小升初專題簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積的計(jì)算

1、簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積的計(jì)算一、四種常見(jiàn)幾何體的平面展開(kāi)圖1. 正方體沿正方體的某些棱將正方體剪開(kāi)鋪平， 就可以得到它的平面展開(kāi)圖， 這一展開(kāi)圖是由六 個(gè)全等的正方形組成的，見(jiàn)圖 6 1。圖6I只是正方體平面展開(kāi)圖的一種畫(huà)法，還有別的畫(huà)法（從略）。2. 長(zhǎng)方體沿長(zhǎng)方體的某些棱將長(zhǎng)方體剪開(kāi)鋪平， 就可以得到它的平面展開(kāi)圖。 這一展開(kāi)圖是六個(gè) 兩兩彼此全等的長(zhǎng)方形組成的，見(jiàn)圖 62。圖 62 只是長(zhǎng)方體平面展開(kāi)圖的一種畫(huà)法，還 有別的畫(huà)法（從略）。3. （直）圓柱體沿圓柱的一條母線和側(cè)面與上、下底面的交線將圓柱剪開(kāi)鋪平，就得到 圓柱體的平面展開(kāi)圖。 它由一個(gè)長(zhǎng)方形和兩個(gè)全等的圓組成， 這個(gè)長(zhǎng)方形

2、的長(zhǎng)是圓柱底面圓 的周長(zhǎng)，寬是圓柱體的高。這個(gè)長(zhǎng)方形又叫圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖。圖63 就是圓柱的平面展開(kāi)圖。4. （直）圓錐體沿圓錐體的一條母線和側(cè)面與下底面圓的交線將圓錐體剪開(kāi)鋪平， 就得到圓錐的平面展 開(kāi)圖。它是由一個(gè)半徑為圓錐體的母線長(zhǎng)， 弧長(zhǎng)等于圓錐體底面圓的周長(zhǎng)的扇形和一個(gè)圓組 成的，這個(gè)扇形又叫圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖。具體圖形見(jiàn)圖6 4。二、四種常見(jiàn)幾何體表面積與體積公式1. 長(zhǎng)方體長(zhǎng)方體的表面積 =2 x（ ax b+b x c+c x a）長(zhǎng)方體的體積=ax bx c （這里a、b、c分別表示長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高）。2. 正方體正方體的表面積 =6x a2正方體的體積=a3 （這里a為正方

3、體的棱長(zhǎng)）。3. 圓柱體圓柱體的側(cè)面積=2 n Rh圓柱體的全面積 =2 n Rh+2n R=2 n R （ h+R）圓柱體的體積=n Rh （這里R表示圓柱體底面圓的半徑，h表示圓柱的高）。4. 圓錐體圓錐體的側(cè)面積=n Rl圓錐體的全面積=n RI+ n R2母線長(zhǎng)與高）。67三、例題選講例1 圖65中的幾何體是一個(gè)正方體，圖66是這個(gè)正方體的一個(gè)平面展開(kāi)圖，圖（a）、（ b）、（ c）也是這個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖，但每一展開(kāi)圖上都有四個(gè)面上的圖案 沒(méi)畫(huà)出來(lái)，請(qǐng)你給補(bǔ)上。分析與解： 從圖 65 和圖 6 6 中可知：互相處于相對(duì)面的位置上。只要在圖6 7(a)、( b)、( c)三個(gè)展開(kāi)圖中

4、，判定誰(shuí)與誰(shuí)處在互為對(duì)面的位置上，則標(biāo)有數(shù)字的四個(gè)空白面上的圖案便可以補(bǔ)上。先看圖 67 中的( a) ，仔細(xì)觀察可知， 1與 4， 3 與處在互為對(duì)面的位置上。再看圖67中的（b）,同上，1與3,2與處在互為對(duì)面的位置上。最后再看圖67中的（c）,同上，1與2 與 4 處在互為對(duì)面的位置上。圖67 （a）、（ b）、（ c）標(biāo)有數(shù)字的空白面上的圖案見(jiàn)圖6 8中的（a）、（ b）、c）。例2圖69中的幾何體是一個(gè)長(zhǎng)方體，四邊形APQC是長(zhǎng)方體的一個(gè)截面（即過(guò)長(zhǎng)方體上四點(diǎn)A P、Q C的平面與長(zhǎng)方體相交所得到的圖形），P、Q分別為棱AiBi、BiCi的中點(diǎn),6i0請(qǐng)?jiān)诖碎L(zhǎng)方體的平面展圖上，標(biāo)出線

