固體物理學(xué)規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)答案朱建國版

1、固體物理學(xué)-習(xí)題指導(dǎo)配合固體物理學(xué)（朱建國等編著）使用2020年6月24日第1章晶體結(jié)構(gòu)1第2章晶體的結(jié)合15第3章晶格振動(dòng)和晶體的熱學(xué)性質(zhì) 24第4章晶體缺陷38第5章金屬電子論43第1章晶體結(jié)構(gòu)1.1有許多金屬即可形成體心立方結(jié)構(gòu)， 也可以形成面心立方結(jié)構(gòu)。從一種結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N 結(jié)構(gòu)時(shí)體積變化很小.設(shè)體積的變化可以忽略，并以 Rf和Rb代表面心立方和體心立方結(jié)構(gòu)中 最近鄰原子間的距離，試問 Rf/Rb等于多少？答：由題意已知，面心、體心立方結(jié)構(gòu)同一邊相鄰原子的距離相等，都設(shè)為a：對于面心立方，處于面心的原子與頂角原子的距離為：Rf= a2對于體心立方，處于體心的原子與頂角原子的距離為：R

2、b= a2瑣/ Rf ' 2a 6那么，=-Rb .3a 31.2 晶面指數(shù)為（123 ）的晶面ABC是離原點(diǎn)O最近的晶面，OA、OB和OC分別與基失ai, a2和a3重合，除O點(diǎn)外，OA , OB和OC上是否有格點(diǎn)？若 ABC面的指數(shù)為（234 ）,情況 又如何？答：晶面族（123）截a1,a2,a3分別為1,2,3等份，ABC面是離原點(diǎn)O最近的晶面，OA 的長度等于a1的長度，OB的長度等于a2長度的1/2 , OC的長度等于a3長度的1/3 ,所以 只有A點(diǎn)是格點(diǎn)。若 ABC面的指數(shù)為（234 ）的晶面族，則 A、B和C都不是格點(diǎn)。1.3 二維布拉維點(diǎn)陣只有 5種，試列舉并畫圖表

3、示之。答：二維布拉維點(diǎn)陣只有五種類型，兩晶軸 a、b ,夾角 ，如下表所示。序號晶系基矢長度與夾角關(guān)系布拉維晶胞類型所屬點(diǎn)群1斜方任意a、b,2簡單斜方（圖中1所示）1, 22正方a b,2簡單止方(圖中2所示)4, 4mm3六角a b, 3簡單六角(圖中3所示)3 , 3m , 6, 6mm4長方a b, 2簡單長方(圖中4所示)有心長方(圖中5所示)1mm , 2mm1簡單斜方2簡單正方3簡單六角 嶗也二. a.口.« * 4簡單長方5有心長方二維布拉維點(diǎn)陣1.4在六方晶系中，晶面常用4個(gè)指數(shù)(hkil )來表示，如圖所示，前 3個(gè)指數(shù)表示晶面族中最靠近原點(diǎn)的晶面在互成120 &

4、#176;的共平面軸ai, a2, a3上的截距ai/h , a2/k , a3/i ,第四個(gè)指數(shù)表示該晶面的六重軸c上的截距c/l.證明：i=- (h+k )并將下列用(hkl )表示的晶面改用(hkil)表示:(001 ) (133)(110) (323) (100 ) (010 ) (213)答：證明設(shè)晶面族(hkil )的晶面間距為d ,晶面法線方向的單位矢量為n°。因?yàn)榫孀?hkil )中最靠近原點(diǎn)的晶面ABC在a、a2、a3軸上的截距分別為a1/h,a2/k,a3/i,因此由于 a3= - 0i+ a 2)a3gno(aa3)gno把（1 ）式的關(guān)系代入，即得id (h

5、d kd)i (h k)oagioa2 gloa3 5hdkd根據(jù)上面的證明，可以轉(zhuǎn)換晶面族為id(001 )-( 0001 ), (133)-(1323), (110)-(1100), (323) 一(3213), (100 ) 一(1010),(010 ) 一 (0110) , (213)(2133)1.5如將等體積的硬球堆成下列結(jié)構(gòu)，求證球可能占據(jù)的最大面積與總體積之比為（1）簡立方：一（2 ）體心立方:63.、.、2,、2，、人一（3）面心乂方： （4）八方皆堆積： （5）金剛石:.3。16答：令Z表示一個(gè)立方晶胞中的硬球數(shù)，Ni是位于晶胞內(nèi)的球數(shù)， Nf是在晶胞面上的球數(shù),Ne是在晶

6、胞棱上的球數(shù)，Nc是在晶胞角隅上的球數(shù)。于是有:111Z Ni-Nf-Ne-Nc248邊長為a的立方晶胞中堆積比率為34 rF Z *33 a3假設(shè)硬球的半徑都為r,占據(jù)的最大面積與總體積之比為。，依據(jù)題意（1）對于簡立方，晶胞中只含一個(gè)原子，簡立方邊長為2r,那么:4/3 r3(2r)3(2)對于體心立方，晶胞中有兩個(gè)原子，其體對角線的長度為H 2 (4/ 3 r3) = V3(4/ , 3r)38(3)對于面心立方，晶胞中有四個(gè)原子，面對角線的長度為4r ,則其邊長為4.J那么:4r,則其邊長為2,2 r,那么:4(4/ 3 r3) _22(2、2r)36(4)對于六方密堆積一個(gè)晶胞有兩個(gè)

