第3章一元函數(shù)積分學(xué)3-2(第一換元積分法與第二換元積分法(1))-副本

1、高等數(shù)學(xué)A第3章 一元函數(shù)積分學(xué)3.1.4 3.1.4 不定積分的換元積分法不定積分的換元積分法 中南大學(xué)開放式課堂教學(xué)3.1 3.1 不定積分不定積分3.1.4 換元積分法換元積分法 第二換元積分法第二換元積分法第一換元積分法第一換元積分法 第二換元積分法應(yīng)用習(xí)例第二換元積分法應(yīng)用習(xí)例18-20第一換元積分法應(yīng)用習(xí)例第一換元積分法應(yīng)用習(xí)例1-17 常見的一些湊微分形式常見的一些湊微分形式基本積分表基本積分表2小結(jié)與思考題小結(jié)與思考題 換元積分法換元積分法3.1.4 不定積分的換元法不定積分的換元法 利用積分性質(zhì)和簡單的積分表可以求出利用積分性質(zhì)和簡單的積分表可以求出不少函數(shù)的原函數(shù)不少函數(shù)的

2、原函數(shù), 但實際上遇到的積分憑但實際上遇到的積分憑這些方法是不能完全解決的這些方法是不能完全解決的. 現(xiàn)在介紹與復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則相對應(yīng)的現(xiàn)在介紹與復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則相對應(yīng)的積分方法積分方法 不定積分換元法不定積分換元法. 它是在積分它是在積分運算過程中進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q運算過程中進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q, 將原來的將原來的積分化為對新的變量的積分積分化為對新的變量的積分, 而后者的積分而后者的積分是比較容易積出的是比較容易積出的. :公式首先看復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) )( ),( 上的可構(gòu)成區(qū)間設(shè)可微函數(shù)IxuuFy ),()()(xxFxF ),( 則可微的復(fù)合函數(shù)xFy 它的微分形式為xxxFxFd)()

3、()(d( ),()( 則記ufuF ,d)(d)()()(d(uufxxxfxF原函數(shù)原函數(shù)?被積表達(dá)式被積表達(dá)式?也是被積表達(dá)式也是被積表達(dá)式?一、第一換元積分法一、第一換元積分法 積分形式不變性積分形式不變性引理引理.)(,)()(,)()(可可微微其其中中則則若若xuCuFduufCxFdxxf 例如例如 xdx2cos,2sinCx 原式變形為原式變形為 xdx2cos211cossin22uxuduuC令.2sin21Cx ( ( )( )dfxxx第一換元法第一換元法(湊微分法湊微分法)定理定理1設(shè)設(shè))(uf具具有有原原函函數(shù)數(shù)， dxxxf)()( )()(xuduuf )(x

4、u 可導(dǎo)，可導(dǎo)，則則有有換換元元公公式式.)(CxF 注意注意: .)()1(來湊微分來湊微分選取選取第一換元法關(guān)鍵是適當(dāng)?shù)谝粨Q元法關(guān)鍵是適當(dāng)xu (2)第一換元法的過程是第一換元法的過程是:dxxxfdxxg )()()( )()(xdxf duufxu)()( CuF )(.)()(CxFxu 實際解題時實際解題時,常常省略上述過程中的第三與第四等號常常省略上述過程中的第三與第四等號.二、常見的一些湊微分形式二、常見的一些湊微分形式xbxafd)() 1 ( )(bxaf)(dbxa a1xxxfnnd)()2(1)(nxfnxdn1xxxfnd1)()3()(nxfnxdn1nx1萬能湊

5、冪法xxxfdcos)(sin)4()(sin xfxsindxxxfdsin)(cos)5()(cosxfxcosd常見的一些湊微分形式常見的一些湊微分形式:21(8)(cot )(cot ) (cot )sinfxdxfx dxx 21(9)(arcsin )(arcsin ) (arcsin )1fxdxfx dxx21(10)(arctan )(arctan ) (arctan )1fxdxfx dxx(11)()()xxxxf ee dxf e de21(7)(tan )(tan ) (tan )cosfxdxfx dxx1(6)(ln )(ln ) (ln )fxdxfx dxx例

