超級(jí)畫板動(dòng)態(tài)幾何教程平面幾何

1、第二篇 平面幾何平面幾何作為一門系統(tǒng)的學(xué)科，已有兩千多年的歷史，其魅力經(jīng)久不衰。計(jì)算機(jī)科技的發(fā)展，推出了動(dòng)態(tài)幾何作圖軟件，使這門古老的科學(xué)煥發(fā)青春，變得更加豐富多彩，更有吸引力和挑戰(zhàn)性。超級(jí)畫板是由動(dòng)態(tài)幾何作圖軟件發(fā)展而來(lái)，平面幾何動(dòng)態(tài)作圖當(dāng)然是它的基本功能。基本功能熟練了，就有了登堂入室的基礎(chǔ)。這一篇里，我們將通過(guò)一些實(shí)例，學(xué)習(xí)動(dòng)態(tài)幾何作圖，圖形的旋轉(zhuǎn)、平移和縮放的操作機(jī)制，圖形的測(cè)量以及制作控制圖形運(yùn)動(dòng)和變化的按鈕方法。看了這些例子你會(huì)看到，優(yōu)秀的作品源于對(duì)知識(shí)的創(chuàng)造性地運(yùn)用。再好的軟件也不過(guò)是你手中的工具，不過(guò)是圓規(guī)直尺鉛筆這些古老的工具的發(fā)展。創(chuàng)意永遠(yuǎn)是最重要的。首先我們來(lái)看看動(dòng)態(tài)幾何

2、作圖與平時(shí)我們?cè)诩埳?、黑板上作圖有什么區(qū)別。（一）共點(diǎn)的三個(gè)圓大家一起來(lái)試一試，畫出過(guò)同一點(diǎn)的三個(gè)圓。合上書本，自己動(dòng)手。完成后，看看你的制作結(jié)果是不是與圖中的圖形相似？有三個(gè)圓，六個(gè)點(diǎn)。請(qǐng)大家隨意拉動(dòng)幾個(gè)點(diǎn)試試，看這三個(gè)圓是否還能“過(guò)同一點(diǎn)”？拖動(dòng)結(jié)果可能如圖2-1所示： 圖2-1為什么圖形會(huì)“散架”，可能作圖過(guò)程是這樣的（圖5-2列出了最典型的初學(xué)者“畫共點(diǎn)的三個(gè)圓”的步驟，受到了傳統(tǒng)作圖方式如黑板上的繪圖或一般繪圖軟件的影響）。 圖2-2在拖動(dòng)過(guò)程中，動(dòng)態(tài)幾何作圖能夠保持所有給定的幾何關(guān)系，因?yàn)樗褪歉鶕?jù)幾何關(guān)系來(lái)設(shè)計(jì)的！那么，你思考一下，上述方法在畫圓時(shí)，到底給定了什么樣的幾何關(guān)系？我

3、們知道，圓是由兩個(gè)點(diǎn)來(lái)決定的，雙擊鼠標(biāo)按下去的點(diǎn)即為圓心，松開鼠標(biāo)的點(diǎn)即為圓上的一點(diǎn)。改變這兩個(gè)點(diǎn)中的任意一點(diǎn)都可以改變圓。 而在我們剛才的操作中，我們所給的幾何關(guān)系是：每個(gè)圓都是由兩個(gè)完全自由的點(diǎn)來(lái)決定的（請(qǐng)大家觀察一下，圖中共三個(gè)圓，六個(gè)自由點(diǎn)）。根據(jù)這樣的幾何關(guān)系，每個(gè)圓都可以隨意地改變。這就表明：在超級(jí)畫板中，不能再象在黑板上那樣，隨手畫出圖來(lái)，而每時(shí)每刻都得考慮幾何關(guān)系。那么怎么能保證它們過(guò)同一個(gè)點(diǎn)呢？你按下面的步驟做做看？步驟過(guò)  程  描  述作圖結(jié)果1選擇智能畫筆（無(wú)）2畫第一個(gè)圓：圓心為A，圓上一點(diǎn)為B3畫第二個(gè)圓；在任意一點(diǎn)處雙擊鼠標(biāo)鍵即規(guī)定了

4、圓心C，拖動(dòng)鼠標(biāo)，對(duì)準(zhǔn)點(diǎn)B（注意狀態(tài)欄的提示），并在B點(diǎn)松開鼠標(biāo)，即圓上的點(diǎn)為B4畫第三個(gè)圓：在任意一點(diǎn)處按下鼠標(biāo)鍵即規(guī)定了圓心D，拖動(dòng)鼠標(biāo)，對(duì)準(zhǔn)點(diǎn)B（注意狀態(tài)欄的提示），并在B點(diǎn)松開鼠標(biāo)，即圓上的點(diǎn)為B 現(xiàn)在來(lái)試試隨便拖動(dòng)其中的任意一個(gè)圓。 很顯然，在這種做法中，由于在作圖過(guò)程中已經(jīng)規(guī)定了三個(gè)圓圓上的點(diǎn)都為點(diǎn)B，因此不管如何拖動(dòng)這三個(gè)圓，它們都會(huì)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B。參看配套資源文件“2-1共點(diǎn)的三圓”。這就是在動(dòng)態(tài)中保持幾何關(guān)系?。ǘ﹦?dòng)態(tài)幾何實(shí)例例1：圓冪定理 任意作圓，點(diǎn)A為圓心，AB為半徑；在圓上任取C、D、E、F四點(diǎn)，連接CD，EF，作出交點(diǎn)G（有兩種情況，圖2-3和圖2-4）；測(cè)量線段EG、

5、GF、CG、GD的長(zhǎng)度，計(jì)算EG*GF和CG*GD；拖動(dòng)C、D、E、F四點(diǎn)，尋找其中規(guī)律，特別是C、D兩點(diǎn)（或E、F兩點(diǎn)）比較靠近時(shí)。參看配套資源文件“2-2圓冪定理”。 圖2-3 圖2-4例2：平行四邊形對(duì)角線三等分作平行四邊形ABCD；連接AC，作出AD的中點(diǎn)E，DC的中點(diǎn)F；連接BE交AC于點(diǎn)G，連接BF交AC于點(diǎn)H；測(cè)量線段AG，GH，HC的長(zhǎng)度（圖2-5）；拖動(dòng)A，B，C三點(diǎn)，尋找其中規(guī)律。參看配套資源文件“2-3平行四邊形對(duì)角線三等分”。圖2-5 例3：等腰三角形問(wèn)題作出等腰ABC，其中AC=BC；在線段AB上取點(diǎn)D，作DE垂直AC，作DF垂直BC；測(cè)量線段DE，DF的長(zhǎng)度，計(jì)算兩

6、者之和與兩者之差（圖2-6）；拖動(dòng)點(diǎn)D，尋找其中規(guī)律。參看配套資源文件“2-4等腰三角形問(wèn)題”。 圖2-6例4：等邊三角形中的一點(diǎn)作出等邊ABC；在三角形內(nèi)部作出點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE垂直于BC，過(guò)點(diǎn)D作DF垂直于AB，過(guò)點(diǎn)D作DG垂直于AC；測(cè)量線段DE，DF，DG長(zhǎng)度，并相加（圖2-7）；在ABC內(nèi)部拖動(dòng)點(diǎn)D，尋找其中規(guī)律。參看配套資源文件“2-5等邊三角形中的一點(diǎn)”。圖2-7例5：三角形中位線定理作ABC；作出線段AB的中點(diǎn)D，作出線段AC的中點(diǎn)E，連接DE；測(cè)量線段DE，BC，計(jì)算；測(cè)量ADE和ABC，AED和ACB（圖2-8）；拖動(dòng)點(diǎn)A、B、C，尋找其中規(guī)律。參看配套資源文件“2-6三角