7、原子，其坐標(biāo)為(000 ) ( 1/3 , 2/3 , 1/2 ),在理想的密堆積情況下，密排a=2r ,因此六方結(jié)構(gòu)中點(diǎn)陣常數(shù)與原子半徑的關(guān)系為(5)對于金剛石結(jié)構(gòu)Z=8 a也 8r 那么 F Z*- = 8 43 a331.6有一晶格，每個(gè)格點(diǎn)上有一個(gè)原子,基失(以 nm 為單位)a=3i , b=3j , c=1.5 (i+j+k ),此處i, j, k為笛卡兒坐標(biāo)系中x, y,z方向的單位失量.問:(1)這種晶格屬于哪種布拉維格子?(2)原胞的體積和晶胞的體積各等于多少？答：(1)因?yàn)?a=3i , b=3j ,而 c=1.5 (i+j+k ) =1/2 (3i+3j+3k ) =1/

8、2 (a+b+c ')式中c=3c。顯然，a、b、c'構(gòu)成一個(gè)邊長為3*10-10 m的立方晶胞，基矢 c正處于此晶胞的體 心上。因此，所述晶體屬于體心立方布喇菲格子。(2)晶胞的體積=cg(a b)= 3kg3i 3j) =27*10 -30 (m3).1 _原胞的體積=cga b) = (3i 3j 3k)c(3i 3j) =13.5*10 -30(m3)1.7 六方晶胞的基失為： a al j , b al j , c ck2222求其倒格子基失，并畫出此晶格的第一布里淵區(qū)答：根據(jù)正格矢與倒格矢之間的關(guān)系，可得：正格子的體積 =a,(b*c) =a2c2那么，倒格子的基矢

9、為 b12 (b c) 2 . J3ai2 (c a)2.2.1 j ，3a a其第一布里淵區(qū)如圖所示:1.8若基失a, b , c構(gòu)成正交晶系，求證：晶面族(hkl )的面間距為dhkl -. J2 (J J)2 a b c答：根據(jù)晶面指數(shù)的定義，平面族( hkl)中距原點(diǎn)最近平面在三個(gè)晶軸a1，a2, a3上的截距分別為 曳，a2,包。該平面(ABC)法線方向的單位矢量是h k ldh dk dln x y z a a2 a3這里d是原點(diǎn)到平面 ABC的垂直距離，即面間距。由|n|=1得到dh 2 dk 2 dl 2L)(一)(-)1向 a2 a3故 d (h)2 (-)2 J)23aa2

10、a31.9用波長為0.15405nm 的X射線投射到粗的粉末上，得到前面幾條衍射譜線的布拉格角。如下序號123450/ (° )19.61128.13635.15641.15647.769已知鋁為體心立方結(jié)構(gòu)，試求:(1)各譜線對應(yīng)的衍射晶面族的面指數(shù);(2)上述各晶面族的面間距；(3)利用上兩項(xiàng)結(jié)果計(jì)算晶格常數(shù).答：對于體心立方結(jié)構(gòu)，衍射光束的相對強(qiáng)度由下式?jīng)Q定：2222I Fhkl |f21 cos n(h k l)2 f2sin2 n(h k l)考慮一級衍射，n=1 。顯然，當(dāng)衍射面指數(shù)之和(h+k+l )為奇數(shù)時(shí)，衍射條紋消失。只110 )、有當(dāng)(h+k+l )為偶數(shù)時(shí)，才

11、能產(chǎn)生相長干涉。因此，題給的譜線應(yīng)依次對應(yīng)于晶面(200 )、(211 )、(220 )和(310)的散射。由布喇格公式2dhkl sin(n 1)得同法得d1102sin 11.54052sin19.611 102.295 10 (m)10d200 1.6334 10 (m)2sin 2d211 1.3377 10 10(m)2sin 3d220 1.1609 10 10(m)2sin 3iod310 1.0403 10 (m)2sin 4應(yīng)用立方晶系面間距公式dhkl可得晶格常數(shù)a dhkl . h2 k2 l2把上面各晶面指數(shù)和它們對應(yīng)的面間距數(shù)值代入，依次可得a的數(shù)值*10-1om為3

12、.2456 , 3.2668 , 3.2767 , 3.2835 , 3.2897取其平均值則得-10a 3.2725 10 (m)1.10 平面正三角形，相鄰原子的間距為a,試給出此晶格的正格矢和倒格矢；畫出第一和第布里淵區(qū)求出倒易點(diǎn)陣初基矢量b1 , b2。設(shè)b1 bxi byj b2 b2xi b2yj由 “g 2”里20 b2中10 b2ga22得到下面四個(gè)方程式aigj Dyj) 21.3(1) i - aj)g(bixibiyj) 0(2)(3)aig(b2xib2yj) 0(4)1,3(2ai 三司K% MD 2(4)由（i）式可得：黑由（2）式可得：b1y2.3a由（3）式可得

