第十一章級(jí)數(shù)

1、第十一章 級(jí)數(shù)學(xué)習(xí)測(cè)試題答案1. 選擇題（1）A：由和收斂，則收斂，且因?yàn)?，則由正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法知收斂。 B：若，則收斂，但是發(fā)散，所以結(jié)論不成立。但若和收斂，由正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法可知收斂。 C：因?yàn)榘l(fā)散，則由正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法可知發(fā)散。 D：若收斂，但發(fā)散。題目如要求為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，則結(jié)論成立。（2）A：滿足題目要求，但為發(fā)散級(jí)數(shù)。B：令，則，可見其可以分解為收斂數(shù)列和發(fā)散數(shù)列和的形式，所以發(fā)散。 C：令，則發(fā)散。 D：由題，則絕對(duì)收斂。（3）由題，因?yàn)楹投际諗?，則由正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法可知收斂，即原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。（4）A：令，則它們都收斂，但發(fā)散。B：令，則它們都收斂，但發(fā)散。 C：令，則它們

2、都收斂，但發(fā)散。 D：，都收斂，則，所以存在，當(dāng)時(shí)，所以時(shí)，則絕對(duì)收斂。（5）A：收斂，但。B：由題收斂，則則其部分和數(shù)列存在，由P19 收斂數(shù)列有界性定理，所以有界。 C：收斂，但不存在。 D：若收斂，則存在，進(jìn)而由數(shù)列收斂的柯西定理得到選項(xiàng)結(jié)果。 （6）由題，則。（7）由題，則所求的冪級(jí)數(shù)收斂半徑為。（8）A：發(fā)散，但收斂。B：收斂，且也收斂。 C： 收斂，但不存在。 D：所以以上三個(gè)結(jié)論均不正確。 收斂級(jí)數(shù)可以隨意添加括號(hào)，而不影響其斂散性，（9）A：由題，因?yàn)?，都收斂，則收斂，則由正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法可知收斂，收斂。B：若，則它們均發(fā)散，且，但收斂。 C：若，則收斂，且，但發(fā)散。 D：由

3、題，且，都收斂，由正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法可知收斂，即絕對(duì)收斂。（10）由題收斂，則，所以存在，當(dāng)時(shí)，即，而收斂，由正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法可知絕對(duì)收斂。（11）由題，則為有界函數(shù)，所以存在，使得，又收斂，則絕對(duì)收斂。（12）若收斂，則，若收斂，則。所以。（13）A：令，則但收斂， 發(fā)散，所以它們不是同時(shí)收斂同時(shí)發(fā)散的。說明一下發(fā)散：，由萊布尼茲判別法知，收斂，又發(fā)散，則發(fā)散。選項(xiàng)如加上其中一個(gè)級(jí)數(shù)為同號(hào)級(jí)數(shù)則由正項(xiàng)級(jí)數(shù)比值判別法知，同時(shí)收斂同時(shí)發(fā)散。B：正確，這時(shí)為同號(hào)級(jí)數(shù)，且，所以發(fā)散。C：若，則，但發(fā)散。D：正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，但。（14）由題存在，當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)，收斂，則收斂。當(dāng)，則，所以發(fā)散。（15）

4、A：，但發(fā)散。B：，但收斂。C：，但發(fā)散。D：，且單調(diào)遞減，則存在。但并不能保證極限不為零，如，則。（16）由題在半徑內(nèi)一定收斂，則其收斂半徑。（17）由題，則，所以，則，即收斂半徑為。（18）考慮，則收斂域?yàn)榛?。?9）由題的收斂區(qū)間為，的收斂區(qū)間為，則。（20）由題，則，所以，則，即收斂半徑為。（21）由題表示所有正項(xiàng)的和，表示所有負(fù)項(xiàng)的和，所以若絕對(duì)收斂，有和收斂。若條件收斂，則和發(fā)散（否則若和收斂，則和絕對(duì)收斂，即絕對(duì)收斂，矛盾）。（22）由題，因?yàn)?，都收斂，則收斂，則由正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法可知收斂，收斂。2. 填空題（1）。（2）由題或時(shí)級(jí)數(shù)收斂，和為。（3）有交錯(cuò)級(jí)數(shù)萊布尼茲判別法可

