利用零點(diǎn)分段法解含多絕對(duì)值不等式

1、！利用零點(diǎn)分段法解含多絕對(duì)值不等式對(duì)于含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值不等式的求解問題，不少同學(xué)感到無從下手，下面介紹一種通法零點(diǎn)分段討論法一、步驟通常分三步：找到使多個(gè)絕對(duì)值等于零的點(diǎn)分區(qū)間討論，去掉絕對(duì)值而解不等式一般地n個(gè)零點(diǎn)把數(shù)軸分為n1 段進(jìn)行討論將分段求得解集，再求它們的并集二、例題選講例1 求不等式|x2|x1|3的解集分析：據(jù)絕對(duì)值為零時(shí)x的取值把實(shí)數(shù)分成三個(gè)區(qū)間，再分別討論而去掉絕對(duì)值從而轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的不等式解： |x2|，|x1|故可把全體實(shí)數(shù)x分為三個(gè)部分：x2，2x1，x1所以原不等式等價(jià)于下面三個(gè)不等式組：() ，或() ，或() 不等式組()的解集是x|x2，不等式組(

2、)的解集是，不等式組()的解集是x|x1綜上可知原不等式的解集是x|x2或x1例2 解不等式|x1|2x|3x解：由于實(shí)數(shù)1，2將數(shù)軸分成(，1，(1，2，(2，)三部分，故分三個(gè)區(qū)間來討論 當(dāng)x1時(shí)，原不等式可化為(x1)(x2)x3，即x0故不等式的解集是x|x0 當(dāng)1x2時(shí)，原不等式可化為(x1)(x2)x3，即x2故不等式的解集是 當(dāng)x2時(shí)，原不等式可化為(x1)(x2)x3，即x6故不等式的解集是x|x6綜上可知，原不等式的解集是x|x0或x6例3 已知關(guān)于x的不等式|x5|x3|a的解集是非空集合，求a的取值范圍解： x5時(shí)，|x5|0；x3時(shí)，|x3|0當(dāng)x3時(shí)，原不等式可化為x

3、5x3a，即a82x，由x3，所以2x6，故a2當(dāng)3x5時(shí)，原不等式可化為x5x3a，即a2當(dāng)x5時(shí)，原不等式可化為x5x3a，即a2x81082，故a2綜上知a2無理不等式與絕對(duì)值不等式考試目標(biāo) 主詞填空1.含有絕對(duì)值的不等式|f(x)|<a(a>0),去掉絕對(duì)值后，保留其等價(jià)性的不等式是a<f(x)<a.|f(x)|>a(a>0),去掉絕對(duì)值后，保留其等價(jià)性的不等式是f(x)>a或f(x)<a.|f(x)|>|g(x)| f2(x)>g2(x).2.無理不等式對(duì)于無理不等式的求解，通常是轉(zhuǎn)化為有理不等式(或有理不等式組)求解.其基

4、本類型有兩類: .3.含有多個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的不等式，通常是“分段討論”，去掉絕對(duì)值符號(hào).4.某些無理不等式和絕對(duì)值不等式，可用“換元法”或圖像法求解.5.三角不等式|a|b|a±b|a|+|b|,此不等式可推廣如下：|a1+a2+a3+an|a1|+|a2|+|a3|+|an|當(dāng)且僅當(dāng)a1,a2,a3,an符號(hào)相同時(shí)取等號(hào). 題型示例 點(diǎn)津歸納【例1】 解無理不等式.(1)>2;(2) >2x4;(3) <2x+1.【解前點(diǎn)津】 (1)因2>0,故原不等式可化為不等式組:.(2)因右邊2x符號(hào)不定，故須分兩種情況討論,(3)與(2)類似，也須討論.【規(guī)范解答】

5、(1)化原不等式為:.(2)化原不等式為:.(3)化原不等式為兩個(gè)不等式組: .【解后歸納】 將無理不等式轉(zhuǎn)化為有理不等式組，基本思路是分類討論，要注意解集的交、并運(yùn)算.對(duì)于那些復(fù)雜的無理不等式，一般情況下讀者不要去研究它，避免消耗太多精力.【例2】 解下列含有絕對(duì)值的不等式：(1)|x24|x+2;(2)|x+1|>|2x1|;(3)|x1|+|2x+1|<4.【解前點(diǎn)津】 (1)可直接去掉絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為(x+2)x24(x+2);(2)兩邊平方，去掉絕對(duì)值符號(hào);(3)當(dāng)x=1,時(shí),有x1=0及2x+1=0,故可分段討論，去掉絕對(duì)值符號(hào).【規(guī)范解答】 (1)原不等式可化為:(

