行列式的計(jì)算方法課堂講解

1、計(jì)算n階行列式的若干方法舉例n階行列式的計(jì)算方法很多，除非零元素較少時(shí)可利用定義計(jì)算（按照某一列或某一行展開完全展開式）外，更多的是利用行列式的性質(zhì)計(jì)算，特別要注意觀察所求題目的特點(diǎn)，靈活選用方法，值得注意的是，同一個(gè)行列式，有時(shí)會(huì)有不同的求解方法。下面介紹幾種常用的方法，并舉例說明。1利用行列式定義直接計(jì)算例 計(jì)算行列式 解 Dn中不為零的項(xiàng)用一般形式表示為 .該項(xiàng)列標(biāo)排列的逆序數(shù)t（n1 n21n）等于，故 2利用行列式的性質(zhì)計(jì)算例： 一個(gè)n階行列式的元素滿足 則稱Dn為反對稱行列式， 證明：奇數(shù)階反對稱行列式為零. 證明：由知，即故行列式Dn可表示為，由行列式的性質(zhì)， 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，得D

2、n =Dn，因而得Dn = 0.2 / 383化為三角形行列式若能把一個(gè)行列式經(jīng)過適當(dāng)變換化為三角形，其結(jié)果為行列式主對角線上元素的乘積。因此化三角形是行列式計(jì)算中的一個(gè)重要方法?；切畏ㄊ菍⒃辛惺交癁樯希ㄏ拢┤切涡辛惺交?qū)切涡辛惺接?jì)算的一種方法。這是計(jì)算行列式的基本方法重要方法之一。因?yàn)槔眯辛惺降亩x容易求得上（下）三角形行列式或?qū)切涡辛惺降男再|(zhì)將行列式化為三角形行列式計(jì)算。原則上，每個(gè)行列式都可利用行列式的性質(zhì)化為三角形行列式。但對于階數(shù)高的行列式，在一般情況下，計(jì)算往往較繁。因此，在許多情況下，總是先利用行列式的性質(zhì)將其作為某種保值變形，再將其化為三角形行列式。例1 計(jì)算行列

3、式解 這是一個(gè)階數(shù)不高的數(shù)值行列式，通常將它化為上（下）三角行列式來計(jì)算例2 計(jì)算n階行列式解 這個(gè)行列式每一列的元素，除了主對角線上的外，都是相同的，且各列的結(jié)構(gòu)相似，因此n列之和全同將第2，3，n列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是1例3 計(jì)算n階行列式 解：這個(gè)行列式的特點(diǎn)是每行（列）元素的和均相等，根據(jù)行列式的性質(zhì)，把第2，3，n列都加到第1列上，行列式不變，得例4：浙江大學(xué)2004年攻讀碩士研究生入學(xué)考試試題第一大題第2小題（重慶大學(xué)2004年攻讀碩士研究生入學(xué)考試試題第三大題第1小題）的解答中需要計(jì)算如下行列式的值：分析顯然若直接化為三角形行列式，計(jì)算很繁，所以我

4、們要充分利用行列式的性質(zhì)。注意到從第1列開始；每一列與它一列中有n-1個(gè)數(shù)是差1的，根據(jù)行列式的性質(zhì)，先從第n-1列開始乘以1加到第n列，第n-2列乘以1加到第n-1列，一直到第一列乘以1加到第2列。然后把第1行乘以1加到各行去，再將其化為三角形行列式，計(jì)算就簡單多了。解：4降階法（按行（列）展開法）降階法是按某一行（或一列）展開行列式，這樣可以降低一階，更一般地是用拉普拉斯定理，這樣可以降低多階，為了使運(yùn)算更加簡便，往往是根據(jù)行列式的特點(diǎn)，先利用列式的性質(zhì)化簡，使行列式中有較多的零出現(xiàn)，然后再展開。例1、計(jì)算20階行列式分析這個(gè)行列式中沒有一個(gè)零元素，若直接應(yīng)用按行（列）展開法逐次降階直至化

5、許許多多個(gè)2階行列式計(jì)算，需進(jìn)行20！*201次加減法和乘法運(yùn)算，這人根本是無法完成的，更何況是n階。但若利用行列式的性質(zhì)將其化為有很多零元素，則很快就可算出結(jié)果。注意到此行列式的相鄰兩列（行）的對應(yīng)元素僅差1，因此，可按下述方法計(jì)算：解：例2 計(jì)算n階行列式解 將Dn按第1行展開.例3 計(jì)算n（n2）階行列式解 按第一行展開，得 再將上式等號(hào)右邊的第二個(gè)行列式按第一列展開，則可得到5遞（逆）推公式法遞推法是根據(jù)行列式的構(gòu)造特點(diǎn)，建立起 與  的遞推關(guān)系式，逐步推下去，從而求出 的值。 有時(shí)也可以找到 與 ， 的遞推關(guān)系，最后利用  ， 得到    的值

