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1、關(guān)鍵詞: 隨機過程 狀態(tài)和狀態(tài)空間 樣本函數(shù) 有限維分布函數(shù) 均值函數(shù) 方差函數(shù) 自相關(guān)函數(shù) 自協(xié)方差函數(shù) 互相關(guān)函數(shù) 互協(xié)方差函數(shù) 獨立 不相關(guān) 正態(tài)過程 第十章 隨機過程基本概念1 隨機過程的定義和例子 ,( ),TtT X tX t tT設(shè) 是一參數(shù)集,對任意是一個定義:隨機變量,則稱是隨機過程.( ,e)X t所有可能取值的全體稱為狀態(tài)空間(2)( ,e)tX 是 的函數(shù),稱為樣本函數(shù):( , )(1)( , )X TSRX t eX t 是隨機變量具體觀察結(jié)對過程的一次就果是一條樣本函數(shù)浙江大學(xué)隨機過程4隨機過程的分類:隨機過程的分類:按照參數(shù)集T可分為離散時間和連續(xù)時間兩種情況,狀
2、態(tài)空間為離散狀態(tài)和連續(xù)狀態(tài)兩種。1.離散時間離散狀態(tài)2.離散時間連續(xù)狀態(tài)3.連續(xù)時間離散狀態(tài)4.連續(xù)時間連續(xù)狀態(tài)浙江大學(xué)隨機過程51n,npS 并且各次的結(jié)果相互獨立二項過程例:()某人在打靶,每次的命中率為表示前 次命中的次數(shù)。 。用;1,2,0,1,2,.nS nI 是一個離散時間離散狀態(tài)的隨機過程。狀態(tài)空間則123,1111,.)011iiiis s sssssss 樣本函數(shù)為:(:或,所或 有n87654321ns321654浙江大學(xué)隨機過程7 例2:考慮拋擲一顆骰子的試驗:(1),1)1(nnXnnXn設(shè)是第 次拋擲的點數(shù), 的狀態(tài)空間為 1,2,3,4 ,5,6 ,11,2,3,4
3、,5,(2)6YnnYnn 設(shè)是前 次出現(xiàn)的最大點數(shù),的狀態(tài)空間是n87654321nx321654nx(1)(2)n87654321ny321654ny, 狀態(tài)空間是-. ( )(),(0,2 )( );,X tcosttUX t t 例3:(, 和 是正常數(shù),。是連續(xù)時間連續(xù)狀隨態(tài)機相位正弦波)的隨機過程。浙江大學(xué)隨機過程9(0,2 ),( )(), x tcost在內(nèi)任取一數(shù)相應(yīng)的就得到一個樣本函數(shù) 這族樣本函數(shù)的差異在于相位 的不同. ( ):x tvcos t狀態(tài)空間是-1,1.所有樣本函數(shù)是:v 0,1( ) ,0,1( )X tVcos ttVUX t 例4:設(shè)是正常數(shù),。則是連
4、續(xù)時間連續(xù)狀態(tài)隨機過程。( )0,( ),00,1,2,.N ttN t t 例5:以表示內(nèi)到某保險公司理賠的人數(shù)。則是連續(xù)時間離散狀態(tài)的隨機過程,狀態(tài)空間是浙江大學(xué)隨機過程12i1230.,itttt假設(shè)不會有兩人或兩人以上同時理賠,設(shè)第人理賠的時間為 ,則對應(yīng)的樣本函數(shù)為:1t2t3t4t1423( )N tt2 隨機過程的有限維分布分布函數(shù)兩種描述特征數(shù)( ),( )( , )( )( ),( , ),XXX t tTtTX ttFx tP X txxRX t tTFx t tT設(shè)隨機過程對每一固定的隨機變量的分布函數(shù)與 有關(guān),記為,一維分布函數(shù)一維,分稱為的稱為布函數(shù)族12121212
5、11221212(2,3,), ,( ),( ),( ) ,( , ,)( ),( ),( ),1,2,( ),( ,; , ,) nnXnnnniXnnin nt ttTnX tX tX tFx xxt ttP X tx X txX txxR inX t tTFx xx tttTntn 對任意個不同的時刻,維隨機變量它的分布函數(shù)記為:;, 稱為的稱維分布函數(shù)維為分布函數(shù)族1212( ,; , ,),1,2, ( ),XnniFx xx t ttntTX t tT稱為隨機過程的它完全確定了隨機有限維分布函數(shù)族過程的統(tǒng)計特性浙江大學(xué)隨機過程16隨機過程在不同的時間點的隨機變量,它們的聯(lián)合分布要根
6、據(jù)具體過程的性質(zhì)加以計算,而不能直接把它們不當(dāng)注:成獨一定獨立 立處理。浙江大學(xué)隨機過程17121210;,n1n0nnnppppXX例1:有把步槍,其中兩把已校正,命中率為其余未校正,命中率為這里.某人任取一把開始打靶,令為第 次命中的第 次命中次數(shù),即第 次未命中浙江大學(xué)隨機過程1812110nmnnnnmnmXXSnSppSnmXX()對,求(,)的聯(lián)合分布律 和邊緣分布律。(2)以表示前 次命中的次數(shù),求 的分布律。(3)若,寫出所有樣本函數(shù),寫出 的分布律.此時對,和獨立嗎?浙江大學(xué)隨機過程19:,AA過程與此人拿到的槍是還是有關(guān)。若令取到已校正的槍 則在計算過程的有限維分布時要好槍