6、x+2)x24x+2.故原不等式的解集為1,32.(2)化原不等式為|x+1|2>|2x1|2 (2x1)2(x+1)2<0.(2x1+x+1)·(2x1x1)<03x·(x2)<00<x<2.(3)令x1=0得x=1,令2x+1=0得x=.當(dāng)x時(shí),原不等式可化為:(x1)(2x+1)<4.當(dāng)x時(shí),原不等式可化為:(x1)+(2x+1)<4.由<x1.當(dāng)x(1,+)時(shí),原不等式可化為:(x1)+(2x+1)<4,故由.綜上所述知:為原不等式解集.【解后歸納】 解含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值的不等式，一般方法是分段討論得

7、出原不等式解集的子集，最后取并集，如何分段?分幾段?這只須算出“分點(diǎn)”即可，即“絕對(duì)值”為0時(shí)的變量取值，n個(gè)不同的分點(diǎn)，將數(shù)軸分割成了(n+1)段.【例3】 若不等式的解集是(4,m),求a,m的值.【解前點(diǎn)津】 在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)y=(x0)及y=ax+(x0)的圖像.若y=的圖像位于y=ax+圖像的上方，則與之對(duì)應(yīng)的x的取值范圍就是不等式的解.【規(guī)范解答】 設(shè)y1=,它的圖像是半條拋物線;y2=ax+(x0),它的圖像是經(jīng)過點(diǎn)(0, ),斜率為a的一條射線.不等式的解即當(dāng)y1=的圖像在y2=ax+(x0)的圖像上方時(shí)相應(yīng)的x的取值范圍，因?yàn)椴坏仁浇饧癁?4,m),故方程有一個(gè)解為

8、4,將x=4代入得:.再求方程的另一個(gè)解，得:x=36,即m=36.【解后歸納】 用圖像法解不等式，須在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖像，且圖像必須在“公共定義域內(nèi)”，要確定那一部分的圖像對(duì)應(yīng)于不等式的解集.【例4】 解不等式|log2x|+|log2(2x)|1.【解前點(diǎn)津】 從x的可取值范圍入手，易知0<x<2,當(dāng)x分別在及(1,2)上取值時(shí)，可同時(shí)去掉兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào).【規(guī)范解答】 x>0且2x>0故0<x<2時(shí)不等式才有意義.當(dāng)x時(shí),因log2x0,log2(2x)0,故此時(shí)原不等式為:log2x+log2(2x)1log2log22.當(dāng)x(1,2)時(shí),

9、因?yàn)閘og2x>0,log2(2x)<0,故此時(shí)原不等式為:log2xlog2(2x)1log2log22 .故原不等式的解集為.【解后歸納】 本題利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，去掉了絕對(duì)值符號(hào)，從而轉(zhuǎn)化為分式不等式組.5.2.3無理不等式的解法一、引入：1、無理不等式的類型：、二、典型例題：例1、解不等式例2、解不等式例3、解不等式例4、解不等式例5、 解不等式例6、解不等式三、小結(jié)：四、反饋練習(xí)：解下列不等式1 2 3 4 5 第6課 無理不等式與絕對(duì)值不等式習(xí)題解答1.C 對(duì)a=3進(jìn)行檢驗(yàn)，考慮不等式的幾何意義.2.C 利用x>0,化簡(jiǎn)另一個(gè)不等式.3.D 由0<<1

10、0<x3<13<x<4. 4.B 由4x20且x+1>0且4x2<(x+1)2<x2.5.B 分別畫出:y=,與y=2x+a的圖像，看圖作答. 6.B |xa|<,|ya|<|xy|=|(xa)(ya)|xa|+|ya|<+=2,當(dāng)|xy|<2時(shí),不能推出|xa|<且|ya|<.7.A 若0<a<b<c,且lga<lgb<lgc,又因?yàn)閨lga|>|lgc|>|lgb|>0,ac1(a+c)=ac+1ac=(c1)·(a1)<0,ac+1<a+c.

11、8.B 因x>0,當(dāng)log2x<0時(shí),不等式成立,此時(shí)0<x<1;當(dāng)log2x0時(shí),|2x+log2x|=2x+|log2x|.9.B ,當(dāng)0<x2時(shí),不等式成立,另由 .10.由(|x|1)·(|x|3)<01<|x|<3x(3,1)(1,3).11.由x0知,x20,( 2)·(+1)0020x4.12.考察y=,y=x+a的圖像,即直線y=x+a在半圓x2+y2=1(y0)上方a(,+).13.(1)化原不等式為:1<x3或x>3x>1.(2)化原不等式為:.14.原不等式等價(jià)于:或,解之:x<7或<x5或x>5,故原不等式解集為:(,7)(,+).15.由a(ax)0xa.(1)當(dāng)x>時(shí),a2x<0,不等式成立,故<xa;(2)當(dāng)x時(shí),a2x0