高等數(shù)學(xué)：11-4 對(duì)面積的曲面積分

1、第四節(jié)一、對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì) 三、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法對(duì)面積的曲面積分 第十一章 二、曲面面積 oxyz一、對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)一、對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)引例: 設(shè)曲面形構(gòu)件具有連續(xù)面密度),(zyx類似求平面薄板質(zhì)量的思想, 采用kkkkS),(可得nk 10limM),(kkk求質(zhì) “分割，近似，求和，取極限” 的方法,量 M.其中, 表示 n 小塊曲面的直徑的最大值 (曲面的直徑為其上任意兩點(diǎn)間距離的最大者). SzyxMd),(定義定義: 設(shè) 為光滑曲面,“乘積和式極限” kkkkSf),(nk 10lim都存在,的曲面積分Szyxfd),(其中 f (x,

2、 y, z) 叫做被積據(jù)此定義, 曲面形構(gòu)件的質(zhì)量為曲面面積為SSdf (x, y, z) 是定義在 上的一 個(gè)有界函數(shù),記作或第一類曲面積分.若對(duì) 做任意分割和局部區(qū)域任意取點(diǎn), 則稱此極限為函數(shù) f (x, y, z) 在曲面 上對(duì)面積函數(shù), 叫做積分曲面.則對(duì)面積的曲面積分存在. 對(duì)積分域的可加性.,21則有Szyxfd),(1d),(Szyxf2d),(SzyxfSzyxgkzyxfkd),(),(21 線性性質(zhì).則為常數(shù)設(shè),21kkSzyxgkSzyxfkd),(d),(21),(zyxf若在光滑曲面 上連續(xù), 對(duì)面積的曲面積分與對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分性質(zhì)類似. 積分的存在性. 若 是分片

3、光滑的,例如分成兩片光滑曲面oxyz定理: 設(shè)有光滑曲面yxDyxyxzz),(),(:f (x, y, z) 在 上連續(xù),存在, 且有Szyxfd),(yxDyxf),(Szyxfd),( , )z x yyxyxzyxzyxdd),(),(122二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法 則曲面積分證明: 由定義知Szyxfd),(kkkkSf),(nk 10limyxD),(kkkyxk)(kSyxyxzyxzyxkyxdd),(),(1)(22yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkk

4、ykkxzz)(),(),(122yxyxzyxzyxfyxDyxdd),(),(1),(22),(yxz),(,(kkkkzf),(,(kkkkzfSzyxfd),(而(光滑)說(shuō)明:zyDzyzyxx),(),(zxDzxzxyy),(),(或可有類似的公式.1) 如果曲面方程為2) 若曲面為參數(shù)方程, 只要求出在參數(shù)意義下dS 的表達(dá)式 , 也可將對(duì)面積的曲面積分轉(zhuǎn)化為對(duì)參數(shù)的二重積分. 方法可稱為“積分曲面方程代入法”，設(shè)積分曲面的方程為z = f ( x, y )，則具體做法可歸納為：( , , )( , , ( , );f x y zf x y z x y一代：221xydSzz d

5、xdy 二換：三投影：將積分曲面向xoy平面投影得積分區(qū)域.xyDSzyxfd),(yxyxzyxzyxfyxDyxdd),(),(1),(22),(yxzyxD例例3. 計(jì)算曲面積分,dzS其中是球面222zyx被平面)0(ahhz截出的頂部.解:yxDyxyxaz),( ,:2222222:hayxDyx221yxzz 222yxaazSd20da0)ln(2122222haraahaaln2yxDyxayxa222dd22022dhararr2aoxzyha思考思考:若 是球面2222azyx被平行平面 z =h 截出的上下兩部分,) (dzS) (dzS0hln4aa則hhoxzy例例

6、4. 計(jì)算,dSzyx其中 是由平面坐標(biāo)面所圍成的四面體的表面. ozyx111解: 設(shè)上的部分, 則4321,4dSzyx,1:4yxz1010:),(xxyDyxyxxyyxy10d)1 (12031zyx與, 0, 0, 0zyx10d3xx1zyx4321Szyxd 原式 = 分別表示 在平面 xozy例例5. 設(shè)2222:azyx),(zyxf計(jì)算.d),(SzyxfI解: 錐面22yxz的222yxaz.,2122122azayx1設(shè),),(22122ayxyxDyx,22yx ，022yxz當(dāng)22yxz當(dāng)與上半球面交線為為上半球面夾于錐面間的部分, 它在 xoy 面上的投影域?yàn)?

7、yxD則 1d)(22SyxI1d)(22SyxIyxDyx)(22rrraraadd202222021)258(614a222yxaayxddxozy1yxD思考: 若例3 中被積函數(shù)改為),(zyxf,22yx ，022yxz當(dāng)22yxz當(dāng)計(jì)算結(jié)果如何 ? 例例6. 計(jì)算),(dRzSI.:2222Rzyx解: 取球面坐標(biāo)系, 則,cos:Rz I0cos)cosd(2RRRRRRln2ddsind2RS 02dcossinRR20dsinR dR RxyzodsindR zzd例例7. 計(jì)算222d,SIxyz 其中 是介于平面之間的圓柱面.222Ryx分析: 若將曲面分為前后(或左右)

8、zRSd2d則HzRzRI022d2RHarctan2Hzz,0oHxyz解: 取曲面面積元素兩片, 則計(jì)算較繁. oyxzL例例8. 求橢圓柱面19522yx位于 xoy 面上方及平面 z = y 下方那部分柱面 的側(cè)面積 S . 解: )0(sin3,cos5:ttytxL取SSdszLdtt cosdcos45302sd5ln4159zszSddttttdcos9sin5sin3220syLd內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 定義:Szyxfd),(iiiiSf),(ni 10lim2. 計(jì)算: 設(shè),),( , ),(:yxDyxyxzz則Szyxfd),(yxDyxf,(),(yxz)221yxzz yxdd(曲面的其他兩種情況類似) 注意利用球面坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、對(duì)稱性、重心公式簡(jiǎn)化計(jì)算的技巧. 備用題備用題 1. 已知曲面殼)(322yxz,22zyx求此曲面殼在平面 z1以上部分 的的面密度質(zhì)量 M . 解: 在 xoy 面上的投影為 ,2:22 yxDyx故SMdrrrd41d322020)41d(418162202rryxyxyxDdd)(41322132. 設(shè) 是四面體的表0,0,0,1zyxzyx面, 計(jì)算.d)1 (12SyxI解: 在四面體的四個(gè)面上yxz1yxdd3