13、：b2x 0由（4）式可得：b2y4.:3a于是得出倒易點(diǎn)陣基矢bi2.,3aJ b243a補(bǔ)充習(xí)題：1.11 什么是晶體？什么是非晶體？試各舉一例說明。答：晶體是原子、離子或分子按照一定的周期性，在結(jié)晶過程中，在空間排列形成具有一定規(guī)則的幾何外形的固體，如鐵；非晶體是其中的原子不按照一定空間順序排列的固體，如玻璃。1.12 什么是原胞？什么是晶胞？答：原胞是具有2維、3維或者其他維度平移對稱性的簡單點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的最小重復(fù)單元，晶胞是為了反映晶體的周期性和對稱性而選取的重復(fù)單元。1.13 什么是布拉維原胞？什么是 WS原胞？答：布拉維原胞就是晶胞，WS原胞是以晶格中某一格點(diǎn)為中心，作其與近鄰的所有

14、格點(diǎn)連線的垂直平分面，這些平面所圍成的以改點(diǎn)為中心的凸多面體即為該點(diǎn)的WS原胞。1.14 試計(jì)算面心立方和體心立方的堆垛因子答：設(shè)面心立方晶胞的邊長為a,則堆垛成面心立方晶胞的原子半徑最大為J2a/4。由于面11心立萬體晶胞中有8 6 - 4個(gè)原子，所以面心立方的堆垛因子824 2 3 434230.7405a36設(shè)體心立方晶胞的邊長為 a,則堆垛成體心立方晶胞的原子半徑最大為J3a/4。由于體心立1 ，萬晶胞中有8 1 82個(gè)原子，所以體心立方的堆垛因子34-3a- 2343a.380.68021.15繪出面心立方的晶胞和原胞示意圖。答：面心立方的晶胞和原胞如下圖所示，黑色 -晶胞，藍(lán)色-原

15、胞。1.16 試?yán)L出二維正方晶格的 W S原胞，設(shè)邊長為a。答：1.17 請列表給出簡立方、體心立方、面心立方的最近鄰（第一近鄰）到第十近鄰的原子數(shù)、原子間距。答：設(shè)簡立方、體心立方、面心立方晶胞邊長為a。第n近鄰間“方體心立方面心立方原子數(shù)原子間距原子數(shù)原子間距原子數(shù)原子間距16a8v13a/2122a/221272a6a6a38.戶a12廠a2416a/2462a2451a/212Ca524、運(yùn)a83 3a24<10a/2624/6a62a8、Ca7122曲24<19a/2247|Ea/28303a24/5a62a924.10a2476a12Xr2a/21024、1ia243v

16、,r3a/224J5a1.18 繪出金剛石結(jié)構(gòu)的兩個(gè)面心立方子晶格的套構(gòu)情況。答： 0c金剛石結(jié)構(gòu)是由兩個(gè)面心立方格子沿體對角線位移1/4的長度套構(gòu)而成。1.19 繪出立方晶胞里的晶向與晶面：101 ; 122 ; 301 ; 002 ; 130; 312答：1.20 繪出六方晶胞里的晶向與晶面：0110; 1120 ; 1011; 0003 ;彳010 ; 01 彳1答：1.21 按照WS原胞的構(gòu)造法，如果 BCC中一個(gè)原子的所有最近鄰原子的連線的中垂面圍成一個(gè)什么圖形，體積為多少?如果BCC中一個(gè)原子的所有次近鄰原子的連線的中垂面又圍成一個(gè)什么圖形，體積為多 少？答：原點(diǎn)和8個(gè)近鄰格點(diǎn)連線

17、的垂直平分面圍成的正八面體，沿立方軸的6個(gè)次近鄰格點(diǎn)連線的垂直平分面割去八面體的六個(gè)角，形成的14面體一一八個(gè)面是正六邊形 ，六個(gè)面是正四邊形。制贈(zèng)力 I M 詠Hy L'ntflTil ClllK!1.22 為什么晶體沒有5次對稱軸，而準(zhǔn)晶體有5次對稱軸?答：設(shè)在圖中，是晶體中某一晶面上的一個(gè)晶列，AB是這晶列上相鄰兩個(gè)格點(diǎn)的距離。晶體中某一晶面的晶列(1)旋轉(zhuǎn)角0 一,通過 2處u軸逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)過 角后, 點(diǎn)必須是格點(diǎn)，由于A'、A處的u軸順時(shí)針方向轉(zhuǎn)過Ai點(diǎn)轉(zhuǎn)到A'。經(jīng)過轉(zhuǎn)動(dòng)后，B '和AB平行，A ' B '后，使Bi點(diǎn)轉(zhuǎn)到B',

