幾何圖形的計數(shù)ppt課件

1、12在數(shù)學(xué)競賽試題和中考中，經(jīng)常出現(xiàn)一些幾何計數(shù)問題，所謂幾何計數(shù)是指在數(shù)學(xué)競賽試題和中考中，經(jīng)常出現(xiàn)一些幾何計數(shù)問題，所謂幾何計數(shù)是指計算滿足一定條件的圖形的個數(shù)它的內(nèi)容比較新穎有趣，為了準(zhǔn)確計數(shù)，計算滿足一定條件的圖形的個數(shù)它的內(nèi)容比較新穎有趣，為了準(zhǔn)確計數(shù)，必須要有一套計數(shù)的方法，否則越數(shù)頭緒越雜亂，很難得出準(zhǔn)確的結(jié)果必須要有一套計數(shù)的方法，否則越數(shù)頭緒越雜亂，很難得出準(zhǔn)確的結(jié)果本講將較系統(tǒng)地介紹初中數(shù)學(xué)中所使用的一些計數(shù)方法本講將較系統(tǒng)地介紹初中數(shù)學(xué)中所使用的一些計數(shù)方法學(xué)習(xí)計數(shù)方法不僅僅使我們獲得一定的數(shù)學(xué)知識和方法，更重要的是使我們學(xué)習(xí)計數(shù)方法不僅僅使我們獲得一定的數(shù)學(xué)知識和方法，

2、更重要的是使我們感受到數(shù)學(xué)中的一些重要思想的運用，如數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想和轉(zhuǎn)感受到數(shù)學(xué)中的一些重要思想的運用，如數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想和轉(zhuǎn)化的思想，分類討論思想在這里尤其突出，我們所使用的所有計數(shù)方法都離化的思想，分類討論思想在這里尤其突出，我們所使用的所有計數(shù)方法都離不開分類不開分類 下面讓我們通過例題研究和熟悉幾何計數(shù)的方法吧！下面讓我們通過例題研究和熟悉幾何計數(shù)的方法吧！ AB、例例1數(shù)線段時，可以線段的左端點進行分類，逐類分別數(shù)出線段條數(shù)后相加數(shù)線段時，可以線段的左端點進行分類，逐類分別數(shù)出線段條數(shù)后相加AC、AD、AE、AF 共共5條條BC、BD、BE、BF共共4條條CD、

3、CE、CF共共3條條DE、DF共共2條條EF共共1條條合計有合計有5+4+3+2+1=15（條）（條）（一）數(shù)（一）數(shù) 線線 段段基礎(chǔ)訓(xùn)練基礎(chǔ)訓(xùn)練 1 共有共有6(6+1)2=21（條）（條）注意：這里涉及到數(shù)學(xué)中很重要的思想方注意：這里涉及到數(shù)學(xué)中很重要的思想方法法分類的思想方法。在幾何計數(shù)中怎分類的思想方法。在幾何計數(shù)中怎樣分類？本例所介紹的是方法（樣分類？本例所介紹的是方法（1）：按照）：按照包含同一圖形進行分類；（包含同一圖形進行分類；（2）先劃分出基）先劃分出基本圖形，再按照包含基本圖形的數(shù)目分本圖形，再按照包含基本圖形的數(shù)目分類類你是怎樣數(shù)的？你是怎樣數(shù)的？如果一條線段上有如果一條

4、線段上有n+1個點個點(包括兩個端點包括兩個端點)（或含有（或含有n個個“基本線段基本線段”），那么），那么這這n+1個點把這條線段一共分成的線段總數(shù)為個點把這條線段一共分成的線段總數(shù)為n+(n-1)+2+1= . 2) 1( nnAB 、BC 、 CD 、 DE 、 EF; AC 、 BD 、 CE 、 DF；AD 、 BE 、 CF；AE 、 BF；AF共共16條條3.4（二）數(shù)（二）數(shù) 角角例例2BACDEO數(shù)角與數(shù)線段相似，線段圖形中的點類似于角圖形中的邊數(shù)角與數(shù)線段相似，線段圖形中的點類似于角圖形中的邊以以O(shè)A為一條邊的角有：為一條邊的角有：AOBAOCAODAOE共共4個個同樣還有

