數(shù)學(xué)試卷立體幾何綜合大題2

1、立體幾何綜合大題(理科)40道及答案1、四棱錐 P-ABCD 中，PA，底面 ABCD , PA = 2展,BC = CD = 2 ,.ACB =/ACD 二一 3(I )求證：BD，平面PAC .(H)若側(cè)棱PC上的點(diǎn)F滿足PF =7FC ,求三棱錐P-BDF的體積?！敬鸢浮?I)證明：因?yàn)锽C=CD即ABD 為等腰三角形，又/ACB=/ACD,故BD_L AC. 因?yàn)镻A_L底面ABCD ,所以PA _L BD ,從而BD與平面PAC內(nèi)兩條相交直線PA, AC都垂直，故BD，平面PAC(H)解：S由CD =1BC *CD ,sin/BCD = 7VP -BDF = VP -BCD V F

2、-BCD = 2 一二 一 442、如圖，四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為矩形, /APD =90 :平面 PAD _L 平面 ABCD,且 A3 =均 2 父 2M 2sin 交=V3 . 223由 PA_L 底面 ABCD 知 VP_BDC=-S BCD PA.3 2.3=2. 331由PF =7FC,得二棱錐F -BDC的圖為-PA,811111故：Vf -bdc =一 S bcd PA=. 3 - 2 3 =-PAD為等腰三角形，,E,F分另I為PC和BD38384(I )證明：EF J；,'平面 PAD ;(II)證明：平面PDC _L平面PAD ;(m)求四棱錐P-A

3、BCD的體積.PAB【答案】(I )證明：如圖，連結(jié)AC .四邊形ABCD為矩形且F是BD的中點(diǎn).F也是AC的中點(diǎn).又E是PC的中點(diǎn)，EF :J APV EF S平面PAD , PAU平面PAD ,所以EF占平面PAD ;(H )證明：二.平面PAD_L 平面 ABCD , CD _L AD ,平面PAD口 平面ABCD = AD,所以平面CD _L平面PAD ,又PA匚平面PAD ,所以PA_L CD又PA_LPD , PD,CD是相交直線，所以PA_L面PCD又PA二平面PAD ,平面PDC 1平面PAD ;(田)取AD中點(diǎn)為O.連結(jié)PO, APAD為等腰直角三角形，所以PO-L AD ,

4、因?yàn)槊鍼AD，面ABCD且面PADp|面ABCD = AD ,所以，PO_L 面 ABCD, 即PO為四棱錐P -ABCD的高.由 AD=2得 PO=1.又 AB=1.12四棱錐 P-ABCD 的體積 V =1PO AB AD =233考點(diǎn)：空間中線面的位置關(guān)系、空間幾何體的體積 .3、如圖，在四棱錐PABCD中，PD _L平面ABCD , CD_l PA, DB平分/ADC ,(I )證明:E 為 PC 的中點(diǎn)，/DAC=45,，AC =42.PA / 平面 BDE ;(H)若PD =2,BD =2代求四棱錐E-ABCD的體積【答案】(I )設(shè)ACc BD = F，連接EF,丁 PD 1 平

5、面 ABCD , CD u 平面 ABCD，: PD _L CD又 CD _L PA, PD c PA = P, PD, PA u 平面 PAD二 CD 1 平面 PAD ” AD 仁平面 PAD 二 CD _L AD : ZDAC =45： ； DA =DC,V DB平分/ADC, F為AC中點(diǎn)，E為PC中點(diǎn)， EF為ACPA的中位線.v EF / PA,EF u 平面 BDE , PA 0平面 BDE . PA / 平面 BDE .(H)底面四邊形ABCD的面積記為S;S = S&DC + S &BC = K Q 父十, M 炎 2 = 2 .2222丁點(diǎn)E為線段PC的中點(diǎn)