7、壞槍是否發(fā)生全概率按公照利分析用式計算。浙江大學(xué)隨機過程20112212011011222200121212(1)(1,1)(1,1|) ( )(1,1|) ( )0.20.8;0.2(1)0.8(1);0.2(1)0.8(1)(0)0.2(1)0.8(1)(1)0.20.8nmnmnmnnpP XXP XXA P AP XXA P ApppppppppppP XppP Xpp同理:,A 解 令取到已校正的槍:由全概率公式得浙江大學(xué)隨機過程211122(2)()(|) ( )(|) ( )0.2(1)0.8(1)0,1,2,.,nnnkkn kkkn knnP SkP Sk A P AP Sk
8、 A P AC ppC ppkn同樣利用全概率公式浙江大學(xué)隨機過程22(3)nAAS若 發(fā)生,則百發(fā)百中;若 不發(fā)生,則永不命中。只有兩條樣本函數(shù)nX1,2,3,4,.和0,0,0,.只有兩條樣本函數(shù)1,1,1,. 和0,0,0,.(0)( )=0.8()0.2nnP SP AP Sn,(1|1)10.2(1)nmnmnXXP XXP X ,因立為不獨與浙江大學(xué)隨機過程23110nmnmXAXXAX事實上若,則可判斷 發(fā)生,從而所有的為;若,則可判斷 不發(fā)生,從而所有的為0.打一槍的結(jié)果決定了所有槍的結(jié)果,所以各槍命中結(jié)果不獨立。浙江大學(xué)隨機過程24122.,(1)0.5( ),(,)A BP
9、 AX tAtBtXX 例 設(shè)獨立同分布, , 寫出并畫出隨機過程的所有樣本函數(shù),計算的聯(lián)合分布律和邊緣分布律. 浙江大學(xué)隨機過程25:, )4( )1; ( )1; ( )1; ( )1.A Bx ttx ttx ttx tt 解 過程由(的取值完全決定。共有 條樣本函數(shù) (A,B)X(1)X(2)(1,1)23(1,-1)01(-1,1)0-1(-1,-1)-2-3浙江大學(xué)隨機過程2631-1-321/40001/4001/41/401/2-20001/41/41/41/41/41/411X2X)(2jXP)(1iXP浙江大學(xué)隨機過程27( ),0,12,( )43(0)0.5,()0.5
10、.4X tVcost tVtX tP XX 例3:設(shè)隨機過程, 在上均勻分布。(1)求在時的概率密度;(2)求 0,Vcos tacos t解:此過程由 的取值決定。若記,( )X taV則的密度函數(shù)為: ( )1 011 0 X tVxxaafxfaa其他cos0( )0,cos ;cos0( )cos ,0;cos0( )0)1.tX tUttX tUttP X t即若,則若,則若,則 ()422, 020 , Xxfx其他 2()312 , -020 , Xxfx其他浙江大學(xué)隨機過程30(0)0.5,()0.5420.5,0.5220.52212P XXP VVPV(2) 浙江大學(xué)隨機過
11、程31 1.(),.,(1)(1)1,iniiniXXXP XpP XqpnS 例5甲乙兩人游戲 第 次甲贏的錢數(shù)為元設(shè)獨立同分布,。設(shè)前 次甲贏的總錢簡數(shù)單隨機游動漢行為,醉走計算浙江大學(xué)隨機過程32 138(1);(2) 1,1,430.3650100nSP SSSp的分布律;( )若,游戲一直到甲恰好贏次為止, 問游戲需進行次以上的概率約為多少?浙江大學(xué)隨機過程33.:浙江大學(xué)隨機過程34(1)nSn的取值由前 次甲贏解:的次數(shù)決定( , ),2.nnnnnnVnVb n pSVn VVn用表示前 次甲贏的總次數(shù),則且()22()(,22,-k nn knnnknP SkP Vpqknk
12、nnkn)=與 奇偶性相同 且浙江大學(xué)隨機過程35138(2)P1,1,4SSS131831,0,3P SSSSS6210p q131831 0 3P SP SSP SS浙江大學(xué)隨機過程365050100(3)5010050.WWV用表示甲恰好贏次時游戲進行的次數(shù).則100100 100).VNppq由中心極限定理,近似服從(,50100100(100)(50)(49)P WP VP V49 100()(2.71)0.9966.10ppq ( , ) (,(1)b n pN np npp近似2222( ), ( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )XXXXXXX t tTtE