6、。 注意用此方法一定要看行列式是否具有較低階的相同結(jié)構(gòu)如果沒有的話，即很難找出遞推關(guān)系式，從而不能使用此方法。例1 計(jì)算行列式.解：將行列式按第列展開,有,得 。同理得 , 例2 計(jì)算解同理聯(lián)立解得當(dāng)時(shí),例3 計(jì)算n階行列式解 首先建立遞推關(guān)系式按第一列展開，得：這里與有相同的結(jié)構(gòu)，但階數(shù)是的行列式現(xiàn)在，利用遞推關(guān)系式計(jì)算結(jié)果對此，只需反復(fù)進(jìn)行代換，得：因，故最后，用數(shù)學(xué)歸納法證明這樣得到的結(jié)果是正確的當(dāng)時(shí)，顯然成立設(shè)對階的情形結(jié)果正確，往證對n階的情形也正確由、可知，對n階的行列式結(jié)果也成立根據(jù)歸納法原理，對任意的正整數(shù)n，結(jié)論成立例4 證明n階行列式證明 按第一列展開，得其中，等號(hào)右邊的第

7、一個(gè)行列式是與有相同結(jié)構(gòu)但階數(shù)為的行列式，記作；第二個(gè)行列式，若將它按第一列展開就得到一個(gè)也與有相同結(jié)構(gòu)但階數(shù)為的行列式，記作這樣，就有遞推關(guān)系式：因?yàn)橐褜⒃辛惺降慕Y(jié)果給出，我們可根據(jù)得到的遞推關(guān)系式來證明這個(gè)結(jié)果是正確的當(dāng)時(shí)，結(jié)論正確當(dāng)時(shí)，結(jié)論正確設(shè)對的情形結(jié)論正確，往證時(shí)結(jié)論也正確由 可知，對n階行列式結(jié)果也成立 根據(jù)歸納法原理，對任意的正整數(shù)n，結(jié)論成立例5、2003年福州大學(xué)研究生入學(xué)考試試題第二大題第10小題要證如下行列式等式：（雖然這是一道證明題，但我們可以直接求出其值，從而證之。）分析此行列式的特點(diǎn)是：除主對角線及其上下兩條對角線的元素外，其余的元素都為零，這種行列式稱“三對角

8、”行列式1。從行列式的左上方往右下方看，即知Dn-1與Dn具有相同的結(jié)構(gòu)。因此可考慮利用遞推關(guān)系式計(jì)算。證明：Dn按第1列展開，再將展開后的第二項(xiàng)中n-1階行列式按第一行展開有：這是由Dn-1 和Dn-2表示Dn的遞推關(guān)系式。若由上面的遞推關(guān)系式從n階逐階往低階遞推，計(jì)算較繁，注意到上面的遞推關(guān)系式是由n-1階和n-2階行列式表示n階行列式，因此，可考慮將其變形為：或現(xiàn)可反復(fù)用低階代替高階，有：同樣有：因此當(dāng)時(shí)由（1）（2）式可解得：，證畢。6利用范德蒙行列式根據(jù)行列式的特點(diǎn)，適當(dāng)變形（利用行列式的性質(zhì)如：提取公因式；互換兩行（列）；一行乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)加到另一行（列）去； .) 把所求行列式化成

9、已知的或簡單的形式。其中范德蒙行列式就是一種。這種變形法是計(jì)算行列式最常用的方法。 例1 計(jì)算行列式解 把第1行的1倍加到第2行，把新的第2行的1倍加到第3行，以此類推直到把新的第n1行的1倍加到第n行，便得范德蒙行列式例2 計(jì)算階行列式其中解 這個(gè)行列式的每一行元素的形狀都是，0，1，2，n即按降冪排列，按升冪排列，且次數(shù)之和都是n，又因，若在第i行（1，2，n）提出公因子，則D可化為一個(gè)轉(zhuǎn)置的范德蒙行列式，即例3 計(jì)算行列式.解：例4 計(jì)算行列式 解 作如下行列式,使之配成范德蒙行列式 = 易知等于中 的系數(shù)的相反數(shù),而中 的系數(shù)為 ,因此, 例5、 計(jì)算n階行列式解：顯然該題與范德蒙行列

10、式很相似，但還是有所不同，所以先利用行列式的性質(zhì)把它化為范德蒙行列式的類型。先將的第n行依次與第n-1行，n-2行，,2行，1行對換，再將得到到的新的行列式的第n行與第n-1行，n-2行，,2行對換，繼續(xù)仿此作法，直到最后將第n行與第n-1行對換，這樣，共經(jīng)過（n-1）+（n-2）+2+1=n（n-1）/2次行對換后，得到上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的結(jié)果得： 7加邊法（升階法）加邊法（又稱升階法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不變的方法。它要求：1 保持原行列式的值不變； 2 新行列式的值容易計(jì)算。根據(jù)需要和原行列式的特點(diǎn)選取所加的行和列。加邊法適用于某一