5、段AC CQ QP PA來(lái)。分析與解： 只要能正確畫(huà)出圖 69中長(zhǎng)方體的平面展開(kāi)圖，問(wèn)題便能迎刃而解。圖中的粗實(shí)線，就是題目中所要標(biāo)出的線段 AC CQ QP PA。例3在圖6 11中，M N是圓柱體的同一條母線上且位于上、下底面上的兩點(diǎn)，若從M點(diǎn)繞圓柱體的側(cè)面到達(dá) N,沿怎么樣的路線路程最短？分析與解：沿圓柱體的母線 MN將圓柱的側(cè)面剪開(kāi)鋪平，得出圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖，見(jiàn)圖612,從M點(diǎn)繞圓柱體的側(cè)面到達(dá) N點(diǎn)。實(shí)際上是從側(cè)面展開(kāi)圖的長(zhǎng)方形的一個(gè)頂點(diǎn)M到達(dá)不相鄰的另一個(gè)頂點(diǎn) M而兩點(diǎn)間以線段的長(zhǎng)度最短。所以最短路線就是側(cè)面展開(kāi)圖中長(zhǎng)方形 的一條對(duì)角線，見(jiàn)圖 612 和圖 613。例 4 圖614

6、中的幾何體是一棱長(zhǎng)為 4厘米的正方體，若在它的各個(gè)面的中心位置上，各打一個(gè)直徑為2厘米，深為1厘米的圓柱形的孔，求打孔后幾何體的表面積是多少（n=3.14 ）？分析與解： 因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為 2厘米， 而孔深只有 1 厘米， 所以正方體沒(méi)有被打透。 這一 來(lái)打孔后所得幾何體的表面積， 等于原來(lái)正方體的表面積， 再加上六個(gè)完全一樣的圓柱的側(cè) 面積、這六個(gè)圓柱的高為 1 厘米，底面圓的半徑為 1 厘米。正方體的表面積為 42X 6=96 （平方厘米）一個(gè)圓柱的側(cè)面積為 2nX 1 X 1=6.28 （平方厘米）幾何體的表面積為 96+6.28 X 6=133.68 （平方厘米）答：（略）例5 圖6

7、15是由 18個(gè)邊長(zhǎng)為 1 厘米的小正方體拼成的幾何體， 求此幾何體的表面積是多少？分析與解： 從圖 6 1 5中可以看出， 1 8個(gè)小正方體一共擺了三層，第一層 2個(gè)，第二層 7 個(gè)，因?yàn)?18-7-2=9 ，所以第三層擺了 9個(gè)。另外，上、下兩個(gè)面的表面積是相同的，同樣， 前、后；左、右兩個(gè)面的表面積也是分別相同的。因?yàn)樾≌襟w的棱長(zhǎng)是1 厘米，所以上面的表面積為 12X 9=9（平方厘米）前面的表面積為 12X 8=8（平方厘米）左面的表面積為 12X 7=7（平方厘米） 幾何體的表面積為 9X 2+8X 2+7X 2=答：（略）例 6 圖 616中所示圖形，是一個(gè)底面直徑為20厘米的裝

8、有一部分水的圓柱形玻璃杯，水中放著一個(gè)底面直徑為 6 厘米，高 20 厘米的一個(gè)圓錐體鉛錘，當(dāng)鉛錘從水中取出后，杯里 的水將下降幾厘米？ （n =3.14 ）分析與解： 因?yàn)椴ＡП菆A柱形的， 所以鉛錘取出后，水面下降部分實(shí)際是一個(gè)小圓柱，這 個(gè)圓柱的底面與玻璃杯的底面一樣，是一直徑為 20 厘米的圓，它的體積正好等于圓錐體鉛 錘的體積，這個(gè)小圓柱的高就是水面下降的高度。因?yàn)閳A錐形鉛錘的體積為設(shè)水面下降的高度為 X,則小圓柱的體積為 x （20 + 2） 2X x=100 n x （立方厘米）所以有下列方程：60 n =100 n x，解此方程得：x=0.6 (厘米) 答：鉛錘取出后，杯中水面

