數(shù)學(xué)分析-Taylor公式與科學(xué)計(jì)算

1、編輯ppt Taylor公式與科學(xué)計(jì)算公式與科學(xué)計(jì)算 -從導(dǎo)數(shù)的數(shù)值計(jì)算談起從導(dǎo)數(shù)的數(shù)值計(jì)算談起 編輯pptTaylor公式與科學(xué)計(jì)算公式與科學(xué)計(jì)算 1. Taylor公式微積分頂峰公式微積分頂峰2. 計(jì)算機(jī)如何實(shí)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算計(jì)算機(jī)如何實(shí)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算3. 數(shù)值計(jì)算精度分析數(shù)值計(jì)算精度分析4. 計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)計(jì)算存在的問題計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)計(jì)算存在的問題5. Taylor公式解決問題公式解決問題6. 李查遜外推（李查遜外推（Richardson）7. Lagrange插值基本思想和方法插值基本思想和方法編輯pptTaylor公式：微分學(xué)頂峰公式：微分學(xué)頂峰)1()()(limoAxfAxf 可可微微

2、在在000)(),()(xxxfxxOBxxAxf 函數(shù)用常數(shù)（極限代替），誤差是無窮小函數(shù)用常數(shù)（極限代替），誤差是無窮小 )(!)(0000nknkkxxoxxkxfxf ()0( ),()nf xno xx-用 次多項(xiàng)式代替 產(chǎn)生誤差函數(shù)用一次多項(xiàng)式逼近，產(chǎn)生的誤差是高階無窮小函數(shù)用一次多項(xiàng)式逼近，產(chǎn)生的誤差是高階無窮小編輯ppt應(yīng)用舉例：用多項(xiàng)式逼近函數(shù)應(yīng)用舉例：用多項(xiàng)式逼近函數(shù))()!12()1(!7!5!3sin2121753nnnxoxnxxxxx 三角函數(shù)表哪里來？三角函數(shù)表哪里來？aylor 公式公式)()!2()1(!6!4!21cos122642 nnnxoxnxxxx編

3、輯ppt應(yīng)用舉例：用多項(xiàng)式逼近函數(shù)應(yīng)用舉例：用多項(xiàng)式逼近函數(shù)編輯ppt應(yīng)用舉例：用多項(xiàng)式逼近函數(shù)應(yīng)用舉例：用多項(xiàng)式逼近函數(shù)! 33xxy ! 33xxy xysin xy 編輯ppt應(yīng)用舉例：用多項(xiàng)式逼近函數(shù)應(yīng)用舉例：用多項(xiàng)式逼近函數(shù)xy xysin ! 33xxy ! 5! 353xxxy 編輯ppt導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)定義與數(shù)值計(jì)算導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)定義與數(shù)值計(jì)算導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)定義導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)定義計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 ()( )0limf x hf xhh()( )(/2)(/2)( )( )f x hf xhf x hf x hhf xf x 計(jì)算機(jī)無法實(shí)現(xiàn)無限次計(jì)算解決問題辦法是近似計(jì)算，

4、解決問題辦法是近似計(jì)算，有限次逼近無限次運(yùn)算有限次逼近無限次運(yùn)算編輯ppt數(shù)值計(jì)算精度分析數(shù)值計(jì)算精度分析計(jì)算精度分析計(jì)算精度分析22()()()/ 2()()()()()( )(1)fxhfxh fxo hfxhfxhfxhxffxo 無窮小階描述數(shù)學(xué)問無窮小階描述數(shù)學(xué)問題重要工具，不需要題重要工具，不需要精確數(shù)學(xué)表達(dá)式，僅精確數(shù)學(xué)表達(dá)式，僅需要對整體有個(gè)估計(jì)需要對整體有個(gè)估計(jì)(/2)(/2)( )( )( )f x hf x hhfxfxo h h越小，近似計(jì)越小，近似計(jì)算的精度越高算的精度越高編輯ppt計(jì)算實(shí)例計(jì)算實(shí)例 計(jì)算實(shí)例與存在的問題計(jì)算實(shí)例與存在的問題( )f xx2x h 逼近

