14有理數(shù)的加法和減法

1、有理數(shù)的加法和減法有理數(shù)的加法和減法本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容1.41.4.1 有理數(shù)的加法有理數(shù)的加法 我們已經(jīng)會計算兩個非負數(shù)的和，我們已經(jīng)會計算兩個非負數(shù)的和，例如例如 8+12=20 ，3.75+0.25=4，那么如何計算兩個負數(shù)的和呢？那么如何計算兩個負數(shù)的和呢？ 在一條東西向的筆直馬路上，任取一個點在一條東西向的筆直馬路上，任取一個點O.若把向東走若把向東走1km記為記為1，則向西走，則向西走1km記為記為- -1. 小麗從點小麗從點O出發(fā)，先向西走了出發(fā)，先向西走了2km，然后繼續(xù)向，然后繼續(xù)向西走了西走了3km，兩次行走后，小麗從，兩次行走后，小麗從O點向哪個方向走點向哪個方向走了多少千

2、米？了多少千米？ 兩次行走后，小麗從兩次行走后，小麗從O點向西走了點向西走了( (2+3) )km，用算式表示就是用算式表示就是 ( (- -2) )+( (- -3) )=- -( (2+3) ) 兩個負數(shù)相加，結(jié)果是負數(shù)，并且兩個負數(shù)相加，結(jié)果是負數(shù)，并且把它們的絕對值相加把它們的絕對值相加. .結(jié)論結(jié)論例例1： 計計 算算（1）( (- -8) )+( (- -12) )； （2）( (- -3.75) )+ ( (- -0.25) )；舉舉例例（1）（）（- -8）+（- -12） ( (- -8) )和和（- -12）為同號為同號（- -8）+（- -12）解解=- -（8+12）=

3、 - -20取相同符號取相同符號（2）（）（- -3.75）+（- -0.25） ( (- -3.75) )和和（- -0.25）為同號為同號（- -3.75）+（- -0.25）解解=- -（3.75+0.25）= - -4取相同符號取相同符號 現(xiàn)在我們已經(jīng)學(xué)會求兩個負數(shù)的和，那么現(xiàn)在我們已經(jīng)學(xué)會求兩個負數(shù)的和，那么如何求一個正數(shù)與一個負數(shù)的和呢？如何求一個正數(shù)與一個負數(shù)的和呢？ 在一條東西向的筆直馬路上，任取一個點在一條東西向的筆直馬路上，任取一個點O.若把向東走若把向東走1km記為記為1，則向西走，則向西走1km記為記為- -1. 小亮從點小亮從點O出發(fā)，先向東走了出發(fā)，先向東走了4km

4、，然后掉頭向，然后掉頭向西走了西走了1km，小亮兩次行走的效果等于從點，小亮兩次行走的效果等于從點O向哪個向哪個方向走了多少千米？方向走了多少千米？ 由于向西走由于向西走1km抵消了原來向東走抵消了原來向東走4km中的中的1km，因此小亮兩次行走的效果等于從點因此小亮兩次行走的效果等于從點O向東走了向東走了( (4- -1) )km.用算式表示就是用算式表示就是 4+( (- -1) )= +(+(4- -1) )=3 小剛從點小剛從點O出發(fā)，先向東走了出發(fā)，先向東走了1km，然后掉頭向，然后掉頭向西走了西走了3km，小剛兩次行走的效果等于從點，小剛兩次行走的效果等于從點O向哪個向哪個方向走了

5、多少千米？方向走了多少千米？ 由于小剛掉頭向西走由于小剛掉頭向西走3km，把，把原來向東走的原來向東走的1km抵抵消了，因此小剛兩次行走的效果等于從點消了，因此小剛兩次行走的效果等于從點O向西走了向西走了( (3- -1) )km.用算式表示就是用算式表示就是 1+( (- -3) )= - -( (3- -1) )= - -2 異號兩數(shù)相加，當(dāng)兩數(shù)的絕對值不相等異號兩數(shù)相加，當(dāng)兩數(shù)的絕對值不相等時，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并且用較時，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并且用較大的絕對值減去較小的絕對值大的絕對值減去較小的絕對值. .結(jié)論結(jié)論說一說說一說互為相反數(shù)的兩個數(shù)相互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加，和