7、形中位線定理”。圖 2-8例6：井田問(wèn)題如圖2-9，作四邊形ABCD，點(diǎn)E、F、G、H、I、J、K、L分別是四條邊上的三等分點(diǎn)。計(jì)算，看看有什么發(fā)現(xiàn)。這里需要用到點(diǎn)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)縮放命令：PointFlexRotate(P, A,Times,Angle,Text)，其作用是將點(diǎn)P繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角Angle，并將P到A的距離縮放Times倍后所生成的點(diǎn)。這里旋轉(zhuǎn)的角度是度，旋轉(zhuǎn)的方向是逆時(shí)針?lè)较?。如果要求順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，可將Angle的值反號(hào)。參看配套資源文件“2-7井田問(wèn)題”。 圖2-9例7：五點(diǎn)共圓如圖2-10，作出五角星ABCDE，再過(guò)D、F、J三點(diǎn)作圓，如果不想一步一步地用尺規(guī)構(gòu)圖，就可

8、以用文本命令：CircleOf3Point(A,B,C)。同樣地再分別以點(diǎn)AGF，點(diǎn)CHG，點(diǎn)EHI，點(diǎn)BIJ作外接圓；這5個(gè)圓又產(chǎn)生了5個(gè)交點(diǎn)K，L，M，N，P，有趣的是這5個(gè)點(diǎn)共圓（圖2-11）。檢驗(yàn)方法：可以過(guò)點(diǎn)K，L，M三點(diǎn)作圓，任意拖動(dòng)五角星發(fā)現(xiàn)P，N兩點(diǎn)也在圓上。參看配套資源文件“2-8五點(diǎn)共圓”。（注：如果用的是超級(jí)畫板的完全版，執(zhí)行“推理|自動(dòng)推理”命令,在幾秒后可以給出這條定理的傳統(tǒng)風(fēng)格的可讀證明。）圖2-10 圖2-11 現(xiàn)在你該明白什么是智能化的動(dòng)態(tài)幾何了吧：1：軟件要具有智能化，能主動(dòng)去識(shí)別人的意圖，減輕人的負(fù)擔(dān)，并幫助人來(lái)完成所要作的事情；2：不管你怎么樣拖動(dòng)，所作的

9、圖始終保持幾何不變性。運(yùn)用超級(jí)畫板研究數(shù)學(xué)問(wèn)題,能使抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題具體化、模型化、直觀化，讓人先從感觀上得出相關(guān)結(jié)論,這對(duì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)與探索無(wú)疑有很大的幫助,能激發(fā)想象，驅(qū)使人們?cè)谧兓袑ふ也蛔?，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，印證數(shù)學(xué)猜想，誘發(fā)直覺(jué)思維,揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)。所以,超級(jí)畫板被認(rèn)為是“做數(shù)學(xué)”的虛擬實(shí)驗(yàn)室，是培養(yǎng)創(chuàng)新能力的優(yōu)秀認(rèn)知平臺(tái)。運(yùn)用動(dòng)態(tài)幾何軟件探索數(shù)學(xué)的幾條原則 注意事項(xiàng)就是類似于數(shù)學(xué)通報(bào)發(fā)表的那幾條規(guī)律習(xí)題2-1：據(jù)說(shuō)數(shù)學(xué)家牛頓曾經(jīng)考慮過(guò)這樣一個(gè)趣題：有九棵樹,要栽十行,每行三棵,請(qǐng)你幫忙。有人設(shè)計(jì)了一份答案，就是圖2-12。你認(rèn)為這份答案對(duì)么？我們可以用超級(jí)畫板來(lái)驗(yàn)證，看看I、G、F三點(diǎn)是不是

10、總保持共線。參看配套資源文件“2-9九樹十行”。 圖2-12（三）模擬尺規(guī)作圖尺規(guī)作圖歷史悠久，影響深遠(yuǎn)，看似簡(jiǎn)單，其實(shí)奧妙無(wú)窮，極具挑戰(zhàn)性，能夠培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)能力，特別是古希臘三大幾何難題更是吸引了無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)愛好者。用超級(jí)畫板很容易作出尺規(guī)作圖難以作出的圖形，但所用方法已經(jīng)不是真正意義上的尺規(guī)作圖了。當(dāng)然，我們也可以限制超級(jí)畫板的功能，譬如不用“測(cè)量”功能，因?yàn)槌咭?guī)作圖中的圓規(guī)和直尺都是沒(méi)有測(cè)量功能。由于“智能畫筆”功能太強(qiáng)，我們?cè)谟贸?jí)畫板模擬尺規(guī)作圖時(shí)，需要去掉其智能性，具體操作是在“查看”菜單中選擇“智能畫筆的類型”。尺規(guī)作圖經(jīng)典范例很多，僅舉幾例說(shuō)明，中間簡(jiǎn)化了少數(shù)步驟。例1：過(guò)圓

11、外一點(diǎn)作圓的切線法1：（1） 任意作圓，圓心為，AB為半徑；在圓外任作點(diǎn)C；（2） 連接AC，作出中點(diǎn)D；以點(diǎn)D為圓心，DA為半徑作圓；（3） 兩圓相交于E、F兩點(diǎn)，CE，CF即為所求作切線段（圖2-13）。此作法所用數(shù)學(xué)原理：圓內(nèi)直徑所對(duì)的角為直角。當(dāng)我們拖動(dòng)點(diǎn)C至圓內(nèi)時(shí)，兩圓無(wú)交點(diǎn)，自然切線也不存在（圖2-14）。圖2-13 圖2-14 圖2-15 法2：（1） 任意作圓，以圓心為，AB為半徑；在圓外任作點(diǎn)C；（2） 連接AC，作出AC與圓的交點(diǎn)D；過(guò)點(diǎn)D作圓AC的垂線；（3） 以點(diǎn)A為圓心，AC為半徑作圓，交垂線于點(diǎn)E；（4） 連接AE交圓于點(diǎn)F，AF即為所求切線段（圖2-15）。此作法

12、用到全等三角形的知識(shí)，其巧妙之處就在于將作切線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為作垂線問(wèn)題。參看配套資源文件“ 2-10過(guò)圓外一點(diǎn)向圓作切線”。 例2：作兩圓的公切線作法：（1） 任意作兩圓，一個(gè)是以圓心為，AB為半徑，另一個(gè)以圓心為C，CD為半徑；（2） 以點(diǎn)C為圓心，為半徑作圓；（3） 連接AC，作出中點(diǎn)E；以點(diǎn)E為圓心，EC為半徑作圓，交（較大者）于點(diǎn)F；（4） 連接FC交（較小者）于點(diǎn)G；過(guò)點(diǎn)G作CF的垂線即為所求（圖2-16）。根據(jù)對(duì)稱關(guān)系，這樣的公切線還有一條。與此類似，我們可以作出兩圓的外公切線（圖2-17），稍有不同的是第（2）步時(shí)將改成（假設(shè)此時(shí)）。參看配套資源文件“ 2-11兩圓的公切線”。 圖2