18、若通過B要使晶格能自身重合， 則A'、B'必須等于AB的整數(shù)倍，即(2)旋轉(zhuǎn)角一2A B AB1 2 cos綜上，旋轉(zhuǎn)角改寫為1 ,-A B AB 1 2 cos ,于是 cos 0,_ ,11, ,0。22 3，同理A A,B B ,有1 ,2AB 1 2 cos ,于是有 cos - , 1,2322222,。即晶體中只存在 1、2、3、4、6次轉(zhuǎn)軸。12346另外一方面因?yàn)榫w的旋轉(zhuǎn)對稱性要受到內(nèi)部結(jié)構(gòu)中點(diǎn)陣無限周期性的限制，有限外形的旋轉(zhuǎn)不能破壞點(diǎn)陣無限的周期排列，所以晶體沒有5次對稱軸，而準(zhǔn)晶體是介于周期晶體和非晶玻璃之間的一種新的固態(tài)物質(zhì)形態(tài)，即準(zhǔn)晶體可以有5次對稱

19、軸。1.23 試寫出沿X2軸有90 °旋轉(zhuǎn)軸的變換矩陣。答：(1)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 'Xi X3 'X2 X 2'X3Xi0010101 0 0(2)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)0010101 001.24 舉例宏觀對稱元素與微觀對稱元素宏觀：轉(zhuǎn)動(dòng) 對稱中心 反演 對稱面 反映微觀：平移和平移軸螺旋旋轉(zhuǎn)與螺旋軸滑移反映和滑移面1.25 對于立方晶系，晶體的介電常數(shù)矩陣簡化為什么情況？答：在晶體中，電位移矢量D與電場強(qiáng)度E間的關(guān)系可以寫為:D E對于立方晶系，當(dāng)把電場 E同晶體一起轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，電位移矢量也將作相同的轉(zhuǎn)動(dòng)。用轉(zhuǎn)動(dòng)后的電位移矢量。設(shè)電場E沿著立方軸V,這時(shí)Dx Dz xyE,

20、Dy DyvvE, DxDxxy但是，轉(zhuǎn)動(dòng)是以 E為軸的，實(shí)際上電場并未改變。而上述轉(zhuǎn)動(dòng)又是立方體的一個(gè)對稱操作, '所以轉(zhuǎn)動(dòng)前后晶體沒有任何差別，電位移矢量D應(yīng)不變，即D D代入，可得:xy zy zy xy即 xy zy 0如果取E沿z方向，并繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)一,2同理，可得：xz yz 0的非對角元都等于零，于是D E , ( x, y, z)再取電場沿立方體 111方向，則DxxxD EyyyDzzz繞111軸轉(zhuǎn)動(dòng),使z軸轉(zhuǎn)到原x軸，x軸轉(zhuǎn)到原y軸，y軸轉(zhuǎn)到原z軸，則轉(zhuǎn)動(dòng)后的 D' 3寫為DxDz(Dy Dx'DzDyzz.3yy .3與前論述的一樣，電場實(shí)際是沒變的

21、，晶體所經(jīng)歷的又是一個(gè)對稱操作，晶體也完全未變, 所以，D'和D應(yīng)相同。xx yy zz 0第2章晶體的結(jié)合2.1解：（1）離子鍵：無方向性，鍵能相當(dāng)強(qiáng)；（2）共價(jià)鍵：飽和性和方向性，其鍵能也非常強(qiáng)；（3）金屬鍵：有一定的方向性和飽和性，其價(jià)電子不定域于2個(gè)原子實(shí)之間，而是在整個(gè)晶體中巡游，處于非定域狀態(tài)，為所有原子所“共有”；（4）范德瓦爾斯鍵：依靠瞬時(shí)偶極距或固有偶極距而形成，其結(jié)合力一般與r7成反比函數(shù)關(guān)系，該鍵結(jié)合能較弱；（5）氫鍵：依靠氫原子與2個(gè)電負(fù)性較大而原子半徑較小的原子（如 O, F, N等）相結(jié)合形成的。該鍵也既有方向性，也有飽和性，并且是一種較弱的鍵，其結(jié)合能約為

22、50kJ/mol 2.2解:2.3解:根據(jù)彈性模量的定義可知K V也 dVV0VdU dV21)V0上式中利用了 PdU的關(guān)系式。dV設(shè)系統(tǒng)包含N個(gè)原子，則系統(tǒng)的內(nèi)能可以寫成又因?yàn)榭砂袾個(gè)原子組成的晶體的體積表示成最近鄰原子間距r的函數(shù)，即3V Nv N r3)上式中 為與晶體結(jié)構(gòu)有關(guān)的因子（如面心立方結(jié)構(gòu),2/2)。又因?yàn)?4)dU 1 dU N m n 1(dV) 3 Nr2 ( dT)R) "2 尸 T 3N r2/ d 2U、dr d 1 N / m n(dV2)Vo dV dr 3N r2 萬(尸尸221 N m n 3m 3n考慮平衡條件（）r。 0 ,得 mr ），那么

