華羅庚金杯賽專題簡易方程——方程初步及其應用

1、簡 易 方 程 方程初步及其應用含有未知數(shù)的等式統(tǒng)稱為方程。最簡單的方程是只有一個未知數(shù)，而且每一項中不出現(xiàn)未知數(shù)自己相乘的，即未知數(shù)的次數(shù)只是一次的，這就是一元一次方程。方程最基本的問題是要求出未知數(shù)的數(shù)值，使等式成立，這個數(shù)值稱為方程的“解”，這一求解的過程就叫“解方程”。因為方程是等式，所以關于等式的各種運算規(guī)則都可以應用。例如，方程的兩邊可以加、減、乘以同一個數(shù)或同一個含未知數(shù)的式子，等等。一元一次方程經(jīng)過這種變換可以化為下面形式： （1）其中，是未知數(shù)，是數(shù)。（1）的兩邊都除以，就得到 （2）這就是方程（1）的解。在解應用題的時候，我們可以把要求的量設為未知數(shù)，根據(jù)題目的意思形式上列

2、出一個等式（方程），這一“翻譯”的過程會比用算術的方法直接去想出求解的方法來要簡單得多，容易得多。剩下來的就是解方程了，可以不考慮每個量的含義，形式上進行運算、求解。當然，最后算出來的解，要進行“驗算”，看看它是否真是問題的解。例如，題目中要求的量是整數(shù)，得到方程（1）以后，必須能被整除，那么解（2）才有意義，否則方程就沒有解。如果將題目中（要求的）兩個量都設為未知數(shù)，一般來說，應該列出兩個方程來，它們?nèi)〉臄?shù)值須同時滿足這兩個方程，這叫做聯(lián)立方程，或方程組。這樣問題才能有唯一的一組解。對于一個二元一次方程 （3）一般來說，可以有無窮多個（組）解。特別，當都是整數(shù)，要求的也是整數(shù)時，方程（3）也

3、稱為“不定方程” 。對于二元一次方程組：將 ，得兩邊除以 ，得將 ，得兩邊除以 ，得另一種解法是“代入法”由（1）解得 將其代入（2），得“解方程”就是用系數(shù)來表示解（方程的根）。分式方程、根式方程、代數(shù)方程、 五次以上的代數(shù)方程“不可解”“三等分角” 和“倍立方體”問題“不可解” 下面用例子來說明用方程來解應用題。1有兩條紙帶，一條長21厘米，一條長13厘米，把兩條紙帶都剪下同樣長的一段以后，發(fā)現(xiàn)短紙帶剩下的長度是長紙帶剩下的長度的。問剪下的一段有多長？（第1屆華杯賽復賽第7題） 解：設剪下的一段長厘米。列方程如下： 答：剪下的一段長0.2 厘米。 評注： 本題中，設好未知數(shù)后，將題目的要求

4、用式子（等式）表示出來，就是方程，然后利用等式的性質(zhì)進行“去分母”、“移項”、“合并” 最后得到“標準形”：，由此立即得到未知數(shù)的數(shù)值，即為所求之解答。2幼兒園有3個班，甲班比乙班多4人，乙班比丙班多4人。老師給小孩分棗。甲班每個小孩比乙班每個小孩少分3個棗；乙班每個小孩比丙班每個小孩少分5個棗。結果甲班比乙班總共多分了3個棗，乙班比丙班總共多分5個棗。問三個班總共分了多少個棗？（第1屆華杯賽決賽第二試第3題） 解：設丙班有小孩人。由已知條件可知，甲班每個小孩比丙班每個小孩少分3+5=8個棗。這樣，甲班個小孩比丙班個小孩少分個棗。由于甲班比丙班總共多分8個棗，又知道甲班比丙班多8人，這8人共分

5、到個棗，因此，甲班每人分到 個棗。同樣地，乙班個小孩比丙班個小孩少分個棗，因此乙班每個小孩分到 個棗。這樣，得到方程因此，甲班小孩有人，每人分棗個； 乙班小孩有人，每人分棗個； 丙班小孩有11人，每人分棗個。 所以，三個班共分棗 （個）答：三個班共分棗673個。評注：這里選取哪一個班的人數(shù)作為未知數(shù)都可以，雖然列出的方程不同，但最后的結果是相同的。3在9點與10點之間的某一時刻，5分鐘前分針的位置與5分鐘后時針的位置相同。問：此時刻是多少？（第9屆華杯賽初賽第7題）解：設此時刻是9點分，依鐘面上的分針刻度為單位計算，5分鐘前分針的位置在，因為時針轉動的速度是分針轉動速度的，所以5分針后時針的位

