函數(shù)值域求法十五種

1、.  在函數(shù)的三要素中，定義域和值域起決定作用，而值域是由定義域和對應法則共同確定。研究函數(shù)的值域，不但要重視對應法則的作用，而且還要特別重視定義域對值域的制約作用。確定函數(shù)的值域是研究函數(shù)不可缺少的重要一環(huán)。對于如何求函數(shù)的值域，是學生感到頭痛的問題，它所涉及到的知識面廣，方法靈活多樣，在高考中經常出現(xiàn)，占有一定的地位，若方法運用適當，就能起到簡化運算過程，避繁就簡，事半功倍的作用。本文就函數(shù)值域求法歸納如下，供參考。  基本知識         1.定義：因變量y的取值范

2、圍叫做函數(shù)的值域（或函數(shù)值的集合）。2.函數(shù)值域常見的求解思路：     劃歸為幾類常見函數(shù)，利用這些函數(shù)的圖象和性質求解。    反解函數(shù)，將自變量x用函數(shù)y的代數(shù)式形式表示出來，利用定義域建立函數(shù)y的不等式，解不等式即可獲解。      可以從方程的角度理解函數(shù)的值域，從方程的角度講，函數(shù)的值域即為使關于x的方程y=f(x)在定義域內有解的y得取值范圍。         

3、特別地，若函數(shù)可看成關于x的一元二次方程，則可通過一元二次方程在函數(shù)定義域內有解的條件，利用判別式求出函數(shù)的值域。     可以用函數(shù)的單調性求值域。   其他。 1. 直接觀察法    對于一些比較簡單的函數(shù)，通過對函數(shù)定義域、性質的觀察，結合函數(shù)的解析式，求得函數(shù)的值域  例1. 求函數(shù)的值域。解：顯然函數(shù)的值域是：2. 配方法            &

4、#160; 配方法是求二次函數(shù)值域最基本的方法之一。  例2. 求函數(shù)的值域。解：將函數(shù)配方得：由二次函數(shù)的性質可知：當x=1時，當x=-1時，故函數(shù)的值域是：4，83. 判別式法  例3. 求函數(shù)的值域。解：兩邊平方整理得：（1）解得：但此時的函數(shù)的定義域由，得由，僅保證關于x的方程：在實數(shù)集R有實根，而不能確保其實根在區(qū)間0，2上，即不能確保方程（1）有實根，由 求出的范圍可能比y的實際范圍大，故不能確定此函數(shù)的值域為。可以采取如下方法進一步確定原函數(shù)的值域。代入方程（1）解得：     &

5、#160; 即當時，原函數(shù)的值域為：注：由判別式法來判斷函數(shù)的值域時，若原函數(shù)的定義域不是實數(shù)集時，應綜合函數(shù)的定義域，將擴大的部分剔除。4. 反函數(shù)法直接求函數(shù)的值域困難時，可以通過求其原函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域。  例4. 求函數(shù)值域。解：由原函數(shù)式可得：則其反函數(shù)為：，其定義域為：故所求函數(shù)的值域為：5. 函數(shù)有界性法直接求函數(shù)的值域困難時，可以利用已學過函數(shù)的有界性，反客為主來確定函數(shù)的值域。    例5. 求函數(shù)的值域。解：由原函數(shù)式可得：，可化為：     即即 &#

6、160;     解得：故函數(shù)的值域為6. 函數(shù)單調性法  例6. 求函數(shù)的值域。解：令        則在2，10上都是增函數(shù)所以在2，10上是增函數(shù)當x=2時，當x=10時，故所求函數(shù)的值域為：  例7. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可化為：令，顯然在上為無上界的增函數(shù)所以，在上也為無上界的增函數(shù)所以當x=1時，有最小值，原函數(shù)有最大值顯然y>0，故原函數(shù)的值域為7. 換元法通過簡單的換元把一個函數(shù)變?yōu)楹唵魏瘮?shù)，其題型特征是函數(shù)解

7、析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，換元法是數(shù)學方法中幾種最主要方法之一，在求函數(shù)的值域中同樣發(fā)揮作 例8. 求函數(shù)的值域。解：因即故可令故所求函數(shù)的值域為  例9. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可變形為：可令，則有當時，當時，而此時有意義。故所求函數(shù)的值域為  例10. 求函數(shù)，的值域。解：令，則由 且可得：當時，當時，故所求函數(shù)的值域為。  例11. 求函數(shù)的值域。解：由，可得故可令當時，當時，故所求函數(shù)的值域為：8. 數(shù)形結合法其題型是函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式直線斜率等等，這類題目若運用數(shù)形結合法，往往會更加簡

8、單，一目了然，賞心悅目。要學習網,只做中學生最喜歡、最實用的學習論壇，地址       手機版地址   例12. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可化簡得：y=|x-2|+|x+8|上式可以看成數(shù)軸上點P（x）到定點A（2），B(-8)間的距離之和。由上圖可知，當點P在線段AB上時，y=|x-2|+|x+8|=|AB|=10當點P在線段AB的延長線或反向延長線上時，y=|x-2|+|x+8|>|AB|=10故所求函數(shù)的值域為：  例13. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可變形為：上式可看成x軸上的點P(

