直線的傾斜角和斜率直線方程的點(diǎn)斜式直線方程的斜截式

1、直線的傾斜角和斜率、直線方程的點(diǎn)斜式、直線方程的斜截式一. 教學(xué)內(nèi)容：直線的傾斜角和斜率、直線方程的點(diǎn)斜式、直線方程的斜截式知識(shí)點(diǎn) 1. 直線的方程和方程的直線： 定義： （1）以一個(gè)方程f（x，y）0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線l上。 （2）直線l上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f（x，y）0的解。 滿(mǎn)足（1）（2）的方程f（x，y）0是直線l的方程，同時(shí)稱(chēng)直線l為方程f（x，y）0的直線。 2. 直線的傾斜角： 定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與x軸相交的直線，如果把x軸繞交點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與直線重合時(shí)，所轉(zhuǎn)過(guò)的最小正角為直線傾斜角。 規(guī)定：當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí)，傾斜角為0°。 范圍：0

2、6;180° 注意：（1）定義分兩部分：一部分是與x軸相交，另一部分與x軸平行。 （2）與x軸相交的定義中，應(yīng)理解三個(gè)地方：x軸繞交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)；逆時(shí)針?lè)较?；最小正角?（3）應(yīng)特別注意傾斜角的范圍0，）。 （4）任何一條直線有唯一傾斜角，表示直線的傾斜程度，但傾斜角為的直線有無(wú)窮多條。 3. 直線的斜率： 定義：傾斜角不是90°的直線，其傾斜角的正切，叫做這條直線的斜率。 符號(hào)：常用k表示，即ktan。 注意：（1）所有直線都有傾斜角，但不是所有直線都有斜率。 調(diào)區(qū)間。 （3）當(dāng)傾斜角為90°時(shí)斜率不存在，但直線存在。 4. 過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率公式： 公式推導(dǎo)：如圖，已

3、知直線l過(guò)兩點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2），傾斜角為，求斜率k。 注意：（1）斜率公式與點(diǎn)的順序無(wú)關(guān)。 （2）由公式可知表示直線傾斜程度，可以由直線上兩點(diǎn)確點(diǎn)，無(wú)需求傾斜角。 （3）當(dāng)x1x2，y1y2時(shí)，90°沒(méi)有斜率。 （4）利用公式求斜率時(shí)，應(yīng)注意隱含條件x1x2。 5. 直線的方向向量： 意義：表示直線的方向。 6. 直線方程的點(diǎn)斜式： （1）方程的推導(dǎo)：略 （3）方程的特殊情況：yy1 （4）不能用點(diǎn)斜式表示的直線：xx1 7. 直線方程的斜截式： （1）方程的推導(dǎo)：（略） （2）截距的概念：（是坐標(biāo)不是距離） （3）方程的形式：ykxb （4）方程的特殊情況：y

4、0 （5）不能用斜截式表示的直線：x0【典型例題】 例1. 已知直線l的斜率k滿(mǎn)足k>-2，求直線l的傾斜角的范圍。 解：設(shè)直線l的傾斜角為 小結(jié)：已知直線l的斜率的范圍，求直線l的傾斜角的范圍時(shí)，常先畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后再由圖象確定傾斜角的范圍。 例2. 求直線l的斜率。 解：設(shè)直線l的傾斜角為，由題意知直線AB的傾斜角為2 小結(jié)：由2的正切值確定的范圍，及由的范圍求的正切值是本例中易忽略的地方，在解同類(lèi)型題的過(guò)程中應(yīng)當(dāng)注意。 例3. 求經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1（2，1）和P2（m，2）（mR）的直線l的斜率，并且求出l的傾斜角及其取值范圍。 解：（1）當(dāng)m2時(shí)，x1x22 小結(jié)：利用斜率公式時(shí)，