6、置在 ，由此可得以下關系： =這是一個關于未知數(shù)的方程。要解這個方程，進行移項，注意：當把某一項從方程的一邊移到另一邊時，該項要變符號：答：此時刻是9點55分。評注：解時鐘問題的關鍵是“時針轉動的速度是分針轉動速度的”。4自行車輪胎安裝在前輪上能行駛500千米，若安裝在后輪上只能行駛300千米。為行駛盡可能多的路程，采用當自行車行駛一定路程后，將前后輪調(diào)換的方法，問：安裝在自行車上的一對輪胎最多可行駛多少千米？ （第8屆華杯賽初賽第7題）解：設開始時的前后輪胎分別為A和B。設行駛千米后將A和B進行調(diào)換，那么，A作為后輪還可以行駛千米， B作為前輪還可以行駛 千米， 如果此時輪胎A和B都駛行到盡

7、頭，同時報廢，那么它們行駛的路程最長，所以這兩個路程應該相等。故得方程 所以，用調(diào)換輪胎的方法最多可行駛 答：一對輪胎最多能行駛375千米。 評論：此題是將兩輪胎交換時已行過的路程設為未知數(shù)，而不直接是問題所求的最長行駛距離，并且列出方程時是考慮到“輪胎A和B都行駛到報廢，那么它們行駛的路程最長”。 5 用邊長相同的正六邊形白色皮塊和正五邊形黑色皮塊共32塊縫制成一足球，其中黑色皮塊都是孤立的（不與黑色皮塊相連），且每個白色皮塊只和3個黑色皮塊相連，問白色皮塊與黑色皮塊各有多少塊？ 解：設白色皮塊有塊，依題意，黑、白皮塊的公共邊有3條；另一方面黑色皮塊有塊，可知黑、白皮塊的公共邊有5（32）條

8、，因此得到方程： 由此得到，白色皮塊有20塊，黑色皮塊有3220=12塊。 答：共有白色皮塊20塊，黑色皮塊12塊。6A、B兩地相距120千米，已知人的步行速度是每小時5千米，摩托車的行駛速度是每小時50千米，摩托車后座可帶一人。問：有3人并配備一輛摩托車從地到地最少需要多少小時？（第8屆華杯賽小學組復賽第8題）C 解：設此3人為甲、乙、丙，如下圖： ABCDE 甲開摩托車后座帶乙，3人同時從A地出發(fā)，甲和乙到C地所用時間為小時，并且放下乙，乙繼續(xù)步行，到達B地所用時間設為y小時。而甲馬上折返，在E地遇到丙，攜帶丙乘摩托車駛向B地，恰好與乙同時到達B地。這種情況下，3人從地到地所用的時間為最少

9、。 可得如下關系：（1） 甲和乙到達C地時，丙到達D地，丙步行的路程是5千米；（2） D、C間的距離是 千米；（3） 丙步行到E地所用時間是 小時，丙從E地到B地乘摩托車所用時間是 小時；而乙乘摩托車到C地所用時間是小時，乙從C地步行到達B地所用時間是y小時；由此立即可以列出二元一次方程組：要解此方程組，可先從第一個方程中解出： 將此表達式代入第二個方程中：由此得到： （小時）所以，3人配備1輛摩托車從A地到B地最少需要小時。評注：設定了未知數(shù)后，確定“3人從A地到B地需要時間最少”的條件是“甲攜帶丙乘摩托車駛向B地，恰好與乙同時到達B地”，方能列出方程（組），正確求解。7某市居民自來水收費標

