專題二：立體幾何---線面垂直、面面垂直

1、專題二：立體幾何-線面垂直、面面垂直一、知識(shí)點(diǎn)1線面垂直性質(zhì)定理2線面垂直判定定理3面面垂直性質(zhì)定理2面面垂直判定定理線面垂直的證明中的找線技巧通過(guò)計(jì)算，運(yùn)用勾股定理尋求線線垂直1如圖1，在正方體中，為 的中點(diǎn)，AC交BD于點(diǎn)O，求證：平面MBD證明：連結(jié)MO，DB，DBAC， DB平面，而平面 DB 設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，則， 在Rt中， OMDB=O， 平面MBD評(píng)注：在證明垂直關(guān)系時(shí)，有時(shí)可以利用棱長(zhǎng)、角度大小等數(shù)據(jù)，通過(guò)計(jì)算來(lái)證明利用面面垂直尋求線面垂直2如圖2，是ABC所在平面外的一點(diǎn)，且PA平面ABC，平面PAC平面PBC求證：BC平面PAC 證明：在平面PAC內(nèi)作ADPC交PC于D因?yàn)?/p>

2、平面PAC平面PBC，且兩平面交于PC，平面PAC，且ADPC， 由面面垂直的性質(zhì)，得AD平面PBC 又平面PBC，ADBC PA平面ABC，平面ABC，PABC ADPA=A，BC平面PAC 評(píng)注：已知條件是線面垂直和面面垂直，要證明兩條直線垂直，應(yīng)將兩條直線中的一條納入一個(gè)平面中，使另一條直線與該平面垂直，即從線面垂直得到線線垂直在空間圖形中，高一級(jí)的垂直關(guān)系中蘊(yùn)含著低一級(jí)的垂直關(guān)系，通過(guò)此題可以看到，面面垂直線面垂直線線垂直一般來(lái)說(shuō)，線線垂直或面面垂直都可轉(zhuǎn)化為線面垂直來(lái)分析解決，其關(guān)系為：線線垂直線面垂直面面垂直這三者之間的關(guān)系非常密切，可以互相轉(zhuǎn)化，從前面推出后面是判定定理，而從后面

3、推出前面是性質(zhì)定理同學(xué)們應(yīng)當(dāng)學(xué)會(huì)靈活應(yīng)用這些定理證明問(wèn)題下面舉例說(shuō)明3如圖所示，ABCD為正方形，平面ABCD，過(guò)且垂直于的平面分別交于求證：，證明：平面ABCD，平面SAB又平面SAB，平面AEFG，平面SBC同理可證評(píng)注：此題欲證線線垂直，可轉(zhuǎn)化為證線面垂直，在線線垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)化中，平面起到了關(guān)鍵作用，同學(xué)們應(yīng)多注意考慮線和線所在平面的特征，從而順利實(shí)現(xiàn)證明所需要的轉(zhuǎn)化4如圖，在三棱錐BCD中，BCAC，ADBD，作BECD，為垂足，作AHBE于求證：AH平面BCD 證明：取AB的中點(diǎn)，連結(jié)CF，DF ， ， 又，平面CDF 平面CDF， 又， 平面ABE， ， 平面BCD評(píng)注：此題

4、在運(yùn)用判定定理證明線面垂直時(shí)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；而證明線線垂直時(shí)，又轉(zhuǎn)化為證明線面垂直如此反復(fù)，直到證得結(jié)論5如圖，是圓的直徑，是圓周上一點(diǎn)，平面ABC假設(shè)AEPC ，為垂足，是PB上任意一點(diǎn)，求證：平面AEF平面PBC證明：AB是圓的直徑，平面ABC，平面ABC，平面APC平面PBC，平面APC平面PBCAEPC，平面APC平面PBCPC，AE平面PBC平面AEF，平面AEF平面PBC評(píng)注：證明兩個(gè)平面垂直時(shí)，一般可先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，即證線面垂直，而證線面垂直則需從已知條件出發(fā)尋找線線垂直的關(guān)系10如圖, 在空間四邊形SABC中, SA平面ABC, ÐABC

