專題6.5合情推理與演繹推理(解析版)

1、第六篇 不等式、推理與證明專題 6.5 合情推理與演繹推理【考綱要求】1 .了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，體會(huì)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用2 .了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單推理3 .了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異【命題趨勢(shì)】合情推理一般以新定義、新規(guī)則的形式考查集合、函數(shù)、不等式、數(shù)列等問(wèn)題；而演繹推理常結(jié)合函數(shù)、方程、不等式、解析幾何、立體幾何、數(shù)列等問(wèn)題中的證明來(lái)考查.【核心素養(yǎng)】本講內(nèi)容主要考查邏輯推理的核心素養(yǎng)，這是數(shù)學(xué)的核心，筆者認(rèn)為一定要引起重視。.【素養(yǎng)清單?基礎(chǔ)知識(shí)】1 合情推理(1) 歸納推理定義：由某類

2、事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理(簡(jiǎn)稱歸納)特點(diǎn)：由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理.(2) 類比推理定義：由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理稱為類比推理(簡(jiǎn)稱類比)特點(diǎn)：由特殊到特殊的推理.類比推理的注意點(diǎn)在進(jìn)行類比推理時(shí)要盡量從本質(zhì)上去類比，不要被表面現(xiàn)象迷惑，如果只抓住一點(diǎn)表面現(xiàn)象的相似甚至假象就去類比，那么就會(huì)犯機(jī)械類比的錯(cuò)誤(3) 合情推理歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我

3、們把它們統(tǒng)稱為合情推理合情推理的關(guān)注點(diǎn)(1)合情推理是合乎情理的推理.(2)合情推理既可以發(fā)現(xiàn)結(jié)論也可以發(fā)現(xiàn)思路與方向.2.演繹推理(1)演繹推理從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理.簡(jiǎn)言之，演繹推理是由一般到特殊的推理.演繹推理：常用來(lái)證明和推理數(shù)學(xué)問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)注意推理過(guò)程的嚴(yán)密性，書(shū)寫(xiě)格式的規(guī)范性(2)蘭段論”是演繹推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情況；結(jié)論根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷.【素養(yǎng)清單？常用結(jié)論】(1)合情推理的結(jié)論是猜想，不一定正確；演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確時(shí)，得到的結(jié)論一定正確.(2)

4、合情推理是發(fā)現(xiàn)結(jié)論的推理；演繹推理是證明結(jié)論的推理.【真題體驗(yàn)】1.【2019年高考全國(guó)I卷理數(shù)】古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是 41(召-0.618稱為黃金分割比例)，著名的 斷臂維納斯”便是如此.此外，最美人體的頭頂22至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比也是1! .若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例，且腿長(zhǎng)為105 cm,2頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為 26 cm,則其身高可能是()A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cm【答案】BA r頭頂S 咽喉D.190 cmC -肚臍D L足底【解析】方法一：如下圖所示依題意可知：AC ABCD 22腿長(zhǎng)

5、為105 cm得，即CDXQ5 ,J5-1CD >64.89, 2助二肥+孫6W+369.的,所以 AD>169.89.頭頂至脖子下端長(zhǎng)度為 26 cm,即AB<26,sc=AB有-1<42.07公刈+ 昭68.07 ，CD =AC<110.15+(7/)<68.07+110.15=178.22,所以二二綜上，葭；X ._.故選B.方法二：設(shè)人體脖子下端至肚臍的長(zhǎng)為x cm,肚臍至腿根的長(zhǎng)為 y cm,則生=學(xué)士=立二,得X 尸+1052工期42.07cm1了注5.15cm.又其腿長(zhǎng)為105cm,頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為26cm,所以其身高約為42.07+5.