10、準如下：每戶每月用水4噸以下，每噸1.80元。當超過4噸時，超過部分每噸3.00元。某月甲、乙兩戶用水量之比為5:3，共繳水費26.40元。問甲、乙兩戶各應交水費多少元?（第8屆華杯賽復賽第11題）解：設甲該月用水量為5噸，則乙用水量為3噸。若，可以列出方程這與條件不符。若 則得方程 于是有此時，成立，但。由此可知，甲、乙用水都超過4噸，即可得到方程： 于是，甲應交水費： （元）乙應交水費： （元）評注：本題的關鍵是判斷甲、乙兩戶用水都超過4噸。這里的判斷方法用的是排除法。在算出甲應交水費17.7元后，由，立即可得到乙的應交水費，我們這里之所以用公式計算是為了驗算結果的正確，計算無誤。8某商貿(mào)

11、服務公司，為客戶出售貨物，收取3%的服務費；代客戶購置物品，收取3%的服務費。今有一客戶委托該公司出售自產(chǎn)的某種物品并代為購置新設備。已知該公司共收取了客戶服務費264元，客戶恰好收支平衡。問：所購置的新設備花費了多少元？（第7屆華杯賽初一組復賽第8題）解：根據(jù)題意，可知： 出售物品的收入 - 出售服務費 = 購置設備費用 + 購置服務費 即出售物品的收入 - 購置設備費用 = 總服務費另一方面，自然有出售服務費 + 購置服務費 = 總服務費設出售物品的收入為元，購置設備的費用為y元。于是根據(jù)上面兩個關系可以列出二元一次方程組： （1） （2） 將（2）化簡得 （3） 由（1）得 （4） 將（

12、4）代入（3），得 （5） 化簡（5），得 將此值代入（4）得 （元）答：購置的新設備花費了5121.6 元。評注：本題解題的關鍵是分析清楚所述各量之間的關系，用方程來求解是不會有困難的，設兩個未知數(shù)可使得方程一目了然。9今年，祖父的年齡是小明的年齡的6倍。幾年后，祖父的年齡將是小明的年齡的5倍。又過幾年后，祖父的年齡將是小明的年齡的4倍。問：祖父今年是多少歲？（第3屆華杯賽復賽第11題） 解：設小明今年歲，那么今年祖父歲。設年后，祖父的年齡將是小明的年齡的5倍，可得方程又過年以后，祖父的年齡將是小明的年齡的4倍，所以 這里，都是正整數(shù)。 因為祖父今年歲，顯然必有 ； 又有 ，且是4的倍數(shù)，因

13、此只能取4，8，12，32；另一方面，則必須是3的倍數(shù)，這樣只能取12，24；因而祖父今年的年齡是72，144；根據(jù)實際情況，孫子24歲，祖父歲是不可能的，而孫子12歲，祖父歲是可能的。答：祖父今年72歲。評注：這里出現(xiàn)的方程是不定方程，可能有多個解，但根據(jù)實際情況，我們確定了它的唯一解。這說明在解對應于實際問題的方程時，必須要對得到的解進行驗算和判斷，看它是否真是問題的解。10一臺天平，右盤上有若干重量相等的白球，左盤上有若干重量相等的黑球，這時兩邊平衡。從右盤上取走一個白球置于左盤上，再把左盤的兩個黑球置于右盤上，同時給左盤加20克砝碼，這時兩邊也平衡。如從右盤移兩個白球到左盤上，從左盤移

14、一個黑球到右盤上，則須再放50克砝碼于右盤上，兩邊才平衡。問：白球、黑球每個重多少克？（第5屆華杯賽復賽第6題）解：設每個黑球重克，每個白球重y克。依題意，分別計算天平左、右盤上的增減重量，得到如下的二元一次方程組：由此可知從方程（1）解出，將它代入方程（2）得 答：每個黑球重15克，白球重20克。 評注：本題如用算術方法求解，分析起來比較麻煩，關系較亂，大家不妨可以試試看。列方程求解，則只要形式上進行運算即可，無須考慮其背景，且不容易出錯。11采茶姑娘每天上山采茶，上山每小時行0.7千米，下山每小時行2.1千米。一天，她從山腳走到山頂，再從山頂回到山腳，共用去6小時，她的平均速度是多少？ 解

