2014高考全國2卷數(shù)學文科試題及答案詳解

1、2021年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學第I卷一、選擇題：本大題共 12小題，每題5分，在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的1集合 A 2,0,2，B x|x2 x 20，那么 A B=(A) B 2C0 (D)2考點：交集及其運算.分析：先解出集合B,再求兩集合的交集即可得出正確選項.解答： 解：A=- 2, 0, 2, B=x|x2 - x - 2=0= - 1, 2,二 AA B=2.應(yīng)選：B點評：此題考查交的運算，理解好交的定義是解答的關(guān)鍵.21 3i()A1 2i B1 2i C1-2i(D)1-2i考點：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算.分析：分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)

2、1+i化簡即可.解答：解：化簡可得=- 1+2i應(yīng)選：B點評：此題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的化簡，分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)是解決問題的關(guān)鍵，屬根底題.3函數(shù)f X在x x0處導數(shù)存在，假設(shè) p: f (x0) 0;q:x xd是f x的極值點，貝y ()Ap是q的充分必要條件Bp是q的充分條件，但不是q的必要條件Cp是q的必要條件，但不是q的充分條件(D)p既不是q的充分條件，也不是 q的必要條件考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：根據(jù)可導函數(shù)的極值和導數(shù)之間的關(guān)系，利用充分條件和必要條件的定義即可得到結(jié)論.解答：函數(shù)fx=x3的導數(shù)為f x=3x2，由f ' x

3、0=0,得x0=0，但此時函數(shù)fx單調(diào)遞增, 無極值，充分性不成立根據(jù)極值的定義和性質(zhì)，假設(shè)x=x0是f x的極值點，那么f' x0=0成立，即必要性成立，故 p是q的必要條件，但不是 q的充分條件,應(yīng)選：C點評：此題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用函數(shù)單調(diào)性和極值之間的關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵,比擬根底.4設(shè)向量 a, b 滿足 |a+b|= 10 , |a-b|= 6，那么 a b=()A1 B2 C3 (D) 5考點：平面向量數(shù)量積的運算.分析：將等式進行平方，相加即可得到結(jié)論.解答：|；+亍|=伍，I；- b 1=廣,分別平方得，當+篇?電 +譏10盂-航+備 =6,兩式相減

4、得 4?遼 =10- 6=4,即石？b=1, 應(yīng)選：A點評：此題主要考查向量的根本運算，利用平方進行相加是解決此題的關(guān)鍵，比擬根底.5等差數(shù)列an的公差為2,假設(shè)a2,a4,a8成等比數(shù)列，那么 an的前n項Sn= ()An n 1Bn n 1cn n 1n n 1(D)2 2考點：等差數(shù)列的性質(zhì).分析：由題意可得a42= a4 - 4 a4+8，解得a4可得a1,代入求和公式可得.考點:分析:解答:應(yīng)選:點評:由三視圖求面積、體積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有由三視圖判斷幾何體的形狀，通過三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積即可.幾何體是由兩個圓柱組成，一個是底面半徑為3高為2,個是底面半徑為 2,高為4,組合體體

5、積是： 32 n? 2+22 n? 4=34 n.底面半徑為3cm,高為6cm的圓柱體毛坯的體積為：32 nX 6=54 n切削掉局部的體積與原來毛坯體積的比值為：=.C.此題考查三視圖與幾何體的關(guān)系，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計算能力.(7)正三棱柱ABC A1B1C1的底面邊長為2,側(cè)棱長為V3 , D為BC中點，那么三棱錐 A BQG的體積為()A3C1D考點:分析:解答:應(yīng)選:點評:棱柱、棱錐、棱臺的體積.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有由題意求出底面 B1DC1的面積，求出 A到底面的距離，即可求解三棱錐的體積.正三棱柱 ABC- A1B1C1的底面邊長為2,側(cè)棱長為，D為BC中點，底面

6、B1DC1的面積：=,A到底面的距離就是底面正三角形的高：三棱錐A- B1DC1的體積為：=1.C.此題考查幾何體的體積的求法，求解幾何體的底面面積與高是解題的關(guān)鍵.8考點:分析:解答:應(yīng)選:點評:執(zhí)行右面的程序框圖，如果如果輸入的x, t均為2，那么輸出的S=()A4 B5 C6D7程序框圖.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有根據(jù)條件，依次運行程序，即可得到結(jié)論.假設(shè)x=t=2 ,那么第一次循環(huán)，1 < 2成立，那么 M=, S=2+3=5, k=2,第二次循環(huán)，2 < 2成立，那么 M= S=2+5=7, k=3,此時3W 2不成立，輸出 S=7,D.此題主要考查程序框圖的識別和判斷，比擬根底.1