6、15+105+26=178.22 ,接近 175cm.故選 B.【名師點(diǎn)睛】本題考查類比歸納與合情推理，滲透了邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取類比法，利用轉(zhuǎn)化思想解題.2 .【2017年高考全國(guó)II卷理數(shù)】甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問(wèn)成語(yǔ)競(jìng)賽的成績(jī).老師說(shuō)：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績(jī)，給乙看丙的成績(jī)，給丁看甲的成績(jī).看后甲對(duì)大家說(shuō)：我還是不知道我的成績(jī).根據(jù)以上信息，則（）A.乙可以知道四人的成績(jī)B. 丁可以知道四人的成績(jī)C.乙、丁可以知道對(duì)方的成績(jī)D.乙、丁可以知道自己的成績(jī)【答案】D【解析】由甲的說(shuō)法可知乙、丙一人優(yōu)秀一人良好，則甲、丁兩人一人優(yōu)秀一人良

7、好，乙看到丙的成績(jī)則知道自己的 成績(jī)，丁看到甲的成績(jī)則知道自己的成績(jī)，即乙、丁可以知道自己的成績(jī).故選D.【名師點(diǎn)睛】合情推理主要包括歸納推理和類比推理.數(shù)學(xué)研究中，在得到一個(gè)新結(jié)論前，合情推理能幫助猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，在證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為證明提供思路與方向.合情推理僅是乎情理”的推理，它得到的結(jié)論不一定正確.而演繹推理得到的結(jié)論一定正確（前提和推理形式都正確的前提下）.3 .觀察下列不等式：1 71 + 2y V 6，11291 + 3+ 33V 24,1 1 1 491 + 23+ 33+ 43< 40,1 1 1 1 371 + 23+ 33+ 43+ 53<

8、 30，按此規(guī)律，第五個(gè)不等式為 .11111 26【答案】1+23+ 33+ 43+53+ 63<211 714【解析】1+23<6= 2X3>2，11 29 14+3X51 十 聲 33<24= 3>4>2 ，111 494929+4X51 + 2+ 鏟+ 7<4U= 4X5X2 = 4X5X2 ，1111 377449 + 5X51 + 2y+ 鼠+ 43+ 53<30= 5X6X2= 54>2，11111 74+6X5 26照此規(guī)律可以得到 十了+3+4+53+6'3< 6>7X2 =21.11111 26所以第

9、五個(gè)不等式為1+了+33 + 43+1+屋【考法解碼？題型拓展】考法一：類比推理歸納總結(jié)（1）進(jìn)行類比推理，應(yīng)從具體問(wèn)題出發(fā)，通過(guò)觀察、分析、聯(lián)想進(jìn)行對(duì)比，提出猜想.其中找到合適的類比對(duì)象是解題的關(guān)鍵.（2）類比推理常見(jiàn)的情形有：平面與空間類比、低維與高維類比、等差與等比類比、運(yùn)算類比（加與乘、乘與乘方、減與除、除與開(kāi)方 卜數(shù)的運(yùn)算與向量運(yùn)算類比、圓錐曲線間的類比等.aa1+ a2+ + an、【例1】（1）若數(shù)列an是等差數(shù)列，則數(shù)列bngn=n,，也為等差數(shù)列.類比這一性質(zhì)可知，若正項(xiàng)數(shù)列Cn是等比數(shù)列，且dn也是等比數(shù)列，則dn的表達(dá)式應(yīng)為（）C1 + c2 + cnA . dn= nC

10、1 C2 一CnB. dn= nn , _n ,，一nn /c1+ C2+ + CnC. dn=nD . dn= nC1 C2 Cn【答案】D【解析】若an是等差數(shù)列，則一 , n(n-1) n1. d dai+a2+ + an= nai + d,所以 bn=ai+2d=2n+a1一2,2即端為等差數(shù)列；若cn是等比數(shù)列，則ci C2 cn q1 + 2 +(n -1)= ci匕，所以dn= n ci C2 =qnci n,即dn為等比數(shù)列.故選 Dq(2)在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)的比為i : 2,則它們的面積比為i : 4.類似地，在空間中，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為i : 2,則它們