5、：同樣還有：BOC，BOD，BOE共共3個個COD ，COE共共2個個DOE共共1個個合計有合計有4+3+2+1=10（個）（個）（三）數(shù)三角形（三）數(shù)三角形可用數(shù)線段的方法數(shù)如圖所示的三角形（對應(yīng)法）可用數(shù)線段的方法數(shù)如圖所示的三角形（對應(yīng)法）因為因為DE上有上有15條線段，每條線段的兩端點條線段，每條線段的兩端點與點與點A相連，可構(gòu)成一個三角形，共有相連，可構(gòu)成一個三角形，共有15個個三角形，同樣一邊在三角形，同樣一邊在BC上的三角形也有上的三角形也有15個，所以圖中共有個，所以圖中共有30個三角形。個三角形。上面我們采用的方法是分類法上面我們采用的方法是分類法這里采用的方法是這里采用的方

6、法是“對應(yīng)法對應(yīng)法”，這也是計數(shù)中，這也是計數(shù)中常用的方法，這種方法實際上是數(shù)學(xué)的另一思常用的方法，這種方法實際上是數(shù)學(xué)的另一思想想轉(zhuǎn)化思想的運用轉(zhuǎn)化思想的運用使用對應(yīng)法時，總是在原圖形中（有時需添加使用對應(yīng)法時，總是在原圖形中（有時需添加輔助線）找出它的某一部分作對應(yīng)圖形輔助線）找出它的某一部分作對應(yīng)圖形本題的解決，既有分類法又有對應(yīng)法本題的解決，既有分類法又有對應(yīng)法BACDEOA1B1C1D1E14(4+1)2=10 4個基本角的和個基本角的和=90；兩個相鄰基本角組成的；兩個相鄰基本角組成的3個角的個角的和和=90+45=135； 三個相鄰基本角組成的三個相鄰基本角組成的2個角的和個角的

7、和=135；4個相鄰基個相鄰基本角組成的本角組成的1個角個角=90，所以所有角的和，所以所有角的和=90+135+135+90=450BACDEO5頂點為頂點為O，且，且一邊在一邊在AB上的三角形有上的三角形有342=6（個）；（個）；一邊在一邊在BC上的三角形有上的三角形有452=10（個）；（個）；一邊在一邊在AC上的三角形有上的三角形有 342=6（個），（個），再加再加ABC，所以共有，所以共有23個三角形個三角形基礎(chǔ)訓(xùn)練基礎(chǔ)訓(xùn)練5 下圖中共有下圖中共有 個三角形個三角形 ABCO（四）數(shù)長方形、平行四邊形和正方形（四）數(shù)長方形、平行四邊形和正方形AM與與EB對應(yīng)著長方形對應(yīng)著長方形E

8、PNB, AM與與GB對應(yīng)著長方形對應(yīng)著長方形GQNB. 就是說就是說AM與與AB邊的邊的6條線段都分別對應(yīng)著一個長方形，共條線段都分別對應(yīng)著一個長方形，共6個長方形個長方形AD邊上共有邊上共有3條線段，其余兩條線段條線段，其余兩條線段AD和和MD也都分別對應(yīng)著也都分別對應(yīng)著6個長方形，個長方形，所以共有所以共有36=18個長方形個長方形ABCDEFGHQPMN圖中共有圖中共有-個長方形個長方形一般的，類似于這樣的長方形（平行四邊形），若其橫邊上共有一般的，類似于這樣的長方形（平行四邊形），若其橫邊上共有n條線段，條線段，縱邊上共有縱邊上共有m條線段，則圖中共有長方形（平行四邊形）條線段，則圖

9、中共有長方形（平行四邊形）mn個個線段線段AM與與AE對應(yīng)著長方形對應(yīng)著長方形AMPE，AM與與AG對應(yīng)著長方形對應(yīng)著長方形AMQG，AM與與AB對應(yīng)著長方形對應(yīng)著長方形AMNB，AM與與EG對應(yīng)著長方形對應(yīng)著長方形EPQG,例例4橫邊上有橫邊上有8(8+1)2=36條線段，縱邊上有條線段，縱邊上有7(7+1)2=28條線段，條線段，所以共有所以共有3628=1008個平行四邊形個平行四邊形6例例6 （雨露招生試題）如圖，圖中平行四邊形的個數(shù)為（雨露招生試題）如圖，圖中平行四邊形的個數(shù)為 思考：能否像例思考：能否像例4那樣數(shù)平行四邊形？那樣數(shù)平行四邊形？可以將圖形分割成幾部分，使每一部分都像例

