線性代數(shù)問題無答案

1、第一章 多項式1.(P16)證明：當時，多項式整除多項式；當時，多項式整除多項式.這里是使的整數(shù)，而是實數(shù).2. (P16)求最低次數(shù)的多項式與，使得 （1）； （2）3. (P16)求次數(shù)最低的多項式，使得被多項式除時余式為，被多項式除時余式為.4(P22)把下列復系數(shù)多項式分解為一次因式的乘積： （1）； （2）； （3）.5. (P22)證明：復系數(shù)多項式對所有的實數(shù)恒取正值的充分必要條件是，存在復系數(shù)多項式，沒有實數(shù)根，使得.6. (P22)證明：實系數(shù)多項式對所有實數(shù)恒取非負實數(shù)值的充分必要條件是，存在實系數(shù)多項式和，使得.7.(P26)設是整系數(shù)多項式，且素數(shù)滿足：，而，證明：具有

2、次數(shù)的整系數(shù)不可約因式.8. (P26)設是整系數(shù)多項式，且素數(shù)滿足：，但.證明：在上不可約.9. (P26)設是個不同的整數(shù).證明：多項式 在上不可約.第二章 行列式10.(P54)計算下列行列式：（1） （2）11. (P54)設是上元函數(shù).如果對任意整數(shù)，均有， 則稱為對稱的.數(shù)域上規(guī)范對稱重線性函數(shù)稱為階積和式(Permanent)，記為.記，并記階方陣為則階積和式也記為.證明： .12. (P66)給定階方陣.證明： ， 其中是行列式中元素的代數(shù)余子式，.13. (P84)計算下列階行列式： （1） ； (2)； （3）；（4）； （5）；（6）； （7）；（8）； （9）； （10

3、）計算階行列式 ，其余未寫出的元素都是零.14.(P86)設是正整數(shù).證明：行列式 能被整除.15.(P86)(Burnside)設階方陣滿足，則方陣稱為斜對稱方陣.把看成未定元，證明：奇階斜對稱方陣的行列式恒為零，而偶階斜對稱方陣的行列式是一個完全平方.16.(P86)(Minkowski)設階方陣的元素都是實的，并且.證明：17.(P86)(Levy-Desplanques)設階方陣的元素都是復數(shù)，并且，則方陣稱為主角占優(yōu)矩陣.證明：主角占優(yōu)矩陣的行列式不為零.18.(P87)把階行列式展成的多項式，并用行列式的子式表示它的關于的各次冪的系數(shù)，其中.提示：第三章 矩陣19.(P104)計算

4、下列行列式： （1），其中冪等和 （2）20.(P106)當時，矩陣的子式稱為矩陣的一個階主子式，.設.證明：矩陣的每一個主子式都是非負實數(shù).21.(P106)設，其中是矩陣的前列構(gòu)成的子矩陣.證明： .22.(P113)系數(shù)都是整數(shù)的矩陣稱為整系數(shù)矩陣.行列式等于的整系數(shù)矩陣稱為幺模矩陣.證明：整系數(shù)矩陣的逆矩陣仍是整系數(shù)矩陣的充分必要條件是為幺模矩陣.23.(P113)設是階方陣的行列式的元素的代數(shù)余子式.證明： 其中.24.(P114)設，且.證明：.25.(P123)設.證明：.26.(P124)設，從矩陣中任意取出個行構(gòu)成矩陣.證明：.27.(P124)設，從矩陣中任意取出個行，個列

5、上的交叉元素構(gòu)成的矩陣記為.證明：.28.(P134)設和都是階方陣，并且.證明： .29. (P134)設和都是階方陣，.證明：存在正整數(shù)，使得 .30. (P134)設.證明：的充分必要條件是，存在，使得.由此證明：如果且方陣冪等，則方陣也冪等.31.(P134)證明：存在階可逆的整系數(shù)矩陣，使得它的第一行為整數(shù)的充分必要條件是，整數(shù)互素.32.(P151)證明：存在矩陣和矩陣的廣義逆和，使得 .第四章 線性空間33.(P164)設個行向量滿足. 證明：向量線性無關.34.(P186)設都是階方陣，并且. 證明： .第五章 線性變換35.(P205)設是線性映射，并且對任意.證明：，其中.

6、36.(P219)設是數(shù)域上維線性空間到自身的線性映射，且. 證明：.37.(P219)設是數(shù)域上維線性空間到自身的所有線性映射構(gòu)成的線性空間，且.定義線性映射如下：設，令.求與.38.(P219)設.證明：的充分必要條件是，存在數(shù)域上階與階可逆方陣與使得 。其中，且.39.(P223)設是線性變換，且是正整數(shù).證明：的充分必要條件是.40.(P224)設滿足.證明：方陣相似于.41.(P224)證明：秩為的冪等方陣(即)相似于.42.(P229)設是線性變換，中向量生成的子空間是的不變子空間，且，證明：是的基.43.(P239)設與為階復方陣.則關于未知方程只有零解的充分必要條件是，方陣與沒

