1)x(1 15%) y(1 10%) 9500. (2)解得x 20000, y 15000.答：去年小

5、明家收入 20000元，支出15000元.例2 分析 本題中要抓住兩個(gè)數(shù)量關(guān)系，一是兩種燒堿溶液重量和為50千克，二是10%和60%的燒堿溶液中純燒堿的量的和等于50千克30%的燒堿溶液中的純燒堿量 .解 設(shè)需要濃度為10%的燒堿溶液x千克，濃度為60%的燒堿溶液y千克，根據(jù)題意，得x y 50,(1)10%x 60%y 30%(x y).(2)解得x 30，y 20.答：需要濃度為10%的燒堿溶液30千克，濃度為60%的燒堿溶液20千克.例3 解設(shè)甲地到乙地的上坡路為 x千米，下坡路為y千米，則平路為(70 x y)千米,x根據(jù)題意，得20x40-x 12,解得則70 x y 54.y 4,

6、y40y2070 x y 2.5,3070 x y c 2.3.30答：從甲地到乙地上坡路12千米，下坡路4千米，平路54千米.例4 分析 可設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲、乙、丙三種紀(jì)念品的件數(shù)分別為x、y、z.在題目中有兩個(gè)相等關(guān)系：購(gòu)買(mǎi)乙種紀(jì)念品的件數(shù)比購(gòu)買(mǎi)甲種紀(jì)念品的件數(shù)多2件，購(gòu)買(mǎi)甲、乙、丙三種紀(jì)念品恰好用了 66元錢(qián)”.根據(jù)這兩個(gè)相等關(guān)系可以列出兩個(gè)關(guān)于x、v、z的方程.但這里有三個(gè)未知數(shù)，只列出了兩個(gè)方程是無(wú)法求出它們的解的，注意到題目中還有兩個(gè)限制條件：購(gòu)買(mǎi)甲種紀(jì)念品的件數(shù)不少于10件”，購(gòu)買(mǎi)甲種紀(jì)念品的費(fèi)用不超過(guò)總費(fèi)用的一半”.有了這兩個(gè)條件，就確定了 x的取值范圍，而 x必為正整數(shù)，因此可求出

7、x的值，從而求出另外兩個(gè) 求知數(shù).解 設(shè)購(gòu)買(mǎi)的甲、乙、丙三種紀(jì)念品的件數(shù)分別為x、v、z,根據(jù)題意，有3x 2y z y x 2.66,y x 2, z 62 5x.x 10,且3x6610 x 11,又x為整數(shù)，x 10或x 11.(1)當(dāng) x 10 時(shí),y 10 2 12, z 62 51012；(2)當(dāng) x 11 時(shí),y 11 2 13, z 62 5117.答：可有兩種購(gòu)買(mǎi)方案：第一種方案：購(gòu)買(mǎi)甲種紀(jì)念品10件、乙種12件、丙種12件；第二種方案：購(gòu)買(mǎi)甲種紀(jì)念品11件、乙種13件、丙種7件.例5 分析本題中有兩個(gè)未知數(shù)規(guī)格為米長(zhǎng)水管的根數(shù)與規(guī)格為米長(zhǎng)水管的根數(shù).題目中恰有兩個(gè)相等關(guān)系：

8、(1)米長(zhǎng)的水管根數(shù)十米長(zhǎng)水管根數(shù) =100根(2)米長(zhǎng)水管總米數(shù)十米長(zhǎng)水管的總米數(shù)=線(xiàn)路的總米數(shù)解 設(shè)米長(zhǎng)規(guī)格的水管需 x根，米長(zhǎng)規(guī)格的水管根，根據(jù)題意，得x y 1008.25x 6.25y 695解這個(gè)方程組，得x 35y 65答：需規(guī)格為米長(zhǎng)的水管35根，需規(guī)格為米長(zhǎng)的水管 65根.說(shuō)明：在實(shí)際生活中，我們常常遇到象例1這樣的問(wèn)題，我給出的解法是列出二元一次方程 組求解.同學(xué)們想一想，還有沒(méi)有其他的方法能不能列出一元一次方程來(lái)解呢如果能，比較 兩者的不同，看一看哪種方法簡(jiǎn)單然后自己歸納出列二元一次方程組解應(yīng)用題的步驟例6 分析 本題有兩個(gè)未知數(shù) 一一甲倉(cāng)庫(kù)原存糧與乙?guī)煸婕Z；有兩個(gè)相等