23、（5）式可化為 dV '0r0mr0n222d U 1 N m n19V71NnmmnN9V022m n r0n m r09V022( Z/ 2 )v0QX/ 2 1rm7dV9V20 r 002將（6）式代入（1）式得:mn .mnc,2( U°)r。r09V0m rOnn rO2.4mn29V2U0所以9V0_mnU。解：在平衡位置時(shí)有u(r)A210 r0Ek(1)du(r)dr2A10B3 rO11 rO(2)將離解能Ek4eV和r00.3nm,代入（1）和（2）式可得:19A 4.5 10 eV m2, B5.9 10 96 eV m10。2.5解：由題意有以下方程

24、成立:A B 一U009AB()010drr。r0把ro , U的具體數(shù)值代入上述方程組,即得:A(2.8 10 10)99A2.8 10 10B191010 1010 2(2.8 10 )(2.8 10 )2,B 2.52 10 28J m1059由此可得： A 1.0578 10 J m該晶體的有效彈性模量為:V0(上式中N表示晶體中所含的原子個(gè)數(shù)表示與晶體結(jié)構(gòu)有關(guān)的因子)r0八 (119 ° °90A 2B1 3.27979一11一10 =4.734X10102.6解：(1)在簡單立方點(diǎn)陣中，每個(gè)原子平均所占據(jù)的體積(2)在面心立方點(diǎn)陣中，每個(gè)原子平均所占據(jù)的體積1.

25、一(2r)4IF(3)在體心立方點(diǎn)陣，每個(gè)原子平均所占據(jù)的體積 v(4)在金剛石點(diǎn)陣中，每個(gè)原子平均所占據(jù)的體積8(43r)2.7解:2.8解:2.9解:NaC8.3"9-'(5)在NaCl點(diǎn)陣中，每個(gè)原子平均所占據(jù)的體積8(2r)33.r ；故1。NaCl晶體中Na+和Cl-的最近距離為r0 ,晶胞基矢長為2r0l晶體中Na +和Cl-的最近距離為ro 。晶胞基矢長為2 r0, 一個(gè)晶胞中含有四對正負(fù)離子對。一個(gè)原胞(一個(gè) NaCl分子)的體積為:2 r03(23 35.45)N 2.16 6.02 1023NaCl晶體中的正負(fù)離子的平衡間距為:02.82810 cm 0.

26、282nm0.2818nm由晶體體積彈性模量的公式:72Me2Bm36 3.14 8.85 1012 2 (0.282 10 9)41.7476 (1.6 10 19)22.41 1010=7.82由平衡時(shí)離子晶體的內(nèi)聚能公式:UcNMe24°r0將 n=7.82代入得NaCl晶體的每對離子的內(nèi)聚能為:2.10UcNMe2(10r01.74764 3.14 8.851.24 10 18 J解：(1)在平衡時(shí)，有下式成立du(x)dx由上式可得X0(1.6 10 19)210 12 0.282 10 19121213x0(17.822 6 670x。(1)(2)設(shè)該N個(gè)惰性氣體原子組成

27、的一維單原子鏈的總的相互作用勢能為U (x),那么有U(x)0 L產(chǎn)2(一)6xjxj設(shè)X為2個(gè)原子間的最短距離,則有x1iajX ,那么(2)式可化為U(X)126A()B(一)X X3)其中(3)式中A112 aj(112122.00048,16 aj4.07809。那么每個(gè)原子的平均晶格能為U(x。)Nn=9 。晶體拉伸而達(dá)1)又設(shè)NaCl晶體處于平衡狀態(tài)時(shí)，相鄰兩離子間的距離為則有rO0 2.00048(-)12 4.07809()622.110解：.若NaCl晶體的馬德隆常數(shù) M=1.75 ,晶格常數(shù)a=5.64 A,哥指數(shù)到穩(wěn)定極限時(shí)，求:(1) 離子間距增加多少?(2) 負(fù)壓強(qiáng)的

28、理論值是多大?解：(1)設(shè)該NaCl晶體的含有N個(gè)離子，則其相互作用勢能為U“)N 號上式中的r指NaCl晶體中相鄰兩離子間的距離。由平衡條件可知dU (r)dr2N Mqr r02 4 0r2nBn 1r(2)r 02由(2)式可得：B r0n 1o4 0n即有當(dāng)晶體拉伸而達(dá)到穩(wěn)定極限時(shí)，此時(shí)相鄰離子間的引力達(dá)到最大值,d2U (r)dr2rri2Mq230rn(n 1)Bri(3)2Mq n將Br04 0n代入(3)式可得因而離子間距增加了r11n 1rO5.64203.45 Arr1 r03.45 2.8200.63 A2.12試?yán)弥行杂?jì)算三維 NaCl晶體的馬德隆常數(shù)。圖a.7氧化輛