5、知當(dāng)，單調(diào)遞減且時(shí)， 收斂。（4）級(jí)數(shù)收斂的必要條件是通項(xiàng)極限為，即，即。 （5）若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則要求或。（6），所以收斂半徑為，收斂區(qū)間為，收斂區(qū)域?yàn)椋?收斂半徑為，收斂區(qū)間為，收斂區(qū)域?yàn)?，所以其收斂半徑為，收斂區(qū)間為兩收斂區(qū)間的交集，即，收斂區(qū)域?yàn)閮墒諗繀^(qū)域的交集，即。（7）。（8）。（9）。（10）由反三角函數(shù)和差化積，。（11）由題，所以。（12）。（13）由題級(jí)數(shù)的收斂半徑為，所以收斂區(qū)間為由發(fā)散，收斂，則為收斂區(qū)域的右端點(diǎn)，所以，即。（14）收斂，則收斂，則只能，所以 或。（15）由題，所以，由正項(xiàng)級(jí)數(shù)比值判別法可知收斂，即要求。（16）由題，則，則，即所求級(jí)數(shù)的收斂半徑為。（1

6、7）由題單調(diào)遞減且有解，則存在，且（若等號(hào)成立，則與交錯(cuò)計(jì)數(shù)萊布尼茲判別法矛盾），則。（18）顯然，都收斂是收斂的充分條件，但即使收斂，都發(fā)散，所以非必要條件。（19）顯然后者的收斂區(qū)間為前兩個(gè)級(jí)數(shù)收斂區(qū)間的交集，即。（20）由題，則，即收斂區(qū)間為，。由題在端點(diǎn)處皆不收斂，所以收斂域?yàn)椋?。?1）由題，所以。（22）由題，考慮，所以所求級(jí)數(shù)收斂半徑為13. 解答題一（1），由此。所以。（2）由題級(jí)數(shù)通項(xiàng)為，因?yàn)?，則級(jí)數(shù)發(fā)散。（3）由題，則所求級(jí)數(shù)收斂且其和為。（4）由題，由正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法的極限形式知級(jí)數(shù)收斂。（5）因?yàn)?，則由正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法的極限形式知 與同時(shí)收斂，同時(shí)發(fā)散，所以當(dāng)時(shí)收斂

7、，當(dāng)時(shí)發(fā)散。（6）因?yàn)?，則由正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法的極限形式知與同時(shí)收斂，所以收斂。（7）因?yàn)?，則由正項(xiàng)級(jí)數(shù)比值判別法知收斂。（8）由題，則由正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法知收斂。（9）因?yàn)椋瑒t由正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法的極限形式知與同時(shí)發(fā)散，所以發(fā)散。（10）由題，則，與同時(shí)收斂，同時(shí)發(fā)散，時(shí)，發(fā)散，發(fā)散，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，收斂，當(dāng)，即時(shí)，發(fā)散。（11）由題，則。（12）因?yàn)?，則由正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法知收斂。（13），其中，則由正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法的極限形式知收斂。（14）由題（否則由交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲判別法知 收斂），則，所以，則當(dāng)時(shí)，即時(shí)，收斂，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，發(fā)散。（15）由題當(dāng)時(shí)，即時(shí)，收斂，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，發(fā)散。（1

8、6）使用正項(xiàng)級(jí)數(shù)積分判別法可知，所以級(jí)數(shù)發(fā)散。（17）因?yàn)?，則與同時(shí)發(fā)散。（18）由題當(dāng)時(shí)，則，收斂，收斂， 時(shí)，發(fā)散，發(fā)散，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，收斂，當(dāng)，即時(shí)，發(fā)散。當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)顯然收斂于。（19）令，所以，則由正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法的極限形式知發(fā)散。（20）令，則，所以，所以由正項(xiàng)級(jí)數(shù)比值判別法可知級(jí)數(shù)收斂。二（1），所以級(jí)數(shù)不絕對(duì)收斂，單調(diào)遞減且趨近于，由交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲判別法知條件收斂。（2）因?yàn)?，則級(jí)數(shù)發(fā)散。（3）因?yàn)?，則由正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法的極限形式知不絕對(duì)收斂，但單調(diào)遞減且趨近于，由交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲判別法知條件收斂。（4）因?yàn)?，則發(fā)散。（5），則由一般級(jí)數(shù)的根式判別法知絕對(duì)收斂。（6）