10、可以將圖形分割成幾部分，使每一部分都像例4那樣的圖形那樣的圖形但分割的塊數(shù)越少越好但分割的塊數(shù)越少越好3021442122）（）（思考：原圖中平行四邊形的個數(shù)是否等于思考：原圖中平行四邊形的個數(shù)是否等于60？假設(shè)分為如下圖所示的兩塊，那么每塊中的假設(shè)分為如下圖所示的兩塊，那么每塊中的平行四邊形的個數(shù)都是平行四邊形的個數(shù)都是思考：如最右側(cè)的圖形中也有思考：如最右側(cè)的圖形中也有30個平行四邊形，個平行四邊形， 那么原圖中平行四邊形的個數(shù)是否是那么原圖中平行四邊形的個數(shù)是否是330=90？不是不是90，還應(yīng)減去如下圖所示的兩個，還應(yīng)減去如下圖所示的兩個“田字格田字格”中的各中的各9個平行四邊形，因為

11、這個平行四邊形，因為這18個個平行四邊形已經(jīng)包含在前平行四邊形已經(jīng)包含在前60個之中個之中所以，原圖形中平行四邊形的個數(shù)是所以，原圖形中平行四邊形的個數(shù)是9018=72注意：在使用分類計數(shù)法時，一定要注意是否有遺漏或重復(fù)計數(shù)的！注意：在使用分類計數(shù)法時，一定要注意是否有遺漏或重復(fù)計數(shù)的！7例例5 如左、中、右三圖，各包含多少個正方形？如左、中、右三圖，各包含多少個正方形？ 為便于敘述，我們設(shè)一個小正方形的邊長為為便于敘述，我們設(shè)一個小正方形的邊長為1，那么，那么左圖中邊長為左圖中邊長為1的正方形的個數(shù)是的正方形的個數(shù)是 32=6邊長為邊長為2的正方形的個數(shù)是的正方形的個數(shù)是21=2所以左圖中共

12、有正方形所以左圖中共有正方形 32+21=8（個）（個）中圖中邊長為中圖中邊長為1的正方形的個數(shù)是的正方形的個數(shù)是43=12邊長為邊長為2的正方形的個數(shù)是的正方形的個數(shù)是32=6邊長為邊長為3的正方形的個數(shù)是的正方形的個數(shù)是21=2所以中圖中共有正方形所以中圖中共有正方形 43+32+21=20（個）（個） 右圖中邊長為右圖中邊長為1的正方形的個數(shù)是的正方形的個數(shù)是64=24邊長為邊長為2的正方形的個數(shù)是的正方形的個數(shù)是53=15邊長為邊長為3的正方形的個數(shù)是的正方形的個數(shù)是42=8邊長為邊長為4的正方形的個數(shù)是的正方形的個數(shù)是31=3所以中圖中共有正方形所以中圖中共有正方形 64+54+42

13、+31=50（個）（個） 如果一橫行有如果一橫行有m個小正方形，一豎行有個小正方形，一豎行有n個（假設(shè)個（假設(shè)mn）小正方形，）小正方形，那么圖中正方形的個數(shù)是那么圖中正方形的個數(shù)是mn+(m1)(n1)+(mn+1)(nn+1) 這里所采用的方法是分類法中這里所采用的方法是分類法中的另一種，是：的另一種，是：（3）按照圖形的大小分類）按照圖形的大小分類8例例7ABCKDEFGHL第第1類：與三角形類：與三角形ABE形狀有某些相似的三角形有形狀有某些相似的三角形有個個你打算怎樣數(shù)圖中的三角形？你打算怎樣數(shù)圖中的三角形？5第第2類：與三角形類：與三角形ABF形狀有某些相似的三角形有形狀有某些相似

14、的三角形有個個5第第3類：與三角形類：與三角形ABG形狀有某些相似的三角形有形狀有某些相似的三角形有個個10第第4類：與三角形類：與三角形ACD形狀有某些相似的三角形有形狀有某些相似的三角形有個個5第第5類：與三角形類：與三角形AFL形狀有某些相似的三角形有形狀有某些相似的三角形有個個55第第6類：與三角形類：與三角形AGD形狀有某些相似的三角形有形狀有某些相似的三角形有個個所以圖中的三角形共有所以圖中的三角形共有3535個個這里所采用的方法是分類法中的另一種，是：這里所采用的方法是分類法中的另一種，是：（4）按照圖形的形狀分類）按照圖形的形狀分類也可以說是也可以說是（5）按照圖形所處的位置分