6、,132311VE 4BCD=-S PD32考點(diǎn)：1.線面平行的證明；2.空間幾何體的體積計(jì)算4、如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，其中PA=PD = AD = 2,/BAD =60 , Q為AD的中點(diǎn).(1)求證：AD_L平面PQB;(2)若平面PAD _L平面ABCD ,且M為PC的中點(diǎn)，求四棱錐 M - ABCD的體【答案】(1) ；PA=PD, Q 為中點(diǎn)，AD _L PQ連 DB,在 MDB 中，AD=AB, /BAD =60：.ABD為等邊三角形，Q為AD的中點(diǎn)，AD _ BQ ,PQ c BQ =Q , PQ =平面 PQB , BQ u 平面 PQB ,J. A

7、D _L 平面 PQB .(2)連接 QC，作 MH .LQC 于 H . PQ -L AD , PQ 仁平面 PAD ,平面PAD c平面ABCD AD,平面PAD -L平面ABCD , PQ _L 平面ABCDQC 二平面 ABCDPQ _QC .PQ/MH, MH _L 平面 ABCD ,又 PM =2PC, . MHPQ二1近2.立2222在菱形ABCD中，BD=2,1oS.ABD =- AB AD sin 601= -222三、3, 2Sb 形 ABCD =2S.abD=23VM -ABCDS#形 ABCD MH=1 m2a/3x =1 . 325、如圖，E是矩形ABCD中AD邊上的

8、點(diǎn)，F(xiàn)為CD邊的中點(diǎn)，AB=ae=2AD=4,現(xiàn)將AABE沿BE邊折至APBE位置，且平面 PBE_L平面 3BCDE. 求證：平面PBE,平面PEF；求四棱錐P-BEFC的體積.【答案】（1）證明：由題可知,DEF 中ABE 中ED =DFED -DF1=.DEF =45AE = AB :AEB =45AE- AB=EF - BE平面ABE，平面BCDE平面 ABE A平面 BCDE =BE >= EF _L平面 PBE占 平面PBE _L平面PEFEF -LBEEF u平面PEF1.1 SBEFC = SABCD - SABE - SDEF =6父4 X4X4X 2X 2 =14 則

9、2211 28、2V =- SBEFC h 二14 2、, 2 =-8.3336、已知四棱錐P-ABCD中，PD _L平面ABCD,ABCD是正方形，E是PA的中點(diǎn),PDC(1)若PD =AD ,求PC與面AC所成的角(2)求證：PC 平面EBD求證：平面PBCL平面PCD【答案】(1) ； PD 1平面ABCD ,，DC是直線PC在平面ABCD上的射影，PCD是直線PC和平面ABCD所成的角。又：PD = DA ,四邊形ABCD是正方形，, DA = DC,二 PD = DC ,.N PCD = 450;二直線 PC 和平面 ABCD 所成的角為450(2)連接AC交BD與。，連接EO, /

10、B O分別為PA AC的中點(diǎn)EO/ PC v PCZ 平面 EBD,EO=平面 EBD . PC/ 平面 EBD(3) v PD 平面 ABCD, BC 平面 ABCD - PD BC. ABC時(shí)正方形 BC CDPm CD=D, PD CF 平面 PCD.BC 正面 PCD又: BCU平面PBC平面PBC正面PCD7、在邊長為4cm的正方形 ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，M、N分 別為AB、CF的中點(diǎn)，現(xiàn)沿AE、AF、EF折疊，使R C、D三點(diǎn)重合，重合后 的點(diǎn)記為B ,構(gòu)成一個(gè)三棱錐.(1)請(qǐng)判斷MN與平面AEF的位置關(guān)系，并給出證明；(2)證明AB_L平面BEF ;(3)求四

11、棱錐E-AFNM的體積.【答案】(1) MN平行平面AEF證明：由題意可知點(diǎn)M、N在折疊前后都分別是AB、CF的中點(diǎn)(折疊后 兩點(diǎn)重合)所以MN平行AFMN AEF因?yàn)镴 AF u面AEF ,所以MN平行平面AEF .MN平行AFB、C(2)證明：由題意可知AB _L BE的關(guān)系在折疊前后都沒有改變所以因?yàn)樵谡郫B前AD_LDF ,由于折疊后AD與AB重合，點(diǎn)D與F重合，AB _ BF” AB _LBEAB_L BF因?yàn)?#171; BEu面BEF ,所以AB _L平面BEF .BF u 面 BEFBE - BF=B(3) Ve 冶FNM =Ve -ABF -Ve -JMBN =Va-BEF -