11、的體積比為 .【答案】i : 8【解析】由平面圖形的面積類比立體圖形的體積得出：在空間內(nèi)，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為i ： 2,則它們的底面積之比為 i ： 4,對(duì)應(yīng)高之比為i : 2,所以體積比為i ： 8.考法二：歸納推理解題技巧：歸納推理中幾種問(wèn)題的處理技巧(i)與等式或不等式 共舞”問(wèn)題：觀察所給的幾個(gè)等式或不等式兩邊式子的特點(diǎn)，注意是縱向看，發(fā)現(xiàn)隱含 的規(guī)律.(2)與數(shù)列 空手”問(wèn)題：先求出幾個(gè)特殊現(xiàn)象，歸納所得的結(jié)論是尚屬未知的一般現(xiàn)象，該結(jié)論超越了前提 所含的范圍，從而由特殊的結(jié)論推廣到一般結(jié)論.(3)與圖形變化 相融”問(wèn)題：合理利用特殊圖形歸納推理得出結(jié)論，并用賦值檢驗(yàn)法驗(yàn)證其

12、真?zhèn)涡?【例2】(i)觀察等式：i2= i,i2-22=- 3,i2-22+ 32= 6, i2-22+ 32-42 = - i0,依此規(guī)律，第n個(gè)等式可為【答案】i2- 22+ 32-42+(-i)n+in2=(-i)n+i n(n +i)2【解析】第n個(gè)等式的左邊第 n項(xiàng)應(yīng)是(i)"2,右邊數(shù)的絕對(duì)值為 i + 2+3+n= n(n+i),故有122q2 q2 /2. / dn+i 2_ / dn+i n(n 1)2 + 3 -4 + -+ (i) n=(一1).2個(gè)小正方形.(2)觀察下列的圖形中小正方形的個(gè)數(shù)，則第10個(gè)圖中有【答案】66【解析】第15個(gè)圖形中分別有 3,6,

13、10,15,21個(gè)小正方形，它們分別為 1 + 2,1 + 2+3,1 + 2+3+4,1 + 2+3. 1 + 11 .+ 4+ 5,1 + 2+ 3+4+5+6,因此 an = 1 + 2+ 3+ (n+ 1).故 a0=1 + 2+3+ +11=2= 66,即第10個(gè)圖中有66個(gè)小正方形.【例3】(1)(2017全國(guó)卷n)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問(wèn)成語(yǔ)競(jìng)賽的成績(jī).老師說(shuō)：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績(jī)，給乙看丙的成績(jī)，給丁看甲的成績(jī).看后甲對(duì)大家說(shuō)：我還是不知道我的成績(jī).根據(jù)以上信息，則 ()A.乙可以知道四人的成績(jī)B. 丁可以知道四人的成績(jī)C.乙、

14、丁可以知道對(duì)方的成績(jī)D.乙、丁可以知道自己的成績(jī)【答案】D【解析】依題意，由于甲看后還是不知道自己的成績(jī)，說(shuō)明乙、丙兩人必是一個(gè)優(yōu)秀、一個(gè)良好，則甲、丁兩人必是一個(gè)優(yōu)秀、一個(gè)良好，因此乙看了丙的成績(jī)就可以知道自己的成績(jī)，丁看了甲的成績(jī)就清楚自己的成績(jī)，綜合以上信息可知，乙、丁可以知道自己的成績(jī).故選 D.(2)某校為高一學(xué)生開(kāi)設(shè)了三門選修課程，分別是文學(xué)與藝術(shù)、哲學(xué)初步、數(shù)學(xué)史.調(diào)查某班甲、乙、丙三名學(xué)生的三門選修課程的選修情況時(shí)，甲說(shuō)：我選修的課程比乙多，但沒(méi)有選修哲學(xué)初步.”乙說(shuō)：我沒(méi)有選修數(shù)學(xué)史.”丙說(shuō) 我們?nèi)诉x修的課程中，有一門課程是相同的.”由此可以判斷乙選修的課程為【答案】文學(xué)與

