高中數(shù)學(xué)《空間向量及其運(yùn)算》文字素材1 新人教A版選修2-1

1、從三個(gè)方面談空間向量立體幾何引入空間向量使得幾何問(wèn)題代數(shù)化，很多復(fù)雜的幾何問(wèn)題得以迎刃而解但不少學(xué)生對(duì)空間向量的學(xué)習(xí)把握不準(zhǔn)確，不知道要掌握到什么程度，拓寬到什么程度本文從“轉(zhuǎn)、基、法”三方面談空間向量必須掌握之處，供參閱一、“轉(zhuǎn)”“轉(zhuǎn)”即轉(zhuǎn)化，即向量之間的相互表示；難點(diǎn)在于怎樣有效地用已知向量來(lái)表示未知向量正如三角函數(shù)求值中角的相互“轉(zhuǎn)化”，怎樣用已知角來(lái)代換未知角難點(diǎn)突破：尋找已知向量來(lái)表示所要求的向量往往立竿見(jiàn)影或者利用分析法，根據(jù)所要求證的向量來(lái)表示要轉(zhuǎn)化的向量例1如圖1，在空間四邊形ABCD中，如果，求證：證明：由，得，即，取CD的中點(diǎn)E，連結(jié)AE和BE，則上式化為，得，即所以評(píng)注：

2、要得到，需從條件中構(gòu)造，解答中的移項(xiàng)使得構(gòu)造得以實(shí)現(xiàn)二、“基”“基”即基底，由空間向量基本定理，可知空間任一向量可由不共面的三個(gè)向量來(lái)表示用基底的眼光看問(wèn)題會(huì)使得空間向量的表示簡(jiǎn)潔明朗化例2已知正四面體，、分別為、的中點(diǎn)，求與所成角的余弦值解：設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為1，如圖2設(shè)，則，OE與BF所成的角的余弦值為評(píng)注：基底的取法還有很多，以，三向量為基底來(lái)表示其它向量，可使問(wèn)題輕松獲解三、“法”法向量求法：設(shè)，找平面內(nèi)兩相交向量a、b，再作，得兩方程，三個(gè)未知量?jī)蓚€(gè)方程，一般通過(guò)取定z的值來(lái)定法向量，方向朝上，方向朝下法向量的應(yīng)用：（一）利用平面法向量求線面角方法：如圖3，AB為平面的斜線，n為平面

3、的法向量如果與n之間所成的角為銳角，則斜線AB與平面之間所成的角為；若為鈍角（當(dāng)n方向朝另一面時(shí)，即與圖3的n反向時(shí)），則故欲求斜線AB與平面所成的角，只需求出向量與平面的法向量n之間的夾角即可總之例3在長(zhǎng)方體中，求直線和平面所成角的正弦值解：如圖4，以D為原點(diǎn)，以方向分別作為x軸、y軸、z軸的正方向，則，設(shè)平面的法向量，則，即故是其中一組解，即為其中一個(gè)法向量，所以故所求角的正弦值為（二）利用平面法向量求二面角的平面角方法：如圖5，平面的法向量所成的角即為二面角的平面角（或其補(bǔ)角）例4在正方體中，、分別是的中點(diǎn)，求平面和底面所成銳二面角的余弦值解：建立空間直角坐標(biāo)系，如圖6所示由例3的方法，

4、容易求得平面的法向量，底面的法向量，所以，即為所求角的余弦值（三）利用平面法向量求點(diǎn)到平面的距離方法：如圖7，求點(diǎn)P到平面的距離d，可以在平面上任意取一點(diǎn)，則（n為平面的法向量，方向如圖）若不知n與夾角為銳角或鈍角時(shí)，例5如圖8，四面體中，、分別是BD、BC的中點(diǎn)，（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離（1）證明：連結(jié)OC，在中，由已知可得，而，即，平面；（2）解：以為原點(diǎn)，如圖8建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)平面的法向量為，則令，得是平面的一個(gè)法向量又，點(diǎn)到平面的距離評(píng)注：求線面距、面面距時(shí)，可先轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距，再用此法求解（四）求異面直線的距離方法：先求出同時(shí)與兩異面直線垂直的向量n，然后在兩異面直線上分別任取點(diǎn)、，則。例6已知正方體的棱長(zhǎng)為1，求