大學物理簡諧運動

1、第十四章第十四章 機械振動機械振動14 14 1 1 簡諧運動簡諧運動機械振動機械振動與機械波與機械波第十四章第十四章 機械振動機械振動14 14 1 1 簡諧運動簡諧運動振動和波動是物質的基本運動形式，是自然界振動和波動是物質的基本運動形式，是自然界的普遍現(xiàn)象，在力學中有機械振動和機械波，的普遍現(xiàn)象，在力學中有機械振動和機械波，在電磁學中有電磁振蕩和電磁波，聲是機械波，在電磁學中有電磁振蕩和電磁波，聲是機械波，光是電磁波，近代物理研究表明，一切微觀粒光是電磁波，近代物理研究表明，一切微觀粒子都具有波動性子都具有波動性 盡管在物質不同的運動形式中，振盡管在物質不同的運動形式中，振動與波動的具體

2、內(nèi)容不同，本質不同，但在形動與波動的具體內(nèi)容不同，本質不同，但在形式上它們具有相似性，都遵循相同的運動規(guī)律，式上它們具有相似性，都遵循相同的運動規(guī)律，都能用相同的數(shù)學方法描述，這說明不同的振都能用相同的數(shù)學方法描述，這說明不同的振動與波動之間具有共同的特性。動與波動之間具有共同的特性。本篇討論機械振動和機械波的基本規(guī)律，它是本篇討論機械振動和機械波的基本規(guī)律，它是其它振動與波動的基礎其它振動與波動的基礎 第十四章第十四章 機械振動機械振動14 14 1 1 簡諧運動簡諧運動振動和波動振動和波動物質的基本運動形式物質的基本運動形式機械振動和機械波機械振動和機械波電磁振蕩和電磁波電磁振蕩和電磁波聲

3、（機械波）聲（機械波）光（電磁波）光（電磁波）微觀粒子的波動性微觀粒子的波動性機械振動：機械振動：物體在一定物體在一定的位置附近做來回往復的位置附近做來回往復的運動。的運動。振動：振動：任何一個物理量在某個確定的數(shù)值附近任何一個物理量在某個確定的數(shù)值附近作周期性的變化。作周期性的變化。波動：波動：振動狀態(tài)在空間振動狀態(tài)在空間的傳播。的傳播。第十四章第十四章 機械振動機械振動14 14 1 1 簡諧運動簡諧運動 任一物理量在某一定值附近往復變化任一物理量在某一定值附近往復變化 振動振動. . 機械振動：機械振動： 物體圍繞一固定位置往復運動物體圍繞一固定位置往復運動. . 例如一切發(fā)聲體、心臟、

4、海浪起伏、地震例如一切發(fā)聲體、心臟、海浪起伏、地震以及晶體中原子的振動等以及晶體中原子的振動等. . 簡諧運動：簡諧運動： 最簡單、最基本的振動最簡單、最基本的振動. .本章研究：簡諧運動本章研究：簡諧運動簡諧運動簡諧運動復雜振動復雜振動合成合成分解分解第十四章第十四章 機械振動機械振動14 14 1 1 簡諧運動簡諧運動3-1 3-1 簡諧運動簡諧運動3-1-1 3-1-1 簡諧運動簡諧運動一、何為簡諧運動？一、何為簡諧運動？如果一個物體的運動方程的形式為如果一個物體的運動方程的形式為)cos(tAx二、簡諧運動的分析二、簡諧運動的分析最典型的簡諧運動最典型的簡諧運動彈簧振子的振動彈簧振子的

5、振動kl0 xmoAA 彈簧振子的振動彈簧振子的振動00FxmakxFxxFmo1 1、受力特征、受力特征線性恢復力，諧振特征力線性恢復力，諧振特征力xmktx22ddmk2令令xtx222dd)cos(tAx2 2、動力學方程、動力學方程xmkax2)sin(ddtAtxv)cos(dd222tAtxa3 3、運動方程、運動方程)cos(tAx4 4、速度、速度5 5、加速度、加速度AvmAam26 6、運動圖線、運動圖線tx圖圖tv圖圖ta圖圖TAA2A2AxvatttAAoooTT)cos(tAx0取取2T)2cos(tA)sin(tAv)cos(2tA)cos(2tAa)cos(tAx