5、值逼近值 2 0.3360 1 0.3564 0.2 0.3535 0.1 0.3530 0.02 0.3550 0.01 0.3500 0.002 0.3500 0.0010.3000 0.00020.3000注意到一個(gè)現(xiàn)象：注意到一個(gè)現(xiàn)象： (1) 從表中看出從表中看出 h=0.2時(shí)候計(jì)時(shí)候計(jì) 算效果最佳算效果最佳 (2) 取得比取得比 h=0.2 小時(shí)計(jì)算的小時(shí)計(jì)算的效果越來越差效果越來越差實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)學(xué)分析結(jié)論完全不一致！透過現(xiàn)象看本質(zhì)！編輯ppt數(shù)值運(yùn)算誤差的初步分析數(shù)值運(yùn)算誤差的初步分析n定義：假設(shè)定義：假設(shè) 為整數(shù)，為整數(shù)，如果如果 則稱則稱 有有n位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。111

6、010 ,nmjjjxm11102m nx x x3.1416的近似值的近似值 具有具有5位有效數(shù)字位有效數(shù)字 例例1：結(jié)論：有效數(shù)字是從第一位不等于結(jié)論：有效數(shù)字是從第一位不等于0的數(shù)算起！的數(shù)算起！ 編輯ppt數(shù)值運(yùn)算誤差的初步分析數(shù)值運(yùn)算誤差的初步分析2104)()(:922, 1 babax解解2991()100,10 ,1xab xab 例例021010,2101010104)(10100000000001. 0101 . 0110)(992991992910109 xxbaba求兩個(gè)實(shí)根，保留小數(shù)點(diǎn)后面位求兩個(gè)實(shí)根，保留小數(shù)點(diǎn)后面位1,10:291 xx精精確確解解為為b沒起作用，

7、“大數(shù)吃小數(shù)”!編輯ppt數(shù)值運(yùn)算誤差的初步分析數(shù)值運(yùn)算誤差的初步分析.),2(),cos1(10)(:207要要求求保保留留四四位位計(jì)計(jì)算算設(shè)設(shè)例例gxxg 61250175. 0102)2(2sin102)(:1:27027 gxxg方方法法解解 6000994. 01102cos110)2(:27070 g方方法法方法和方法哪個(gè)更精確？方法和方法哪個(gè)更精確？編輯ppt數(shù)值運(yùn)算誤差的初步分析數(shù)值運(yùn)算誤差的初步分析0006. 02cos1,cos0 有有四四位位有有效效數(shù)數(shù)字字假假如如x兩個(gè)相近的數(shù)相減有效數(shù)字會嚴(yán)重?fù)p失！兩個(gè)相近的數(shù)相減有效數(shù)字會嚴(yán)重?fù)p失！尋求補(bǔ)救辦法！尋求補(bǔ)救辦法！編輯p

8、ptTaylor公式解決問題公式解決問題 23(3)23(3)2(4)42()( )( )( )( ) .( )23!()( )( )( )( ) .( )23!()()( )( )( ).()23!5!由公 式nnnTaylorhhf x hf xf xhf xfxohhhf x hf xf xhf xfxohf x h f x hf xhfxhf xohh 編輯pptTaylor公式解決問題公式解決問題12(4)422(4)4242412()()( )2( )( )( )( ).()3!5!( )( )( )( /2).()2(3!)2(5!)( /2)4( )( ).()14( /2)4

9、nnnf xhf xhG hhfx hfx hfxG ho hfx hfx hfxG ho hG hG hfxc ho hG hG 1321( ),()14G hfxGo h 看到看到解決解決問題問題希望希望編輯pptTaylor公式解決問題公式解決問題 11( )( )/2414mmmmmG hG hGhGhGh將上述方法推廣到一般情況將上述方法推廣到一般情況數(shù)學(xué)歸納法，善于歸納一般結(jié)論數(shù)學(xué)歸納法，善于歸納一般結(jié)論編輯pptTaylor公式與導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式與導(dǎo)數(shù)計(jì)算)2(hG2( )G h3G (h)4( )G h2( )2hG3( )2hG2()2hG22()2hG3()2hG計(jì)算過程分析計(jì)

