大型渡槽抗震分析中流體的位移有限元模式

1、    大型渡槽抗震分析中流體的位移有限元模式            作者：李遇春1，樓夢麟1，時間：2007-11-25 12:10:00                     摘要：利用彈性體與流體位移運(yùn)動方程的相似性，將彈性體有限元

2、模式直接用于流體有限元計算，使得整個渡槽流固耦合系統(tǒng)具有統(tǒng)一的有限元計算模式。數(shù)值計算表明，這種流體有限元模式計算簡便，易于工程應(yīng)用，具有較好的計算精度，滿足工程計算的要求。 關(guān)鍵詞：大型渡槽 抗震分析 流體 位移有限元     我國目前在建的廣東省東江深圳供水改造工程建有3座大型渡槽，其設(shè)計流量為90m3/s，是目前國內(nèi)在建的流量最大的渡槽，已經(jīng)開工的南水北調(diào)工程將有更多的、流量更大的大型渡槽，這些大型渡槽都面臨著同一個問題結(jié)構(gòu)抗震，如何評估地震對渡槽結(jié)構(gòu)的作用與影響，是渡槽結(jié)構(gòu)設(shè)計中的重要問題。    大型渡槽中水量大，流體重量與

3、結(jié)構(gòu)重量相當(dāng)或甚至超過結(jié)構(gòu)重量，在地震及脈動風(fēng)作用下，槽內(nèi)水體的大質(zhì)量運(yùn)動會對渡槽結(jié)構(gòu)的動力特性及地震、脈動風(fēng)反應(yīng)產(chǎn)生重要影響，因此流體的作用是不可回避且必須加以考慮的問題。渡槽體系振動時，流體會伴隨著結(jié)構(gòu)的振動而產(chǎn)生晃動，反過來流體的晃動又將對結(jié)構(gòu)的振動產(chǎn)生影響，這是一個較為復(fù)雜的流體結(jié)構(gòu)相互作用問題。在渡槽抗震計算中，采用的有限元法有兩類計算格式：一種以流體壓力(或流體速度勢)為待求未知量1，利用流體運(yùn)動方程與結(jié)構(gòu)彈性體運(yùn)動方程的相似性2，可得到與結(jié)構(gòu)有限元格式相一致的流體有限元計算模式，但由于結(jié)構(gòu)通常采用位移模式，使得結(jié)構(gòu)流體交接面上位移與壓力協(xié)調(diào)關(guān)系不易處理；另一種有限元模式3以流體位

4、移為待求未知量，流體與結(jié)構(gòu)均為位移計算格式，流固交接邊界易于處理，容易應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)的有限元程序，適用面廣，適合于復(fù)雜渡槽結(jié)構(gòu)流體的相互作用問題，但位移模式待求未知量的個數(shù)多于壓力模式，占用的計算機(jī)內(nèi)存較多，且容易產(chǎn)生偽模態(tài)，當(dāng)然目前的微型機(jī)內(nèi)存可配得足夠的大，可滿足絕大多數(shù)的工程計算問題，至于偽模態(tài)可通過數(shù)值處理方法加以克服3。渡槽抗震計算一般情況要計算兩個水平方向(橫向和縱向)及一個豎直方向的地震作用，在橫向與豎向，槽身結(jié)構(gòu)與流體在正法向發(fā)生相互作用，這種法向相互作用對結(jié)構(gòu)與流體的運(yùn)動具有很大的影響，而在縱向，槽身與流體僅在切向發(fā)生相互作用，如果水體假設(shè)為理想流體(無粘性)，則槽身與水體之間并不

5、傳遞剪力，無相互作用，事實上，水體的粘性很小，槽身與流體在交接面(邊界層)的切向相互作用可忽略不計。只有橫向水平地震、豎向地震作用下，才有必要考慮流體與結(jié)構(gòu)的相互作用。    本文就大型渡槽抗震分析中流體的位移有限元模式作一討論，說明這種有限元模式在渡槽流固耦合體系整體抗震計算中的適用性，通過數(shù)值算例說明這種流體有限元模式在渡槽抗震計算中的有效性。1  無粘性流體運(yùn)動的位移控制方程    渡槽內(nèi)的流體運(yùn)動為一內(nèi)流問題，一般可設(shè)渡槽中水體為可壓縮、無粘性、無旋的流體，水體在小幅運(yùn)動下，流體運(yùn)動Euler方程為(1)式中：p為流