15、藝術(shù)【解析】由丙說(shuō)的話可知甲、乙兩人至少選修了一門課程，且選修的課程中有一門課程是相同的，又甲比 乙選修的課程多，且沒(méi)有選修哲學(xué)初步，所以甲選修了文學(xué)與藝術(shù)和數(shù)學(xué)史.又乙沒(méi)有選修數(shù)學(xué)史，所以 乙選修的課程為文學(xué)與藝術(shù).考法三：演繹推理歸納總結(jié)：演繹推理的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和推證規(guī)則(1)演繹推理是由一般到特殊的推理，其最常見(jiàn)的形式是三段論，它是由大前提、小前提、結(jié)論三部分組成 的.三段論推理中包含三個(gè)判斷：第一個(gè)判斷稱為大前提，它提供了一個(gè)一般的原理；第二個(gè)判斷叫小前 提，它指出了一個(gè)特殊情況.這兩個(gè)判斷聯(lián)合起來(lái)，提示了一般原理和特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系，從而產(chǎn)生了 第三個(gè)判斷：結(jié)論.(2)演繹推理的前提和結(jié)

16、論之間有著某種蘊(yùn)含關(guān)系，解題時(shí)要找準(zhǔn)正確的大前提.一般地，若大前提不明確時(shí)，一般可找一個(gè)使結(jié)論成立的充分條件作為大前提.n + 2【例4】 數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為Sn,已知ai = 1, an+i =一廠Sn(n C N*),證明：數(shù)列,J遑等比數(shù)列；(2)Sn + 1 = 4an.【答案】見(jiàn)解析n + 2【解析】證明(1)因?yàn)?an + i = Sn+i Sn, an+i= n Sn,所以(n+2)Sn=n(s+iSn),即 nSn+i = 2(n+1)&,Sn+1SnSi所以n+ i = 2,n,又i=iwqSnl故:n:是以i為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.S!+iSn-1Si-1n

17、 1 + 2(2)由(1)可知 n+i = 4 n_i(n>2)所以 Sn+i = 4(n+ 1) n_i = 4, n- i Sn i= 4an(n > 2,)又 a2= 3Si = 3, S2= ai + a2= 1 + 3 = 4= 4a1，所以對(duì)于任意正整數(shù) n,都有Sn+i = 4an.【易錯(cuò)警示】易錯(cuò)點(diǎn)盲目類比，沒(méi)有合理的推導(dǎo),a2+ b2【典例】 在叢BC中，若/ C=90°, AC=b, BC=a,則 BBC的外接圓的半徑 r=2,把上面的結(jié)論推廣到空間，寫(xiě)出相類似的結(jié)論.【錯(cuò)解】：取空間中有三條側(cè)棱兩兩垂直的四面體A-BCD,且AB=a, AC=b, A

18、D = c,將平面上三角形a2 + b2+c2的外接圓的半徑r=2類比到空間為此三棱錐的外接球的半徑r=3.【錯(cuò)因分析】：類比推理是一種由特殊到特殊的推理，在類比過(guò)程中要結(jié)合簡(jiǎn)單的證明，確保推理的正確性.錯(cuò)解中只是對(duì)結(jié)論進(jìn)行了表面的類比，而沒(méi)有進(jìn)行合理的推導(dǎo)證明.【正解】：取空間中有三條側(cè)棱兩兩垂直的四面體A-BCD,且AB=a, AC=b, AD = c,可以將四面體補(bǔ)一32+b2+c2成一個(gè)長(zhǎng)方體，則體對(duì)角線即為外接球的直徑，即2r = 4a2+b2+c2，所以r =2.則此三棱錐的a2+ b2+ c2 外接球的半徑r=2.【誤區(qū)防范】(1)進(jìn)行類比推理，應(yīng)從具體問(wèn)題出發(fā)，通過(guò)觀察、分析、