15、：設從山腳到山頂?shù)穆烦虨榍?，則得方程 即 （千米） 她往返共行了 2x千米，故平均速度是每小時 千米 答：她的平均速度是每小時1050米。 評注：求平均速度，有人可能立即會認為就是上山速度和下山速度的平均 即每小時1400米，其實這是概念上的模糊。12在什么溫度時，華氏溫度計和攝氏溫度計的讀數(shù)相同？ 解：華氏的冰點是32，沸點是212，攝氏的冰點是0，沸點是100。所以攝氏1度相當于華氏度。 設溫度攝氏的華氏度數(shù)也是（），則 移項、化簡得 這里的負號表示在冰點以下，即溫度零下，有 -40 = -40答：華氏零下40度也是攝氏零下40度。評注：本例給出一元一次方程有負數(shù)解的情形，負號表示和選取

16、的方向相反，是有實際意義的，因此解是合理的。13下面是一道古印度算題：在波平如鏡的湖面上，有一朵美麗的紅蓮，它高出水面3尺，一陣大風刮過，紅蓮被吹到一邊，花朵齊及水面，如果知道紅蓮移動的水平距離為6尺，問這里水深多少？ 解：如圖， ABCD已知紅蓮在無風時高出水面部分CD長3尺，B為紅蓮被吹斜后花朵的位置，水平距離BC為6尺。CA為水深，設為尺，于是 。因為ADB是直角三角形，由勾股定理可列出方程如下：移項、化簡得 答：水深4.5尺。評注：在列方程的過程中雖然出現(xiàn)了項，但經(jīng)過合并相消，最后得到的方程還是一次的。14有一群兒童，他們的年齡之和是50歲，其中最大的為13歲，有一個是10歲，除去10

17、歲的這個兒童外，其余兒童的年齡組成一個等差數(shù)列，問共有幾個兒童？每個兒童幾歲？解：設年齡成等差數(shù)列的兒童個數(shù)為n，n是未知數(shù)，于是他們的年齡之和為50-10=40，他們中最大的是13歲，最小的設為a歲，a也是未知數(shù)，這里n和a都是整數(shù)。由等差數(shù)列的求和公式，即可列出如下方程由此可知，n是80的因子，且。由后面兩個不等式可得，但n還要是80的因子，所以n只能取4和5。于是可兩種情況分析和計算：當n=4時，由（1）得 。容易作判斷：在7和13之間恰好能插進2項：9和11，使它們成等差數(shù)列。當n=5時，由（1）得 。但是，在3和13之間不能插進3個整數(shù)，使得它們成等差數(shù)列。因此，這種情況是不成立的。

18、答：共有5個兒童，他們的年齡分別是7，9，10，11，13。評注：本例實際上是求不定方程的整數(shù)解，而且方程不是一次的。結果表明方程有唯一解。這里用到通過因子分析確定解的范圍的方法具有普遍性。15A、B兩地相距13.5千米，甲、乙兩人分別從A、B同時出發(fā)，各在A、B間往返一次。這時，甲比乙先回到原地，而且兩人第一次在C點相遇，第二次在D點相遇，從第一次相遇到第二次相遇經(jīng)過的時間是3小時20分鐘，C、D兩點相距3千米。求甲、乙兩人的速度（假定他們的行走速度不變）。ABCD 解：設甲、乙的速度分別為每小時x千米、y千米（xy），他們在C點相遇的時間為t小時，則得 （1）從C點相遇到D點相遇經(jīng)過的時間

19、是小時，由圖可知：D點在C點的靠A點一側，甲走過的路程為，乙走過的路程為，故得 （2） （3） 由（2）、（3）得 將這兩個式子的左邊和左邊相加，右邊和右邊相加，得到 將此t值代入（1）和（2）得 （4） 和 （5） 將（4）和（5）兩式相加，得 ， 將（4）和（5）兩式相減，得 答：甲的速度為4.5千米/小時，乙的速度為3.6千米/小時。 評注：在分析題意時，只設甲和乙的速度為未知數(shù)，還不能列出方程來，于是再將首次相遇時的時間也取作未知數(shù)，三個未知數(shù)，可列出三個方程，但不是一次方程。在解這組方程時，要應用一些技巧，方能奏效，一如上面所做。16有一項工作，甲、乙兩人一起干若干天可完成，甲單獨干