6、體壓力，“，i”表示對坐標(biāo)xi的導(dǎo)數(shù)；L為流體質(zhì)量密度；vi為流體速度分量；“·”表示對時間t的導(dǎo)數(shù)。    流體物理方程為(2)式中：為流體中聲波的速度，其中K為體積壓縮模量。    式(2)中隱含了Einstein求和約定。小幅運(yùn)動下，流體運(yùn)動速度可表為(3)式中：ui為流體位移分量。    由式(1)、式(2)可得(4)    將式(3)代入式(2)，對時間t積分得(5)    對式(5)求關(guān)于xi的偏導(dǎo)數(shù)，然后代入式(1)，得流

7、體運(yùn)動的位移方程為(6)    流體運(yùn)動的邊界條件：流體自由表面s上，有p=0，即(7)    在流體結(jié)構(gòu)交接面上有法向位移協(xié)調(diào)條件(8)    及法向壓力協(xié)調(diào)條件(9)    式(8)、式(9)兩式中：wi、ij分別為交接面上結(jié)構(gòu)的位移及應(yīng)力。2  流體與結(jié)構(gòu)運(yùn)動的相似性    結(jié)構(gòu)彈性體的動力學(xué)方程可表為4 (10)式中：wi為彈性體的位移分量；Xi為體力分量；Ks、G、和s分別為彈性體體積彈性模量、剪切模量、泊松比及質(zhì)量密度。&#

8、160;   在式(10)中，若命：Xi=0及G=0，則式(10)變?yōu)?11)比較式(6)、式(11)兩式，兩個方程形式完全相同，依據(jù)這種相似性，只需將彈性體參數(shù)調(diào)整為流體參數(shù)c2，則流體的位移運(yùn)動方程可直接通過彈性體運(yùn)動方程加以描述。3  流體位移有限元模式    應(yīng)用上述結(jié)構(gòu)與流體運(yùn)動方程的相似性，流體有限元方程可直接由結(jié)構(gòu)彈性體有限元5構(gòu)造得到，因此現(xiàn)有結(jié)構(gòu)彈性體標(biāo)準(zhǔn)有限元計算程序可直接用于計算流體。這樣整個流固耦合系統(tǒng)具有統(tǒng)一的有限元計算格式，流體與結(jié)構(gòu)交接面上的協(xié)調(diào)關(guān)系將變得易于處理。應(yīng)用上述運(yùn)動方程的相似性，對渡槽中流體作

9、有限元分析時，有以下幾個問題需要說明：    (1)將上述式(10)化為式(11)的過程中，用到條件G=0，即流體的剪切模量為零，表明流體單元之間，以及流體單元與彈性體單元之間并不傳遞剪力，僅僅只傳遞法向壓力，這一點(diǎn)符合理想流體(無粘性)的力學(xué)特征，這樣流體結(jié)構(gòu)交接面上的法向壓力協(xié)調(diào)條件式(9)將自動滿足。實際計算中為了保證計算的穩(wěn)定性，剪切模量G不能為零，只需取一個非常小的正數(shù)，保證計算過程不溢出即可。    (2)用于形成流體剛度矩陣的物理方程為(12)式(12)中第一個方程與式(2)等價，其中bulk為流體的體應(yīng)變，對于水體，其

10、體積壓縮模量可近似地取為K=2.067×109Pa；、分別表示流體的剪應(yīng)力與剪應(yīng)變，剪切模量可取為一個小的正數(shù)，可取G=K×10-9，流體的泊松比可近似取為=0.5。    (3)渡槽中流體晃動時，自由表面在重力的作用下，總是趨向于其平衡位置，為了模擬流體自由表面恢復(fù)力效應(yīng)，可在自由表面上加彈簧，彈簧剛度系數(shù)的計算參見文獻(xiàn)3。    (4)流體質(zhì)量矩陣可采用集中質(zhì)量法形成。    (5)流體運(yùn)動方程是針對無粘性的理想流體得到的，對于水體而言，其粘性很小，可按無粘性的流體考慮，此時流體的