7、1LS=3r1苗廠1/輛入/9設(shè)x, y滿足的約束條件x y 10x y 10 ，那么z x 2y的最大值為x 3y 30考點：簡單線性規(guī)劃.分析：作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，通過平移即可求z的最大值.A8 B7 C2 D1解答:得 y= -1作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，由z=x+2y,平移直線尸丄年，由圖象可知當直線y=-吉工坨經(jīng)過點A時，直線y= -1：的截距最大,此時z的最大值為z=3+2X 2=7,應(yīng)選：B.點評：此題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法10設(shè)F為拋物線c：y2 3x的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交于C于代B兩點

8、，那么|AB =()A"30 B6 C12 D733考點：拋物線的簡單性質(zhì).分析：求出焦點坐標，利用點斜式求出直線的方程，代入拋物線的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，由弦長公式求得|AB| . 解答： 由y2=3x得其焦點F吟 0，準線方程為x=-晉.昆 * / OI qJ那么過拋物線y2=3x的焦點F且傾斜角為30°的直線方程為y=ta n30 ° x-"=二x-=.J代入拋物線方程，消去y，得16x2 - 168x+9=0.設(shè) A x1 , y1，B x2, y2那么 x1+x2= 168_21,J6 ' 2所以 |AB|=x1 + 丄!+x2+丄

9、+上+L=1244 4 4 2故答案為：12.點評： 此題考查拋物線的標準方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，弦長公式的應(yīng)用，運用弦長公式是解題的難 點和關(guān)鍵.11假設(shè)函數(shù)f(x) kx Inx在區(qū)間1, +丨單調(diào)遞增，那么 k的取值范圍是()12丨設(shè)點M(x0,1)，假設(shè)在圓0:x2 y21上存在點N,使得OMN 45°,那么X。的取值范圍是()A, 2 B, 1C 2, D 1,考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì).分析：由題意可得，當 x> 1時，f ' x=k-> 0，故k - 1 >0，由此求得k的范圍.解答：函數(shù)f x=kx - Inx在區(qū)間1, +8單調(diào)遞增，當 x&

10、gt; 1 時，f ' x=k -> 0,. k- 1 >0,. k> 1,應(yīng)選：D.點評：此題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，屬于根底題.A1,1 B1，C2,2 D2 2考點：直線和圓的方程的應(yīng)用.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.解答：由題意畫出圖形如圖：/點 M xO, 1，假設(shè)在圓 O: x2+y2=1上存在點 N,使得/ OMN=45 ,圓上的點到 MN的距離的最大值為1,要使MN=1才能使得/ OMN=45 ,圖中M顯然不滿足題意，當MN垂直x軸時，滿足題意， - xO的取值范圍是-1， 1.應(yīng)選

11、：A點評：此題考查直線與圓的位置關(guān)系，直線與直線設(shè)出角的求法， 數(shù)形結(jié)合是快速解得此題的策略之一.第H卷本卷包括必考題和選考題兩局部。第13題第21題為必考題，每個考試考生都必須做答。第22題第24題為選考題，考生根據(jù)要求做答。二、填空題：本大題共 4小題，每題5分。13甲、已兩名元發(fā)動各自等可能地從紅、白、藍3種顏色的運動服種選擇 1種，那么他們選擇相同顏色運動服的概率為.考點：相互獨立事件的概率乘法公式.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析： 所有的選法共有3 X 3=9種，而他們選擇相同顏色運動服的選法共有3種，由此求得他們選擇相同顏色運動服的概率.解答： 有的選法共有3X 3=9種，而他們選擇相同顏色運

12、動服的選法共有3種，故他們選擇相同顏色運動服的概率為'= 一，9 3 故答案為：1.點評：此題主要考查相互獨立事件的概率乘法公式，屬于根底題.14函數(shù) f (x) sin(x ) 2sin cosx 的最大值為 考點：三角函數(shù)的最值.分析：展開兩角和的正弦，合并同類項后再用兩角差的正弦化簡，那么答案可求.解答： 解：t fx=sinx+ 0- 2sin $ cosx=sinxcos $ +cosxsin $- 2sin $ cosx=sinxcos $- sin $ cosx=sin x -$. f x的最大值為1.故答案為：1.點評：此題考查兩角和與差的正弦，考查了正弦函數(shù)的值域，是

13、根底題.考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì).專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.分析：根據(jù)函數(shù)奇偶性和對稱性的性質(zhì)，得到f x+4=f x，即可得到結(jié)論.解答：解：因為偶函數(shù) y=f x的圖象關(guān)于直線 x=2對稱，所以 f2+x=f2-x=fx- 2,即 f x+4 =f x，那么 f - 1=f- 1+4=f3=3,故答案為:3點評：此題主要考查函數(shù)值的計算，利用函數(shù)奇偶性和對稱性的性質(zhì)得到周期性f x+4f x是解決此題的關(guān)鍵，比擬根底.116數(shù)列an滿足 an 1, a22，那么 ® =.1 an考點：數(shù)列遞推式.分析： 根據(jù)a8=2，令n=7代入遞推公式an+1=，求得a7，再依次求出a6, a5的