19、聯(lián)想進(jìn)行類比，提出猜想.其中找到合適的類比對(duì)象是解題的關(guān)鍵.(2)類比推理常見(jiàn)的情形有平面與空間類比；低維的與高維的類比；等差數(shù)列與等比數(shù)列類比；數(shù)的運(yùn)算與向量的運(yùn)算類比；圓錐曲線間的類比等.1【跟蹤訓(xùn)練】(2019 上海浦東新區(qū)期中)在RtAABC中，兩直角邊分別為a、b,設(shè)h為斜邊上的高，則片=117+ b2,由此類比：三棱錐 S- ABC中的三條側(cè)棱SA、SB、SC兩兩互相垂直，且長(zhǎng)度分別為a、b、c,設(shè)三棱錐底面ABC上的高為h,則.1111【答案】F=十+ C2【解析】 因?yàn)镾A、SB、SC兩兩互相垂直， 所以SA，平面SBC設(shè)SD在平面SBC內(nèi)部，且SDBC于點(diǎn)D, bca SD.

20、a2b2c21111由已知有 SD =多方，h=1芥D2,所以 h2=a2b2+b2c2+c2a2，所以才=O2 + b2+c2.【遞進(jìn)題組】1 111311_11 ,有下列各式：1 + 2+3>1,1+2+7>2，1+2+3+15>2,，則按此規(guī)律可猜想此類不等式的一般形式為.1 11 n+1*【答案】1十2+3+2許1 1> 2 (nCN )【解析】 觀察前三個(gè)不等式，發(fā)現(xiàn)其左邊最后一項(xiàng)的分母分別為3,7,15,故可猜想第n個(gè)式子中應(yīng)有2n+1234n+1-1項(xiàng)，不等式右側(cè)分別寫(xiě)成 2, 2, 2,故猜想第n個(gè)式子應(yīng)為 丁，按此規(guī)律可猜想此類不等式的一般形1 11n

21、+1*式為 1+2+3+2n+1_ 1> 2 (nCN ).2 .用火柴棒擺 金魚(yú)”，如圖所示，按照下面的規(guī)律，第 n個(gè)金魚(yú)”圖需要火柴棒的根數(shù)為 .7、</> 、</ / 、v、/> /VJ>2/>2>【解析】由題意知圖的火柴棒比圖的多6根，圖的火柴棒比圖的多 6根，而圖的火柴棒的根數(shù)為2+6,所以第n個(gè) 金魚(yú)”圖需要(2+6n)根火柴棒.3 .在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與相鄰兩邊所成的角為 3,則有cos2"+ cos2 3= 1.類比到空間中的一個(gè)正確命題是：在長(zhǎng)方體ABCD A1B1C1D1中，對(duì)角線AC與相鄰三個(gè)面所成的角為

22、% 3,工則【答案】C0s2計(jì)cos2時(shí)coJ尸2ACi【解析】 設(shè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別為 a, b, c,如圖所示，所以 ACi與下底面所成角為/ CiAC,記為與平面AiDiDA所成的角記為 3, ACi與平面AiBiBA所成的角記為 司D tl AAC2a2+b2所以 cos a= AC2= a2 + b2 + C2, a2+c22同理 cos A a2+b2+c2, b2+c2cos2 產(chǎn) a2+b2+c2,所以 cos2 a+ cos2 升 cos2 k 2.*f 2 f 4 f 6f 2 0204.若 f(a+b)=f(a)f(b)(a, bCN ),且 f(i)=2,則O+f3 +f

23、 5 + f2 0i9 =【答案】2 020*f a+1f 2 f 4【解析】因?yàn)?f(a+b)= f(a)f(b)(a, bCN),令 b= i,則 f a= f(i)= 2,所以 f i =f 3 = =f 2 020f 2 0i9 =2.所以原式=巨J= 2 020.【考卷送檢】一、選擇題i.下面四個(gè)推導(dǎo)過(guò)程符合演繹推理三段論形式且推理正確的是()A.大前提：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)；小前提：兀是無(wú)理數(shù)；結(jié)論：兀是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)B.大前提：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)；小前提：兀是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)；結(jié)論：兀是無(wú)理數(shù)C.大前提：兀是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)；小前提：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)；結(jié)論：兀是無(wú)理數(shù)D.