13、-16 圖2-17例3：?jiǎn)纬咦鲌D等分線段隨著人們數(shù)學(xué)水平的提高，從最開始的尺規(guī)作圖，又引發(fā)出了單規(guī)作圖（僅用圓規(guī)作圖），單尺作圖（僅用直尺作圖）等更高難度的作圖。下面將給出單尺作圖的經(jīng)典實(shí)例等分線段，并用面積法給出嚴(yán)格證明。首先引入面積法的一個(gè)基本定理。我們?nèi)巫鲀蓷l不平行線段AB和PQ，設(shè)交點(diǎn)為M，通過(guò)超級(jí)畫板的測(cè)量工具，容易發(fā)現(xiàn)不管如何拖動(dòng)A、B、P、Q四點(diǎn)，總有成立。共邊定理 若直線AB和PQ相交于點(diǎn)M（如圖2-18，有四種情形）,則有。 圖2-18證明：在直線AB上取一點(diǎn)N，使得MN=AB，則與共高，即有。從本質(zhì)上講，共邊定理是“等底等高的三角形面積相等”這一性質(zhì)的推論，看起來(lái)很簡(jiǎn)單，但

14、它的用途相當(dāng)廣泛，詳見新概念幾何（張景中著）。參看配套資源文件“ 2-12共邊定理”。例4：已知線段AB和平行于AB的直線CD，僅用直尺求作AB的2等分點(diǎn)（即中點(diǎn)）。作法：如圖2-191：作出線段AB和直線CD；2：在線段AB和直線CD外任取點(diǎn)E，連接AE，BE分別交直線CD于F，G兩點(diǎn)；3：連接AG，BF，交點(diǎn)為H；4：延長(zhǎng)EH交AB于點(diǎn)I，點(diǎn)I即為所求。證明：圖2-19 圖2-20最后一步用到直線CD平行線段AB。類似可證EH平分FG。這也就是梯形中一個(gè)很有用的結(jié)論：延長(zhǎng)梯形兩腰的交點(diǎn)和梯形兩對(duì)角線的交點(diǎn)的連線平分梯形的上底和下底！下面我們將在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步等分線段。例5：已知線段AB和平

15、行于AB的直線CD，僅用直尺求作AB的n等分點(diǎn)。作法：如圖2-201：按例4所講方法作出AB中點(diǎn)I；2：連接IG交BF于J，延長(zhǎng)EJ交AB于K，則點(diǎn)K為AB的3等分點(diǎn)；3：類似操作即可得到4等分點(diǎn)，5等分點(diǎn)；證明：數(shù)學(xué)歸納法1：當(dāng)n2時(shí)，已證；2：假設(shè)點(diǎn)I為AB的等分點(diǎn)，那么連接IG交BF于J，延長(zhǎng)EJ交AB于K，則點(diǎn)K為AB的n等分點(diǎn)。證明如下：，所以點(diǎn)K為AB的n等分點(diǎn)。 參看配套資源文件“ 2-13單尺作圖”。也許有讀者會(huì)問(wèn)：以上的幾例，原本只需用到超級(jí)畫板中的函數(shù)命令就能很容易地解決，為什么還要舍近求遠(yuǎn)呢？道理很簡(jiǎn)單：就如同我們的目標(biāo)是行軍萬(wàn)里，但日常的操練圍繞田徑場(chǎng)跑圈子也是有必要的

16、。要想從事深層次的數(shù)學(xué)研究，基本功相當(dāng)重要，不能貪圖一時(shí)的輕松快捷。用計(jì)算機(jī)模擬尺規(guī)作圖，超級(jí)畫板完全繼承了傳統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn)，這是PPT，F(xiàn)LASH等其他的軟件所不能比較的。而且在繼承優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)，還擺脫了一些缺點(diǎn)，列舉如下：（1） 作圖痕跡：傳統(tǒng)的尺規(guī)作圖在完成作圖后，要么擦去作圖痕跡，要么保留；此時(shí)存在矛盾：保留作圖痕跡會(huì)使圖形顯得很凌亂，特別是繪制較復(fù)雜圖形，而擦去作圖痕跡則會(huì)使作者的作圖思路也無(wú)影無(wú)蹤，不利于交流。而在超級(jí)畫板中，用“隱藏”功能就能很容易解決這一矛盾。（2） 邏輯性：傳統(tǒng)的尺規(guī)作圖在繪制好較復(fù)雜的圖形后，即使保留了作圖痕跡，密密麻麻的點(diǎn)、線、圓也會(huì)讓其他人難以理清作圖順序；而在

17、超級(jí)畫板中，每作一步，軟件都會(huì)自動(dòng)記錄，通過(guò)查看點(diǎn)的標(biāo)簽和“圖形對(duì)象工作區(qū)”中的編號(hào)，思路非常清晰。（3） 保存與共享：傳統(tǒng)的尺規(guī)作圖，作品不方便保存，更不利于資源共享。超級(jí)畫板文件保存方便，且便于在網(wǎng)上傳播。（4） 發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)性質(zhì)：以三角形三高交于一點(diǎn)為例；傳統(tǒng)的尺規(guī)作圖即使采用分類的思想，也要分銳角三角形，直角三角形和鈍角三角形三種情況來(lái)討論，由于圖形靜止，讓人不得不懷疑所作三角形是否具有代表性；而在超級(jí)畫板中，作一個(gè)圖形即可，鼠標(biāo)拖動(dòng)時(shí)演化成無(wú)數(shù)個(gè)三角形，使人相信三角形三高確實(shí)交于一點(diǎn)，十分直觀。如果再加上超級(jí)畫板的“動(dòng)態(tài)測(cè)量”功能，這一點(diǎn)就更明顯了。 千百年來(lái)，簡(jiǎn)單的圓規(guī)直尺為我們描繪了

18、幾何學(xué)的大廈；在計(jì)算機(jī)迅速普及的今天，超級(jí)畫板更是為我們提供了探索數(shù)學(xué)奧秘的先進(jìn)武器。（四）圖案設(shè)計(jì)在日常生活中，到處都可以看到各種各樣漂亮的圖案，這些圖案給我們帶來(lái)了美的享受，而這些的圖案設(shè)計(jì)除了需要美術(shù)功底之外，很多也需要用到一些數(shù)學(xué)知識(shí)。下面我們就來(lái)看一些簡(jiǎn)單例子。例1：繪制數(shù)字。（1） 在對(duì)象工作區(qū)中，右鍵單擊“0直角坐標(biāo)系”,彈出“對(duì)象的屬性”對(duì)話框后，勾選 “畫坐標(biāo)網(wǎng)格”，點(diǎn)擊確定（圖2-21）。將屏幕右邊的“對(duì)象屬性工作區(qū)”拉寬一點(diǎn)，在最下面的“其它”一欄里，點(diǎn)擊“自由點(diǎn)為網(wǎng)格”右邊的小三角，彈出下拉菜單后，選擇“是”，此時(shí)下方還會(huì)出現(xiàn)提示（圖2-22）；圖2-21圖2-22 圖

19、2-23（2） 此時(shí)在屏幕上畫點(diǎn)，所畫的點(diǎn)都在網(wǎng)格上；仿照?qǐng)D2-23，畫點(diǎn)連線；（3） 在“編輯”菜單中，去掉“全部點(diǎn)的名字”前面的勾選；在“編輯”菜單中，點(diǎn)擊“選擇對(duì)象”；在其子菜單中，點(diǎn)擊“選擇全部的直線、線段、向量或射線”；改變所選線段的顏色、線寬等，可得圖2-24。參看配套資源文件“ 2-14繪制數(shù)字”。圖2-24例2： 繪制中點(diǎn)正方形（1） 作A，B兩點(diǎn)，選中后點(diǎn)擊“作圖”菜單下面的“常見多邊形”，在其子菜單中點(diǎn)擊“正方形”（圖2-25）；（2） 作出AB的中點(diǎn)E和BC的中點(diǎn)F，仿照（1），選中E，F(xiàn)兩點(diǎn)作正方形（圖2-26）；依此類推可作出圖2-27，圖2-28，圖2-29；（3）