6、一一 振幅振幅maxxA 二二 周期、頻率周期、頻率2T 周期周期)(cosTtAtx圖圖AAxT2Tto3-1-2 3-1-2 簡諧運動的特征量簡諧運動的特征量)cos(2tAkmT2彈簧振子周期彈簧振子周期2Tmk2)cos(tAx周期和頻率僅與振動周期和頻率僅與振動系統(tǒng)系統(tǒng)本身本身的物理性質的物理性質有關有關注意注意21T 頻率頻率T22 圓頻率圓頻率“固有周期固有周期”“固有頻率固有頻率”1 1） 存在一一對應的關系存在一一對應的關系; ;),(vxt202 2）相位在相位在 內(nèi)變化，質點內(nèi)變化，質點無相同無相同的的運動狀態(tài)；運動狀態(tài)； 三三 相位相位t3 3）初）初相位相位 描述質點

7、描述質點初始初始時刻的時刻的運動狀態(tài)運動狀態(tài). . )0( t)sin(tAv)cos(tAxt 相位一定，振動狀態(tài)唯一確定相位一定，振動狀態(tài)唯一確定tx圖圖AAxT2Ttovvv22020vxA00tanxv四四 常數(shù)常數(shù) 和和 的確定的確定A000vv xxt初始條件初始條件cos0Ax sin0Av 對給定振動系統(tǒng)，周期由系統(tǒng)本身性質對給定振動系統(tǒng)，周期由系統(tǒng)本身性質決定，振幅和初相由初始條件決定決定，振幅和初相由初始條件決定.)sin(tAv)cos(tAxcos0A2 0sin0Av2 0sin取取0, 0, 0vxt已知已知 求求討論討論xvo)2 cos(tAxAAxT2Tto)

8、cos(tAx3-1-3 3-1-3 旋轉矢量法旋轉矢量法 以以 為為原點旋轉矢原點旋轉矢量量 的端點的端點在在 軸上的軸上的投影點的運投影點的運動為簡諧運動為簡諧運動動. .xAoxoA當當 時時0t0 x)cos(tAx 以以 為為原點旋轉矢原點旋轉矢量量 的端點的端點在在 軸上的軸上的投影點的運投影點的運動為簡諧運動為簡諧運動動. .xAoxoAtt t)cos(tAx時時)cos(tAx 旋轉旋轉矢量矢量 的的端點在端點在 軸上的投軸上的投影點的運影點的運動為簡諧動為簡諧運動運動. .xAxy0At)cos(tAx例題例題14 14 3 3 旋轉矢量旋轉矢量例例.一彈簧振子作簡諧振動，

9、振幅為一彈簧振子作簡諧振動，振幅為A，周期為，周期為T，其運動方程用余弦函數(shù)表示若其運動方程用余弦函數(shù)表示若t = 0時，時， (1) 振子在負的最大位移處，則初相為振子在負的最大位移處，則初相為_； (2) 振子在平衡位置向正方向運動，則初相為振子在平衡位置向正方向運動，則初相為_； 振子在位移為振子在位移為A/2處，且向負方向運動，則初處，且向負方向運動，則初相為相為_ 振子在位移為振子在位移為-A/2處，且向正方向運動，則處，且向正方向運動，則初相為初相為_ (3)寫出以上四種情況的運動方程寫出以上四種情況的運動方程6.214 14 3 3 旋轉矢量旋轉矢量例例2 2 一質量為一質量為

10、的物體作簡諧運動，振幅的物體作簡諧運動，振幅為為 ，周期為，周期為 ，起始時刻物體在，起始時刻物體在kg01. 0m08. 0s4xm04. 0 處，向處，向 軸負方向運動（如圖）軸負方向運動（如圖）. .試求試求 Ox（1 1） 時，物體所處的位置和所受的力時，物體所處的位置和所受的力 s0 . 1t （2 2）由起始位置運動到由起始位置運動到 處所需處所需要的最短時間要的最短時間. .m04. 0 xo08. 004. 004. 008. 0m/xv例例2 2 一質量為一質量為 的物體作簡諧運動，振幅的物體作簡諧運動，振幅為為 ，周期為，周期為 ，起始時刻物體在，起始時刻物體在kg01.