5、應(yīng)注意公式的應(yīng)用范圍。當(dāng)斜率k0時(shí)，直線的傾斜角為arctank；當(dāng)k0時(shí)，直線的傾斜角為arctank。 例4. 求證：A（1，-1）、B（-2，-7）、C（0，-3）三點(diǎn)共線。 證法一：A（1，-1）、B（-2，-7）、C（0，-3） 直線AB與直線AC傾角相同且過(guò)同一點(diǎn)A 直線AB與直線AC為同一條直線 故A、B、C三點(diǎn)共線 證法二：A（1，-1）、B（-2，-7）、C（0，-3） 故A、B、C三點(diǎn)共線 小結(jié)：解法一是利用了直線上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)所確定的斜率都應(yīng)相等這一思想方法。解法二利用了共線向量定理，此法較簡(jiǎn)單，此題還有其他一些解法。 例5. 已知兩點(diǎn)A（-3，4）、B（3，2），過(guò)

6、點(diǎn)P（2，-1）的直線l與線段AB有公共點(diǎn)。 （1）求直線l的斜率k的取值范圍； （2）求直線l的傾斜角的取值范圍。 解：如圖所示，因?yàn)橹本€l與線段AB有公共點(diǎn)，所以l的傾斜角介于直線PB與直線PA的傾斜角之間，當(dāng)l的傾斜角小于90°時(shí)，kkPB；當(dāng)l的傾斜角大于90°時(shí)，kkPA。 （1）l與線段AB有公共點(diǎn) k的取值范圍是k-1或k3。 （2）因?yàn)閘的傾斜角介于直線PB的傾斜角和直線PA的傾斜角之間，又直線PB的傾斜角是arctan3，直線PA的傾斜角是 例6. 如圖所示，直線l1、l2、l3的斜率分別為k1、k2、k3，則（ ） （1995年全國(guó)高考題） 分析：根據(jù)直

7、線的傾斜角與斜率的關(guān)系判斷。 解：法一根據(jù)直線的斜率k與傾斜角的關(guān)系ktan（0），由圖可見(jiàn)k2k30k1，故選D。 例7. 已知直線的傾斜角的取值范圍，利用正切函數(shù)的性質(zhì)，討論直線斜率及其絕對(duì)值的變化情況。 （1）0°90°；（2）90°180°。 分析：本題要討論的問(wèn)題有兩個(gè)：第一，直線斜率的變化情況；第二，直線斜率的絕對(duì)值的變化情況。 （2）首先要建立斜率k與傾斜角之間的關(guān)系以及斜率k的絕對(duì)值k與傾斜角之間的關(guān)系，然后討論變化情況，必要時(shí)可先畫(huà)出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象指出直線的斜率及其絕對(duì)值的變化情況。 （3）用函數(shù)的性質(zhì)或圖象知識(shí)去討論。 解：當(dāng)0

8、°90°時(shí)，tan0 （1）ktan，ktantan（0°90°） yk與yk的圖象相同（如圖所示） 這時(shí)，直線的斜率與直線斜率的絕對(duì)值相等，且屬于（0，），直線的斜率及其絕對(duì)值隨著直線傾斜角的增大而增大。 當(dāng)90°180°時(shí)，ktan0 當(dāng)090°時(shí)，直線斜率的變化范圍是（0，），隨著傾斜角在開(kāi)區(qū)間 當(dāng)90°180°時(shí)直線斜率絕對(duì)值的變化范圍是（0，），隨著傾斜角在開(kāi)于0。 例8. 已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（3，2），傾斜角是直線x4y30的傾斜角的2倍，求直線l的方程。 解：設(shè)直線x4y30的傾斜角為 又直線

9、經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（3，2） 小結(jié)：先求出直線x4y30的傾斜角，然后求出直線l的傾斜角，最后代入點(diǎn)P求出解析式。 例9. 已知直線過(guò)點(diǎn)P（-2，3），且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為4，求直線的方程。 分析：關(guān)鍵是要求出斜率k。 解：顯然，直線l與兩坐標(biāo)軸不垂直，設(shè)直線的方程為y3k（x2） 例10. 如果AC0，且BC0，那么直線AxByC0不通過(guò)（ ） A. 第一象限B. 第二象限 C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限（1991年全國(guó)高考題·文） 答案：C 分析：先求出直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，再判斷。 解：法一，由BC0，知B0 因?yàn)锳C0，BC0，所以AB0 所以直線不通過(guò)第三象限，故選C。 法二