20、 如圖2-30所示，構(gòu)造多邊形，并填充顏色，隱藏所有點(diǎn)。 參看配套資源文件“ 2-15繪制中點(diǎn)正方形”。圖2-25 圖2-26 圖2-27圖2-28 圖2-29 圖2-30例3：繪制圓弧圖案 （1） 顯示網(wǎng)格，設(shè)置自由點(diǎn)為網(wǎng)格點(diǎn)之后，我們很容易作出圖2-31；依次選中圓，點(diǎn)B和點(diǎn)D，在“作圖”菜單中點(diǎn)擊“圓和圓弧”，在其子菜單下點(diǎn)擊“已知圓上的圓弧”，隱藏所作圓（圖2-32）；（2） 如圖2-33所示，作出其它三條圓?。ㄐ枰⒁猓哼x擇圓上兩點(diǎn)時(shí)，要按逆時(shí)針?lè)较颍?；?） 以點(diǎn)E為圓心，EF為半徑作圓（圖2-33）；選中該圓，點(diǎn)擊“對(duì)象”菜單中的“移動(dòng)對(duì)象到最后面”；分別對(duì)四條圓弧和圓進(jìn)行修飾，

21、圖2-34就是最終效果。參看配套資源文件“ 2-16繪制圓弧圖案”。 圖2-31 圖2-32 圖2-33 圖2-34例4：分割圓內(nèi)接正六邊形 （1） 如圖2-35所示，作出7個(gè)圓，并隱藏外面6個(gè)圓（圖2-36）；（2） 如圖2-37所示，對(duì)正六邊形進(jìn)行分割；（3） 如圖2-38所示，填充分割后的圖形；參看配套資源文件“ 2-17分割圓內(nèi)接正六邊形”。圖2-35 圖2-36圖2-37 圖2-38 例5：繪制平移圖案（1） 顯示網(wǎng)格，設(shè)置自由點(diǎn)為網(wǎng)格點(diǎn)；如圖2-39所示，作好8個(gè)點(diǎn)，依次選擇A，C，F(xiàn)，G，H，E，D，B等8個(gè)點(diǎn)作多邊形；（2） 依次選中點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)擊“變換”菜單中的“選定平移向

22、量”；選中點(diǎn)B和多邊形，點(diǎn)擊“變換”菜單中的“平移幾何對(duì)象”，得到圖2-40；（3） 依次選中點(diǎn)B和點(diǎn)G，點(diǎn)擊“變換”菜單中的“目前正在使用的平移向量為AB”；先將兩個(gè)多邊形填充不同的顏色，然后選中，點(diǎn)擊“變換”菜單中的“平移幾何對(duì)象”； 再次點(diǎn)擊“平移幾何對(duì)象”得到圖2-41；（4） 依次選中點(diǎn)A和點(diǎn)I，點(diǎn)擊“變換”菜單中的“目前正在使用的平移向量為BG”；選中所有多邊形，兩次點(diǎn)擊變換”菜單中的“平移幾何對(duì)象”就可以得到圖2-42；（5） 拖動(dòng)8個(gè)點(diǎn)，可以得到很多漂亮的圖形，圖2-43就是其中的一個(gè)。 參看配套資源文件“2-18繪制平移圖案”。圖2-39 圖2-40圖2-41圖2-42 圖2

23、-43例6：繪制旋轉(zhuǎn)圖案（1） 顯示網(wǎng)格，設(shè)置自由點(diǎn)為網(wǎng)格點(diǎn)，我們很容易作出圖2-44；依次選中A，C，D，B四點(diǎn)作多邊形，填充為黑色；圖2-44（2） 在程序區(qū)輸入“Rotate(9,5,pi/2);”，執(zhí)行命令；在程序區(qū)輸入“Rotate(11,5,pi/2);”，執(zhí)行命令；在程序區(qū)輸入“Rotate(12,5,pi/2);”，執(zhí)行命令；可得圖2-45；（3） 拖動(dòng)點(diǎn)B到點(diǎn)D位置；可得圖2-46；拖動(dòng)點(diǎn)B到點(diǎn)C位置；可得圖2-47；如果還拖動(dòng)其它點(diǎn)的話，變化可就更多了，圖2-48就是其中一個(gè)變化。 參看配套資源文件“2-19繪制旋轉(zhuǎn)圖案”。圖2-45 圖2-46 圖2-47 圖2-48例7

24、：繪制放縮圖案（1） 先作A，B兩點(diǎn)，以此作正方形ABCD，連接AC，作AC中點(diǎn)E（圖2-49）；（2） 在程序區(qū)輸入“Rotate(5,14, pi/4);Rotate(6,14, pi/4);”可得到F，G兩點(diǎn)，并以F，G兩點(diǎn)作出正方形FGHI；作出線段的交點(diǎn)J，L，K三點(diǎn)（圖2-50）；（3） 測(cè)量EC，EL的長(zhǎng)度，并計(jì)算；作出多邊形CJK；圖2-49 圖2-50（4） 在程序區(qū)輸入下面函數(shù)命令，執(zhí)行命令后生成3個(gè)新的多邊形，將4個(gè)多邊形添加顏色可得到圖2-51；Dilate(30,14,m002);Dilate(31,14,m002);Dilate(32,14,m002);（5） 在程

25、序區(qū)輸入下面函數(shù)命令，執(zhí)行命令后生成4個(gè)新的多邊形；Rotate(30,14, pi/4);Rotate(31, 14,pi/4);Rotate(32,14,pi/4);Rotate(33,14,pi/4);（6） 修改上述4條函數(shù)命令中4個(gè)多邊形的編號(hào)，再旋轉(zhuǎn)6次可得圖2-52； 參看配套資源文件“2-20繪制放縮圖案”。 圖2-51 圖2-52例8：繪制對(duì)稱圖案有人在學(xué)習(xí)了怎樣繪制數(shù)字之后，就作了圖2-53，我們能幫他改正么？（1） 在圖2-53下面作一條水平的線段；（2） 依次選中“2+3=8”和水平線段，點(diǎn)擊“變換”中的“關(guān)于直線的對(duì)稱圖形”，即可得到圖2-54。 參看配套資源文件“2

26、-21繪制對(duì)稱圖案”。圖2-53 圖2-54例9：填充顏色的四招在畫好圖形之后，再填充顏色能夠起到錦上添花的效果，但是有些圖形的是由曲線圍成的，用簡(jiǎn)單的填充難以奏效。 第一招：區(qū)域的交，作用是填充多個(gè)區(qū)域的公共部分；（1） 先作兩個(gè)圓（圖2-55）；（2） 在程序區(qū)輸入“RegionAnd(7, 10 ,);”可得圖2-56；圖2-55 圖2-56第二招：區(qū)域的并，作用是填充多個(gè)區(qū)域的所占有的部分；（1） 先如圖2-57所示，作兩個(gè)正方形，然后依次選中頂點(diǎn)，構(gòu)造多邊形；（2） 在程序區(qū)輸入“RegionOr(25,26, );”，可得圖2-58；圖2-57 圖2-58第三招：區(qū)域的差，作用是填

27、充被第一個(gè)區(qū)域包含而不被其他區(qū)域包含的部分；（1） 先作一個(gè)正四邊形和四個(gè)圓（圖2-59）；（2） 在程序區(qū)輸入“RegionDiff(10,13,15,17,18);”，可得圖2-60；圖2-59 圖2-60 圖2-61第四招：區(qū)域的與或，填充的范圍是：多個(gè)區(qū)域的總和減去多個(gè)區(qū)域的相交部分；（1） 先作一個(gè)正四邊形和四個(gè)圓（圖2-59）；（2） 在程序區(qū)輸入“RegionXor(13,15,17,18,10);”，可得圖2-61。以上四個(gè)函數(shù)除了用于圖案設(shè)計(jì)時(shí)填充顏色之外，最多的就是用于集合教學(xué)時(shí)用來(lái)作交、并、補(bǔ)集等。參看配套資源文件“2-22填充顏色的四招”。習(xí)題2-2 利用網(wǎng)格點(diǎn)，繪制0