7、有公共特征值.44.(P239) 設與為階方陣.定義映射如下：設，則令.顯然是道自身的線性變換.證明線性變換可逆的充分必要條件是方陣與沒有公共特征值.45.(P240)設階方陣為 .當滿足什么條件時方陣可逆，并當可逆時，求逆方陣.46.(P247)由于方陣的是方陣在相似下的不變量，因此定義線性變換在的某組基下的方陣的為線性變換的.證明：如果復線性空間的線性變換滿足，則存在的一組基，使得線性變換在這組基下的方陣的主對角元都是零.47.(P248)設3階實方陣在實數(shù)域上不相似于上三角方陣，即不存在3階可逆實方陣，使得是上三角方陣.證明：方陣在復數(shù)域上相似于對角方陣.48.(P248)取定n階復方陣

8、，定義線性變換與如下： 如果方陣可以對角化，問線性變換和是否也可以對角化？49.(P248)設n維復線性空間與可交換.證明：線性變換與具有公共特征向量.進而證明：設是下標集合，的線性變換集合中任意兩個線性變換與可交換，則線性變換具有公共特征向量.50.(P248)設n階復方陣與可交換.證明：存在n階可逆方陣，使得與都是上三角方陣，即方陣與可以同時相似于上三角.試推廣到任意多個兩兩可交換的方陣的情形. 51.(P254)證明：酉方陣的任意一個子方陣的特征值的模不大于1.52.(P254)設與是n階實正交方陣，且.證明：.53.(P254)設是n階實方陣，且方陣的最大與最小特征值分別為.證明：方陣

9、的特征值的實部滿足.54.(P254)設是n階復方陣，且.證明： .第六章 Jordan標準形55.(P259)設與是3階復方陣，且它們具有相同的特征多項式和最小多項式，則與相似.56.(P259)(Fitting)設是數(shù)域上的n維線性空間的線性變換.證明：存在線性變換的不變子空間和，使得，并且線性變換在上的限制是可逆的，而在上的限制是冪零的.57.(P269)證明:如果數(shù)域F上n維線性空間的線性變換的二次冪為循環(huán)變換，則本身也是循環(huán)變換.反之是否成立？58.(P269)設數(shù)域F上n維線性空間的線性變換可對角化.證明： (1)如果是循環(huán)變換，則的n個特征值兩兩不同； (2)如果的n個特征值兩兩

10、不同，且是的完全特征向量組，則是循環(huán)向量.59.(P269)設和是數(shù)域F上n維線性空間的可交換的線性變換，且為循環(huán)變換.證明：存在多項式，使得.60.(P269)設是數(shù)域F上n維線性空間的線性變換，而且的任意一個與可交換的線性變換都可以表示成的多項式.證明：是循環(huán)變換.61.(P276)求Jordan標準形的一種方法：設是n階復方陣，是方陣的所有不同的特征值.證明：(1) 存在正整數(shù)m，使得；(2)設是使的最小正整數(shù).則方陣的最小多項式為 ；(3)設是方陣的屬于的初等因子，則；(4)設方陣的初等因子組為其中屬于特征值且次數(shù)為的初等因子的個數(shù)記為，并約定，當不是方陣的初等因子時，.則 ，其中.求

11、Jordan標準形采用如下步驟：1) 求出放陣的特征多項式，并求出方陣的全部不同的特征值；2) 對每個特征值，由求出；3)對每個，計算 ，由此確定是否是方陣的初等因子，以及初等因子在方陣的初等因子組中出現(xiàn)的次數(shù)；4)根據(jù)3)中所確定的方陣的初等因子組，寫出方陣的Jordan標準形.62.(P287)證明：任意一個滿秩方陣都可以表示為，其中是可逆方陣，是上三角方陣，而且它的對角元都是首一多項式，對角線以上的元素都是次數(shù)小于同一列的對角元的次數(shù)的多項式.并證明這種表法唯一.63.(P296)證明：一組兩兩可交換的可對角化方陣可以用同一個可逆方陣相似于對角形.64.(P304)設是自然數(shù)的一個排列.

12、把n階單位矩陣的第行分別調(diào)到行得到的方陣稱為置換方陣.證明：置換方陣相似于對角形.65.(P305)證明：所有n階輪回方陣可以經(jīng)過一個可逆方陣化為對角形.66.(P305)設方陣和每一個與方陣可交換的方陣都可交換.證明：方陣可以表為方陣的多項式.第七章 Euclid 空間67.(P328)設是n維Euclid空間V的一組基.對施行Gram-Schmidt正交化得到的正交向量組記為.證明： ，其中約定零個向量的Gram方陣的行列式為1.68.(P328) 設是n維Euclid空間V的一組向量.證明： ，等號當且僅當兩兩正交或其中含有零向量時成立.由此證明：如果是n階實方陣，則 .69.(P328