11、阻尼矩陣為零，抗震計算偏于安全。若計算中需要考慮水體的阻尼作用時，即要考慮水體的粘性效應(yīng)時，可按以下的物理方程建立流體單元的阻尼矩陣：(13)式中：表示應(yīng)變對時間t的導(dǎo)數(shù)；為流體的粘性系數(shù)；對于水體可取=0.001135kg·m-1·s。    (6)流固耦合交界面的處理：交界面上同一位置，一般應(yīng)設(shè)置兩個節(jié)點(diǎn)，一個用于流體、另一個用于結(jié)構(gòu)彈性體，交界面兩個節(jié)點(diǎn)法向處的位移強(qiáng)制保持協(xié)調(diào)一致，即滿足式(8)，而兩個節(jié)點(diǎn)的切向位移不作約束，允許相對滑動，即為可滑動邊界條件。4  數(shù)值算例4.1  矩形槽身  以文獻(xiàn)6中的

12、算例為例，取矩形槽內(nèi)靜止水截面寬度為8.0m，高度為6.0m，槽身長度為12.0m，流體質(zhì)量密度為L=1000kg/m3，采用邊界元法6，將水體假設(shè)為不可壓縮的流體，得到槽內(nèi)水體橫向第一階晃動頻率為0.3087Hz。采用位移格式的有限元法，在縱向僅取2.0m長度的水體(圖1)，流體的粘性系數(shù)取為零，流體體積壓縮模量按實際取為K=2.067×109Pa，水體的邊界采用滑動邊界，計算得到的槽內(nèi)水體橫向第一階晃動模態(tài)見圖1，晃動頻率為0.3041Hz，有限元與邊界元的結(jié)果，相對誤差僅為1.5%，兩者結(jié)果非常接近，注意到流體的晃動頻率與其體積壓縮模量的大小無關(guān)，僅與重力加速度及橫截面的尺寸有

13、關(guān)。    圖2表示了流體在EL Centro(N-S)地震波作用下(峰值加速度為3.417m/s2)對槽身(按槽身長度為12.0m計算)水平剪力的時間歷程，圖中分別采用了兩種計算方法，可以看出，有限元法與邊界元法兩個結(jié)果在總的時間域上相當(dāng)一致，其最大反應(yīng)值亦極為接近，邊界元解為|Fl|max=1298.0kN，有限元解為|Fl|max=1311.7kN。4.2  U形槽身  以廣東省東    江深圳供水改造工程中的U型渡槽為例7，圖3為流體在槽內(nèi)的一階橫向晃動模態(tài)，流體結(jié)構(gòu)邊界采用滑動邊界，有限元計算槽

14、內(nèi)水體晃動首階頻率為f=0.3224Hz，邊界元計算結(jié)果為f=0.3413Hz，兩者相當(dāng)接近，相對誤差為5.5%。    槽身長度取為12m，圖4為場地人工地震波橫向作用下，有限元及邊界元兩種方法計算得到的流體對槽身的水平地震作用時程曲線，由圖4可看出，兩個時程曲線相當(dāng)接近，邊界元法得到的最小、最大水平剪力分別為-109.22kN及119.95kN；有限元法得到的最小、最大水平剪力分別為-115.25kN及126.01kN，反應(yīng)的峰值結(jié)果也相當(dāng)接近。 圖3 U形槽內(nèi)水體有限元模型及橫向第一階晃動模型圖4 流體對U形槽身的水平地震作用時程曲線  

15、  以上計算誤差的來源，除了計算模式不同導(dǎo)致的誤差外，另一個來源是邊界元法將水體假設(shè)為不可壓縮，而有限元一般考慮水體為可壓縮，更接近于實際情況。流體U形槽身的計算誤差要大于矩形槽身的，原因是：(1)U形槽身水體單元劃分得較粗；(2)U形槽身曲線滑動邊界處理有一定的近似性。    以上的計算表明，采用位移格式的有限元計算結(jié)果是可信的，滿足工程抗震分析要求。作為實際應(yīng)用，作者采用上述的流體有限元模型，分析了東江深圳供水改造工程中3種不同形式渡槽的地震反應(yīng)，詳見文獻(xiàn)7。5  結(jié) 論    利用彈性體與流體位移運(yùn)動方程的相

16、似性，將彈性體有限元模式直接用于流體有限元計算，使得整個流固耦合系統(tǒng)具有統(tǒng)一的有限元計算模式，抗震計算簡便，易于工程應(yīng)用，具有較好的計算精度，滿足工程計算的要求。   參 考 文 獻(xiàn)：1 Evertine G C.Finite element formulations of structural acoustics problemsJ.Computer & Structures,1997,65(3):307-321.2 Evertine G C.Structural analogies for scalar field problemJ.Int.J.Numer.Meth.Engng.1981,(17):4