6、為加，和為0.一個數(shù)與一個數(shù)與0 0相加，和仍相加，和仍是這個數(shù)是這個數(shù). .（1）互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加，和為多少？互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加，和為多少？（2）一個數(shù)與一個數(shù)與0相加，和為多少？相加，和為多少？互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0.結(jié)論結(jié)論一個數(shù)與一個數(shù)與0相加，仍得這個數(shù)相加，仍得這個數(shù). .例例2： 計計 算算（1）( (- -5) )+ 9；（2） 7+ ( (- -10) ) ；舉舉例例（3） ；31423355 （4）（1）（）（- -5）+ 9 解解（- -5）和和9為異號為異號（- -5）+ 9 =95= 4| |9| | |5| |,取取9的符號的符

7、號| |9| |- -| |5| |+( () )- -（2） 7 + （- -10）解解（- -10）和和7為異為異號號7 + （- -10）=7- -10= - -3| |10| | |7| |,取取10的符的符號號 ( () )- -（3）3142 和和 為異號為異號34 12解解3142| | | | | | |,取取 的的符號符號34 2434=3244 和和 分母不分母不同同34 12=3 24 4=14 = 0互為相反數(shù)的互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得兩個數(shù)相加得0.（4）3355 解解3355 1.計算計算: :（1）（）（- -11）+（- -9） （2）（）（- -7）+ 0（3

8、） 8+（- -20） （4）（）（- -9）+ 9（5） ( (- -10) ) + 7練習(xí)練習(xí)- -20- -7- -120- -3（6）57812 1242. 某地某地8:00的氣溫是的氣溫是 ，15:00的氣溫比的氣溫比8:00的的 氣溫上升了氣溫上升了 ，該地，該地15:00的氣溫是多少的氣溫是多少？- -35答：答：- -3 + 5 = 2 （） 在小學(xué)我們已經(jīng)學(xué)過了加法的交換律、結(jié)合在小學(xué)我們已經(jīng)學(xué)過了加法的交換律、結(jié)合律，在有理數(shù)范圍內(nèi)這兩個運算律是否仍然適用律，在有理數(shù)范圍內(nèi)這兩個運算律是否仍然適用呢？呢？動腦筋動腦筋5+( (- -3) )= , ,( (- -3) )+5

9、= , ,(- -8) )+( (- -9)+5= , ,- -8+(- -9) )+5 = .2（1） 計算下列各式計算下列各式2- -12- -12（2） 換幾個有理數(shù)試一試，你發(fā)現(xiàn)了什么換幾個有理數(shù)試一試，你發(fā)現(xiàn)了什么？加法交換律：加法交換律： + = +結(jié)論結(jié)論abb a即，兩個有理數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變即，兩個有理數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變. .試一試試一試加法結(jié)合律加法結(jié)合律：a+b+c =( ( + ) )+ = +( ( + ) )結(jié)論結(jié)論abcabc即，三個有理數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，再把結(jié)即，三個有理數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，再把結(jié)果與第三個數(shù)相加；或者先把后

10、兩個數(shù)相加，再把果與第三個數(shù)相加；或者先把后兩個數(shù)相加，再把結(jié)果與第一個數(shù)相加，和不變結(jié)果與第一個數(shù)相加，和不變. . 三個或三個以上有理數(shù)相加，可以寫成這些三個或三個以上有理數(shù)相加，可以寫成這些數(shù)的連加式數(shù)的連加式. .對于連加式，根據(jù)加法交換律和加對于連加式，根據(jù)加法交換律和加法結(jié)合律，可以任意交換加數(shù)的位置，也可先把法結(jié)合律，可以任意交換加數(shù)的位置，也可先把其中的某幾個數(shù)相加其中的某幾個數(shù)相加. .試一試試一試例例3： 計算計算（1）（）（- -32）+7+（- -8） 舉舉例例（2）4.37+（- -8）+（- -4.37） （3） 22355425757 （1）（）（- -32）+7