10、，取特殊值：AB1，C1知滿(mǎn)足題設(shè)，此時(shí)方程為xy10，由其圖象知，直線不通過(guò)第三象限，故選C。 例11. 線方程 解： 其傾斜角120° 小結(jié)：【模擬試題】 1. 直線的傾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 若直線的斜率為k，并且，則直線l的傾斜角的范圍是_。 3. 已知直線l過(guò)兩點(diǎn)，則此直線的斜率和傾斜角分別為（ ） A. 1，135°B. C. D. 1，45° 4. 過(guò)點(diǎn)，傾斜角為150°的直線的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 已知直線的方程是，則（ ） A. 直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，），斜率為 B. 直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（），斜率為1 C.

11、直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，斜率為 D. 直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（），斜率為 6. 直線的斜率為k，在y軸上的截距為b，則有（ ） A. B. C. D. 7. 若直線l的傾斜角為，并且，求直線l的斜率k。 8. 已知某直線的傾斜角滿(mǎn)足，求該直線的斜率。 9. 已知直線l過(guò)點(diǎn)A（2，-1），傾斜角的范圍是。在直角坐標(biāo)系中給定兩點(diǎn)，問(wèn)l與線段MN是否有交點(diǎn)？若有交點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由。 10. 分別在下列條件下求直線的傾斜角和斜率。 （1）直線l的傾斜角的正弦值為； （2）直線l的方向向量為?！驹囶}答案】 1. 答案：D 解析：把直線寫(xiě)成 ，而 直線的傾斜角是 2. 答案：或 解析： ，即 由函數(shù)的圖象及，知l的傾斜角的范圍是

12、或 3. 答案：C 解析： 直線的傾斜角為135° 4. 答案：D 所求直線的斜率 由點(diǎn)斜式得： 即 故所求直線方程為 5. 答案：C 解析：直線方程可化為 故直線過(guò)點(diǎn)（），斜率為 6. 答案：C 解析：直線方程化為斜截式得： 故 7. 解： 即 解之，得： 為所求 8. 解：當(dāng)時(shí)，該直線的斜率不存在。 當(dāng)時(shí)， 綜上所述，當(dāng)時(shí)，所求直線的斜率不存在； 當(dāng)時(shí)，所求直線的斜率為。 9. 解：l與線段MN有交點(diǎn) 因?yàn)?，所以直線AM的傾斜角為。 因?yàn)?，所以直線AN的傾斜角為。 因?yàn)閘的傾斜角的范圍是，所以l與線段MN有交點(diǎn)。 10. 分析：（1）由已知條件求出直線的傾斜角，再求直線的斜率。注

13、意到在與內(nèi)角的正弦值都取正值，因此用反正弦表示角時(shí)，應(yīng)區(qū)分角是銳角還是鈍角。 （2）利用方向向量與x軸所夾的最小正角與l的傾斜角相等求解。 解：（1）設(shè)直線l的傾斜角為，則 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， （2）法一：v是l的方向向量 vl v與x軸所夾的最小正角與l的傾斜角相等，則 l的斜率，傾斜角為 法二：設(shè)l的斜率為k，則是l的一個(gè)方向向量 由已知是l的一個(gè)方向向量 uv，則 即 ，傾斜角為【勵(lì)志故事】沉靜思考判斷成功從前有位地主巡視谷倉(cāng)時(shí)，不慎將一只名表遺失，因遍尋不獲，便定下賞金，要農(nóng)場(chǎng)上的小孩幫忙尋找，誰(shuí)能找到手表，獎(jiǎng)金500美元。眾小孩在重賞之下，無(wú)不賣(mài)力搜尋，奈何谷倉(cāng)內(nèi)到處都是成堆的谷粒和稻草，大家忙到太陽(yáng)下山仍無(wú)所獲，結(jié)果一個(gè)接著一個(gè)都放棄了。只有一個(gè)貧窮小孩，為了那筆巨額獎(jiǎng)金，仍不死心地尋找。當(dāng)天色漸黑，眾人離去，雜沓人聲