第七章等價(jià)鞅測度模型和無套利均衡基本定理

1、第七章 等價(jià)鞅測度模型和無套利均衡基本定理一、等價(jià)鞅測度的基本涵義1、鞅的定義：隨機(jī)過程Zn,n0如果滿足以下兩個條件：（1），對于n0的任何n。（2）2、等價(jià)鞅測度的定義隨機(jī)過程S（t）,是一個鞅（對應(yīng)于信息結(jié)構(gòu)和條件概率P*）如果對任意t0，滿足以下三個條件：（1）S（t）在信息結(jié)構(gòu)下已知。（2）（3），tT，以概率為1成立。即式中T時(shí)S（T）的可能取值S1，S2Sk共k種，P*為相應(yīng)的條件概率。則稱條件概率P*為真實(shí)概率P的等價(jià)鞅測度或等價(jià)鞅概率。根據(jù)等價(jià)鞅測度的關(guān)系，正是表達(dá)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原則，即各階段依信息結(jié)構(gòu)決定的條件概率所求的平均價(jià)值的現(xiàn)值，總與初始階段的價(jià)值相等，這樣就可以求解條

2、件概率P*，在無套利條件下作為現(xiàn)實(shí)世界的P，為期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)服務(wù)。為了更好地理解風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)，我們可以舉一個簡單的例子來說明。假設(shè)一種不支付紅利證券（no-dividend-paying）目前的市價(jià)為100元，我們知道在半年后，該股票價(jià)格要么是110元，要么是90元。假設(shè)現(xiàn)在的無風(fēng)險(xiǎn)年利率等于10%，現(xiàn)在我們要找出一份6個月期協(xié)議價(jià)格為105元的該股票歐式看漲期權(quán)的價(jià)值。由于歐式期權(quán)不會提前執(zhí)行，其價(jià)值取決于半年后證券的市價(jià)。若6個月后該股票價(jià)格等于110元，則該期權(quán)價(jià)值為5元；若6個月后該股票價(jià)格等于90元，則該期權(quán)價(jià)值為0。為了找出該期權(quán)的價(jià)值，我們假定所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的。在風(fēng)險(xiǎn)

3、中性世界中，我們假定該股票上升的概率為P*，下跌的概率為1-P*。這種概率被稱為風(fēng)險(xiǎn)中性概率，它與現(xiàn)實(shí)世界中的真實(shí)概率是不同的。實(shí)際上，風(fēng)險(xiǎn)中性概率已經(jīng)由股票價(jià)格的變動情況和利率所決定：P*=0.7564根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，我們就可以算出該期權(quán)的價(jià)值：二、從實(shí)例考察等價(jià)鞅測度的存在性和唯一性參閱金融工程原理P,108-P112例1. 通過等價(jià)鞅概率求期望值（1）先求各狀態(tài)下該奇異期權(quán)的價(jià)值奇異期權(quán)：合約結(jié)構(gòu)不標(biāo)準(zhǔn)而且很復(fù)雜，而不是說很罕見、很少交易或高風(fēng)險(xiǎn)的期權(quán)?？煞譃槿N類型：合同條件變更型期權(quán)（改變期權(quán)的某些條件）、路徑依賴型期權(quán)（最終結(jié)算根據(jù)基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格在一段時(shí)間內(nèi)的變化路徑來決定）、

4、多因素期權(quán)（最終結(jié)算根據(jù)兩種或兩種以上基礎(chǔ)資產(chǎn)的價(jià)格來決定）。 所以=28+9-14-18=5同理可求得，如以下圖示：（2）求出所有的等價(jià)鞅測度由等價(jià)鞅測度的條件3可知：所以： 如果記 則一定有1-p-q=由上兩式可知：解此方程組可得唯一解：p=q=1/3同理可求得： i=1,2,9 j=1,2,3因?yàn)樗薪舛伎汕蟪觯沂俏ㄒ坏?，所以由無套利均衡第二基本定理可知該模型是有生存性的，所有的衍生證券均可通過無套利均衡來定價(jià)。（3）求奇異買權(quán)的價(jià)格例2. 首先求等價(jià)鞅測度P*，由等價(jià)鞅測度的條件3可知： 記 則1-p可得方程組：即所以此方程組無解，故不存在等價(jià)鞅測度，該模型無生存性，不是一個均衡模

5、型。例3. 首先求等價(jià)鞅測度P*，由等價(jià)鞅測度的條件3可知：記 q則一定有1-p-q=11p+10q+8(1-p-q)=10即3p+2q=2顯然，上面這個方程有無數(shù)組解。同理，由也可以解得無數(shù)個解，所以等價(jià)鞅測度有無數(shù)個，從而該模型有生存性，但是并非所有的衍生證券都可通過無套利均衡定價(jià)。因?yàn)檠苌C券的價(jià)格x要保證為一個常數(shù)才有意義，所以應(yīng)該有一定的限制條件。我們雖然得不到唯一的等價(jià)鞅測度，但由等價(jià)鞅測度的條件3我們可以得到以下關(guān)系式： （*）我們需要保證：是一個常數(shù).（書上的表達(dá)方式不太準(zhǔn)確）由上式和方程組（*）經(jīng)過推導(dǎo)可得：（*）(*)（*）方程組就是使我們尋找的限制條件，在這一條件下E*（

6、x）在任何等價(jià)鞅測度下都為一常數(shù)。由方程組（*）可求得兩個等價(jià)鞅測度P*和Q*（書111頁），從而算得總結(jié)：（1）如果一個市場中價(jià)格變化過程各自獨(dú)立的證券種數(shù)大于事件樹每個父輩節(jié)點(diǎn)的分叉數(shù)（即狀態(tài)數(shù)）時(shí)，則該市場中一定存在套利機(jī)會。（如例2）（2）如果一個市場中價(jià)格變化過程各自獨(dú)立的證券種數(shù)等于事件樹每個父輩節(jié)點(diǎn)的分叉數(shù)（即狀態(tài)數(shù)）時(shí)，則該市場中所有的衍生證券都可通過無套利均衡定價(jià)，或者說，對每種衍生證券來說，市場都是完全的。（如例1）（3）如果一個市場中價(jià)格變化過程各自獨(dú)立的證券種數(shù)小于事件樹每個父輩節(jié)點(diǎn)的分叉數(shù)（即狀態(tài)數(shù)）時(shí)，則該市場并非所有的衍生證券都可通過無套利均衡定價(jià)。市場只對其期末價(jià)值滿足一定比例關(guān)系式的衍生證券才是完全的。（如例3）三、用鞅方法推導(dǎo)BS模型（1）鞅：對于Xt tT，EXT=Xt 稱Xt是鞅。（2）資產(chǎn)S，服從幾何布朗運(yùn)動： 在風(fēng)險(xiǎn)中性世界，且無“股利”支付時(shí)： 解上面方程得： （上式積分求解）EST=Ster(T-t) (上式兩邊求期望)St, tT本身不是鞅但折現(xiàn)之后就變?yōu)轺保磂-r(T-t)St是鞅。因?yàn)椋?e-r(T-t) ESt= Ster(T-t)e-r(T-t)Ee-r(T-t)ST=St（3）下面用期望折現(xiàn)，即鞅方法定價(jià)，（為期權(quán)定價(jià)）根據(jù)歐式期權(quán)定義：CT=max(ST-x，0),因?yàn)閑