11、+（- -8） 先將同號先將同號相加相加= - -32+（- -8）+7=（- -32）+（- -8）+7= ( (- -40)+)+7= - -33 （- -32）+7+（- -8） 解解（- -32）（- -8）4.37+（- -4.37) )結(jié)結(jié)果為果為0= 4.37+( (- -4.37)+()+(- -8) )= 0 +（- -8）= - -84.37 +（- -8）+（- -4.37） （2）4.37+（- -8）+（- -4.37） 0與與(-(-8) )相加，相加，結(jié)果為結(jié)果為- -8=解解4.37+（- -8）+（- -4.37） 同分母相同分母相加加= 10+（- -3）解

12、解（3） 22355425757 2552734552723255425577 23255425577 = 7+例例4： 某臺自動存取款機在某時段內(nèi)處理了以下某臺自動存取款機在某時段內(nèi)處理了以下6項現(xiàn)款儲項現(xiàn)款儲蓄業(yè)務(wù)：蓄業(yè)務(wù)： 存入存入200元、支出元、支出800元、支出元、支出1000元、元、 存入存入2500元、支出元、支出500元、支出元、支出300元元. 問該自動存取款機在這一時段內(nèi)現(xiàn)款增加或減少了多問該自動存取款機在這一時段內(nèi)現(xiàn)款增加或減少了多少元？少元？ 解解 記存入為證，則由題意可得：記存入為證，則由題意可得：( (+200)+()+(- -800)+()+(- -1000)+

13、(+)+(+2500)+()+(- -500)+()+(- -300) )=( (200+2500)+()+(- -800)+()+(- -1000)+()+(- -500)+()+(- -300)=2700+( (- -2600) )=100答：該自動存取款機在這一時段內(nèi)現(xiàn)款增加了答：該自動存取款機在這一時段內(nèi)現(xiàn)款增加了100元元.練習(xí)練習(xí)1. 計算計算（1）（）（+ +13）+（- -7）+（- -3） （2）1.4+（- -0.1）+0.6+（- -1.9） （3） 1321172323 3047 2. 小歡的父親在某儲蓄所原有存款小歡的父親在某儲蓄所原有存款5000元元. 某月他父某月

14、他父 親到該儲蓄所辦理了以下親到該儲蓄所辦理了以下4項現(xiàn)款儲蓄業(yè)務(wù)項現(xiàn)款儲蓄業(yè)務(wù)： 存入存入500元元，支出支出300元，存入元，存入1200元，支出元，支出600元元. . 則他父親在該儲蓄所還有多少錢則他父親在該儲蓄所還有多少錢？答：他父親在該儲蓄所還有答：他父親在該儲蓄所還有5800元元.1.4.2 有理數(shù)的減法有理數(shù)的減法 我們已經(jīng)會進行有理數(shù)的加法運算，但我們已經(jīng)會進行有理數(shù)的加法運算，但如何進行有理數(shù)的減法運算呢如何進行有理數(shù)的減法運算呢？ 2011年某一天，北京市的最高氣溫是年某一天，北京市的最高氣溫是- -1，最低最低氣溫是氣溫是- -9，這天北京的溫差這天北京的溫差（最高氣溫

15、最高氣溫- -最低氣溫最低氣溫）是多少是多少？探究探究從圖中的溫度計可以看出從圖中的溫度計可以看出：- -1比比- -9高高8 ，因此因此( (- -1) )- -( (- -9) )=8=( (- -1) )+9 .結(jié)論結(jié)論減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù). .即a b = a + ( (- -b) ) 例例5 計算：計算： （1） 0- -（- -3.18）； （2） 5.3- -（- -2.7）； （3） （ - -10）- -（- -6）； （4） . 7136102舉舉例例解解（1） 0- -（- -3.18）= 0+3.18根據(jù)減法法則根據(jù)減法法