28、到9這10個(gè)數(shù)字。習(xí)題2-3 繪制下面圖形。參看配套資源文件“2-23圖案設(shè)計(jì)1”。圖2-62 習(xí)題2-4繪制下面圖形。參看配套資源文件“2-24圖案設(shè)計(jì)2”。 圖2-63習(xí)題2-5先作出基礎(chǔ)圖形（圖2-64），并將7個(gè)小區(qū)域用不同顏色填充。參看配套資源文件“2-25配色”。 圖2-64（五）簡(jiǎn)單課件制作例1：三角形的面積公式幾何學(xué)源于面積的計(jì)算。一個(gè)基本的，但并不顯然的面積公式就是“三角形面積等于底和高的乘積的一半”?？梢杂靡粋€(gè)小動(dòng)畫來(lái)說(shuō)明這個(gè)公式的道理。打開配套資源文件“2-26三角形面積公式”，界面如圖2-65。單擊動(dòng)畫按鈕，則AEF和AEG分別繞點(diǎn)F和G轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖2-66；轉(zhuǎn)動(dòng)到如圖2

29、-67的位置停止，這時(shí)ABC被剪拼成一個(gè)矩形。矩形的長(zhǎng)等于三角形的邊BC, 寬等于三角形的高AD的一半。單擊動(dòng)畫按鈕的副鈕，圖形逆向運(yùn)動(dòng)復(fù)原。 圖2-65 圖2-66 圖2-67現(xiàn)在我們自己動(dòng)手做這個(gè)動(dòng)畫。仔細(xì)看看圖2-65左部的對(duì)象列表，在動(dòng)手之前就會(huì)胸有成竹。具體操作如下：（1）作ABC，自A向BC引垂足，當(dāng)出現(xiàn)“垂足”字樣時(shí)松開鼠標(biāo)左鍵作出垂足D。（2）鼠標(biāo)光標(biāo)指向AD中點(diǎn)處，當(dāng)出現(xiàn)“中點(diǎn)”字樣時(shí)按下鼠標(biāo)左鍵作出中點(diǎn)E。（3）按下鼠標(biāo)自E沿平行于DC方向畫線，當(dāng)接近線段AC時(shí)會(huì)出現(xiàn)“平行相交”或“中點(diǎn)”字樣；松開鼠標(biāo)左鍵作出AC中點(diǎn)F。同理作出AB中點(diǎn)G和線段EG。（4）作出多邊形AEF

30、和多邊形AEG（5）打開文本作圖命令對(duì)話框，調(diào)出圖形變換類旋轉(zhuǎn)函數(shù)Rotate( , , ), 填入?yún)?shù)如圖2-68；這里18，19分別是多邊形AEF和AEG的編號(hào)；14，16分別是旋轉(zhuǎn)中心F和G的編號(hào)；用變量t作為旋轉(zhuǎn)角，是留有余地，準(zhǔn)備讓t 來(lái)驅(qū)動(dòng)旋轉(zhuǎn)。單擊運(yùn)行按鈕作出兩個(gè)旋轉(zhuǎn)復(fù)制的多邊形，如圖2-69。如果你作圖時(shí)的對(duì)象編號(hào)與此不同，參數(shù)號(hào)碼以你的為準(zhǔn)。 圖2-68 如圖2-69（6）為了使兩個(gè)復(fù)制的多邊形停在預(yù)期的位置，要作出變量t的動(dòng)畫按鈕。不選擇對(duì)象，單擊右鍵打開右鍵菜單，執(zhí)行其中的“動(dòng)畫”命令，在打開的對(duì)話框里鍵入t, 單擊確定打開動(dòng)畫設(shè)置對(duì)話框，設(shè)置頻率為300-500以免過(guò)快

31、，參數(shù)范圍設(shè)為0到pi, 類型設(shè)置為一次運(yùn)動(dòng)。單擊確定作出動(dòng)畫按鈕。（7）作出多邊形BCFG。選擇多邊形BCFG和兩個(gè)復(fù)制的多邊形，單擊上方工具欄中的“填充顏色”按鈕旁的小黑三角（圖2-70）打開顏色盤，選擇適當(dāng)?shù)念伾M(jìn)行填充。再單擊“增加透明”按鈕（圖2-70）若干次，使幾個(gè)多邊形成為半透明狀態(tài)，以便觀察。最后單擊“文本”按鈕添加標(biāo)題，大功告成。 圖2-70 用鼠標(biāo)拖動(dòng)點(diǎn)A, 三角形的高AD會(huì)隨著變化。只要點(diǎn)D在線段BC上，動(dòng)畫就能保持原有的效果。當(dāng)點(diǎn)D跑到BC之外，就要重新設(shè)計(jì)剪拚的方案了。這個(gè)例子體現(xiàn)了讓復(fù)制的多邊形旋轉(zhuǎn)到指定位置的方法和應(yīng)用。本課件除了可以說(shuō)明三角形面積公式之外，還可以

32、說(shuō)明三角形內(nèi)角和定理以及三角形中位線定理。習(xí)題2-6 畫一個(gè)梯形ABCD, 取梯形的一腰BC的中點(diǎn)E為旋轉(zhuǎn)中心，構(gòu)造一個(gè)動(dòng)畫，讓復(fù)制的梯形繞E旋轉(zhuǎn)后和原來(lái)的梯形拼成一個(gè)平行四邊形。習(xí)題2-7另一種方法將三角形剪拼成一邊等于AD的矩形。例2：三角形的三高為何共點(diǎn) 有些幾何現(xiàn)象看來(lái)很奇妙，會(huì)使人留下終身難忘的印象。大物理學(xué)家愛因斯坦在晚年回憶自己12歲時(shí)讀到一本幾何教科書時(shí)說(shuō)：“這本書里有許多斷言，譬如三角形的三個(gè)高交于一點(diǎn)，它們本身雖然并不是顯而易見的，但是可以很可靠地加以證明，以致任何懷疑似乎都不可能。這種明晰性和可靠性給我造成了一種難以形容的印象?！贝蜷_配套資源文件“2-27三角形的三高為何

33、共點(diǎn)”，如圖2-71，這就是著名的垂心定理。 2-71無(wú)論你如何拖動(dòng)點(diǎn)A、B或C, 只要這3點(diǎn)不在一條直線上，三角形ABC的三條綠色的高線總交于紅點(diǎn)G。為什么呢？正如愛因斯坦所說(shuō),這“不是顯而易見的”。幾何中的輔助線有一種本領(lǐng)，能夠把因果之間的迷霧一掃而光。單擊“顯示或隱藏輔助線”按鈕和“顯示或隱藏說(shuō)明”按鈕，如圖2-72，水落石出了。 圖2-72 三角形的三邊的中垂線共點(diǎn)是容易證明的。輔助線把“不是顯而易見的”的事情變成了“可以很可靠地加以證明，以致任何懷疑似乎都不可能”的定理。單擊兩個(gè)按鈕的副鈕，輔助線和說(shuō)明就隱藏起來(lái)了。用超級(jí)畫板做出圖2-72中的幾何圖形不難。但是在免費(fèi)的版本中，用菜單