6、例1 .sin dxxx 計算計算例例2 計算計算.231dxx 例例3 計算計算.)ln21(1dxxx 例例4 計算計算.)1(3dxxx 例例5 計算計算.122dxxa 例例6 計算計算221.dxax例例7 計算計算.122dxax 例例8 計算計算.11dxex 例例9 計算計算.)11(12dxexxx 例例10 計算計算三、第一換元積分法習(xí)例三、第一換元積分法習(xí)例.dtanxx例例11 計算計算 .cos11 dxx例例12 計算計算.cossin52 xdxx例例13 計算計算.2cos3cos xdxx例例14 計算計算.csc xdx例例15 計算計算 .2arcsin4

7、12dxxx 例例17 ).(,cos)(sin22xfxxf求求設(shè)設(shè) 例例16 計算計算 101.(1)dxxx例例1.sin dxxx 計算計算解解dxxxdxxx)(sin2sin xdx sin2duuux sin2Cu cos2.cos2 Cxux 例例2 計算計算.231dxx 解解dxx 231dxxx)23(23121 duuux 12123Cu ln21.23ln21Cx )23(23121xdx 例例3 計算計算.)ln21(1dxxx 解解dxxx )ln21(1)(lnln211xdx )ln21(ln21121xdx xuln21 duu121Cu ln21.ln21

8、ln21Cx 例例4 計算計算.)1(3dxxx 解解dxxx 3)1(dxxx 3)1(11)1()1(1)1(132xdxx .)1(21112Cxx 例例5 計算計算.122dxxa 解解dxxa 221dxaxa 222111 axdaxa2111.arctan1Caxa 作為公式作為公式想到公式21duuCu arctan練習(xí)題練習(xí)題 .25812dxxx 解解dxxx 25812dxx 9)4(12.34arctan31Cx )4(3)4(122 xdx練習(xí)題練習(xí)題 .25812dxxx 例例6 計算計算).0(d22axax21duu想到Cu arcsin解解2)(1daxax)

9、(d)(xxf(直接配元)xxxfd)()(2)(1)(daxaxCax arcsin22dxax例例7 計算計算.122dxax 解解dxax 221dxaxaxa)11(21 )(1)(121 axdaxaxdaxaCaxaxa lnln21.ln21Caxaxa 例例8 計算計算.11dxex 解解dxex 11dxeeexxx 11dxeexx 11dxeedxxx 1)1(11xxededx .)1ln(Cexx 例例9 計算計算.)11(12dxexxx 解解,1112xxx dxexxx 12)11()1(1xxdexx .1Cexx 例例10 計算計算tan.xdx解解xxxd

10、cossinxxcoscosdCx cosln?dcotxxxxxsindcosCx sinlnxxsinsindxxdtan類似類似 例例11 計算計算解解.cos11 dxx dxxcos11 dxxxxcos1cos1cos1 dxxx2sincos1 dxxxdxx22sincossin1 )(sinsin1sin122xdxdxx.sin1cotCxx 例例12 計算解解.cossin52 xdxx xdxx52cossin )(sincossin42xxdx )(sin)sin1(sin222xdxx )(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin3

11、1753Cxxx 注意注意:當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時，當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時，拆開奇次項去湊微分拆開奇次項去湊微分.例例13 計算計算解解.2cos3cos xdxx),cos()cos(21coscosBABABA ),5cos(cos212cos3cosxxxx dxxxxdxx)5cos(cos212cos3cos.5sin101sin21Cxx )5(5cos51cos21 xxdxdx例例14 計算計算解解(1) dxxsin1.csc xdx xdxcsc dxxx2cos2sin21 22tan2sec2xdxx 2tan2tan1xdxCx 2tanln.cotcscln

12、Cxx （使用了三角函數(shù)恒等變形）（使用了三角函數(shù)恒等變形）解解(2) dxxsin1 xdxcsc dxxx2sinsin )(coscos112xdx )(cos1cos12xdx.1cos1cosln21Cxx 同理可得同理可得.tanseclnsec Cxxxdx例例15 計算計算 解解.2arcsin412dxxx dxxx 2arcsin41222arcsin2112xdxx )2(arcsin2arcsin1xdx .2arcsinlnCx 例例16 101.(1)dxxx解（解（1） 用萬能湊冪法用萬能湊冪法 ) 1(d10 xxx) 1(1010 xx10d x1011d10