12、Vm -ben1° ad 1 c-3 S.BEF AB - 3 s.BENMB=11224-112123 23 2=2 .PD /8、在如圖所示的幾何體中，四邊形 ABCD是正方形，MA，平面ABCD ,MA, E、G、F 分別為 MB、PB、pc 的中點(diǎn)，且 AD= PD= 2MA . 求證：平面EFG，平面PDC ;(2)求三棱錐P MAB與四棱錐P- ABCD的體積之比.【答案】(1)證明：V MA _L平面ABCD , PD / MA ,PD _L 平面 ABCD ,又 BC 仁平面 ABCD，.二 PD _L BC ,: ABCD 為正方形，BC 1DC.v PDDC=D

13、,BC _L平面 PDC .在APBC中，因?yàn)镚、F分別為PB、PC的中點(diǎn)，. GF / BC , ； GF _L 平面 PDC .又GF u平面EFG ,.平面EFG _L平面PDC .不妨設(shè)MA=1 ,ABCD為正方形，PD=AD=2,又 : PD _L 平面 ABCD ,所以VP abcd=3 s正方形ABCD8 PD =3由于DA _L平面MAB，且PD / MA , 所以DA即為點(diǎn)P到平面MAB的距離,三棱錐VP_MAB = 1 X匚父1父2 'x2=2.312)3所以 VP-MAB: VP-ABCD =1 49、如圖，在底面是直角梯形的四棱錐 S-ABCD,一1/ABC =

14、90 , SA，面ABCD, SA= AB = BC =1,AD =.2求四棱錐S-ABCD勺體積;(2)求證：面 SAB_L 面 SBC;(3)求SC與底面ABC所成角的正切值?！敬鸢浮?1)解：111_ _ -111v Sh(AD BC) AB SA (1) 1 1 一33 26 24(2)證明：丁 SA_L而ABCD, BCu 面ABCD, SA_ BC又；AB_LBC, SARaB = A,BC _L WSAB : BCcWSAB.-, WSAB1WSBC(3)解：連結(jié)AC,則/SCA就是SC與底面ABC所成的角1.2222在三角形 SCA中，SA=1,AC=12 一 - 2-2(I

15、)設(shè) SM = > MC ,則 M(0,),MB = (42,)1111又 AB = (0,2,0), MB ,AB、= 60o故 MB AB =| MB | i AB | cos60o ,即 12 = .2,SA tan SCA = AC10.如圖，四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為矩形，SD_LJ面 ABCD, AD=V2, DC =SD=2 ,點(diǎn) M 在側(cè)棱 SC 上,/ ABM=60O(I)證明：M是側(cè)棱SC的中點(diǎn)；(II)求二面角S-AM -B的大小?！敬鸢浮糠謩e以DA DC DS為x、y、z軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系 D-xyz , 則 A(V2,0,0),B(Q,2,0),

16、C(0,0,2),S(0,0,2)。2222.2+(1 +(1 ,解得1'所以M是側(cè)棱SC的中點(diǎn)。(H )由(I )得 M (0,1,1), MA = (V2,1,1),又 AS = (-72,0,2) , AB = (0,2,0),設(shè)n =（乂1,丫1,4）,5=（乂2,丫2*2）分別是平面SAM、MAB的法向量，則廣*1 , S MA = 0 且一一 ，即n1 AS = 0n1 AB = 0/2x1 - y1 - z1 =0且-V2x1 + 2z1 = 0r I-2 2x2 y2 Z2 = 02y2 = 0分別令 x1 = x2 = 42 得 z1 = 1, y1 = 1, y2