15、類）按照圖形所處的位置分類9 例例8（華羅庚金杯競賽題）下圖中有（華羅庚金杯競賽題）下圖中有 個正方形，有個正方形，有 個三角形個三角形能否將圖中的正方形分類，按照不同類型分別數(shù)能否將圖中的正方形分類，按照不同類型分別數(shù)出其中的正方形個數(shù)？出其中的正方形個數(shù)？66+55+44+33+22+11=91除上一類為，還有除上一類為，還有 個正方形個正方形4 共有共有95個正方形個正方形這里所使用的方法是分類法中的（這里所使用的方法是分類法中的（4）按照圖形的形狀分類）按照圖形的形狀分類662=72個個直角邊長為直角邊長為1的三角形有的三角形有1-2行行 2-3行行3-4行行4-5行行5-6行行 直角

16、邊長為直角邊長為2的三角形的三角形8個個,6個個,2個個,8個個, 6個個,共共30個個4個個,2個個直角邊長為直角邊長為3的三角形的三角形 1-2行行3-5行行4-6行行4個個,共共10個個思考：還有漏數(shù)的三角形嗎？思考：還有漏數(shù)的三角形嗎？各各4個個,共共12個個3個個1個個斜邊長為斜邊長為2的三角形的三角形1-3行行第第4行行第第5行行第第6行行 4個，共計個，共計20個個1-6列依次列依次3+3+3+2+3+3=17（個）（個） 思考：還有漏數(shù)的三角形嗎？思考：還有漏數(shù)的三角形嗎？思考：還有漏數(shù)的三角形嗎？思考：還有漏數(shù)的三角形嗎？斜邊長為斜邊長為4的三角形的三角形直角邊長為直角邊長為

17、4的三角形的三角形3-6行行2個個所以圖中的三角形共計所以圖中的三角形共計72+30+10+2+20+17+4=155（個）（個）這里用了分類法中的（這里用了分類法中的（3）按照圖形的大小分類（之后又按圖形所處位置分類）按照圖形的大小分類（之后又按圖形所處位置分類）1-4行行1個個 ,2-5行行2個，個， 4-5行行1個，共個，共4個個分為兩類，一類是有一組對邊在水平方向的正分為兩類，一類是有一組對邊在水平方向的正方形，如左圖方形，如左圖 這類正方形的個數(shù)是這類正方形的個數(shù)是10課后反思總結(jié)課后反思總結(jié)計數(shù)方法：計數(shù)方法： 1分類計數(shù)法分類計數(shù)法 （1）按照包含同一圖形分類；）按照包含同一圖形

18、分類； （2）按照圖形所包含的）按照圖形所包含的“基本圖形基本圖形”的個數(shù)分類。的個數(shù)分類。 （3）按照圖形的大小分類；）按照圖形的大小分類； （4）按照圖形的形狀分類；）按照圖形的形狀分類； （5）按照圖形所處的位置分類）按照圖形所處的位置分類 2對應(yīng)計數(shù)法對應(yīng)計數(shù)法 幾個計算公式：幾個計算公式： 1線段、角的計數(shù)公式：線段、角的計數(shù)公式： 2長方形、平行四邊形的計數(shù)公式：橫邊上共有長方形、平行四邊形的計數(shù)公式：橫邊上共有n條線段，條線段，縱邊上共有縱邊上共有m條線段，則圖中共有長方形（平行四邊形）條線段，則圖中共有長方形（平行四邊形）mn個個 3正方形的計數(shù)公式：如果一橫行有正方形的計數(shù)公

19、式：如果一橫行有m個小正方形，一豎行有個小正方形，一豎行有n個（假個（假設(shè)設(shè)mn）小正方形，那么圖中正方形的個數(shù)是）小正方形，那么圖中正方形的個數(shù)是 mn+(m1)(n1)+(mn+1)(nn+1) = mn+(m1)(n1)+(mn+1)12) 1( nn圖形個數(shù)問題解答在問題解答在11成就測試答案成就測試答案13+2+1=6，A1OA426+5+4+3+2+1=21DECBA441+32+23+14=205BCDEFA經(jīng)過經(jīng)過AB到到F的有的有種爬法種爬法3經(jīng)過經(jīng)過AE到到F的有的有種爬法種爬法3經(jīng)過經(jīng)過AD到到F的有的有種爬法種爬法所以共所以共9種爬法種爬法36如圖，圖中的長方體和正方體