24、大前提：兀是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)；小前提：兀是無(wú)理數(shù)；結(jié)論：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)【答案】B【解析】對(duì)于A項(xiàng)，小前提與結(jié)論顛倒，錯(cuò)誤；對(duì)于 B項(xiàng)，符合演繹推理過(guò)程且結(jié)論正確；對(duì)于 C項(xiàng),大小前提顛倒；對(duì)于 D項(xiàng)，大小前提以及結(jié)論顛倒.故選B.2 .請(qǐng)仔細(xì)觀察i,i,2,3,5, (), i3,運(yùn)用合情推理，可知寫(xiě)在括號(hào)里的數(shù)最可能是()A. 8B. 9C. i0D. ii【答案】 A【解析】觀察題中所給各數(shù)可知2=1+1,3=1 + 2,5=2+3, 8=3+5,13=5+8,所以括號(hào)中的數(shù)為8.故選A.3 .觀察(x2)：2x, (x4) = 4x3, (cos x) = - sin x,由歸納推

25、理可彳導(dǎo):若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x) = f(x),記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g( x) = ()A. f(x)B. f(x)C. g(x)D. - g(x)【答案】D【解析】 由所給等式知偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù).因?yàn)閒( x) = f(x),所以f(x)是偶函數(shù)，從而g(x)是奇函數(shù).所以 g( x)= g(x).4 .中國(guó)有句名言 運(yùn)籌帷幄之中，決勝千里之外 ”，其中的 籌”原意是指孫子算經(jīng)中記載的算籌，古代 是用算籌來(lái)進(jìn)行計(jì)算的，算籌是將幾寸長(zhǎng)的小竹棍擺在平面上進(jìn)行運(yùn)算，算籌的擺放有縱橫兩種形式，如 圖，當(dāng)表示一個(gè)多位數(shù)時(shí)，像阿拉伯計(jì)數(shù)一樣，把各個(gè)數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列，

26、但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，個(gè)位、百位、萬(wàn)位數(shù)用縱式表示，十位、千位、十萬(wàn)位用橫式表示，以此類推.例如6 613用算籌表示就是±T-IH,則8 335用算籌可表示為()123456789I II I I I III I IIIII 丁 TT m TTTT 縱式= = I I上 橫式中國(guó)古代自勺算籌數(shù)碼i = I I I IIIII工 I I I 三IIIIIA B in三 iii與ttt 111 =三CD【答案】B【解析】 各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，個(gè)位、百位、萬(wàn)位數(shù)用縱式表示，十位、千位、十萬(wàn)位用橫式表示，則8 335用算籌可表示為 白|三 川|.故選B.5 . (2019太原

27、模擬)某單位安排甲、乙、丙三人在某月 1日至12日值班，每人4天.甲說(shuō)：我在1日和3 日都有值班；乙說(shuō)：我在 8日和9日都有值班；丙說(shuō)：我們?nèi)烁髯灾蛋嗟娜掌谥拖嗟龋瑩?jù)此可判斷丙必定值班的日期是()B. 5日和6日A. 2日和5日C. 6日和11日D. 2日和11日【答案】C12【解析】這12天的日期之和S12 = 7（1 + 12） = 78,甲、乙、丙各自的日期之和是26.對(duì)于甲，剩余2天日期之和是22,因此這兩天是10日和12日，故甲在1日、3日、10日、12日有值班；對(duì)于乙，剩余 2天日期之和是9,可能是2日、7日，也可能是4日、5日，因此丙必定值班的日期是6日和11日.6 .已知a