9、關(guān)系:(1)甲倉(cāng)庫(kù)原存糧噸數(shù)+乙倉(cāng)庫(kù)原存糧噸數(shù)=95噸(2)乙倉(cāng)庫(kù)剩余糧食噸數(shù) =2倍甲庫(kù)剩余糧食噸數(shù)解 設(shè)甲倉(cāng)庫(kù)原存糧食 x噸，乙倉(cāng)庫(kù)原存糧食 y噸,x y 95根據(jù)題意，得2(1 40%) y 2(1 -)x3x 45解這個(gè)方程組，得y 40答：甲倉(cāng)庫(kù)原存糧食 45噸，乙倉(cāng)庫(kù)原存糧食 50噸.例7 分析這里有兩個(gè)未知數(shù)甲、乙兩人的速度.有兩個(gè)相等關(guān)系:(1)甲先走2小時(shí)的行程+甲乙在小時(shí)內(nèi)走的行程 =36千米(2)甲乙3小時(shí)走的行程+乙在2小時(shí)內(nèi)走的行程=36千米解 設(shè)甲的速度為x千米/小時(shí)，乙的速度為 y千米/小時(shí)，根據(jù)題意，得4.5x 2.5y 363x 5y 36解方程組，得x 6y

10、 3.6答：甲的速度為6千米/小時(shí)，乙的速度為 3.6千米/小時(shí).例8 分析 這里有兩個(gè)未知數(shù)規(guī)定時(shí)間和A、B兩地間距離.有兩個(gè)相等關(guān)系:(1)員速度以35公里/小時(shí)走完全程用的時(shí)間一 2小時(shí)=規(guī)定時(shí)間(2)通訊員速度為 50公里/小時(shí)走完全程用的時(shí)間 +1小時(shí)=規(guī)定時(shí)間 解設(shè)A、B兩地間的距離為x公里，規(guī)定時(shí)間為 y小時(shí).x根據(jù)題意，得 35x50解方程組，得x 350 y 8答：A、B兩地間的距離為 350公里.例9分析這里有兩個(gè)未知數(shù)一一生產(chǎn)螺釘?shù)娜藬?shù)和生產(chǎn)螺母的人數(shù).有兩個(gè)相等關(guān)系:(1)生產(chǎn)螺釘?shù)娜藬?shù)+生產(chǎn)螺母的人數(shù)=總?cè)藬?shù)(81名)(2)每天生產(chǎn)的螺釘數(shù)=每天生產(chǎn)的螺母數(shù)解 設(shè)生產(chǎn)

11、螺釘?shù)墓と擞?x名，生產(chǎn)螺母的工人有 y名，根據(jù)題意，得x y 81120x 96y解方程組，得x 36y 45答：生產(chǎn)螺釘?shù)墓と擞?36名，有45名工人生產(chǎn)螺母，才能使每天生產(chǎn)出來(lái)的零件及時(shí)包裝 運(yùn)進(jìn)庫(kù)房.例10 分析 這里有兩個(gè)未知數(shù) 一一甲工程隊(duì)每天修路的千米數(shù)和乙工程隊(duì)每天修路的千 米數(shù)；有兩個(gè)相等關(guān)系：(1)甲2天修路的長(zhǎng)十甲、乙合修 2天的公路長(zhǎng)=公路總長(zhǎng)(2)乙2天修路的長(zhǎng)十甲、乙合修 3天的公路長(zhǎng)二公路總長(zhǎng)解 設(shè)甲每天修公路x千米，乙每天修公路 y千米，相短項(xiàng)事唐 2x 2(x y) 420根據(jù)越忌，信2y 3(x y) 420一 口 x 90解方程組，得y 30答：甲每天修公路 90千米，乙每天修公路 30千米.每15秒相遇一次”就是15秒例11 分析 題中有兩個(gè)未知數(shù)，即甲乙兩物體速度，題中 兩物體經(jīng)過(guò)路程之和是 600米，每分鐘相遇