34、作“隱藏顯示按鈕”的功能無(wú)法激活，必須變通一下，才能做出這兩個(gè)按鈕來(lái)。下面是全部的制作過(guò)程，其中特別詳細(xì)講述你可能不熟悉的操作。（1） 作任意三角形ABC。自A向BC引垂足D。如果要把線段AD變成直線，可用右鍵單擊線段，在右鍵菜單中單擊“屬性”打開屬性對(duì)話框，在右下方“類型轉(zhuǎn)換”欄里選擇“直線”，再單擊確定即可（直角標(biāo)注可用文本作圖命令：曲線類函數(shù)LabelAngle(, , , )，參數(shù)是表示角度的三點(diǎn)的編號(hào)）。（2） 同上作出高BE和CF,并把線段轉(zhuǎn)換成直線。也可以直接作出過(guò)點(diǎn)A、B、C而垂直于對(duì)邊的直線，方法是選擇點(diǎn)和對(duì)邊后執(zhí)行菜單命令“作圖|線段、向量、射線和直線|垂直直線”。如要做出

35、垂足，再單擊垂線和邊相交之處。（3） 單擊高線相交之處作出垂心G。順次選擇點(diǎn)A、B、C, 執(zhí)行菜單命令“作圖|常見多邊形|平行四邊形”，作平行四邊形ABCH。同上作平行四邊形ACBI和BACJ。（4） 以G為心作出過(guò)點(diǎn)H的圓，點(diǎn)I、J必然也在此圓上。（5） 用文本功能，添加標(biāo)題和說(shuō)明。（6） 現(xiàn)在來(lái)制作“顯示或隱藏說(shuō)明”按鈕，分兩步操作： 不選擇對(duì)象，單擊右鍵打開右鍵菜單，執(zhí)行“動(dòng)畫”命令。在打開的對(duì)話框里鍵入s, 單擊“確定”打開動(dòng)畫設(shè)置對(duì)話框，設(shè)置頻率為1，參數(shù)范圍設(shè)為0到1, 類型設(shè)置為一次運(yùn)動(dòng)。單擊對(duì)話框的“文本”按鈕打開文本選項(xiàng)卡，鍵入文本“顯示或隱藏說(shuō)明”，單擊確定作出動(dòng)畫按鈕。

36、右鍵單擊“文本”后在右鍵菜單中單擊“屬性”對(duì)話框，單擊上方“填充”按鈕后，在“類型”欄里單擊“動(dòng)態(tài)Alpha”,打開如圖2-73的用戶輸入對(duì)話框。 圖2-73在名為“Alpha通道的表達(dá)式”的可編輯欄里，已經(jīng)填了數(shù)字“255”，這個(gè)數(shù)字是用來(lái)控制對(duì)象的透明度的。取值為255時(shí)對(duì)象完全不透明，當(dāng)然可見。取值為0時(shí)對(duì)象完全透明，就看不見了。把255改成255*s, 單擊確定關(guān)閉對(duì)話框。則單擊動(dòng)畫s的按鈕的副鈕時(shí)s變成0，對(duì)象就看不見了。單擊主鈕時(shí)s變?yōu)?，對(duì)象顯示出來(lái)。 這就是用動(dòng)畫按鈕控制對(duì)象隱藏顯示的基本方法。（7） 制作“顯示或隱藏輔助線”按鈕的方法可以同上。但由于對(duì)象較多，可以用下面的方法

37、加以簡(jiǎn)化。同理作參數(shù)t的動(dòng)畫按鈕，按鈕文本寫成“顯示或隱藏輔助線”。選擇點(diǎn)H，同上在H的屬性對(duì)話框里把它的Alpha通道表達(dá)式改為255*t，則t的變化可控制點(diǎn)H的隱藏或顯示。對(duì)點(diǎn)I和J的屬性作同樣設(shè)置。本來(lái)，對(duì)其他輔助線也可以一一設(shè)置其Alpha通道表達(dá)式。但要設(shè)置的對(duì)象較多，共有6條線段和1個(gè)圓，要設(shè)置7次。用改變顏色亮度的方法也能達(dá)到同樣的效果，操作如下：選擇線段HA、HC、IA、IB、JB、JC和圓G, 執(zhí)行菜單命令“編輯|對(duì)象的畫筆、畫刷和字體|對(duì)象的畫筆”，打開畫筆屬性對(duì)話框。在“線寬、顏色”欄選擇“動(dòng)態(tài)顏色”，打開動(dòng)態(tài)顏色對(duì)話框。在“顏色類型”欄里，選擇HLS顏色空間；再在下面的

38、“Green(Lightness)”行的空白里，填上1-t ,如圖2-74。再單擊確定。 圖2-74 這里解釋一下：“Green(Lightness)”是“綠色（亮度）”，意思是這一行的參數(shù)，在選擇RGB顏色空間時(shí)表示綠色的指數(shù)，而選擇HLS顏色空間時(shí)則表示亮度的指數(shù)。當(dāng)前我們選擇的是后者，所以1-t就是亮度指數(shù)。t為0時(shí)亮度指數(shù)為1，對(duì)象為白色；t為1時(shí)亮度指數(shù)為0，對(duì)象為黑色。 這樣，參數(shù)t的動(dòng)畫按鈕就同時(shí)控制了3個(gè)點(diǎn)、6條線段和1個(gè)圓的隱藏和顯示。 其實(shí)，只要調(diào)用文本命令中對(duì)象組函數(shù) Group(, , , , )，把這些對(duì)象的編號(hào)作為參數(shù)天進(jìn)去，運(yùn)行后就把這些對(duì)象變成一組。在對(duì)象工作區(qū)

39、單擊此對(duì)象組前的小方框，就能夠隱藏或顯示這些對(duì)象。做成按鈕顯得神氣一點(diǎn)，可也多了一番辛苦。 不過(guò)，醉翁之意不在酒，我們借制作隱藏顯示按鈕的工作，了解一下有關(guān)“動(dòng)態(tài)Alpha”和“動(dòng)態(tài)顏色”的運(yùn)用，倒是有更多的收獲。習(xí)題2-8作三角形ABC和它的三條中線以及三個(gè)角的平分線。再作一個(gè)按鈕控制它們的隱藏和顯示，使得單擊主鈕顯示綠色中線，單擊副鈕顯示紅色角平分線。（有關(guān)作角平分線的操作，可用文本作圖命令，參看圖2-75；中線和較平分線的顯示隱藏，動(dòng)態(tài)顏色可選RGB系統(tǒng)。 圖2-75例3：用面積剪拚說(shuō)明勾股定理 勾股定理是幾何學(xué)的一條特別重要的定理，被譽(yù)為“幾何學(xué)的基石”。愛因斯坦晚年回憶中提到的在12

40、歲時(shí)學(xué)到的幾何定理，一個(gè)是上面說(shuō)的垂心定理，另一個(gè)就是勾股定理。為了獨(dú)立證明這個(gè)定理，他花了三個(gè)星期。雖然這是一個(gè)古老得有二千多年歷史的定理，但是愛因斯坦經(jīng)過(guò)一番努力總算得到了結(jié)果，他第一次體會(huì)到科學(xué)發(fā)現(xiàn)時(shí)的欣喜。 勾股定理的證法有400多種之多。最早的證明是由古代的中國(guó)數(shù)學(xué)家作出的。中國(guó)數(shù)學(xué)家后來(lái)又用面積剪拚的方法給出多種證明。用計(jì)算機(jī)動(dòng)畫說(shuō)明勾股定理的作品很多，大多是用了動(dòng)態(tài)幾何的平移或旋轉(zhuǎn)功能。 打開配套資源文件“2-28用面積剪拼說(shuō)明勾股定理”，如圖2-76中左部分。圖2-76中直角三角形兩條直角邊上的正方形被劃分成5塊。單擊5個(gè)綠色動(dòng)畫按鈕（左邊的一列），這5塊一一平移上去，把斜邊上