13、(1)uu u11d10(1)uuuuu1111dln(1)10110uduulu uCuu10101ln101xCx解解(2)xxxd) 1(110 ) 1(d10 xxx10)x10(x解解(3) ) 1(d10 xxx)1 (d1011xxx101x10dx101解解例例17).(,cos)(sin22xfxxf求求設(shè)設(shè) xu2sin 令令,1cos2ux ,1)(uuf duuduufuf 1)()(,212Cuu .21)(2Cxxxf 另解另解 )(sin)(sin)(sin222xdxfxf )(sincos22xxd )(sin)sin1 (22xdx.)(sin21sin22

14、2Cxx 問題問題)0( ?22 adxxa方法方法改變中間變量的設(shè)置方法改變中間變量的設(shè)置方法.taxsin 令令,costdtadx dxxa22tdtataacossin222 tdta22cos （應(yīng)用（應(yīng)用“湊微分湊微分”即可求出結(jié)果）即可求出結(jié)果）四、第二換元積分法四、第二換元積分法定理定理 2其其中中)(x 是是)(tx 的的反反函函數(shù)數(shù). .證證 設(shè)設(shè) 為為 的原函數(shù)的原函數(shù),)(t )()(ttf 設(shè)設(shè))(tx 是是單單調(diào)調(diào)的的、可可導(dǎo)導(dǎo)的的函函數(shù)數(shù)， )()()()(xtdtttfdxxf 則有換元公式則有換元公式并且并且0)( t ，又又設(shè)設(shè))()(ttf 具具有有原原函

15、函數(shù)數(shù)，,)()(CxCt 左左邊邊令令)()(xxF 則則dxdtdtdxF )()()(ttf )(1t CxFdxxf)()(,)(Cx )()()()(xtdtttfdxxf )(tf ).(xf 說說明明)(xF為為)(xf的的原原函函數(shù)數(shù),注意注意:dtttfdxxftx )()()()1()( dttg )(Ct )(. )()(Cxxt (2)一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有22)(xaa 可令可令;sintax 22)(xab 可令可令;tantax 22)(axc 可令可令.sectax (3)以上三種代換稱為三角代換以上三種代換稱為三角代換.通

16、常通過三角代換去根號通常通過三角代換去根號.,)4(22222222dxxaxaxaxxa 如如也也可可湊湊微微分分用用三三角角代代換換的的積積分分都都并并不不是是所所有有含含.1)5(及及其其他他換換外外還還有有倒倒代代換換第第二二換換元元法法除除了了三三角角代代tx 五、第二換元積分法習(xí)例五、第二換元積分法習(xí)例例例19 計算計算).0(122 adxax例例20 計算計算).0(122 adxax例例18 計算計算22(0).ax dxa. )0(d22axxa解解 令, ),(,sin22ttax則taaxa22222sintacosttaxdcosd 原式tacosttadcostta

17、dcos22Ca242sin2ttax22xa taxarcsinCxax222122atttcossin22sin2axaxa22例例18 計算計算例例19 計算計算).0(122 adxax解解 令令taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 tdtsec1tanseclnCtt tax22ax 122lnCaxaax 2,2t.)ln(22Caxx )ln(1aCC例例20 計算計算).0(122 adxax解解 令令taxsec 2, 0ttdttadxtansec dxax221dttatta tantansec tdtsec1tanseclnCt

18、t tax22ax 122lnCaaxax .ln22Caxx 注意：注意：以上幾例所使用的均為以上幾例所使用的均為三角代換三角代換.三角代換的三角代換的目的目的是消去根式是消去根式.一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax tax22ax tax22xa tax22ax 基基本本積積分分表表;coslntan)16( Cxxdx;sinlncot)17( Cxxdx;tanseclnsec)18( Cxxxdx;cotcsclncsc)19( Cxxxdx;arctan11)20(22Caxadxxa 基本積分表基本積分表2公式公式16-24;ln211