10、算過程分析 (6)(9)(3)(5)(8)(hG(10)(1)(2)(4) (7)計(jì)算過程相當(dāng)于計(jì)算過程相當(dāng)于半二次循環(huán)！半二次循環(huán)！編輯pptTaylor公式解決問題公式解決問題 計(jì)算計(jì)算 的一階導(dǎo)數(shù)值，的一階導(dǎo)數(shù)值， 實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下： ( ),f xctgx(0.004) 625.33344002fhG1G2G4G0.0128696.6346914623.4601726625.3455055625.33342260.0064641.7538023625.2276722625.33361440.0032629.3592047635.32699020.0016626.3350438編

11、輯ppt李查遜外推（李查遜外推（Richardson） 李查遜外推（李查遜外推（Richardson） 假設(shè)假設(shè) 逼近逼近 有漸進(jìn)展開的形式：有漸進(jìn)展開的形式：( )f hf121( ),0.kpknkff hahppp11( )( )1,2,3,.( )( )( )1mmpmmmpf hf hmf qhq f hfhq(1)1mkpmmkkffah善于提煉善于提煉一般性問一般性問題，透過題，透過現(xiàn)象現(xiàn)象看本質(zhì)看本質(zhì)編輯ppt外推法和割圓術(shù)外推法和割圓術(shù)22sin2nrSnn設(shè)圓的內(nèi)接正設(shè)圓的內(nèi)接正n邊形面積為邊形面積為由由Taylor展開展開35721sin( 1)3!5!7!(21)!kk

12、xxxxxxk 從而從而1(1,)rhn編輯ppt外推法和割圓術(shù)外推法和割圓術(shù)2462123knkSc hc hc hc h462,12234133knnnkSSShhh 24622123( )( )( )( )2222knkhhhhScccc其截?cái)嗾`差為其截?cái)嗾`差為 ，令，令2()O h4()O h其截?cái)嗾`差為其截?cái)嗾`差為 編輯ppt外推法和割圓術(shù)外推法和割圓術(shù)62,22 ,1,131611515knnnkSSShh 4622 ,123( )( )( )222knkhhhS其截?cái)嗾`差為其截?cái)嗾`差為 6()O h,2 ,12 ,1,11()41n kn kn kn kkSSSS最后得最后得Ri

13、chardson外推公式外推公式 編輯ppt外推法和割圓術(shù)外推法和割圓術(shù)1010 表格比較了外推法和常規(guī)方法表格比較了外推法和常規(guī)方法4105106108109101010111012101310141012896-806448403224n215606374275345741605275423460160734816276n1可以看到對逼近精度為可以看到對逼近精度為 時(shí)時(shí),用用Richardson外推方法僅需計(jì)算圓的內(nèi)接外推方法僅需計(jì)算圓的內(nèi)接80正邊形面積，而正邊形面積，而用常規(guī)公式經(jīng)需要內(nèi)接用常規(guī)公式經(jīng)需要內(nèi)接7542邊形，在逼近精度邊形，在逼近精度為為 時(shí)，時(shí)， Richardson

14、外推法的優(yōu)勢更明顯外推法的優(yōu)勢更明顯.1410編輯ppt外推法和割圓術(shù)外推法和割圓術(shù)編輯ppt外推法和割圓術(shù)外推法和割圓術(shù)編輯ppt外推法和割圓術(shù)外推法和割圓術(shù)編輯ppt外推法和割圓術(shù)外推法和割圓術(shù)編輯ppt外推法和割圓術(shù)外推法和割圓術(shù)Richardson外推法計(jì)算圓周率快速的提外推法計(jì)算圓周率快速的提高了計(jì)算精度，尤其在高精度逼近時(shí)其收高了計(jì)算精度，尤其在高精度逼近時(shí)其收斂速度是常規(guī)方法無法比擬的。斂速度是常規(guī)方法無法比擬的。編輯ppt數(shù)值運(yùn)算誤差的初步分析數(shù)值運(yùn)算誤差的初步分析n用計(jì)算機(jī)表示任何數(shù)字只能是有限位，計(jì)算機(jī)用計(jì)算機(jī)表示任何數(shù)字只能是有限位，計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)任何運(yùn)算都會有舍入誤差，在科