20、共有多少個？如圖，圖中的長方體和正方體共有多少個？ 說出你是怎樣數(shù)的說出你是怎樣數(shù)的BCDEFGA與數(shù)長方形和正方形的方法類似與數(shù)長方形和正方形的方法類似長方體有長方體有個個(3+2+1)(2+1)(2+1)=54正方體有正方體有個個322+211=147如圖，圖中的三角形共有多少個？請把它們都用記號表示出來如圖，圖中的三角形共有多少個？請把它們都用記號表示出來MBCDEFGNA(1)一邊在一邊在AB上的三角形有上的三角形有ABC, ABE,ABN,ABF,ADM,ADC,BDG,BDC(2)一邊在一邊在BC上而另一邊上而另一邊 不在不在AB上的三角形有上的三角形有BCA, BCD,BCF,B

21、CG,BEA,BEN,ECA,ECM(3)一邊在一邊在CA上而另一邊既上而另一邊既不在不在AB上也不在上也不在BC上的三角形有上的三角形有CAB, CAD, CAE,CAM,CFB , CFG, AFB, AFN(4)三邊不在三邊不在AB、BC、CA上的有上的有MNG所以圖中的三角形共有所以圖中的三角形共有8+5+3+1=17個個共計共計8+5+3=16個嗎？個嗎？3(4+3+2+1)（4+3+3+1）=10012圖中共有直線圖中共有直線6條，設(shè)為條，設(shè)為a, b,c,d,e,f, 每每3條一組，列表如下條一組，列表如下abc abd abe abf acd ace acf ade adf a

22、ef 計計10組組bfcedabcd bce bcf bde bdf bef 計計6組組cde cdf cef計計3組組def 計計1組組 這里采用的是對應(yīng)法，但是也要注意計數(shù)中是否有遺漏或重復(fù)這里采用的是對應(yīng)法，但是也要注意計數(shù)中是否有遺漏或重復(fù)def 計計1組組 ，合計，合計10+6+3+1=20組組但是經(jīng)過同一點的三條直線不能圍成三角形，但是經(jīng)過同一點的三條直線不能圍成三角形，所以圖中的三角形共有所以圖中的三角形共有203=17（個）（個）13提高訓(xùn)練提高訓(xùn)練3圖中共有多少個三角形？圖中共有多少個三角形？顯然三角形可分為尖向上與尖向下兩大類，兩類中三顯然三角形可分為尖向上與尖向下兩大類，

23、兩類中三角形的個數(shù)相等尖向上的三角形又可分為角形的個數(shù)相等尖向上的三角形又可分為6類類（1）最大的三角形最大的三角形1個個(即即ABC)，（2）第二大的三角形有）第二大的三角形有 1+2=3（個）（個）（3）第三大的三角形有）第三大的三角形有 1+2+3=6（個）（個）（4）第四大的三角形有）第四大的三角形有 1+2+3+4=10（個）（個）（5）第五大的三角形有）第五大的三角形有 1+2+3+4+5=15（個）（個）（6）最小的三角形有）最小的三角形有1+2+3+4+5+6+3=24（個）（個）最后加的最后加的3個是哪個是哪3個？個？所以尖向上的三角形共有所以尖向上的三角形共有1+3+6+1

24、0+15+24=59（個）（個）圖中共有三角形圖中共有三角形259=118（個）（個）14提高訓(xùn)練提高訓(xùn)練4 在在88的方格棋盤中，取出一個由三個小方格組成的的方格棋盤中，取出一個由三個小方格組成的“L”形形（如圖），一共有多少種不同的方法？（如圖），一共有多少種不同的方法？ 注意：數(shù)注意：數(shù)“不規(guī)則幾何圖形不規(guī)則幾何圖形”的個數(shù)時，常用對應(yīng)法的個數(shù)時，常用對應(yīng)法第第1步：找對應(yīng)圖形步：找對應(yīng)圖形 每一種取法，有一個點與之對應(yīng)，每一種取法，有一個點與之對應(yīng)，這就是圖中的這就是圖中的A點，它是棋盤上橫線與豎線的交點，且不點，它是棋盤上橫線與豎線的交點，且不在棋盤邊上。在棋盤邊上。第第2步：明確對應(yīng)關(guān)系從下圖可以看出，棋盤內(nèi)的每一步：明確對應(yīng)關(guān)系從下圖可以看出，棋盤內(nèi)的每一個點對應(yīng)著個點對應(yīng)著4個不同的取法（個不同的取法（“L”形的