14、結(jié)果，發(fā)現(xiàn)規(guī)律,求出a1的值.解答： 由題意得，an+仁一 ,a8=2,令n=7代入上式得，a8 ，解得a7=;1 _牛令n=6代入得,解得a6=- 1;令n=5代入得,解得a5=2;根據(jù)以上結(jié)果發(fā)現(xiàn)，求得結(jié)果按2，丄，-1循環(huán),/ 8- 3=22,故 a1故答案為:12點評：此題考查了數(shù)列遞推公式的簡單應(yīng)用，即給n具體的值代入后求數(shù)列的項，屬于根底題.三、解答題：解容許寫出文字說明過程或演算步驟。17本小題總分值12分四邊形ABCD的內(nèi)角 A與C互補，AB=1, BC=3, CD=DA=2.I求 C 和 BD ;求四邊形 ABCD的面積。解：I由題設(shè)及余弦定理得BD2BC2 CD22BC C

15、D cosC1312cos CBD2AB2 2DA2 AB DA cos A54cosC由,得cosC1,故 C 60 , BD27n四邊形ABCD的面積S 1 AB2DA sin A1BC CD sin C2(2 12 1 322)sin 602 3如圖，四凌錐P ABCD中，底面ABCD為矩形,ABCD , E為PD的中點。I證明：PB/平面AEC ;PA 面n設(shè)置AP 1 , AD 3 ,三棱錐P ABD的體積V求A到平面PBD的距離。解：I設(shè)BD與AC的交點為0，連接EO因為ABCC為矩形，所以0為BD的中點,又因為E為PD的中點，所以 EO/PBE0 平面AEC , PB 平面AEC

16、 ,所以PB /平面AEC、1C1V3nVS ABDPA PA ABADAB3 ABD66由題設(shè)知V3，可得AB342做AH PB交PB于H由題設(shè)知BC 平面PAB，所以BC AH，故AH又AHPA AB 3 13PB 13所以A到平面PBC的距離為匕1313平面PBC ,某市為了考核甲、乙兩部門的工作情況，隨機訪問了50位市民。根據(jù)這50位市民甲部門乙部門35 9440 4 4 89751 2 2 4 5 6 6 7 7 7 8 9976653321 1 060 1 1 2 3 4 6 8 89887776655555444333210070 0 1 1 3 4 4 9665520081 2

17、 3 3 4 56 3 22 2 090 1 1 4 5 6100 0 0I分別估計該市的市民對甲、乙部門評分的中位數(shù)；n分別估計該市的市民對甲、乙部門的評分做于90的概率;川根據(jù)莖葉圖分析該市的市民對甲、乙兩部門的評價。解:由所給莖葉圖知，50位市民對甲部門的評分由小到大排序，排在第25,26位的是75, 75,故樣本中位數(shù)為75，所以該市的市民對甲部門評分的中位數(shù)的估計值是75.50位市民對乙部門的評分由小到大排序，排在第25, 26位的是66,68，故樣本中位數(shù)為67.生範 67，所以該市的市民對乙部門品分的中位數(shù)的估計值是5890的比率分別為0.1,0.16，故該50502n由所給莖葉

18、圖知，50位市民對甲、乙部門的評分高于市的市民對甲、乙部門的評分高于90的概率的估計值分別為0.1 , 0.16.川由所給莖葉圖知，市民對甲部門的評分的中位數(shù)高于對乙部門的評分的中位數(shù)，而且由莖葉圖可以 大致看出對甲部門的評分的標準差要小于對乙部門的評分的標準差，說明該市市民對甲部門的評價 較高、評價較為一致，對乙部門的評價較低、評價差異較大注：考生利用其他統(tǒng)計量進行分析， 結(jié)論合理的同樣給分。2設(shè)FF2分別是橢圓C :MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個交點為N。I假設(shè)直線n假設(shè)直線3MN的斜率為？，求C的離心率；4MN在 y軸上的截距為 2且|MN|=5|FiN|，求a, b。解:I根

19、據(jù)cb2.a2 b2 及題設(shè)知 M(c,),2b23ac將b2a2 c2 代入 2b2 3ac ,-2舍去a1故C的離心率為-n由題意，原點O為F1F2的中點,MF2/ y軸,所以直線MFi與y軸的交點D(0, 2)是線段MFi的b2中點，故a4，即b2 4a由 |MN | 5| FiN |得| DFi | 2| FiN |2( c xi)c即2*i 2Xi3c21代入c的方程，得鑒4a將及c 、. a2 b2代入得29(a4a)4a214a占 1 a>b>0的左右焦點，M是C上一點且 b22解得a 7,b 4a 28，故函數(shù)f(x) x3 3x2 ax 2，曲線y f(x)在點0,2丨處的切線與x軸交點的橫坐標為-2.I求 a;n證明：當時，曲線 y f(x)與直線y kx 2只有一個交點。解：【f (x) 3x2 6x a, f (0) a曲線y f (x)在點0, 2處的切線方程為 y ax 22由題設(shè)得 一2，所以a 1an由I知， f