28、n=logn+1（n+2）（nC N*）,觀察下列運(yùn)算：lg 3 lg 4a1 a2= 10g23 log34 = lg 2 lg 3 = 2；lg 3 lg 4 lg 8a1 a2 a3 a4 a5 a6= 10g23 log34 785g lg 2 lg 3 .lg 7=3;若a1 a2 a3 ak（kC N*）為整數(shù)，則稱 k為 企盼數(shù)”，試確定當(dāng)a1a2 a3 ak=2 019時(shí)， 企盼數(shù)”女為（）A 22 019 +2b 22 019C 22 019 2D, 22 019 4【答案】C【解析】a a2 a3 一旬=必二&=2 019, lg(k+2)=lg 22 °

29、19,故 k=22 °192.lg2二、填空題1 3 工 15 工工17112n+11+22+ 2，不等式的右邊為 n+ 1 ,2 (n 1)2n+* 17 .觀察下列式子：1 + 22<2，1 +22+ 32<3，1 +22 + 32+42<4，根據(jù)上述規(guī)律，第 n個(gè)不等式應(yīng)該為【解析】 將這些圓分段處理，第一段兩個(gè)圓，第二段三個(gè)圓，第三段四個(gè)圓,可以看出每一段的最后一個(gè)圓都是實(shí)心圓，由于本題要求前2 020個(gè)圓中有多少個(gè)實(shí)心圓，因此找到第2 020個(gè)圓所在的段數(shù)很2 + 63重要.因?yàn)?+3+63= 22+64X62=2 015<2 020,而 2+3+

30、+ 64 = 2 63=2 079>2 020,所以共有62個(gè)實(shí)心圓.9.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,則S4,S8-S4,S12-S8,Sl6Sl2成等差數(shù)列.類比以上結(jié)論我們可以得到一個(gè)真命題為：設(shè)等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)積為Tn,則成等比數(shù)列.T8 T12 T16【答案】T4, T4, 丁8，2【解析】 利用類比推理把等差數(shù)列中的差換成商即可.三、解答題ax+a xax-a x10.設(shè) f(x)=2， g(x)=2(其中 a>0,且 aw1.) (1)請(qǐng)你由5=2 + 3推測(cè)g(5)能否用f(2), f(3), g(2), g(3)來(lái)表示;(2)如果(1)中獲得了一個(gè)結(jié)論，請(qǐng)你

31、推測(cè)能否將其推廣.【答案】見(jiàn)解析a3 + a 3 a2-a 2 a3-a 3 a2 + a 2【解析】(1)由于 f(3)g(2)+g(3)f(2) = 12a5-a 5,又 g(5) =a- 52，因此 g(5)=f(3)g(2) + g(3)f(2).(2)由 g(5) = f(3)g(2) + g(3)f(2),即 g(2+3) = f(3)g(2)+g(3)f(2),于是推測(cè) g(x+ y)=f(x)g(y)+g(x)f(y).ax+ a xax a x證明：因?yàn)?f(x)= -2 , g(x) = 2 一,所以 g(x+y) =-(x力)ay a y，g(y)=2-,f(y) =ay

32、+a-y2，ax+ ax所以 f(x)g(y)+ g(x)f(y)=2aya y ax a xay+a yc x -y-(x y)a a=g(x+ y).11 .在 RtAABC 中，ABXAC, AD，BC于D,求證:ad2=ab2+ac2,那么在四面體ABCD中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想，并說(shuō)明理由.【答案】見(jiàn)解析【解析】 如圖(1)所示，由射影定理知 ad2=bddc,AB2= BD BC, AC2 = BC DC ,所以AD2= BD DC =_2BC2_2BC2AB2 + AC211BD BC DC BC = AB2 AC2.又 BC2=AB2+AC2,所以 AD2= AB2 AC2 = AB2+AC2，所以 AD2