16、則= 3.18- -3.18的相反數(shù)為的相反數(shù)為3.180與與3.18相加相加，還得還得3.18（2） 5.3- -（- -2.7）解解= 5.3+2.7= 8根據(jù)減法法則根據(jù)減法法則- -2.7的相反數(shù)為的相反數(shù)為2.7（3） （- -10）- -（- -6）解解= （- -10）+6= - -4根據(jù)減法法則根據(jù)減法法則- -6的相反數(shù)為的相反數(shù)為6- -10與與6相加，相加，取取10的符號的符號7136102（4）解解= （- -3.7）- -6.5= - -10.2根據(jù)減法法則根據(jù)減法法則化為小數(shù)計算化為小數(shù)計算1. .計算計算: （1） 7- -（- -4）；）； （2）（- -3）-

17、 -（- -5）；）； （3）（）（- -3）- -0； （4） 0- -（- -7）.練習(xí)練習(xí)（1） 7- -（- -4）=7+ +4 =111.解解（2）（）（- -3）- -（- -5）=- -3+5 =2（3）（）（- -3）- -0=- -3- -0 =- -3（4） 0- -（- -7）=0+ +7 =72. 計算計算: （1） 2.53- -（- -2.47）；）； （2）（- -1.7）- -（- -2.5）；）； （3） ； （4） .1233 3546 （1） 2.53- -（- -2.47）=2.53+2.47 =52.解解（2）（）（- -1.7）- -（- -2.5）

18、=- -1.7+2.5 =0.8（3） （4）1212133333 35194612 3. 潛水員甲潛入海平面以下潛水員甲潛入海平面以下10m，潛水員乙潛入海平面，潛水員乙潛入海平面 以下以下20m，問甲的位置比乙的位置高多少米，問甲的位置比乙的位置高多少米？答：甲的位置比乙的位置高答：甲的位置比乙的位置高10m. 計算：計算： 8- -( (- -3) )+( (- -5) )- -7；試一試試一試 這個式子中既有加法這個式子中既有加法運算運算，又有減法運算又有減法運算，因因為為“減去一個數(shù)減去一個數(shù)，等于加等于加上這個數(shù)的相反數(shù)上這個數(shù)的相反數(shù)”, ,所以所以可以把它們?nèi)哭D(zhuǎn)化為加可以把它

19、們?nèi)哭D(zhuǎn)化為加法運算法運算. .8- -( (- -3) )+( (- -5) )- -7= 8+ +3+( (- -5) )+( (- -7) )= 11+( (- -12) )= - -1 在上面的計算過程中，我們把加減運算都統(tǒng)一在上面的計算過程中，我們把加減運算都統(tǒng)一成了加法運算，原來的算式就轉(zhuǎn)化為求幾個正數(shù)或成了加法運算，原來的算式就轉(zhuǎn)化為求幾個正數(shù)或負數(shù)的和負數(shù)的和. .8- -( (- -3) )+( (- -5) )- -7= 8+ +3+( (- -5) )+( (- -7) )= 11+( (- -12) )= - -1 例例6 計算：計算： ( (- -21) )+30-

20、-15- -( (- -17) ). 舉舉例例 = ( (- -21) )+ +30+( (- -15) )+17解解 ( (- -21) )+30- -15- -( (- -17) ) = ( (- -21) )+ + ( (- -15) )+ 30 + 17 = - -36+ +47 = 11例例7 動物園在檢測成年麥哲倫企鵝的身體狀況時，動物園在檢測成年麥哲倫企鵝的身體狀況時，最重要的一項工作就是稱體重最重要的一項工作就是稱體重已知某動物園對已知某動物園對6只只成年麥哲倫企鵝進行稱重檢測成年麥哲倫企鵝進行稱重檢測，以以4kg為標準，超過為標準，超過或不足的千克數(shù)分別用正數(shù)或不足的千克數(shù)分