9、下降了 0.6 厘米。例 7 橫截面直徑為 2 分米的一根圓鋼， 截成兩段后， 兩段表面積的和為 75.36 平方分米， 求 原來(lái)那根圓鋼的體積是多少(n=3.14 ) ?分析與解：根據(jù)圓柱體的體積公式，體積=底面積X高。假設(shè)圓鋼長(zhǎng)為X,因?yàn)閷A鋼截成兩段后，兩段表面積的和，等于圓鋼的側(cè)面積加上四個(gè)底面圓的面積，所以有下面式子：2nX( 2-2)X x+4 nX( 2- 2) 2=2 n x+4 n根據(jù)題目中給出的已知條件,可得下面方程：2 n x+4 n =75.36解方程：圓鋼的體積為nX（ 2- 2） 2 X 10 31.4 （立方分米）答：（略）。例 8 一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑

10、為 10厘米、圓心角為 216°的扇形，求此圓錐的體 積是多少（n =3.14 ） ?分析與解： 要想求出圓錐的體積，就要先求出它的底面圓的半徑與高。按題意畫(huà)圖617。在圖6 17中，字母R h分別表示底面圓的半徑和圓錐體的高，根據(jù)弧長(zhǎng)公式：弧長(zhǎng)=2貝RX n十360 （這里R是圓的半徑，n為弧所對(duì)圓心角的度數(shù)），便可求出弧長(zhǎng)來(lái)。這個(gè)弧長(zhǎng)就 是底面圓的周長(zhǎng)，再利用周長(zhǎng)公式，就可求出底面圓的半徑 R。另外從圖6 17中可以看出： 圓錐的高、 母線、底面圓的半徑正好構(gòu)成一個(gè)直角三角形， 利用勾股定理便可求出圓錐的高 h。所以2 n R=12n，得 R=6 （厘米）在直角三角形中，根據(jù)勾股

11、定理有：102=h2+R，即 h2=102-R2=100-36=64 , h=8 （厘米）答：（略）例9圖618中的圖形是一個(gè)正方體， H G F分別是棱AB AD AA的中點(diǎn)?，F(xiàn)在沿三角 形GFH所在平面鋸掉正方體的一個(gè)角，問(wèn)鋸掉的這塊的體積是原正方體體積的幾分之幾?分析與解：因?yàn)殇彽舻氖橇⒎襟w的一個(gè)角，所以 HA與AG AF都垂直。即HA垂直于三角形 AGF所在的立方體的上底面，實(shí)際上鋸掉的這個(gè)角，是以三角形AGF為底面，H為頂點(diǎn)的一個(gè)三棱錐，如果我們假設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為 a，則正方體的體積為 a3。三棱錐的底面是直角三角形 AGF而角FAG為90°, G F又分別為AD而三棱錐的

12、體積等于底面積與高的乘積再除以3,所以鋸掉的那一角的體積為以C面為底面時(shí)，水的體積與以C （即三解形EHI）為底面，高為某數(shù)值答：（略） 例 10 圖 619 是一個(gè)里面裝有水的三棱柱封閉容器， 圖 620 是這個(gè)三棱柱的平面展開(kāi)圖。當(dāng)以A面作為底面放在桌面上時(shí)，水高2厘米，如果以B面與C面分別作為底面放在桌面上時(shí)，水面高各為多少厘米？分析與解：我們先求以A面作為底面放在桌面上時(shí)容器內(nèi)的水的體積。此時(shí)水的體積，與以梯形FJQP為底面、JI為高的棱柱的體積相等。棱柱的體積等于底面積乘以高，從圖620可以看出，此棱柱的高 JI為12厘米，梯形FJQP的下底FJ為3厘米，高QJ為2厘米。因 為PTJQ是個(gè)長(zhǎng)方形，所以 QJ=PT=2厘米，而Q點(diǎn)是GJ的中點(diǎn)，PQ平行于FJ,這樣可以推 算出QP為FJ的一半，為1.5厘米，這一來(lái)梯形 FJQP的面積為此時(shí)水面的高度為：54 - 6=9 （厘米）以B面作為底面時(shí)，原來(lái)以A面為底面時(shí)不裝水的那一部分，現(xiàn)在應(yīng)裝水，原來(lái)裝水的某一部分現(xiàn)在應(yīng)空出來(lái)，下面來(lái)討論這兩份之間的數(shù)量關(guān)系。為方便起見(jiàn)，我們把 C面適當(dāng)放大成圖6 21,在圖6 21中，因?yàn)镻Q平行于FJ, PT 垂直于FJ，所以JQ