20、要多花18天才能完成，乙單獨干要多花32天。問甲、乙單獨干各要多少天？ 解：設甲、乙單獨完成這項工作分布用x天、y天，兩個人一起干用t天，則可列出方程如下 將（2）、（3）代入（1），得到 代入（2）和（3），即得 答：甲單獨干要42天，乙單獨干要56天。 評注：上面求解過程中，要進行代數(shù)式的四則運算，根據(jù)運算規(guī)則不難完成的。而且，這里通過分解因子可完成“開平方”。17小王從家里步行去車站乘火車，準備在開車前5分鐘到車站。他走了1千米時，發(fā)現(xiàn)家里的鐘慢10分鐘，于是跑步到車站，因火車晚點1分鐘，正好趕上。若一開始就跑步去，可以比走著去早10分鐘到車站。已知小王步行速度是每小時4千米，求從家到火

21、車站的距離。 解：設從家到火車站的距離為x千米，小王跑步的速度為每小時y千米。 小王本應晚5分鐘，可火車晚點1分鐘，所以只晚4分鐘，由于跑步而提早了4分鐘，才正好趕上，因此得到 同樣，若一開始就跑步去，則有 將（2）、（1）兩式相減得 將此值代入（2）得 答：從家到火車站的距離是千米，跑步的速度是每小時千米。18一個首位數(shù)字為1的六位數(shù)，將首位數(shù)字移到末尾，其余數(shù)字順序不變，得 到的新六位數(shù)是原六位數(shù)的3倍，求此六位數(shù)。 解：設去掉首位數(shù)字后得到的五位數(shù)為，依題意得方程 化簡，得 答：所求的六位數(shù)為142857。19某晚，家中停電，遂燃兩支蠟燭照明。兩燭長度相同，粗細不同，已知粗燭可燃5小時，

22、細燭可燃4小時。來電以后，將燭火吹滅，此時粗燭剩余長度恰好是細燭的4倍。問兩支蠟燭已經(jīng)點燃了多少小時？解：設兩支蠟燭已經(jīng)點燃了小時。不妨假定兩支蠟燭的長度為1，粗燭每小時燃去，細燭每小時燃去，小時后各燃去，即得方程可化簡為 解得 （小時）答：兩支蠟燭已經(jīng)點燃了3小時45分。20某次數(shù)學競賽前60名獲獎，原定一等獎5人，二等獎15人，三等獎40人?，F(xiàn)調(diào)整為一等獎10人，二等獎20人，三等獎30人。調(diào)整后，一等獎平均分數(shù)下降了3分，二等獎平均分數(shù)下降了2分，三等獎平均分數(shù)下降了1分。如果原來二等獎比三等獎平均分數(shù)多7分。問調(diào)整后，一等獎比二等獎平均分數(shù)多幾分？ 解：設調(diào)整后的一、二、三等獎的平均分

23、數(shù)分別為，則有 由此得到 （1） 又調(diào)整前的二等獎平均分數(shù)為y+2，三等獎平均分數(shù)為z+1，得 即 （2） 由（1）（2）得到 答：調(diào)整后，一等獎比二等獎平均分數(shù)多5分。21一次聚會結束時，到會的人互相握手道別，每人都和其他所有的人握過一次手，共握手105次，問參加聚會的有多少人？解：設到會的有人，每人須和其他人握手一次，共計握手次。但是，當甲握乙手時，乙也握甲手，所以兩次只能作一次算，實際握手的總次數(shù)只有，于是得到方程答：參加聚會的有15人。22從甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，沒有平路。一輛汽車上坡時每小時行駛20千米，下坡時每小時行駛35千米。汽車從甲地開往乙地需9小時，從乙地開往

24、甲地需小時。問：甲、乙兩地間的公路有多少千米？從甲地到乙地須行駛多少千米的上坡路？（第5屆華杯賽復賽第9題） 解：設從甲地到乙地經(jīng)過的上坡路為千米，下坡路為千米。依題意，可得如下方程組 將（1）式和（2）式相加，得到 同樣地，將（1）式和（2）式相減，得到再將（3）式和（4）式相加，便得到 答：甲、乙間的公路長為210千米，從甲地到乙地須行駛140千米的上坡路。23攝制組從A市到B市有一天的路程，計劃上午比下午多走100千米到C市吃午飯。由于堵車，中午才趕到一個下鎮(zhèn)，只行駛了原計劃的三分之一。過了小鎮(zhèn)，汽車趕了400千米，傍晚才停下來休息。司機說，再走從C市到這里路程的二分之一就到達目的地了。