11、0m08. 0s4xm04. 0 處，向處，向 軸負方向運動（如圖）軸負方向運動（如圖）. .試求試求 Ox（1 1） 時，物體所處的位置和所受的力時，物體所處的位置和所受的力 s0 . 1to08. 004. 004. 008. 0m/xv解解（1）先求運動方程先求運動方程 m08. 0 A1s22T設設)cos(tAxo08. 004. 004. 008. 0m/xv32cos)08.0( txs0 . 1t代入上式得代入上式得m069.0 xxmkxF2)069.0()2)(01.0(2 N1070. 13kg01. 0mo08. 004. 004. 008. 0m/xv （2 2）由起

12、始位置運動到由起始位置運動到 處所需處所需要的最短時間要的最短時間. .m04. 0 x 法一法一 設由起始位置運動到設由起始位置運動到 處所處所需要的最短時間為需要的最短時間為m04. 0 xttcos).(.32080m040s23)21(arccosts667. 0s32o08. 004. 004. 008. 0m/x解法二，由解法二，由旋轉矢量判斷旋轉矢量判斷 33起始時刻起始時刻 時刻時刻tt3ts667. 0s32t1s2 例例1 1 如圖，一輕彈簧連著一物體，彈簧的勁如圖，一輕彈簧連著一物體，彈簧的勁度系數(shù)度系數(shù) ，物體的質量，物體的質量 . . （1 1）把物體從平衡位置拉到把

13、物體從平衡位置拉到 處停處停下再釋放，求簡諧運動方程；下再釋放，求簡諧運動方程； 1mN72. 0kg20mm05. 0 x10sm30.0vm05.0 x（3 3）如果物體在如果物體在 處時速度不等于處時速度不等于零，而是具有向右的初速度零，而是具有向右的初速度 ，求其運動方程求其運動方程. .2A （2 2）求物體從初位置運動到第一次經(jīng)過求物體從初位置運動到第一次經(jīng)過 處時的速度；處時的速度；m/ xo0.05ox解解 （1）1s0 . 602. 072. 0 mk m05. 0022020 xxAvA由旋轉矢量圖可知由旋轉矢量圖可知 0)cos(tAx)m)(t.cos(.06500)c

14、os(tAxoxA2A解解 )cos(tAx)cos(tA2Ax A3t由旋轉矢量圖可知由旋轉矢量圖可知tAsinv1sm26. 0（負號表示速度沿（負號表示速度沿 軸負方向）軸負方向）Ox2A（2 2）求物體從初位置運動到第一次經(jīng)過求物體從初位置運動到第一次經(jīng)過 處時處時的速度；的速度；)sin(ddtAtxv解解 m0707. 022020vxAoxA4)cos(tAx)SI(4t0 . 6cos)0707. 0( m05. 0 x10sm30. 0v（3 3）如果物體在如果物體在 處時速度不等于處時速度不等于零，而是具有向右的初速度零，而是具有向右的初速度 ，求，求其運動方程其運動方程.

15、 .因為因為 ，由旋轉矢量圖可知，由旋轉矢量圖可知400v 對給定振動系統(tǒng)，周期由系統(tǒng)本身性質對給定振動系統(tǒng)，周期由系統(tǒng)本身性質決定，振幅和初相由初始條件決定決定，振幅和初相由初始條件決定. 相位差：兩個簡諧運動的相位之差相位差：兩個簡諧運動的相位之差 . .對于兩個對于兩個同同頻率頻率的簡諧運動，相位差表示它們的簡諧運動，相位差表示它們步調(diào)步調(diào)上的上的差異差異. .)cos(111tAx)cos(222tAx)()(12tt120 xto同步同步txo反相反相xto為其它為其它超前超前落后落后14 14 3 3 旋轉矢量旋轉矢量精析精析6.8 已知兩個簡諧振動曲線如圖所示已知兩個簡諧振動曲線

16、如圖所示x1的相位比的相位比x2的相位超前的相位超前_ Oxx1tx2/2O -AA12例例，兩個質點各自作簡諧振動，它們的振幅相同、，兩個質點各自作簡諧振動，它們的振幅相同、周期相同第一個質點的振動方程為周期相同第一個質點的振動方程為x1 = Acos( t + a a)當?shù)谝粋€質點從正位移處回到當?shù)谝粋€質點從正位移處回到平衡位置時，第二個質點正在最大正位移處求平衡位置時，第二個質點正在最大正位移處求第二個質點的振動方程第二個質點的振動方程 )21cos(2atAx精析精析6.114 14 3 3 旋轉矢量旋轉矢量)312cos(1042txs81s61s41s31s21精析精析 6.66.