29、結(jié)構(gòu)的埃夫那單胞.圖審。為負(fù)底子，為正離 12/4子.所注數(shù)字表明與之等價(jià)的堵窗子對口的貢獻(xiàn).例如雷森明P ,/蒙的寓于有12個(gè)，每個(gè)出子屬于所考慮的串性離子組的分?jǐn)?shù)是1aC班圖L8室化舶站構(gòu)8個(gè)埃夫琴單胞的1/即 舒考離子戰(zhàn)于生下艮0點(diǎn). ffl中所注數(shù)字表明與之等價(jià)明詩離子對。的貢獻(xiàn)，與圖3.7局解取圖3. 7所示的埃夫琴單胞，對單制內(nèi)備離子直接求和.計(jì)算馬德降常數(shù) 為6/2 12/4 8/8 s二-+ 金=】456取X個(gè)埃夫琴單.胞，其1/X如圖3, 8所示,蓼考離子位于。點(diǎn)，計(jì)克得馬 德隆常數(shù)為=(2. 13411. 5+5. 3674. X991. 咐+20. 289 二】.752類

30、似地取27個(gè)埃夫號單胞，經(jīng)計(jì)算得% = I. 7472.13 試求出GaAs的離子鍵比例，Ga、As的電負(fù)性分別為1.5、2.0。1 expKr2.14 Kr晶體是面心立方結(jié)構(gòu)，滿足勒納-瓊斯勢，如果只計(jì)算到第三近鄰，試求熱平衡時(shí)晶體的結(jié)合能。解:3. 2面心立方結(jié)構(gòu)的點(diǎn)陣和(4和41考慮勒納瓊斯勢，惰性氣體晶體的 總能量可以寫為r 丫 ( V2點(diǎn)陣和4 = y_l認(rèn)產(chǎn)Z工,%是以最近鄰距離度量的參考原子/與仟何一個(gè)/原子之間的距離，內(nèi)二乜，點(diǎn)陣和4和小2決定于晶體結(jié)構(gòu)類型，對 r于面心立方站構(gòu),有12個(gè)最近鄰，量近鄰距離% = 1,有6個(gè)次近鄰.次近鄰距離孔二上，白24個(gè)第三近鄰，第三近鄰距

31、離孔=出，于是(a)只計(jì)及最近鄰= 12x(1)'* =12,= 12x(l)'12 = 12(b)計(jì)及最近鄰和次近黎4? = I2x< I'+ 6大(上廠=12.750d： = 2x(iy +6x(應(yīng)廣= 12.094(C)計(jì)及最近鄰，次近鄰和第三近鄰3) = 12x(1)+ 6x(a/2) + 24x1| 行=13.639理=12x(1 尸 +6x(&r+24x(石廣 二 12.127可以看到小打攵致得很快，而&收斂得較慢，當(dāng)以上求和取到三頃后，內(nèi)？已經(jīng) 得到相當(dāng)一致的結(jié)果,通常所來用的fbc點(diǎn)陣和數(shù)值是4%】4書.小=¥ 12J 3

32、m = 8.35 X10 27kg，恢第3章 晶格振動(dòng)和晶體的熱學(xué)性質(zhì)3.1 試求由5個(gè)原子組成的一堆單原子晶格的格波頻率，設(shè)原子質(zhì)量 復(fù)力常數(shù)3 = 15N m解：一維單原子鏈的解為 Xn Aei( t qna)據(jù)周期邊界條件Xi Xn i,此處N=5,代入上式即得e i(5a)q 1所以5aq =2(為整數(shù))5由于格波波矢取值氾圍：一q 。則 一a a2故可取2, 1 , 0, 1 , 2這五個(gè)值相應(yīng)波矢： ,0,5a 5a 5a 5a由于 J sin %，代入 ，m及q值 m m 2則得到五個(gè)頻率依次為(以rad/sec為單位) 8.06 X1013, 4.99 X1013, 0, 4.

33、99 X1013, 8.06 X10133.2 求證由N個(gè)相同原子組成的一維單原子晶格格波的頻率分布函數(shù)可以表示為型(I2)1式中m j4/是格波的最高頻率，并求證它的振動(dòng)?？倲?shù)恰為N解：對一維單原子鏈，dN ( )dq d(? 2 q dq所以2 %(1)dq由色散關(guān)系.qasin 2求得由于qa a cos ?ddq2 2Nam2 1/2 2N(Wmsin4 a2 qa j/2(1 sin )»1/2則由（1 ）式可得21/2),則總的振動(dòng)模數(shù)為Wm2N 2(m 1/242) d,則積分限為1, 2Ncos cos d-23.3設(shè)晶體由N個(gè)原子組成，試用德拜模型證明格波的頻率分布

34、函數(shù)為9N-3m解：由書上（369)式可得由(3 71)可得21 /3D m 6 n v由此可得m/3n ，代入（1 ）式得9N3 m3.4對一堆雙原子鏈,已知原子的質(zhì)量 m = 8.35X10 27kg ,另一種原子的質(zhì)量常數(shù)3=15N m t ,試求光學(xué)波的最高頻率和最低頻率max和min；(2)聲學(xué)波的最高頻率(3)相應(yīng)的聲子能量（以 eV為單位）(4)在300K可以激發(fā)頻率為. Amin和max的聲子的數(shù)目;(5)如果用電磁波來激發(fā)長光學(xué)波振動(dòng),電磁波的波長大小。解:(1)Mm 4 mM m 56.701013 rad / sec1.071013 Hzmax5.993.00(2 ) m