25、問：A、B兩市相距多少千米？（第5屆華杯賽決賽第二試第1題）EDCAB 解：設 則有 （1） 因為，所以 又已知 ，故得 答：A、B兩市相距600千米。評注：此題得到的方程（1）和（2），由于方程（2）實際上與未知數(shù)y無關，只要千米，恒可滿足題目的要求，因此題目里“計劃上午比下午多走100千米到C市吃午飯”中的100千米這一條件（即方程（2）是不必要的！也就是說千米的解答總是唯一的。24現(xiàn)有甲、乙兩種卡通玩具昆蟲。甲種玩具昆蟲每只有1只眼睛和40只腳；乙種玩具昆蟲每只有3只眼睛和若干只腳。兩種玩具昆蟲共有26只眼睛和298只腳。問乙種玩具昆蟲每只有多少只腳？解：設甲種玩具昆蟲有只，乙種玩具昆蟲

26、有y只，且每只有k只腳。則甲種玩具昆蟲共有眼睛只，共有腳 只；乙種玩具昆蟲共有眼睛3y只，共有腳 只。依題意可列出方程組由（1）得 ， 即是被3除余2的自然數(shù)，可取2，5，8，11，14，由（2）可知 ，即=2或5。當=2時，由（1）得 =8。 但不滿足（2），因此時k不能為整數(shù)。當=5時，由（1）得 =7。 由（2）得 。答：乙種玩具昆蟲每只有14只腳。25某學校共有350名同學，一次組織郊游，高年級同學每人交10元，低年級同學每人交8.15元，全體低年級同學和一部分高年級同學參加了郊游。同學們交的錢總數(shù)與高年級同學總人數(shù)無關。問 ：低年級同學交的錢的總數(shù)是多少？解：設高年級同學共有m人，沒

27、有參加郊游的人數(shù)的百分比為x， 則同學們交的錢總數(shù)T為 顯然，只有當 時，T的值才能與m無關。此外，因為，并且m和0.185m都是整數(shù)，所以。由此可得，共有150名低年級同學，他們共交錢元答：低年級同學共交錢 1220.50元.26在分母小于15的最簡分數(shù)中，不等于且與最接近的是哪一個？解：設所求的分數(shù)為，則 取自然數(shù)m、n使 分別解得 或 ，即要求使m為整數(shù)的最大n （nn）?？梢灾苯域炈恪Ｎ覈宕鷶?shù)學家羅士琳就得到過上述結果。 有了這個解的表達式，就可以回答開始提到的問題。將它代入方程 中，得到 由 m-n=1，n=4， 得 m=5， 因而三邊為 9，40，41 由 m-n=2，n=2，

28、得 m=4， 因而三邊為 12，16，20 由 m-n=4，n=1， 得 m=5， 因而三邊為 24，10，26 如果 x，y，z有最大公因子 k1，即設三邊為同樣計算，結果并沒有得到新的解。所以，問題的解只有以上3組，其中第二組在前面已經(jīng)得到了，其余兩組是新的。方程（1）有整數(shù)解，但是不定方程 （2）是否有整數(shù)解呢？這就是著名的“費馬猜想”。這個問題自費馬在1637年提出以來，歷經(jīng)三個半世紀，經(jīng)過無數(shù)著名數(shù)學家的努力，始終沒有結果，說明這個問題的艱深。直到1994年才最終被美國數(shù)學家懷爾斯用高深的數(shù)學方法解決。結論是不定方程（2）沒有整數(shù)解，這就是“費馬大定理”。 29求不定方程 的正整數(shù)解x，y，z 。解：原方程可化為 （1）由于3是質(zhì)數(shù)，且x，y，z的地位是對稱的，所以不妨假定 （這個記號表示 能被3整除）。故得 （2）于是 （3）因此，不妨假定 ， 代入（3）得 整理為關于的方程： 由此得 即 于是 ，故得 下面分別討論：1） 當 k=2時，則 m=1或 m