9、因?yàn)?，由正?xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法的極限形式知不絕對(duì)收斂，但單調(diào)遞減且趨近于，由交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲判別法知條件收斂。（7）因?yàn)?，則由正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法知絕對(duì)收斂。（8），所以發(fā)散。（9）因?yàn)?，所以由正?xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法的極限形式知不絕對(duì)收斂，但單調(diào)遞減且趨近于，由交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲判別法知條件收斂。（10）當(dāng)，即為奇數(shù)時(shí)級(jí)數(shù)化為，因?yàn)?，所以由正?xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法該級(jí)數(shù)收斂。當(dāng)，即為偶數(shù)時(shí)級(jí)數(shù)化為，因?yàn)?，所以該?jí)數(shù)發(fā)散。進(jìn)而原級(jí)數(shù)可化為收斂級(jí)數(shù)、發(fā)散級(jí)數(shù)和的形式，所以原級(jí)數(shù)發(fā)散。三（1），所以收斂半徑為，收斂域?yàn)椋?。?），所以收斂半徑為，收斂域?yàn)?，通過逐項(xiàng)積分可化為，再求導(dǎo)可得原級(jí)數(shù)的和函數(shù)。（3），所以

10、收斂半徑為，收斂域?yàn)?，?duì)逐項(xiàng)積分可得，再求導(dǎo)得，則原級(jí)數(shù)。（4），所以收斂半徑為，在端點(diǎn)處為也絕對(duì)收斂，所以收斂域?yàn)?，考慮，先逐項(xiàng)求導(dǎo)可得，再求積分可得，但當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)為，則。當(dāng)時(shí)，對(duì)逐項(xiàng)求 導(dǎo)得，再積分得，但當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)為，則，所以原級(jí)數(shù)。（5），所以收斂半徑為，收斂區(qū)域?yàn)?，將逐?xiàng)積分兩次得，再求導(dǎo)兩次得，所以。（6），所以收斂半徑為，所以，即收斂區(qū)域?yàn)?，將逐?xiàng)積分得，再求導(dǎo)得，所以。（7），所以收斂半徑為，所以收斂區(qū)域?yàn)?，而。?），所以收斂半徑為，所以收斂區(qū)域?yàn)?，。?），則收斂半徑為，所以收斂區(qū)域?yàn)?，將逐?xiàng)求導(dǎo)得，再求積分可得，注意當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)和為，則，即。（10），所以收斂半徑為，收斂域?yàn)?，?/p>

11、逐項(xiàng)求導(dǎo)得，再求積分可得，因?yàn)闀r(shí)，級(jí)數(shù)和為，所以，即。四（1）考慮部分和函數(shù)，因?yàn)槭諗?，則存在，即，所以數(shù)列有界，存在，使得，所以，則有正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法知絕對(duì)收斂。（2）因?yàn)槭諗浚闪?，正?xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則其部分和數(shù)列有界，則存在，使得，考慮部分和數(shù)列，則部分和數(shù)列有界，收斂。（3）由題，則，所以，因?yàn)?，則，由收斂。（4）因?yàn)?，考慮使用積分判別法，所以收斂。（5）由題表示所有正項(xiàng)的和，表示所有負(fù)項(xiàng)的和的絕對(duì)值，且因?yàn)闂l件收斂，則和都發(fā)散（否則若收斂，則收斂，即收斂，則絕對(duì)收斂）。所以，其中，而由于條件收斂，則其部分和數(shù)列極限存在，所以。（6）首先，由于此級(jí)數(shù)的前項(xiàng)的和中每個(gè)括號(hào)內(nèi)的數(shù)大于零，故

12、是個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列，有上界從而可知存在且不超過，由于此級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)收斂，故當(dāng)時(shí)。下面我們證明級(jí)數(shù)和不小于。仍然考慮前項(xiàng)的部分和，有，其中，這里，由于及，即得，此處（當(dāng)時(shí)），于是對(duì)于，存在，當(dāng)時(shí)，有，這時(shí)有。但由于，而或，所以當(dāng)，即，所以級(jí)數(shù)的和，由的任意性可知，。綜上可知。（7），所以。（8）由題，由于，所以由極限的保號(hào)性質(zhì)知，等號(hào)不可以去掉，例如，則，但。五（1）考慮，對(duì)逐項(xiàng)求導(dǎo)得，收斂域?yàn)?，再積分可得，因?yàn)?，?jí)數(shù)和為，所以，即，收斂域?yàn)?，所以，所以。?）考慮，將其逐項(xiàng)積分得，收斂域?yàn)?，在求?dǎo)可得，收斂域?yàn)?，所以。?） ，因?yàn)?，所以由正?xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法的極限形式可得收斂，且。（4），收斂域?yàn)?，?dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)的誤差，這時(shí)。（5）考慮，將逐項(xiàng)積分得，收斂域?yàn)?，再求?dǎo)可得，收斂域?yàn)?，?/p>