35、ax6.6263410min3.95A max1.972 .10 eV10 2 eV1013rad /sec1013rad /sec1.0713100.950.481013Hz1013Hz一 一 191.6 104.41210 eV1w/ kT 1max0.221 ,min0.276 , max0.873光速cc 252.8 10 5mmax28 m3.5 設(shè)有一維晶體，其原子的質(zhì)量均為m,而最近鄰原子間的力常數(shù)交替地等于且最近鄰的距離為 a/2,試畫出色散關(guān)系曲線，并給出q 0和q /a處的解：設(shè)標(biāo)為奇數(shù)的原子和附近為偶數(shù)的原子所處的環(huán)境不同，參看圖,10B10Bx2n-1x2nx2n+1K

36、2n+2mx2n 10原子的運(yùn)動(dòng)方程應(yīng)是2nmx2n 1x2n 1x2nx2nx2n 1即mx2nmx2n 1x2n 2x2n 1x2n 1x2n10x2n 1x2n 1 11 x2nx2n2x2nx2n 1求格波解,i 2nBei 2n qa tX2nAe 2, X2n 1代入運(yùn)動(dòng)方程，可導(dǎo)出線性方程組為:112 A - 10eiqa/2emiqa/2 biqa /2e m10e iqa/2 A 11 mA, B有非零解的系數(shù)行列式等于零的條件可得iqa /2 iqa/2 x z iqa / 2iqa/2、(10e e )(e10e)0可解出20 11v120cos qa 101 色散關(guān)系見

37、下圖cosqa220，q 0時(shí),3.6 .在一維雙原子鏈中，如 M/m 1,求證sinqa2 (1 mm 2、cos qa) 2M證由書中（3.22 ）式知，雙一維原子鏈聲學(xué)支mMmM 114mM21/2,2 sin qa (m M )4mMmM1由近似式1 xn 1 nx ,(當(dāng)x1)mmM11 4mM . 2 1/2, 2sin qa 2 (m M )2.sinM2. 2qa,sin qam M耕nqa由于M(m M)mM14mM2(M m)1/2、 sin qa m1(”)2M m4Mm4Mm21/2cos qa m1m1Oy (Mm，1 4m 2cos qa2 M4mM21/2cos

38、qa。2一 1 m2mm 2cos qa Mmcos2qa J2(1M. mm2M2、cos qa)q 處，聲學(xué)支格波中所有2a3.7在一維雙原子晶格振動(dòng)情況中，證明在布里淵區(qū)邊界輕原子m靜止，而光學(xué)支格波中所有重原子M靜止。畫出這時(shí)原子振動(dòng)的圖象。2 cosqa時(shí) cosqa 0且對聲學(xué)支 2a. A證由（318）第一式得一B1/2，代入上式即得:故A = 0 ,輕原子靜止再由（3 18）第二式得Fosqa2 '當(dāng)q 不時(shí)cosqa 0且對光學(xué)支,1/2，代入上式即得A 2 2M故B=0,重原子靜止3.8 設(shè)固體的熔點(diǎn)Tm對應(yīng)原子的振幅等于原子間距a的10 %的振動(dòng)，推證，對于簡單晶

39、格,接近熔點(diǎn)時(shí)原子的振動(dòng)頻率1/2-50kBTm,其中M是原子質(zhì)量。a M解當(dāng)質(zhì)量為M的原子以頻率及等于原子間距a的10 %的振幅振動(dòng)時(shí)，其振動(dòng)能為:_12 2E 1M 2 A222M22 a_10在熔點(diǎn)Tm時(shí),原子的能量可按照能量均分定理處理，即一個(gè)一維原子的平均能量為kB%,于是有2a10kB%,由此得一1/2250kBTma M3.9按德拜近似，試證明高溫時(shí)晶格熱容Cv3NkB1證明：由書可知Cv 9NkB(T/T d)304dx在高溫時(shí),D,則在整個(gè)積分范圍內(nèi)x為小量,因此可將上式中被積函數(shù)化簡為x 4e xx 2 2e 1x/2ex/2e4x3 x x 一242x2x122x12將上

40、式代入Cv的表達(dá)式，得Cv9NkB(T/Td)3609NkB(T/TD)31203NkB 121 D20 T3.10設(shè)晶格中每個(gè)振子的零點(diǎn)振動(dòng)能為,試用德拜模型求三維晶格的零點(diǎn)振動(dòng)能解：由（369）式知，狀態(tài)密度3V_2廠7則EoE03V2 23d3161/32V N2316 v3.11在德拜近似的基礎(chǔ)上，討論由一個(gè)N個(gè)原子組成的二維晶格的比熱，證明在低溫下其比熱正比于T2 證明：（解法一） 此題可推廣到任意維dN g q dqCdqm C1qm 1dqdqC1q而德拜模型中vqCvkB,kBTgkBTekBTTm1 1dx 1令x,則上式變?yōu)?kTx m 1m 1 e xCv T T2dxv