11、行（列）有一個(gè)相同的字母外，也可用于其第 列（行）的元素分別為 n-1 個(gè)元素的倍數(shù)的情況。 例1 計(jì)算n階行列式 解： 例2 計(jì)算n（n2）階行列式，其中解 先將添上一行一列，變成下面的階行列式：顯然，將的第一行乘以后加到其余各行，得因，將上面這個(gè)行列式第一列加第i（，）列的倍，得：8數(shù)學(xué)歸納法當(dāng) 與    是同型的行列式時(shí)，可考慮用數(shù)學(xué)歸納法求之。 一般是利用不完全歸納法尋找出行列式的猜想值，再用數(shù)學(xué)歸納法給出猜想的證明。因此，數(shù)學(xué)歸納法一般是用來證明行列式等式。因?yàn)榻o定一個(gè)行列式，要猜想其值是比較難的，所以是先給定其值，然后再去證明。（數(shù)學(xué)歸納法的步驟大家都比較熟悉，

12、這里就不再說了）例1 計(jì)算n階行列式解：用數(shù)學(xué)歸納法. 當(dāng)n = 2時(shí)， 假設(shè)n = k時(shí)，有 則當(dāng)n = k+1時(shí)，把Dk+1按第一列展開，得由此，對任意的正整數(shù)n，有例2 計(jì)算行列式.解：,于是猜想 .證明：對級數(shù)用第二數(shù)學(xué)歸納法證明.時(shí),結(jié)論成立.假設(shè)對級數(shù)小于時(shí)，結(jié)論成立.將級行列式按第行展開，有.例3 計(jì)算行列式 解：猜測：證明（1）n = 1, 2, 3 時(shí)，命題成立。假設(shè)nk 1 時(shí)命題成立,考察n=k的情形：故命題對一切自然數(shù)n成立。9拆開法拆項(xiàng)法是將給定的行列式的某一行（列）的元素寫成兩數(shù)和的形式，再利用行列式的性質(zhì)將原行列式寫成兩行列式之和，把一個(gè)復(fù)雜的行列式簡化

13、成兩個(gè)較為簡單的。使問題簡化以利計(jì)算。例1 計(jì)算行列式 解：=例2 計(jì)算n（n2）階行列式解 將按第一列拆成兩個(gè)行列式的和，即再將上式等號(hào)右端的第一個(gè)行列式第i列（，3，n）減去第一列的i倍；第二個(gè)行列式提出第一列的公因子，則可得到當(dāng)n3時(shí)，當(dāng)時(shí)，例3 計(jì)算n階行列式 ，（）解 將第一行的元素都表成兩項(xiàng)的和，使變成兩個(gè)行列式的和，即將等號(hào)右端的第一個(gè)行列式按第一行展開，得： 這里是一個(gè)與有相同結(jié)構(gòu)的階行列式；將第二個(gè)行列式的第一行加到其余各行，得：于是有 （1）另一方面，如果將的第一行元素用另一方式表成兩項(xiàng)之和： 仿上可得： （2）將（1）式兩邊乘以，（2）式兩邊乘以，然后相減以消去，得：計(jì)算

14、行列式的方法很多，也比較靈活，上面介紹了計(jì)算n階行列式的常見方法，計(jì)算行列式時(shí)，我們應(yīng)當(dāng)針對具體問題，把握行列式的特點(diǎn)，靈活選用方法?？偟脑瓌t是：充分利用所求行列式的特點(diǎn)，運(yùn)用行列式性質(zhì)及上述常用的方法，有時(shí)綜合運(yùn)用以上方法可以更簡便的求出行列式的值；有時(shí)也可用多種方法求出行列式的值。學(xué)習(xí)中多練習(xí)，多總結(jié)，才能更好地掌握行列式的計(jì)算。5.消去法求三對角線型行列式的值例6 求n階三對角線型行列式的值：      （1）的構(gòu)造是：主對角線元全為2，主對角線上方第一條次對角線與下方第一條次對角線的元全為1，其余的元全為0。解 用消去法，把中主對角線下

15、方第一條次對角線的元1全部消成0：首先從第二行減去第一行的倍，于是第二行變?yōu)槠浯螐牡谌袦p去第二行（指新的第二行，以下同）的倍，則第三行變?yōu)樵購牡谒男袦p去第三行的倍，則第四行變?yōu)轭愃频刈鱿氯?，直到第n行減去第n 1行的倍，則第n行變?yōu)樽詈笏玫男辛惺綖?#160;       （2）上面的行列式是三角型行列式，它的主對角線元順次為          93）又主對角線下方的元全為0。故的值等于（3）中各數(shù)的連乘積，即。 注3 一般的三對角線型行列式            （4）也可以按上述消去法把次對角線元全部消去，得到一個(gè)三角型行列式，它的值等于