2013年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題及答案

1、2021年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題及參考答案第一試一、選擇題此題總分值 42分，每題7分1.計算 4.3 2,241 24.2BA，- 2 1 B1 C、2D2m2 m 22滿足等式 2 m1的所有實數(shù) m的和為AA3 B4 C5 D63AB是圓O的直徑，C為圓O上一點， CAB 15， ABC的平分線交圓 O于點D，假設(shè) CD ,3，那么 AB= AA2 B6 C2 2D324不定方程 3x 7xy 2x 5y 170的全部正整數(shù)角x,y的組數(shù)為BA1 B2 C3 D45矩形ABCD的邊長 AD=3，AB=2，E為AB的中點，F(xiàn)在線段BC上，且BF： FC=1: 2, AF分別與DE, DB

2、交于點M， N,貝U MN= CA出B口 C空Dn為“好數(shù)，那71428282將一個正方體的外表都染成紅色，再切割成3n (n 2)個相同的小正方體，假設(shè)只有一面是紅色的小正方體數(shù)目與任何面都不是紅色的小正方體的數(shù)目相同，那么n =83.在公ABC 中,A 60 , C 75 , AB 10，D，E，F(xiàn) 分別在 AB，BC, CA 上,那么也 DEF的周長最小值為64如果實數(shù)x, y, z滿足x2y2z2xy yz zx 8，用 A 表示 x y , y z , z x 的最大值，那么A的最大值為4、6么，所有“好數(shù)之和為BA33 B34C2021D 2021二、填空題此題總分值28 分,每題

3、7分1實數(shù)x, y, z滿足xy 4,z 1xy 2y 9,那么 x 2y 3z6設(shè)n為正整數(shù)，假設(shè)不超過n的正整數(shù)中質(zhì)數(shù)的個數(shù)等于合個數(shù)，那么稱第二試A、此題總分值20分實數(shù)a, b, c, d滿足2a2 3c22b2 3d2 ad be ?6,求a2 b22d 的值。解：設(shè)ma23n 2a2 2b23c2 3d212.因為2m3n2 22m 3n 24mn24mn,2即1224mn,所以mn 6又因為mn由,可得mn2 2 26.即 a b cd2注：符合條件的實數(shù)a,b,c,d存在且不唯一,2,b 1,c二、此題總分值25分點C在以AB為直徑的圓O上，過點9PB于點P,連AC,假設(shè)OP

4、AC，求AC的值。解：連OC,因為PC, PB為圓O的切線，所以/ POC=Z POB又因為 OA=OC所以/ OCA2 OAC又因為/ COBM OCA丄 OAC 所以 2 / POB=N OAC 所以/ POB=/ OAC 所以 OP/ AC,又/ POB=/ OACAC所以企BAC -厶POB，所以 OBAB。OP9又 OP AC ,22OP=3r,AC= r.3AB=2r, OB=r r為圓O的半徑，代入可求得在RUPOB中,由勾股定理可求得 PB .'OP2 OB2 2 2r。所以空修3.2。AC 2 rr3B C作圓0的切線，交普,d 琴就是一組。三、此題總分值25分t是一

5、元二次方程x2 x 1 0的一個根，假設(shè)正整數(shù)a,b, m使得等式at m bt m 31m成立，求ab的值。解：因為t是一元二次方程x2 x 1 0的一個根，顯然t是無理數(shù)，且t2 1 t。即 ab 1 t2m a b t m 31m，即 m a b ab t2ab m 31m0.因為a,b,m是正整數(shù)，t是無理數(shù)，所以m a b ab 0,a b 31 m,于是可得22 ab m 31m 0,ab 31m m .因此，a,b是關(guān)于x的一元二次方程 x22m 31 x 31m m0的兩個整數(shù)根，該方程的判別式2 2m 314 31m m31 m 31 5m 0.又因為a,b是正整數(shù)，所以a

6、b 31 m0，從而可得031m .5又因為判別式 是一個完全平方數(shù)，驗證可知，只有m 6符合要求。把m 6代入可得ab 31m m2 150.第二試B、此題總分值20分t 21 ,假設(shè)正整數(shù)a,b, m使得等式at mbt m17m成立，求ab的值解：因為t .21，所以t23 2邁.等式atm btm 17m 即 abt2 ma b tm217m,即ab 32 2ma b 2 1m217m ,整理得m a b2ab 、2 3ab ma b2 m17m0a b 2 17 m于是可得£ab 17m m .因此，a,b是關(guān)于x的一元二次方程2(m17)x17m m20 的兩個整數(shù)根,2

7、方程的判別式4 m 174 17m17 m 17 2m0.又因為a,b,m是正整數(shù)，所以ab 2 170，從而可得0 m17又因為判別式 是一個完全平方數(shù)，驗證可知,只有m 8符合要求,2由1知0MNI是矩形，連接Bl,Cl,設(shè) OM=IN=r即為ABC的內(nèi)切圓半徑，貝US _A0CSjA0BS A0ISjCOIS AICS AIBS AOIS BOI2S jA0IS 丄 B0IS 丄 COIS AICS AIB12 S AOI 0I21 r2OI r11AC rAB r222SA0I1r 0IbT c2S AOI二、此題總分值25分在 ABC中，AB>AC, 0、I 分別是 ABC的外

8、心和內(nèi)心，且滿足 AB-AC=20。求 證：101/ BC;2S AOC S AOB 2S AOI °證明1作0M丄BC于M IN丄BC于 N。設(shè) BC=a , AC=b ,1t=r _u. zi=t 亠 j. 12AB=c °,1易求得 CM=-a , CN=-2又MN恰好是兩條平行線垂線段，所以 01/ MN所以0I / BG1 -MN=CM-CN= c b =01,20M , IN之間的垂線段，所以 0I也是兩條平行線 0M , IN之間的a b c，所以三、此題總分222 22 2bbcaca2bc2ca22222 2bcacaba2bc2ca解:由于a,b,c具有輪換對稱性,1:l假設(shè)cab,那么cab22 c2 a1c2 b2 a2bc2bc2 c2 ab21c2 ab22ca2ca22b225a,b,ca2b22c2ab2c2ab的值。不妨設(shè) 0 a bb 0,c b a 01,c.從而得:2.2 2aba ""2aba b 2 c21 1,2abb22所以bLa2 2c2 a2 b2a2 b2 c22bc2ca2ab與條件矛盾。那么Ocab,0，從而可得:b22 c2 a2bc222cab2ca2.22abc01012ab2假設(shè)c ac b $ a22bc1,b2 a22abc a $ b22ca1,a b $ c