利用求導(dǎo)解決物理問題

1、利用“求導(dǎo)”解決物理問題在“考試大綱” 中指出了物理學(xué)科 5 個(gè)方面的能力要求， 其中第 4 個(gè)能力要求是： 應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題的能力。表明數(shù)學(xué)知識(shí)在物理問題的解決過程中占有重要的地位。一、發(fā)現(xiàn)問題1、 題目AOB+Q-Q圖1如圖 1 所示，真空中，帶電荷量分別為+Q 和 -Q 的點(diǎn)電荷 A、 B 相距 r ，則（1）兩點(diǎn)電荷連線的中點(diǎn)O的場(chǎng)強(qiáng)多大？（2）/距 A、 B 兩點(diǎn)都為 r 的 O點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)如何？ 解析 分別求出 +Q 和 -Q 在某點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)的大小和方向，然后根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度的疊加原理，求出合場(chǎng)強(qiáng)。AO EA+QEB圖2B-Q（1）如圖 2 所示， A、 B 兩點(diǎn)電荷在O點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)方向

2、相同，由AB， A、B 兩點(diǎn)電荷kQ4kQ在 O點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度，E A=EB=(r/2)2 =r 28kQ故 O點(diǎn)的合場(chǎng)強(qiáng)為EO=2EA= r 2，方向由 AB。EA/O/E0/EB/A 600600 B+QO-Q圖3（2）圖 3/kQ/所示， E=E= r 2 ，由矢量圖所形成的等邊三角形可知，O 點(diǎn)的合場(chǎng)強(qiáng)AB/kQ/EO=EA = r 2，方向與 A、 B的中垂線垂直，即EO 與 EO同向。結(jié)論在等量異種電荷連線的垂直平分線上，中點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)最大， 兩邊成對(duì)稱分布， 離中點(diǎn)越遠(yuǎn)，場(chǎng)強(qiáng)越小，場(chǎng)強(qiáng)的方向都相同，都是正電荷指向負(fù)電荷的方向。2、 思考（ 1） 本題中通過 O點(diǎn)、 O/ 點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)大小

3、的比較得出了上面的結(jié)論。我們對(duì)結(jié)論作如下的證明：EAC EC EBAB+QO-Q圖4如圖 4 所示，設(shè) A、B 連線中垂線上有一點(diǎn)C，AC、BC與 AB的夾角都為 ，根據(jù)點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式kQ有 E A=EB=(r/2cos ) 2 ，方向如圖。8kQ3由矢量合成可得 E C=2EAcos = r 2(cos ) ，由于 cos 在（ -2， 0）區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在（ 0， ）區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，即EC 在 =0 時(shí)取得最大值，在（- ， ）區(qū)間內(nèi) 的222C的取值越小。取值離 0 越遠(yuǎn)， E（ 2） A、 B 連線上的場(chǎng)強(qiáng)如何分布？二、利用“求導(dǎo)”解決問題A lD EAr-lB+QEB O-Q圖5如

4、圖 5 所示，在 A、 B 連線上任取一點(diǎn)D，設(shè) AD=l，則 BD=r-l ，根據(jù)點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式kQkQ11有 E A=l 2 ， EB=(r-l)2 ， EA、 EB場(chǎng)強(qiáng)方向相同，有ED= E A+EB=kQl 2 + (r-l)2 11/-3-3/r設(shè) y=l 2+ (r-l)2，求導(dǎo)得 y=-2l+2(r-l)令 y=0 則 y有極值，所以 l=2 時(shí) y 取得極值。如果進(jìn)行二次求導(dǎo)，可根據(jù)二次導(dǎo)數(shù)的正、負(fù)來判斷y 取得的是極大值還是極小值。高中階段不研究二次求導(dǎo)，不妨可以在 0<l<r的范圍內(nèi)取 l r的任意值，代入 ED 公式，2r時(shí)進(jìn)行比較，可得：當(dāng)rD取得最小值，即

5、在0<l<r的范圍內(nèi)隨 l 的增大D與 l= 2l= 2 時(shí)EE先減后增。下面，我們討論等量同種電荷連線中垂線上的場(chǎng)強(qiáng)分布情況。E FEBEAFAB+QO+Q圖6如圖 6 所示， AB=r， AF、BF 與 AB的夾角為 ，根據(jù)點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式ABkQ4kQ2有 E =E =(r/2cos ) 2 =r 2 (cos )8kQ2根據(jù)矢量疊加得EF=2EAsin = r 2(cos )sin 設(shè) y=(cos ) 2sin = sin -(sin ) 3令 t=sin 則 y=t-t 3求導(dǎo)得 y/ =1-3t 2，令 y/ =0，則 y 有極值33所以 t= ± 3即 si

6、n =± 3y 取得極值，3由于 O點(diǎn)及無窮遠(yuǎn)處場(chǎng)強(qiáng)為零，因此當(dāng)在（- 2，2）內(nèi) =± arcsin3時(shí) EF 取得最大值。三、“求導(dǎo)”應(yīng)用1、 求極值CRFmx圖7如圖7 所示，光滑水平面右端B 處連接一個(gè)豎直的半徑為R 的光滑半圓軌道，在離B距離為 x 的 A 點(diǎn)，用水平恒力將質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)， 從靜止開始推到B 處后撤去恒力， 質(zhì)點(diǎn)沿半圓軌道運(yùn)動(dòng)到C 處后又正好落回A 點(diǎn)，求：（ 1） 推力對(duì)小球所做的功（ 2） x 取何值時(shí)，完成上述運(yùn)動(dòng)用力最?。孔钚×槎嗌?？ 解析 （ 1）質(zhì)點(diǎn)在水平面上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理有Fx=1mv B2-02質(zhì)點(diǎn)沿半圓軌道由 B

7、 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 C點(diǎn)，只有重力做功1212-2mgR=m v C-mvB22質(zhì)點(diǎn)由 C 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 A 點(diǎn)過程中，做平拋運(yùn)動(dòng)水平方向v C?t=x豎直方向1gt 2=2R2聯(lián)立、可得W=Fx=mg(16R2+x2)8R根據(jù)豎直平面圓周運(yùn)動(dòng)的臨界條件，有vCgR所以得x 2R（ 2）根據(jù)式得F=mg 8R x+2mgRx求導(dǎo)得/ mg 2mgR F =8R - x2當(dāng) F/=0時(shí)， F 有最小值代入式解得x=4R（ x=-4R ，舍）把式代入式得F=mg即當(dāng) x=4R 時(shí)， F 取得最小值Fmin = mg2、 確定做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)y/mA0123456t/s-A圖8如圖 8 所示，為一質(zhì)點(diǎn)的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖象，根據(jù)交流電瞬時(shí)值表達(dá)式可得質(zhì)點(diǎn)的位移隨時(shí)間的變化關(guān)系為y=Asin t ( = 2 rad/s)對(duì)該式求導(dǎo)得/y =Acos t根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可知，位移對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為質(zhì)點(diǎn)的速度，所以v= A cos t根據(jù)此式可求得任一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度，并可做出速度圖象，如圖9 所示。v/m/sA023456t/s1-A圖9再求速度對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，可得加速度隨時(shí)間的變化關(guān)系a= -A 2sin t可得任一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的加速度，質(zhì)點(diǎn)的加速度隨時(shí)間的變化圖象如圖10 所示。a/m/s 2A023456t/