15、學(xué)計(jì)算中實(shí)現(xiàn)任何運(yùn)算都會有舍入誤差，在科學(xué)計(jì)算中必須充分重視舍入誤差對計(jì)算結(jié)果的影響，這必須充分重視舍入誤差對計(jì)算結(jié)果的影響，這也是科學(xué)計(jì)算重要而十分艱難的重要研究課題。也是科學(xué)計(jì)算重要而十分艱難的重要研究課題。n因此在計(jì)算機(jī)計(jì)算的過程中應(yīng)該避免兩個(gè)相近因此在計(jì)算機(jī)計(jì)算的過程中應(yīng)該避免兩個(gè)相近數(shù)字的減法運(yùn)算。任何一個(gè)工程或者科學(xué)問題，數(shù)字的減法運(yùn)算。任何一個(gè)工程或者科學(xué)問題，其數(shù)值計(jì)算的次數(shù)是巨大和海量的，我們必須其數(shù)值計(jì)算的次數(shù)是巨大和海量的，我們必須設(shè)計(jì)有效的算法控制舍入誤差的傳播。設(shè)計(jì)有效的算法控制舍入誤差的傳播。編輯pptLagrangeLagrange插值基本思想插值基本思想 ( (

16、 ) )(),1,2,3, .niiinP xyf xin= = = =K K構(gòu)構(gòu)造造 次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式滿滿足足編輯pptLagrange插值算法和誤差估計(jì)插值算法和誤差估計(jì)1.1,()1,2,3, .0,kikilxknki = = = K K構(gòu)造n個(gè)n次多項(xiàng)式，稱之為基函數(shù)構(gòu)造n個(gè)n次多項(xiàng)式，稱之為基函數(shù)，011101110()()()()()( )()()()()()kknkkkkkkkknnjjkjj kxxxxxxxxxxlxxxxxxxxxxxxxxx 編輯ppt0002.Lagrange( )( )nnnjnkkkkkjkjj kxxP xlx yyxx插值多項(xiàng)式為插值多項(xiàng)式為

17、Lagrange插值算法和誤差估計(jì)插值算法和誤差估計(jì) (1)110( )( )( ),(1)!( )()nnnnnnjjffxPxRxxnxxx3 3. .誤誤差差估估計(jì)計(jì) Lagrange插值是否插值是否隨著插值隨著插值節(jié)點(diǎn)的增節(jié)點(diǎn)的增加確保收加確保收斂斂,在什么在什么條件下收條件下收斂斂?編輯ppt樣條插值逼近算法基本思想樣條插值逼近算法基本思想 0121121.),.) ( ),1,2,3, .) ( ),.kiiaa baxxxxbb s xxxikc s xCa b4 4三次樣條函數(shù)的定義三次樣條函數(shù)的定義分割分割在每個(gè)子區(qū)間上是三次多項(xiàng)式,在每個(gè)子區(qū)間上是三次多項(xiàng)式,滿足上述性質(zhì)的

18、函數(shù)集合記為S滿足上述性質(zhì)的函數(shù)集合記為S 樣條函數(shù)體現(xiàn)了分段函數(shù)的思想樣條函數(shù)體現(xiàn)了分段函數(shù)的思想編輯ppt樣條函數(shù)的表達(dá)式樣條函數(shù)的表達(dá)式 323012311.0;00.2.( )/6,00 ,.mmkiiiiiiiuuuus xxxxxxaxbsxsxxa b+ +考慮一類跳躍函數(shù)考慮一類跳躍函數(shù) 樣條函數(shù)的表達(dá)式樣條函數(shù)的表達(dá)式 編輯ppt樣條插值逼近定義與算法樣條插值逼近定義與算法 40101,0,1,2,1;,.,0,1,2,1,.iikiiks xSs xy iksays byyfxikyfayfb求滿足求滿足 編輯ppt樣條插值逼近定義與算法樣條插值逼近定義與算法 411110010001111111,1, 2, 3,12,1, 2,26,226.,1,1, 2,.6iijjjjjjkkkkkkkjjjjjjjjjjjjjjsxSMsxikMMMdjkyyMMyhhyyMMyhhhhxxjkhhyyydh假假 設(shè)設(shè)這這 里里 1111,1, 2,jjjjyhhjkh 編輯ppt三次樣條插值逼近誤差估計(jì)三次樣條插值逼近誤差估計(jì) 4411,max.iii kfx