5、= 90°, ANSB于N, AMSC于M。求證: ANBC; SC平面ANM分析: 要證ANBC, 轉(zhuǎn)證, BC平面SAB。要證SC平面ANM, 轉(zhuǎn)證, SC垂直于平面ANM內(nèi)的兩條相交直線, 即證SCAM, SCAN。要證SCAN, 轉(zhuǎn)證AN平面SBC, 就可以了。證明: SA平面ABCSABC又BCAB, 且ABSA = ABC平面SABAN平面SABANBC ANBC, ANSB, 且SBBC = BAN平面SBCSCC平面SBCANSC又AMSC, 且AMAN = ASC平面ANM例2如圖940，在三棱錐SABC中，SA平面ABC，平面SAB平面SBC圖9401求證：ABB

6、C；1【證明】作AHSB于H，平面SAB平面SBC平面SAB平面SBC=SB，AH平面SBC，又SA平面ABC，SABC，而SA在平面SBC上的射影為SB，BCSB，又SASB=S，BC平面SABBCAB例3如圖941，PA平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)求證：平面MND平面PCD【證明】取PD中點(diǎn)E，連結(jié)EN，EA，則EN CD AM，四邊形ENMA是平行四邊形，EAMNAEPD，AECD，AE平面PCD，從而MN平面PCD，MN平面MND，平面MND平面PCD【注】 證明面面垂直通常是先證明線面垂直，此題中要證MN平面PCD較困難，轉(zhuǎn)化為證明

7、AE平面PCD就較簡(jiǎn)單了另外，在此題中，當(dāng)AB的長(zhǎng)度變化時(shí)，可求異面直線PC與AD所成角的范圍例4如圖942，正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F、M、N分別是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中點(diǎn)圖942求證：平面MNF平面ENF【證明】M、N、E是中點(diǎn)，即MNEN，又NF平面A1C1，MNNF，從而MN平面ENFMN 平面MNF，平面MNF平面ENF4如圖945，四棱錐PABCD的底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，PA底面ABCD，E為AB的中點(diǎn)，且PA=AB圖9451求證：平面PCE平面PCD；2求點(diǎn)A到平面PCE的距離1【證明】PA平面ABCD，AD是PD在底面上的射影，又四邊形ABCD為

8、矩形，CDAD，CDPD，ADPD=DCD面PAD，PDA為二面角PCDB的平面角，PA=PB=AD，PAADPDA=45°，取RtPAD斜邊PD的中點(diǎn)F，則AFPD，AF 面PAD CDAF，又PDCD=DAF平面PCD，取PC的中點(diǎn)G，連GF、AG、EG，則GF CD又AE CD，GF AE四邊形AGEF為平行四邊形AFEG，EG平面PDC又EG 平面PEC，平面PEC平面PCD2【解】由1知AF平面PEC，平面PCD平面PEC，過(guò)F作FHPC于H，則FH平面PECFH為F到平面PEC的距離，即為A到平面PEC的距離在PFH與 PCD中，P為公共角，而FHP=CDP=90

9、6;，PFHPCD，設(shè)AD=2，PF=，PC=，F(xiàn)H=A到平面PEC的距離為 【拓展練習(xí)】一、備選題1如圖，AB是圓O的直徑，C是圓周上一點(diǎn)，PA平面ABC1求證：平面PAC平面PBC；2假設(shè)D也是圓周上一點(diǎn)，且與C分居直徑AB的兩側(cè)，試寫(xiě)出圖中所有互相垂直的各對(duì)平面1【證明】C是AB為直徑的圓O的圓周上一點(diǎn)，AB是圓O的直徑BCAC；又PA平面ABC，BC平面ABC，BCPA，從而B(niǎo)C平面PACBC 平面PBC，平面PAC平面PBC2【解】平面PAC平面ABCD；平面PAC平面PBC；平面PAD平面PBD；平面PAB平面ABCD；平面PAD平面ABCD2ABCABC是正三棱柱，底面邊長(zhǎng)為a，D，E分別是BB，CC上的一點(diǎn)，BDa，ECa1求證：平面ADE平面ACCA；2求截面ADE的面積1【證明】分別取AC、AC的中點(diǎn)M、N，連結(jié)MN，則MNAABB，B、M、N、B共面，M為AC中點(diǎn)，BC=BA，BMAC，又BMAA且AAAC=ABM平面AACC設(shè)MN交AE于P，CEAC，