17、= 0,z2 = 2 ,即T=(j2,1,1),n7=(j2,0,2),2 0 26cos 。，“ =266而角S - AM 一 B的大小a -arccos。311、如圖，直三棱柱 ABCABG中，AB!AC D> E分別為AA、BC的中點(diǎn)，DEI（H）設(shè)二面角 ABDC為60° ,求BC與平平面BCC （ I ）證明：ABAC面BCD9T成的角的大小【答案】（I）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB為x軸的正半軸，建立如圖所示的直角 坐標(biāo)系A(chǔ) xyz。1 b設(shè) B 1, 0, 0 , C 0, b, 0 , D 0, 0, c ,則 Bi 1, 0, 2c , E -,一22c)于是 D

18、E = (1 , b , 0) , BC = (-1 , b,0).由 DE,平面 BCCi 知 DE± BC DE BC 22二0,求得b=1,所以AB=AG(n)設(shè)平面 BCD 的法向量 AN =(x,y,z),則 AN BC =0, AN 晶=0.又 BC =(-1 , 1, 0),BD = (-1 , 0, c)I -x y =0 ，故-x cz = 0令 x=1,貝U y=1, z=1 , AN =(1,1, c1)。 c又平面ABD的法向量AC =(0, 1, 0)由二面角A-BD -C為60°知，AN,AC =60故 AN AC = AN ACcos60于是

19、AN = (1,1,.2)，CB1cos： AN ,CB1AN CB1ANAN ,CBd =60所以BC與平面BCD所成的角為30°12、如圖，DC _L 平面 ABC , EB/DC ,AC = BC = EB = 2DC = 2 , NACB = 120P,Q分別為AE,AB的中點(diǎn).(I)證明:PQ/平面ACD ； (II )求AD與平面ABE所成角的正弦值.RO【答案】（I ）證明：連接DP,CQ ,在&ABE中，P,Q分別是AE, AB的中點(diǎn),11所以PQ/-BE , 又DC BE ,所以PQ/DC，又PQ0平面 ACD, DC平 22二二面ACD所以PQ 平面ACD

20、(U )在 AABC 中，AC = BC = 2, AQ = BQ ,所以 CQ _L AB而DQ_平面ABC EBDC ,所以EB_L平面ABC而EBu平面ABE 所以平面ABE,平面ABC 所以CQ_L平面ABE由(I)知四邊形DCQ詫平行四邊形，所以DP/CQ所以DP _L平面ABE 所以直線AD在平面ABE內(nèi)的射影是AP,所以直線AD與平面ABE所成角是.DAP在RUAPD中，AD = Jac2 + DC2 = J22 -12 =后,DP =CQ =2sin . CAQ =1所以 sin. DAP D- -1 =AD 15513、如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD_L底面AB

21、CD，點(diǎn)E在棱PB上.（I）求證：平面AEC _L 平面 PDB ;（U）當(dāng) PD =J2AB 且 E 為 PB 的中點(diǎn)時(shí)，求AE與平面PD所成的角的大小.【答案】（I）二四邊形ABCLg正方形，. AC!BDV PD _L 底面 ABCD ,.-.PD±AC .ACL平面 PDB平面AEC，平面PDB .（II）設(shè) ACn BD=O,連接 OE由（I ）知ACL平面PDBT O,/AEO AE與平面PD所的角，.O, E分別為DR PB的中點(diǎn)，1 .O田 PD OE=PD ,又. PD _L 底面 ABCD , 2.OEL底面 ABCD OELAO12在 RtzXAOE中，OE =

22、PD = J AB= AO , 22丁. /AOE =45口，即AE與平面PD可成的角白大小為45;14、如圖，在四棱錐 P-ABCD中，底面 ABCD是矩形，PA_L平面ABCD ,PA=AD=4, AB =2.以BD的中點(diǎn)O為球心、BD為直徑的 球面交PD于點(diǎn)M .(1)求證：平面ABM，平面PCD ；(2)求直線PC與平面ABM所成的角；(3)求點(diǎn)O到平面ABM的距離.【答案】(1)證：依題設(shè)，M在以BD為直徑的球面上，則BMXPD .因?yàn)镻A，平面ABCD,則PALAB,又ABLAD,所以AB，平面PAD, 則ABLPD, 因此有PD，平面ABM, 所以平面A C D .(2 )設(shè)平面