13、 X ttE XttDtD X ttt均值函數(shù)均方值函給定隨機過數(shù)方差程記-函數(shù)標(biāo)準差函數(shù)3 均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)12121212121122,( , )( )( )( )( , )( ),( ) ( )( )( )( )( )XXXXXXt tTRt tE X t X tCt tCov X tX tEX ttX tt又設(shè)任意自 相關(guān)函數(shù)自 協(xié)方差函數(shù)浙江大學(xué)隨機過程39各數(shù)字特征之間的關(guān)系如下: 2,XXtRt t 121212,XXXXCt tRt ttt 2212,XXXXtCt tRt tt2( ),( )( )X t tTtTE XtX t隨機過程,如果對每一都存在,則稱是二階矩過程
14、的均值函數(shù)和相定義:關(guān)函數(shù)二總階矩過程. 是存在的.浙江大學(xué)隨機過程41( )() , U(0,2 )X tacostt 例2:求隨機相位正弦波的均值函數(shù)、 方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。 解:( )( )XtE X t20102acostd浙江大學(xué)隨機過程431212( , )( )( )XRt tE X t X t212()()E a costcost221()2acostt221201()()2acostcostd22( )( , )( )XXXtRt tt22a浙江大學(xué)隨機過程441( )0,(0,1).( )0tX ttUUUX tt例3:設(shè),這里問:;是否是二階矩過程?122010( )1
15、1t1 2t21,2ttE Xtdtut對,=:(), 解( )0X tt不;是二階矩過程.浙江大學(xué)隨機過程451212( ),1, ,( ),( ),( )( ),nnX t tTnt ttTX tX tX tnX t tT 是一隨機過程,對任意整數(shù)及任意服從維正態(tài)定分布,則稱義:是正態(tài)過程.均值函正態(tài)過數(shù)和 程的全部統(tǒng)計 自協(xié)方差特性函數(shù)完全由它的所確定。浙江大學(xué)隨機過程46( );0( ),( , )1,(1),(2),(1)(2)XXX t tttCt stsXXXX例4.設(shè)是正態(tài)過程,求的分布。 22)( , )1,( )( ,1)XXDtCt ttX tN t t解(:(1)(1,
16、2),(2)(2,5).XNXN特別地,浙江大學(xué)隨機過程47 ( );0(1),(2)(1)(2)X t tXXXX是正態(tài)過程, 服從正態(tài)分布,服從正態(tài)分布。(1)(2)123(1)(2)(1)(2)21213(1)(2)(3,13).XE XXD XXDXDXCXXN 又(),(, ),5( )cossin ,0,1.(1)( )(1)(1)0.5, 0 ,4(3),(0,1)0 ,(0)()44X tAtBt tA BEAEBDADBP AP BXXA BNXXXX 例 :設(shè) 獨立, 計算均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù).2 如求 ( )()的分布律。如都服從,求 ( )()的分布。 ( )( )(
17、)()0,E AE BE AB為解 1 因:22()()1,E AE B( )cossinXtE AtBt故( )cos( )sin0E AtE Bt12( , )XRt t1122(cossin )(cossin)E AtBtAtBt1212coscossinsintttt21cos()tt浙江大學(xué)隨機過程502(2) 0 (42XA XAB ( ),)(),010.512(114412(1144041(11(11.2P XP XP ABP XP ABP XP ABP AB ( );(),),(),),()=,)+,)=浙江大學(xué)隨機過程51 (3),( , )A BA B因為是相互獨立的正態(tài)
18、變量,故是二維正態(tài)變量,( )X t所以是正態(tài)過程12, ,nt ttT對任意一組實數(shù)12cossin( , ),( ),( ),( )itiinXAtBtA BX tX tX tn是的線性組合由正態(tài)分布的線性變換不變性,服從 維正態(tài)分布浙江大學(xué)隨機過程52(0)(0,1),()(0,1),4XNXN(0)()22cos22,44(0)()(0,22).4D XXXXN22(0)()1422(0,22).XXABN或()( ), ( )( ), ( ) X t Y ttTX t Y ttT設(shè)是依賴于同一參數(shù)的隨機過程二維,稱為隨機過程1211121212121212, ,; , ,( ),( ),( ); ( ), ( ),()( ,; , ,;,; , ,)nmnmnnmmt tt t ttTnmX tX tX tY tY tY tF x xx t tty yyt ttnm是 中任意兩組實數(shù),則維隨機變量的分布函數(shù):稱為二維維隨機過程的分布函數(shù)兩個隨機過程之間的關(guān)系:浙江大學(xué)隨機過程5412111212, ,; , ,( ),( ),( )( ), ( ),()( )( )nmnmn mt ttT
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