21、別用正數(shù)、負數(shù)表示負數(shù)表示，稱重記錄稱重記錄如下表所示如下表所示，求這求這6只企鵝的總體重只企鵝的總體重. .舉舉例例編號編號123456差值差值（kg）-0.08 +0.09 +0.05 -0.05 +0.08 +0.06編號編號123456差值差值（kg）-0.08 +0.09 +0.05 -0.05 +0.08 +0.06( (- -0.08)+(+)+(+ 0.09)+(+)+(+0.05)+()+(- -0.05)+(+)+(+0.08)+(+)+(+0.06) )解解=( (- -0.08)+)+0.08+ +0.05+(+(- -0.05) )+( (0.09+0.06) )=

22、0+0+0.15= 0.1546+0.15=24.15（kg）.答答：這這6只企鵝的總體重是只企鵝的總體重是24.15 kg1. 計算計算:練習(xí)練習(xí) （1） - -6- -( (- -4) )- -3+( (- -5) )； （2）(-(-10.5)+(-)+(-8.6)-(-)-(-9.6)+)+10； （3）134.5 +6.52.52 - -100.5- -32. 計算計算: （1） （2）2113+3838 1 5 2 1+ +4 6 3 212343. 7筐西紅柿，每筐以筐西紅柿，每筐以12kg為標準，超過或不足的為標準，超過或不足的千克數(shù)分別用正數(shù)、負數(shù)表示，稱重記錄如下千克數(shù)分別

23、用正數(shù)、負數(shù)表示，稱重記錄如下（單單位：位：kg）：- -1，+1.5，2，- -0.5，- -1.5，1.5，1.求這求這7筐西紅柿的總質(zhì)量筐西紅柿的總質(zhì)量. .答：這答：這7筐西紅柿的總質(zhì)量為筐西紅柿的總質(zhì)量為87kg.中考中考 試題試題例例1 某玩具店老板用某玩具店老板用300元購買了元購買了10件玩具，如果按自定的價格每件玩具，如果按自定的價格每件玩具件玩具48元作為標準出售，超出的錢數(shù)記為正數(shù)，不足的錢數(shù)記元作為標準出售，超出的錢數(shù)記為正數(shù)，不足的錢數(shù)記為負數(shù)，現(xiàn)記錄如下（單位：元）：為負數(shù)，現(xiàn)記錄如下（單位：元）：+5，- -2，+9，- -6，- -1，0，+3，- -9，+4，

24、- -8，請你幫助這個老板計算一下，當(dāng)他賣完這，請你幫助這個老板計算一下，當(dāng)他賣完這10件玩具件玩具后，是盈利還是虧損？后，是盈利還是虧損？ 以以4848元為基準，則元為基準，則1010件玩具的總增減量為件玩具的總增減量為 (+5)+(-2)+(+9)+(-6)+(-1)+0+(+3)+(-9)+(+4)+(-8) (+5)+(-2)+(+9)+(-6)+(-1)+0+(+3)+(-9)+(+4)+(-8) = =(+9)+(-9)+(+5)+(+3)+(+4)+(-2)+(-8)+(-1)+(-6)+0(+9)+(-9)+(+5)+(+3)+(+4)+(-2)+(-8)+(-1)+(-6)+0 =12+(-17) =12+(-17) =-5( =-5(元元) ) 銷售這銷售這1010件玩具的總收入為件玩具的總收入為484810+(-5)=475(10+(-5)=475(元）元）. . 475300475300， 當(dāng)老板賣完這當(dāng)老板賣完這1010件玩具后，盈利了件玩具后，盈利了. .解解本題中，判斷這個老板是盈利還是虧損，應(yīng)先求出他銷售本題中，判斷這個老板是盈利還是虧損，應(yīng)先求出他銷售這這10件玩具的總收入，然后與成本件玩具的總收入，然后與成本300元進行比較，若總收元進行比較，若總收入高于入高于