41、的正方形填滿，如圖2-76右邊附圖所示。 圖2-76 制作這樣的動(dòng)畫，關(guān)鍵當(dāng)然是創(chuàng)意，是剪拚的設(shè)計(jì)。在技術(shù)上，主要是實(shí)現(xiàn)多邊形的平移運(yùn)動(dòng)。具體操作步驟如下：（1） 作直角三角形ABC，方法有二：可以用“畫筆”功能先畫線段AB，繼續(xù)向垂直于AB的方向畫線，出現(xiàn)“垂直”提示時(shí)松開鼠標(biāo)完成直角ABC,再按下鼠標(biāo)繼續(xù)畫完三角形。也可以先作出線段AB，選擇線段AB后執(zhí)行菜單命令“作圖|常見多邊形|直角三角形”即可。兩種方法作出的直角三角形，斜邊都是AC。如果希望按習(xí)慣把斜邊標(biāo)注為AB，可以雙擊點(diǎn)B使它轉(zhuǎn)為可編輯狀態(tài)（如圖2-77），將B改為C, 同法將C改為B。 圖2-77 圖2-78（2） 在三角形的

42、各邊上作正方形：順次選擇A、B, 執(zhí)行菜單命令“作圖|常見多邊形|正方形”即可。再順次選擇C、A和B、C,分別作出另兩個(gè)正方形，如圖2-78。（3） 作剪拼分劃：有多種方法實(shí)現(xiàn)圖2-14中的剪拼分劃。只要注意到BJAE, JLAB并且FKAB即可。點(diǎn)J、L、K的作圖當(dāng)然可以使用“畫筆”功能來(lái)實(shí)現(xiàn)，但利用平移來(lái)作更具啟發(fā)性：順次選擇點(diǎn)D、B, 在右鍵菜單中單擊“選定平移向量”，這就確定了平移的距離和方向。選擇線段AB、點(diǎn)B和線段BD，在右鍵菜單中單擊“平移幾何對(duì)象”，作出線段AB、點(diǎn)B和線段BD的平移復(fù)制圖像，再作出HC和復(fù)制線段的交點(diǎn)K，如圖2-79。平移復(fù)制的線段在圖中用灰色表示。 圖2-7

43、9 圖2-80順次選擇點(diǎn)A、F, 在右鍵菜單中單擊“目前正在使用的平移向量(即原來(lái)選定平移向量所在位置)”，重新確定了平移的距離和方向。選擇線段AB，在右鍵菜單中單擊“平移幾何對(duì)象”，作出線段AB平移復(fù)制圖像，再作出AC和復(fù)制線段的交點(diǎn)L，如圖2-80。為了美觀，可以選擇過(guò)K和過(guò)L的兩條復(fù)制線段在右鍵菜單中單擊“隱藏”將它們隱去；再作線段FL和KJ。并且在屬性對(duì)話框里將線段FL、KJ、BJ的類型改為虛線，如圖2-80。（4） 下面來(lái)把3個(gè)三角形BIJ、JHK、FAL和兩個(gè)四邊形BCKJ、FGCL這5塊面積復(fù)制成可以運(yùn)動(dòng)的多邊形。以四邊形BCKJ為例，操作步驟為：順次選擇點(diǎn)B、C、K、J, 在右

44、鍵菜單中單擊“多邊形”，作多邊形BCKJ；作自由點(diǎn)M；它將帶著復(fù)制的多邊形平移運(yùn)動(dòng)；順次選擇點(diǎn)J、M后在右鍵菜單中單擊“選定平移向量”(如果前面選過(guò)平移向量，此處顯示為“目前正在使用的平移向量”)； 選擇多邊形BCKJ, 在右鍵菜單中單擊“平移幾何對(duì)象”，作出多邊形BCKJ的平移復(fù)制圖像。注意，復(fù)制圖像中點(diǎn)M對(duì)應(yīng)于原圖中的點(diǎn)J。 這時(shí)，拖動(dòng)點(diǎn)M時(shí)復(fù)制的圖像就會(huì)跟著平移了。（5） 同(4)，分別作多邊形BIJ、JHK、FGCL和FAL；分別作自由點(diǎn)N、P、Q和R；分別對(duì)應(yīng)于平移向量BN、JP、FQ和FR 作四個(gè)多邊形的平移復(fù)制圖像，如圖2-81。 圖2-81 這幾步操作中，要注意作自由點(diǎn)時(shí)圖中有

45、沒(méi)有線段變色。如有，作出的就不是自由點(diǎn)而是線段的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)了。因?yàn)閳D上的線段已經(jīng)很多，容易碰上。為了避免這種錯(cuò)誤，可以先執(zhí)行菜單命令“查看|智能畫筆的類型|只能作自由點(diǎn)”，就放心了。（6） 作動(dòng)畫，使5塊復(fù)制多邊形拼成斜邊上的正方形：順次選擇點(diǎn)M、B, 在右鍵菜單中單擊“動(dòng)畫”，再在屬性設(shè)置對(duì)話框上單擊確定，作出一個(gè)M運(yùn)動(dòng)到B的動(dòng)畫按鈕。以后單擊此按鈕，將會(huì)驅(qū)動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到B處，從而把四邊形BCKJ的復(fù)制圖形拼到斜邊上的正方形的B角處。類似地，順次選擇點(diǎn)N、E, 作出N運(yùn)動(dòng)到E的動(dòng)畫按鈕；同法作出P運(yùn)動(dòng)到D，Q運(yùn)動(dòng)到E，R運(yùn)動(dòng)到A的動(dòng)畫按鈕。單擊這些按鈕時(shí)，5塊復(fù)制的圖形就把斜邊上的正方形拼滿

46、了。（7） 還要再作5個(gè)動(dòng)畫按鈕，讓這5塊圖形能夠回到兩條直角邊上的正方形里。為了便于操作，先用鼠標(biāo)把這5塊分別拖開到空白處。你容易想到，只要依照上面的操作，分別作出M運(yùn)動(dòng)到J，N運(yùn)動(dòng)到B，P運(yùn)動(dòng)到J，Q運(yùn)動(dòng)到F和R運(yùn)動(dòng)到F的動(dòng)畫按鈕就好了。最后，給幾塊復(fù)制的多邊形填上顏色，添上標(biāo)題文本，就成功了。習(xí)題2-9制作動(dòng)畫，用其他的剪拼方法，說(shuō)明勾股定理（圖2-82就是一種方法）。 圖2-82習(xí)題2-10 制作動(dòng)畫，用其他的剪拼方法，說(shuō)明余弦定理，如圖2-83。參看配套資源文件“2-29用面積剪拼說(shuō)明余弦定理”。圖2-83習(xí)題2-11 制作動(dòng)畫，用剪拼方法“驗(yàn)證平方差公式”（圖2-84）。圖2-84