17、6一質點沿一質點沿x x軸作簡諧振動，振動方程為軸作簡諧振動，振動方程為 (SI)(SI) 從從t t = 0= 0時刻起，到質點位置在時刻起，到質點位置在x x = -2 cm = -2 cm處，且向處，且向x x軸正方向運動的最短時間間隔為軸正方向運動的最短時間間隔為 例例，兩個彈簧振子的周期都是兩個彈簧振子的周期都是0.4 s， 設開始時設開始時第一個振子從平衡位置向負方向運動，經(jīng)過第一個振子從平衡位置向負方向運動，經(jīng)過0.5 s 后，第二個振子才從正方向的端點開始運動，后，第二個振子才從正方向的端點開始運動，則這兩振動的相位差為則這兩振動的相位差為_ )(sin21212222ktAm

18、mEv)(cos2121222ptkAkxE線性回復力是線性回復力是保守力保守力，作，作簡諧簡諧運動的系統(tǒng)運動的系統(tǒng)機械能機械能守恒守恒 以彈簧振子為例以彈簧振子為例)sin()cos(tAtAxvkxF22pk21AkAEEEmk /2（振幅的動力學意義）（振幅的動力學意義）3-1-4 簡諧運動的能量簡諧運動的能量簡簡 諧諧 運運 動動 能能 量量 圖圖txtv221kAE 0tAxcostAsinvv, xtoT4T2T43T能量能量oTttkAE22pcos21tAmE222ksin21簡諧運動勢能曲線簡諧運動勢能曲線簡諧運動能量守恒，振幅不變簡諧運動能量守恒，振幅不變kEpEx221k

19、AE EBCAApExO例例 質量為質量為 的物體，以振幅的物體，以振幅 作簡諧運動，其最大加速度為作簡諧運動，其最大加速度為 ，求求：kg10. 0m100 . 122sm0 . 4（1）振動的周期；振動的周期； （2）通過平衡位置的動能；通過平衡位置的動能；（3）總能量；總能量；（4）物體在何處其動能和勢能相等？物體在何處其動能和勢能相等？解解 （1）2maxAaAamax1s20s314. 02T（2）J100 . 23222maxmax,k2121AmmEv（3）max, kEE J100 . 23（4）pkEE 時，時，J100 . 13pE由由222p2121xmkxE2p22mE

20、x 24m105 . 0cm707. 0 x第十四章第十四章 機械振動機械振動例例1、底面積為底面積為 S 的長方形木塊，浮于水面，水的長方形木塊，浮于水面，水下部分高度為下部分高度為 a，用手按下，用手按下 b b 后后釋放，釋放，1 1）證明若不計阻力，木塊的運動為簡諧振動）證明若不計阻力，木塊的運動為簡諧振動2 2）求振動周期。）求振動周期。 一個物體的運動形式是由它的受力決定一個物體的運動形式是由它的受力決定的，關鍵是看它的受力是否是簡諧振動的特征的，關鍵是看它的受力是否是簡諧振動的特征力即線性恢復力。力即線性恢復力。kxFab分析：分析：如何判斷一個物如何判斷一個物體是否做簡諧振動？

21、體是否做簡諧振動？第十四章第十四章 機械振動機械振動對物體進行受力分析，若符合對物體進行受力分析，若符合線性恢復力線性恢復力的形式，則物體一定做簡諧振動的形式，則物體一定做簡諧振動以物體的平衡位置為坐標原點，沿運動方以物體的平衡位置為坐標原點，沿運動方向建立坐標向建立坐標列出動力學方程，求出通解列出動力學方程，求出通解 x根據(jù)根據(jù) ，確定，確定和和T，根據(jù)初始條，根據(jù)初始條件確定件確定A和和，最終確定運動方程，最終確定運動方程mk2大學物理簡諧運動a1 1）證明：證明：平衡時平衡時浮FmggaS 任意位置任意位置x 處處，合力，合力浮浮FmgFxogSxagaS)( gxSkx以平衡位置為坐標原點建坐標以平衡位置為坐標原點建坐標木塊運動為諧振動木塊運動為諧振動x第十四章第十四章 機械振動機械振動maFmgF浮浮kx2 2）木塊的運動微分方程為）木塊的運動微分方程為 gxSgxSdtxdm22agmgSmk2gaT2xdtxd222一質點按如下規(guī)律沿一質點按如下規(guī)律沿x軸作簡諧振動：軸作簡諧振動： (SI) 求此振動的周期、振幅、初相、速度最大值和加求此振動的周期、振幅、初相、速度最大值和加速度最大值速度最大值 )328cos(1.0tx解：周期解：周期 ，