13、)設是n階正交方陣.而方陣.證明：方陣的特征值滿足，其中.70.(P328)證明：正交方陣的任意一個子方陣的特征值的絕對值小于或等于1.71.(P328)證明：如果n階方陣的行列式為1，則方陣可以表示為有限多個形如的方陣的乘積，其中是位置上的元素為1,而其他元素都為零的n階方陣，并且.如果n階正交方陣的行列式為，則還應添加上方陣.72.(P336)設是n維Euclid空間V的線性變換.證明：的伴隨變換的像空間是的核的正交補.73.(P336)設是所有次數(shù)小于4的實系數(shù)多項式集合連同內(nèi)積構(gòu)成的Euclid空間，其中.設是的微商變換.求的伴隨變換.74.(P342)證明：一組兩兩可交換的規(guī)范方陣可

14、以同時正交相似于準對角形.即設是下標集合，規(guī)范方陣集合滿足：對任意，則存在正交方正，使得為準對角形，其中是的全部特征值，其中是實數(shù)，.75.(P342)證明：n階實方陣為規(guī)范的充分必要條件是，存在實系數(shù)多項式，使得.76.(P353)設與是n維Euclid空間V的線性變換，與都是自伴的，且.證明：存在V的自伴變換，使得.77.(P354)(Fischer)設是n維Euclid空間V的自伴變換的特征值，.設是的不變子空間.證明：對， .78.(P354)設是n階實對稱方陣的所有特征值.證明： .79.(P365)設.證明：的所有特征值都是正的.80.(P365)設.證明：存在可逆三角方陣，使得.

15、81.(P365)設與是n階對稱方陣，且，其中.證明：存在非零實的行向量，使得.82.(P366)設n階實方陣的極分解唯一.證明：方陣可逆.83.(P366)設是n階實對稱方陣的所有奇異值.證明： .84.(P369)設 n階實對稱方陣的特征值.證明：Schur不等式： ； .85.(P375)設n階實方陣的順序主子式都不為零.證明：存在對角元全為1的n階下三角方陣和，使得，其中，并約定.86.(P376)設n階對稱方陣.證明：在n維實的行向量集合連同標準內(nèi)積構(gòu)成Euclid空間，有不等式所定義的區(qū)域是有界的，并且它的體積V為 ，其中.87.(P376)設.證明：.88.(P376)設是對稱矩

16、陣，記.證明：（1）是滿足且與可交換的最小方陣，這里所謂“最小”是指，如果對稱方陣滿足且與可交換，則；（2）是滿足且與可交換的最小的半正定對稱方陣；（3）是滿足且與可交換的最小的半正定對稱方陣；（4）設與是可交換的對稱方陣，則存在滿足,且與和都可交換的最小對稱方陣.89.(P376)證明：兩個n階半正定對稱方陣與可以同時相合于對角形，即存在n階可逆矩陣，使得與都是對角方陣.(提示：方陣是半正定的.)90.(P376)正定對稱方陣的概念可以推廣(見Johnson C R. Positive definite matrices. Amer.Math.Monthly,1970,77:259-264)

17、：設是n階實方陣(不必是對稱的).如果對任意非零行向量，則方陣稱為正定的.記，其中，它們分別是的對稱部分和斜對稱部分.證明：(1) 方陣正定的充分必要條件是，它的對稱部分是正定的；(2) 設.則當正定時，的非零根是純虛數(shù)；(3) 設正定，并且的所有非零的根為，則相合于如下的準對角方陣： ，并且的根是正定方陣在相合下的全系不變量.91.(P377)設是實數(shù)，是n階實方陣，且是n階復正交方陣，即，其中.證明方陣是斜對稱的，并且 （1）當時，； （2）當時，存在n階實正交方陣，使得 .92.(P377)設是n階復正交方陣，其中與是n階實方陣.證明：存在n階實正交方陣與，使得，其中是方陣的所有大于1的

18、奇異值，且1是方陣的重奇異值.93.(P377)設復方陣與適合，其中與是實正交方陣，則稱復方陣與正交相抵.證明：復正交方陣的實部的奇異值是復正交方陣正交相抵下的全系不變量.94.(P377)設是n階半正定對稱方陣的所有特征值.并且設方陣的每個列和都是零.證明： .(提示：對稱方陣，其中是每個元素都是為1的n階方陣.)95.(P377) 設是n階正定對稱方陣，.證明： ，其中.96.(P377)設與是n階實對稱方陣，且方陣是正定的.證明： ，其中，且.97.(P377)設是n階對稱方陣的特征值，.證明：（1）設與是n階對稱方陣，實數(shù)滿足，則 ， ； （2）當半正定時，.第八章 酉空間98.(P395)證明：n維酉空間V的線性變換為規(guī)范的充分必要條件是，的每個不變子空間也是它的伴隨變換的不變自空間.99.(P395)證明：n維酉空間V的線性變換為規(guī)范的充分必要條件是，的每個不變子空間的正交補是的不變子空間.100.(P395)設n階規(guī)范方陣，方陣的任意兩個特征值的實部與虛部分別不相等，且是方陣與中某個方陣的特征向量.證明：存在復數(shù)，實數(shù)與，使得，并且.101.(P396)設n階復方陣滿足.則方陣稱為正交Hermit