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文檔簡介
1、利用“求導(dǎo)”解決物理問題在“考試大綱” 中指出了物理學(xué)科 5 個方面的能力要求, 其中第 4 個能力要求是: 應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題的能力。表明數(shù)學(xué)知識在物理問題的解決過程中占有重要的地位。一、發(fā)現(xiàn)問題1、 題目AOB+Q-Q圖1如圖 1 所示,真空中,帶電荷量分別為+Q 和 -Q 的點電荷 A、 B 相距 r ,則(1)兩點電荷連線的中點O的場強多大?(2)/距 A、 B 兩點都為 r 的 O點的場強如何? 解析 分別求出 +Q 和 -Q 在某點的場強的大小和方向,然后根據(jù)電場強度的疊加原理,求出合場強。AO EA+QEB圖2B-Q(1)如圖 2 所示, A、 B 兩點電荷在O點產(chǎn)生的場強方向
2、相同,由AB, A、B 兩點電荷kQ4kQ在 O點產(chǎn)生的電場強度,E A=EB=(r/2)2 =r 28kQ故 O點的合場強為EO=2EA= r 2,方向由 AB。EA/O/E0/EB/A 600600 B+QO-Q圖3(2)圖 3/kQ/所示, E=E= r 2 ,由矢量圖所形成的等邊三角形可知,O 點的合場強AB/kQ/EO=EA = r 2,方向與 A、 B的中垂線垂直,即EO 與 EO同向。結(jié)論在等量異種電荷連線的垂直平分線上,中點的場強最大, 兩邊成對稱分布, 離中點越遠(yuǎn),場強越小,場強的方向都相同,都是正電荷指向負(fù)電荷的方向。2、 思考( 1) 本題中通過 O點、 O/ 點場強大小
3、的比較得出了上面的結(jié)論。我們對結(jié)論作如下的證明:EAC EC EBAB+QO-Q圖4如圖 4 所示,設(shè) A、B 連線中垂線上有一點C,AC、BC與 AB的夾角都為 ,根據(jù)點電荷場強公式kQ有 E A=EB=(r/2cos ) 2 ,方向如圖。8kQ3由矢量合成可得 E C=2EAcos = r 2(cos ) ,由于 cos 在( -2, 0)區(qū)間內(nèi)為增函數(shù),在( 0, )區(qū)間內(nèi)為減函數(shù),即EC 在 =0 時取得最大值,在(- , )區(qū)間內(nèi) 的222C的取值越小。取值離 0 越遠(yuǎn), E( 2) A、 B 連線上的場強如何分布?二、利用“求導(dǎo)”解決問題A lD EAr-lB+QEB O-Q圖5如
4、圖 5 所示,在 A、 B 連線上任取一點D,設(shè) AD=l,則 BD=r-l ,根據(jù)點電荷場強公式kQkQ11有 E A=l 2 , EB=(r-l)2 , EA、 EB場強方向相同,有ED= E A+EB=kQl 2 + (r-l)2 11/-3-3/r設(shè) y=l 2+ (r-l)2,求導(dǎo)得 y=-2l+2(r-l)令 y=0 則 y有極值,所以 l=2 時 y 取得極值。如果進(jìn)行二次求導(dǎo),可根據(jù)二次導(dǎo)數(shù)的正、負(fù)來判斷y 取得的是極大值還是極小值。高中階段不研究二次求導(dǎo),不妨可以在 0<l<r的范圍內(nèi)取 l r的任意值,代入 ED 公式,2r時進(jìn)行比較,可得:當(dāng)rD取得最小值,即
5、在0<l<r的范圍內(nèi)隨 l 的增大D與 l= 2l= 2 時EE先減后增。下面,我們討論等量同種電荷連線中垂線上的場強分布情況。E FEBEAFAB+QO+Q圖6如圖 6 所示, AB=r, AF、BF 與 AB的夾角為 ,根據(jù)點電荷場強公式ABkQ4kQ2有 E =E =(r/2cos ) 2 =r 2 (cos )8kQ2根據(jù)矢量疊加得EF=2EAsin = r 2(cos )sin 設(shè) y=(cos ) 2sin = sin -(sin ) 3令 t=sin 則 y=t-t 3求導(dǎo)得 y/ =1-3t 2,令 y/ =0,則 y 有極值33所以 t= ± 3即 si
6、n =± 3y 取得極值,3由于 O點及無窮遠(yuǎn)處場強為零,因此當(dāng)在(- 2,2)內(nèi) =± arcsin3時 EF 取得最大值。三、“求導(dǎo)”應(yīng)用1、 求極值CRFmx圖7如圖7 所示,光滑水平面右端B 處連接一個豎直的半徑為R 的光滑半圓軌道,在離B距離為 x 的 A 點,用水平恒力將質(zhì)量為m的質(zhì)點, 從靜止開始推到B 處后撤去恒力, 質(zhì)點沿半圓軌道運動到C 處后又正好落回A 點,求:( 1) 推力對小球所做的功( 2) x 取何值時,完成上述運動用力最???最小力為多少? 解析 ( 1)質(zhì)點在水平面上做勻加速直線運動,根據(jù)動能定理有Fx=1mv B2-02質(zhì)點沿半圓軌道由 B
7、 點運動到 C點,只有重力做功1212-2mgR=m v C-mvB22質(zhì)點由 C 點運動到 A 點過程中,做平拋運動水平方向v C?t=x豎直方向1gt 2=2R2聯(lián)立、可得W=Fx=mg(16R2+x2)8R根據(jù)豎直平面圓周運動的臨界條件,有vCgR所以得x 2R( 2)根據(jù)式得F=mg 8R x+2mgRx求導(dǎo)得/ mg 2mgR F =8R - x2當(dāng) F/=0時, F 有最小值代入式解得x=4R( x=-4R ,舍)把式代入式得F=mg即當(dāng) x=4R 時, F 取得最小值Fmin = mg2、 確定做簡諧運動質(zhì)點的運動狀態(tài)y/mA0123456t/s-A圖8如圖 8 所示,為一質(zhì)點的簡諧運動圖象,根據(jù)交流電瞬時值表達(dá)式可得質(zhì)點的位移隨時間的變化關(guān)系為y=Asin t ( = 2 rad/s)對該式求導(dǎo)得/y =Acos t根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可知,位移對時間的導(dǎo)數(shù)為質(zhì)點的速度,所以v= A cos t根據(jù)此式可求得任一時刻質(zhì)點運動的速度,并可做出速度圖象,如圖9 所示。v/m/sA023456t/s1-A圖9再求速度對時間的導(dǎo)數(shù),可得加速度隨時間的變化關(guān)系a= -A 2sin t可得任一時刻質(zhì)點的加速度,質(zhì)點的加速度隨時間的變化圖象如圖10 所示。a/m/s 2A023456t/
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