23、ABM與P C交于點(diǎn)N, 因?yàn)锳B/CD,所以AB/平面PCD, 則 A B / MN /CD,由(1)知，PD,平面ABM,則 MN PN在平面ABMi的射影， 所以 /PNM就是PC與平面ABM所成的角,且 PNM = PCDtan PNM =tan PCD = = 2.2 DC所求角為arctan2、. 2(3)因?yàn)镺是BD的中點(diǎn)，則O點(diǎn)到平面ABM勺距離等于D點(diǎn)到平面ABM®離的 一半，由(1)知，PDL平面ABM于 M則|DM就是D點(diǎn)到平面ABkJg離. 因?yàn)樵?RtzXPAD中，PA=AD =4, PD 1 AM，所以 M 為 PD 中點(diǎn)，DM = 26 ,則。點(diǎn)到平面A

24、BM勺距離等于7215、如圖，正方形ABCD所在平面與平面四邊形 ABEF所在平面互相垂直，ABE是等腰直角三角形，AB =AE, FA =FE,NAEF =45口（I）求證：美EF _L 平面 BCE ;（II ）設(shè)線段CD、AE的中點(diǎn)分別為P、M ,求證： PM /平面BCE4-（III ）求二面角F-BD-A的大小?！敬鸢浮浚↖ ）因?yàn)槠矫?ABEFL平面 ABCD BC=平面 ABCD BCL AB,平面 ABEF n 平面 ABCDAB,所以BC1平面ABEF所以BC± EF因?yàn)椋珹BE為等腰直角三角形，AB=AE,所以ZAEB=45° ,又因?yàn)? AEF=45,

25、所以/ FEB=90° ,即 EF± BE因?yàn)锽C匚平面ABCD BE=平面BCEBCn BE=B所以EF _L平面BCE（II）取be的中點(diǎn)n連結(jié)cnmn則mN -ab£ pc PMNCj平行四邊形，所以PM/ CN V CN在平面BCE內(nèi)，PMpp在平面BCEft, . PM/ 平面 BCE(III )由EALAB平面ABEFL平面ABCD易知EA!平面ABCD 作FG, AB交BA的延長線于G,則FG/ EA從而FGL平面ABCD 作GHL BD于H,連結(jié)FH則由三垂線定理知 BD± FH / FHG為二面角F- BD A的平面角. FA=FE,

26、/ AEF=45° , ZAEF=90° , ZFA(=45° .2i設(shè) AB=1,則 AE=1, AF=，則 FG = AF sin FAG = 24» 八。八一13在 Rt/BGIH , /GB=45 , BG=ABfA(=1+-=-,GH = BG sin GBH =32= 2224 ,在 Rt，F(xiàn)GHfr,tan FHG 二FG 2GH = W而角F -BD A的大小為arc tan.2于是,DF=AD ,DEAE在 RtACDF,由cot 60。=DFCD16、如圖，四棱錐 $ABCD勺底面是正方形，SDL平面ABCDS4 AD= a,點(diǎn)E是S

27、D上的點(diǎn)，且DE=八a(0九三1).L (I)求證：對(duì)任意的九w (0、1),都有 ACL BE(H)若二面角GAED的大小為600C,求九的值?！敬鸢浮?I )證發(fā)1 :連接BD,由底面是正方形可得 AC_ BD；SDL平面AB CD,BD是BE在平面 ABCD 上的射影，由三垂線定理得AC-BE(II);SDJ_平面ABCDCDu平面ABCD, SDj_ CD又底面A BCD是正方形，,CD_LAD,又S DA/D,，CDj_平面SAD過點(diǎn)D在平面SADWft DFLAE于F,連接CF, M CFJ_ A匕 故/CFD二面角C-AED的平面角，即/ CF®60°在 Rt