47、 習(xí)題2-12 制作動(dòng)畫，用剪拼方法“三角形內(nèi)角定理”（圖2-85）。圖2-85 例4：檢驗(yàn)全等三角形 全等三角形是平面幾何的重要概念。在幾何計(jì)算和推理過(guò)程中常常用到全等三角形的有關(guān)知識(shí)。在前面面積剪拼的設(shè)計(jì)中，就要能夠判斷出哪些三角形或四邊形是全等的。如果在圖形上能夠先看出猜出哪些三角形是全等的，對(duì)問(wèn)題的解決有時(shí)就會(huì)有引導(dǎo)和啟發(fā)作用。 對(duì)于用超級(jí)畫板畫筆和作圖菜單作出的屏幕上的幾何圖形，可以通過(guò)測(cè)量來(lái)檢驗(yàn)兩個(gè)兩個(gè)三角形是否全等；也可以將其中一個(gè)三角形復(fù)制成可以運(yùn)動(dòng)的圖形和另一個(gè)三角形進(jìn)行比較。 打開配套資源文件“ 2-29全等三角形的檢驗(yàn)”，如圖2-86。 圖2-86從文字說(shuō)明知道，圖中AB

48、D和BCE是等邊三角形，DBEF是平行四邊形。要證明的是ACF也是等邊三角形。為此，只要證明ADF、ABC和FEC全等。由條件可知有 AD=AB=BD=FE 和 DF=BE=CE=BC, 我們?cè)贆z驗(yàn)一下是否有AF=AC=CF或ADF=ABC=FEC。若不成立，命題就不對(duì)，不用考慮了。 拖動(dòng)點(diǎn)A、B或C，觀察圖中左邊的數(shù)據(jù)，看到數(shù)據(jù)雖然隨著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而變化，但總有ADF=FEC和AF=FC。 綠色的GKH是ADF的復(fù)制品。單擊右邊的第一個(gè)動(dòng)畫按鈕，點(diǎn)G 就帶著GKH運(yùn)動(dòng)到F處。拖動(dòng)點(diǎn)H，讓GKH繞G旋轉(zhuǎn)，可以檢驗(yàn)GKH和FEC看起來(lái)是否全等。類似地，單擊第二個(gè)動(dòng)畫按鈕，點(diǎn)G 就帶著GKH運(yùn)動(dòng)到A處

49、, 可以檢驗(yàn)它和ABC看起來(lái)是否全等。 下面說(shuō)明這個(gè)文件的構(gòu)建過(guò)程，重點(diǎn)是測(cè)量操作和GKH的復(fù)制方法。 （1） 用畫筆功能，作任意三角形ABC。（2） 順次選擇點(diǎn)A、B, 執(zhí)行菜單命令“作圖|常見多邊形|等邊三角形”，作出等邊三角形ABC；再選擇點(diǎn)B、C, 同法作出等邊三角形BCE。（3）順次選擇點(diǎn)D、B、E, 執(zhí)行菜單命令“作圖|常見多邊形|平行四邊形”，作出平行四邊形DBEF。（4）順次選擇點(diǎn)F、E、C, 執(zhí)行菜單命令“測(cè)量|角的值”，作出FEC的測(cè)量數(shù)據(jù)；同法作出ADF的測(cè)量數(shù)據(jù)。（5）選擇點(diǎn)F、C（或線段FC）, 執(zhí)行菜單命令“測(cè)量|線段或向量的長(zhǎng)度”，作出線段FC長(zhǎng)度的測(cè)量數(shù)據(jù)；同法

50、作出AF的測(cè)量數(shù)據(jù)。（6）作自由點(diǎn)G；自G向任意方向拖動(dòng)鼠標(biāo)畫線段，當(dāng)出現(xiàn)提示“相等”并且線段AF、AC或CF中有一個(gè)變色時(shí)松開鼠標(biāo)，作出長(zhǎng)度等于AF(或AC、CF)的線段GH。（也可以用另外的方法作出以G為一個(gè)端點(diǎn)的，長(zhǎng)度等于AF的線段。 辦法是以G為心作一個(gè)半徑為AF的圓，在圓上取一點(diǎn)H, 再作線段GH并隱藏圓。具體操作是調(diào)用文本作圖命令中的圓和圓弧類函數(shù)CircleOfRadius(, , )， 其中第一個(gè)參數(shù)是圓心，即點(diǎn)G的編號(hào)；第二個(gè)參數(shù)是半徑，即線段AF的長(zhǎng)度；根據(jù)上面的測(cè)量順序，這個(gè)長(zhǎng)度的參數(shù)記號(hào)是m003；運(yùn)行后即作出圓。）（7）測(cè)量線段DA的長(zhǎng)度(m004)；再執(zhí)行菜單命令“

51、測(cè)量|測(cè)量表達(dá)式”，在打開的對(duì)話框上方鍵入m004/m003（m003是AF的測(cè)量值）, 測(cè)量出兩線段長(zhǎng)度的比DA/AF（m005）；再選擇點(diǎn)D、A、F, 執(zhí)行菜單命令“測(cè)量|角的值”測(cè)出DAF的值（m006）。這些值在下面復(fù)制ADF時(shí)要用。（8）調(diào)用文本作圖命令作點(diǎn)函數(shù)中的PointFlexRotate(, , , , )（點(diǎn)繞點(diǎn)縮放旋轉(zhuǎn)），其中參數(shù)順次取點(diǎn)H的編號(hào)，點(diǎn)G的編號(hào)，縮放比例m005（即比值DA/AF）和旋轉(zhuǎn)角m006*180/pi (注意，角度的測(cè)量值在內(nèi)部的單位是弧度，而這個(gè)函數(shù)要求的參數(shù)是角度數(shù)。不過(guò)，填錯(cuò)了不要緊，作圖后在對(duì)象的屬性對(duì)話框里可以修改)。運(yùn)行后作出點(diǎn)I ,

52、再連接線段GI和HI。這時(shí)IG/GH=m005=DA/AF并且IGH=DAF。由于GH=AF,得IG=DA,所以GIH全等于ADF。（如果旋轉(zhuǎn)角參數(shù)變號(hào)為 m006*180/pi, 做出的三角形GIH仍然全等于ADF，但方向不同，不能經(jīng)過(guò)平移旋轉(zhuǎn)而重合）。（9）選擇點(diǎn)G、F, 在右鍵菜單中單擊“動(dòng)畫”，作出G運(yùn)動(dòng)到F的動(dòng)畫按鈕；同法作出G運(yùn)動(dòng)到A的動(dòng)畫按鈕。（10）最后染色修飾，添加標(biāo)題和說(shuō)明。上面的操作中，值得注意的是把三角形復(fù)制成可以平移旋轉(zhuǎn)的圖形的方法。如果要把一個(gè)多邊形復(fù)制成可以平移旋轉(zhuǎn)的圖形，用類似的方法就太麻煩了。有關(guān)的操作請(qǐng)?jiān)谙旅娴牧?xí)題中完成。習(xí)題2-13 執(zhí)行下面的操作，了解把

53、一個(gè)多邊形復(fù)制成可以平移旋轉(zhuǎn)的圖形的方法。（1） 作自由點(diǎn)A、B、C、D、E和線段AB；（2） 作自由點(diǎn)F和長(zhǎng)度等于AB的線段FG；（3） 選定平移向量AF，將點(diǎn)B平移復(fù)制得點(diǎn)H；（4） 順次選擇點(diǎn)H、F、G；執(zhí)行菜單命令“測(cè)量|方向角”，測(cè)得數(shù)據(jù)m000；（5） 作多邊形ABCDE；（6） 調(diào)用文本作圖命令中圖形變換類函數(shù)TranslateRotate(, , , , , )（平移旋轉(zhuǎn)），其參數(shù)順次為：要復(fù)制的對(duì)象的編號(hào)，平移向量起點(diǎn)編號(hào)，平移向量終點(diǎn)編號(hào)，旋轉(zhuǎn)中心編號(hào)，旋轉(zhuǎn)角。按當(dāng)前的作圖順序，這些參數(shù)為17, 5, 11, 11, m000。文本命令運(yùn)行后作出的復(fù)制多邊形有一邊和線段FG重合，如圖2-8