41、x 2e 1在低溫時(shí)XdkTx m 1則積分_e_dxx 20 e 1為一個(gè)于T無關(guān)的常數(shù)故Cv Tm對三維m = 3 Cv T3對本題研究白二維m =2CvT2對一維m = 1CvT(解法二)德拜模型考慮的格波是彈性波，波速為vq。在二維波矢空間內(nèi),格波的等頻線是一個(gè)個(gè)的圓環(huán)，如圖所示v的格波的色散關(guān)系是在q (q dq)區(qū)間內(nèi)波速為v的格波數(shù)目SS ddz 2 2 qdq22 v式中S是二維晶格的總面積，由此可得波速為v的格波的模式密度dz Sd()丁 27考慮到二維介質(zhì)有兩支格波，一支縱波，一支橫波，所以格波總的模式密度格波的振動(dòng)能m S 2d0vp ekBT1晶格的熱容量kBTkBTk

42、BT3.12設(shè)某離子晶體中相鄰兩離子的相互作用勢為b為待定常數(shù),平衡間距r0 3 10 10m ,求線膨脹系數(shù)。解：由書上(3.114)式知，線膨脹系數(shù)2r0其中:d2U d7，gr013!d3U dr"r0由平衡條件dUdrr02e-2 rO9b7q9 r03.1390b2rJ4e206e2r。4990bw rO由于 r0 3 10 8m ,kB 1.381 1013r°kB16e2已知三維晶體在qAq2解:2qx4.80616 J / K51.46 10 /K1010CGSE0附近一支光學(xué)波的色散關(guān)系為Bqy Cq2Aq222Bqy Cqz2qy試求格波的頻譜密度2qz

43、這是q空間的一個(gè)橢球面，其體積為1/2,b1/2q空間內(nèi)的狀態(tài)密度1/23 ,故橢球內(nèi)的總狀態(tài)數(shù)N為(2 )1/23/ 2ABCdN d1/21/2ABC4V2 AbC1/2補(bǔ)充習(xí)題：3.14 具有二維矩形點(diǎn)陣的簡單晶格，設(shè)原子質(zhì)量為M,晶格常數(shù)分別為a和b,最近鄰原子間相互作用的恢復(fù)力為3 ,試求此系統(tǒng)沿qx 0; qy 0; qx qy的格波色散關(guān)系。3.15 Cu ,金剛石，NaCl晶體應(yīng)該分別有幾支色散關(guān)系？解：Cu有3支聲學(xué)波；金剛石有3支聲學(xué)波，3支光學(xué)波；NaCl有3支聲學(xué)波，3支光學(xué)波。3.16 對于簡立方晶胞，設(shè)原子質(zhì)量為 M;晶格常數(shù)為a；最近鄰原子間相互作用的恢復(fù)力為3。

44、試求此系統(tǒng)沿qxqyqz100; 110; 111方向的格波色散關(guān)系。3.17 對于一維單原子點(diǎn)陣，已知簡正模式的色散關(guān)系為(q).1sin -qa2式中2dM，3為回復(fù)力系數(shù)，M為原子質(zhì)量。(1)導(dǎo)出模式密度的精確表達(dá)式p(3)；(2)在德拜模型下，求出德拜截止頻率(最大頻率)3D.解答：(1) 一維簡單晶格的色散關(guān)系曲線如下圖所示L/a由色散關(guān)系的對稱性可以看出，d 3區(qū)間對應(yīng)兩個(gè)同樣大小的波矢空間dq. 2 /a區(qū)間對應(yīng)個(gè)振動(dòng)模式,單位波矢區(qū)間對應(yīng)有 L/2兀個(gè)振動(dòng)模式.d 3范圍則包含2dqL dqL 2個(gè)振動(dòng)模式.單位頻率區(qū)間包含的模式數(shù)目定義為模式密度，根據(jù)這一定義可得模式密度為L

45、 dq . d由色散關(guān)系得：,1,1、 ,d 2 a m cos(2qa)dq所以，模式密度：()L2a m cos( - qa)2(2)德拜模型把晶格看作是各向同性的連續(xù)介質(zhì)，把格波看作彈性波VpqDN 0( )dvp一 一Vp代入可以求出：Dpa3.18 由正負(fù)離子組成的一維原子鏈，離子間距為 a,質(zhì)量都為m ,電荷交替變化。原子間的互作用勢是兩種作用勢之和：(a)近鄰兩原子之間的短程作用，力常數(shù)C； (b)所有離子的庫侖作用。求：(1)庫侖力對力常數(shù)的貢獻(xiàn)(2)色散關(guān)系解:(1) 設(shè)離廣鉞沿水平方向.笫n個(gè)禽/右端的第中"個(gè)離f。第"個(gè)離子間的庫侖力為 (-1 產(chǎn)(-1-MJ-必# T ： TTF，上式右端加一負(fù)號，是我們規(guī)定坐標(biāo)的正川小侑向右端,為慮到/用一Jmh/w.可將上式嘏成7G 發(fā)數(shù)、取一斑近似得r 2(% -/)/空一1 .(商 網(wǎng) 第n個(gè)閨/左端的第n-p個(gè)離/與第n個(gè)博間的庫侖力為(-1)(-1)V/W+(/一-”廣(一)產(chǎn)片2(普取