9、x,0)到兩定點A(3,2),B(-2,-1)的距離之和，由圖可知當點P為線段與x軸的交點時，故所求函數(shù)的值域為  例14. 求函數(shù)的值域。解：將函數(shù)變形為：上式可看成定點A（3，2）到點P（x，0）的距離與定點B(-2,1)到點P(x,0)的距離之差。即：y=|AP|-|BP|由圖可知：（1）當點P在x軸上且不是直線AB與x軸的交點時，如點P'，則構成ABP'，根據三角形兩邊之差小于第三邊，有即：（2）當點P恰好為直線AB與x軸的交點時，有綜上所述，可知函數(shù)的值域為：注：由例13，14可知，求兩距離之和時，要將函數(shù)式變形，使A、B兩點在x軸的兩側，而求兩距

10、離之差時，則要使A，B兩點在x軸的同側。如：例13的A，B兩點坐標分別為：（3，2），(-2,-1)，在x軸的同側；例14的A，B兩點坐標分別為（3，2），(2,-1)，在x軸的同側。9. 不等式法利用基本不等式，求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時需要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。  例15. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)變形為：當且僅當tanx=cotx即當時，等號成立故原函數(shù)的值域為：  例16. 求函數(shù)y=2sinxsin2x的值域。解：y=4sinxsinxcosx當且僅當，即當時，等號成立。由可

11、得：故原函數(shù)的值域為：10. 映射法原理：因為在定義域上x與y是一一對應的。故兩個變量中，若知道一個變量范圍，就可以求另一個變量范圍。  例17. 求函數(shù)的值域。解：定義域為由得故或解得故函數(shù)的值域為11最值法  對于閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)y=f(x),可求出y=f(x)在區(qū)間a,b內的極值,并與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數(shù)的最值,可得到函數(shù)y的值域。要學習網,只做中學生最喜歡、最實用的學習論壇，地址       手機版地址   例18.已知,且滿足x+y=1,

12、求函數(shù)z=xy+3x的值域。  點撥：根據已知條件求出自變量x的取值范圍，將目標函數(shù)消元、配方，可求出函數(shù)的值域。  解：，上述分式不等式與不等式同解，解之得1x3/2，又x+y=1，將y=1-x代入z=xy+3x中，得(-1x3/2),  且x-1,3/2,函數(shù)z在區(qū)間-1,3/2上連續(xù)，故只需比較邊界的大小。  當x=-1時，z=5；當x=3/2時，z=15/4。  函數(shù)z的值域為z5z15/4。  點評：本題是將函數(shù)的值域問題轉化為函數(shù)的最值。對開區(qū)間，若存在最值，也可

13、通過求出最值而獲得函數(shù)的值域。12.構造法  根據函數(shù)的結構特征，賦予幾何圖形，數(shù)形結合。  例19.求函數(shù)的值域。  點撥：將原函數(shù)變形，構造平面圖形，由幾何知識，確定出函數(shù)的值域。  解：原函數(shù)變形為  作一個長為4、寬為3的矩形ABCD，再切割成12個單位正方形。設HK=x,則EK=2-x,KF=2+x,。  由三角形三邊關系知，AK+KCAC=5。當A、K、C三點共線時取等號。  原函數(shù)的知域為y|y5。  點評：對于形如函數(shù)(

14、a,b,c均為正數(shù))，均可通過構造幾何圖形，由幾何的性質，直觀明了、方便簡捷。這是數(shù)形結合思想的體現(xiàn)。13比例法  對于一類含條件的函數(shù)的值域的求法，可將條件轉化為比例式，代入目標函數(shù)，進而求出原函數(shù)的值域。  例20.已知x,yR，且3x-4y-5=0,求函數(shù)的值域。  點撥：將條件方程3x-4y-5=0轉化為比例式，設置參數(shù)，代入原函數(shù)。  解：由3x-4y-5=0變形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k為參數(shù))  x=3+4k,y=1+3k,  。 

15、60;當k=3/5時，x=3/5,y=4/5時，。  函數(shù)的值域為z|z1.  點評：本題是多元函數(shù)關系，一般含有約束條件，將條件轉化為比例式，通過設參數(shù)，可將原函數(shù)轉化為單函數(shù)的形式，這種解題方法體現(xiàn)諸多思想方法，具有一定的創(chuàng)新意識。14利用多項式的除法  例21.求函數(shù)y=(3x+2)/(x+1)的值域。  點撥：將原分式函數(shù)，利用長除法轉化為一個整式與一個分式之和。  解：y=(3x+2)/(x+1)=31/(x+1)。  1/(x+1)0，故y3。  函數(shù)y的值域為y3的一切實數(shù)。  點評：對于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函數(shù)均可利用這種方法。  15. 多種方法綜合運用  例22