28、zXADE中，v AD= a , DE= Ka, AE=a J 九2 +1 。得2-=,即J3/十3 二3九2 13，2九50,1, 解得九二17、如圖3,在正三棱柱 ABC-AB1cl中，AB=4, AA = J7 ,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，且DE! A1 E. ( I )證明：平面 ADE _L平面 ACC1A ；( II)求直線AD和平面ADE所成角的正弦值?！敬鸢浮?I)如圖所示，由正三棱柱ABC-ABG的 性質(zhì)知AA _L平面ABC .又 DEu 平面 ABC 所以 DE_ AA1.而 DEL AE, 1。人£=人,所以DE1平面ACC1A .又DE u平面ADE

29、, 故平面ADE，平面ACC1Al.(II) 過點(diǎn)A作AF垂直A E于點(diǎn)F , 連接DF由(I )知，平面A1DE，平面ACC1A ，平面AiDE所成的角因?yàn)?DEj_ ACCiA ，所以AF_L平面ADE，故/ADF是直線AD和所以DE1AC.B A ABC是邊長為4的正三角形,于是 AD=2>/3, AE=4-CE=4- - CD =3.2又因?yàn)?AA=",所以 A1E= AE = JAA2+AE2 =,訴2+32 = 4,AE AA1 3、, 7AF21AF =, sin . ADF =.AE 4AD8即直線AD和平面ADE所成角的正弦值為叵 .18、如圖，正方形ABCD

30、所在平面與平面四邊形 ABEF所在平面互相垂直，ABE是等腰直角三角形， AB = AE, FA= FE/AEF =45(I )求證：EF _L平面 BCE ;/ (II )設(shè)線段CD、AE的中點(diǎn)分別為P、M ,戶 .求證：PM /平面BCEX 、(III )求二面角 F-BD-A 的大小。AJ P V【答案】(I)因?yàn)槠矫?ABEH平面 ABCD BC=平面 ABCD BC!AB,平面 ABEF?平面 ABCDAE所以BC1平面ABEF所以BC! EF、因?yàn)?ABE為等腰直角三角形，AB=AE,.機(jī)、所以/AEB45。，又因?yàn)? AEF=45,Vk ! 所以/ FEB=90 ,即 EF

31、77;BEc因?yàn)锽C匚平面ABCD BE=平面BCEI) F CBCn BE=B所以EF _L平面BCE（II）取 be的中點(diǎn) n 連結(jié) cnmnwj mN 1ab1 pc. PMNC;平行四邊形，所以PM/ CNv CN在平面BCE內(nèi)，PM在平面 BCEft,. PM/ 平面 BCE(III )由EMAB平面ABE巳平面ABCD易知EA,平面ABCD作FG, AB交BA的延長線于G,則FG/ EA從而FGL平面ABCQ作GHL BD于H,連結(jié)FH1則由三垂線定理知BD± FH.丁 / FH劭二面角F- BD A的平面角. FA=FE, ZAEF=45° , ZAEF=90

32、° , / FAG=45° .設(shè) AB=1,則 AE=1,AF=*，則 FG = AF sin FAG = 2.1 3在 Rt / BGIH , / GB=45 , BG=AB+AG=1+-=-,2 2GH 二 BG sin3 .23.2GBH 二一 2 24 ,在 Rt/FGIH,tan FHG = GH 3 ,_ _ n _ _，/BAD= , CD = AD=2 , 2而角F - BD - A的大小為arc tan19、如題(18)圖，在五面體ABCDEF中，AB / DC四邊形ABFE為平行四邊形，F(xiàn)A _L平面ABCD, FC =3,ED =五.求:(I )直線AB到平面EFCD的距離；(H)二面角F -AD-E的平面角的正切化題(18)圖【答案】(I ) AB _ DC , DC u平面EFCD ,AB到面EFCD的距離等于點(diǎn) A到面EFCD 的距離，過點(diǎn) A作 AG_L FD 于 G,因/BAD =( AB / DC，故 CD _L AD ；又；FA_L平面ABCD ,由三垂線定理可知， CD_L FD ,故CD，面FAD ,知CD _L AG ,所以AG為所求直線AB到面EFCD的距離。在 RtABC 中，fd =Jfc2 _cd2 "934=75由F