專題07極化恒等式問題-沖刺2019年高考數(shù)學(xué)壓軸題微切口突破(解析版)

1、專題07極化恒等式問題1 uuur 2Z|BC13.極化恒等式平行四邊形模型：在平行四邊形uur uuur uur uuur 122ABCD, AB AD (| AD | BD | )4曙師綜述二%-_ 奇.她極化恒等式這個概念雖在課本上沒有涉及，但在處理一類向量數(shù)量積時有奇效，備受師生喜愛r r1 , rJ、2jJ、21.極化恒等式：a b (ab)(ab)4uuir uuur uur 22.極化恒等式三角形模型：在ABC中，D為BC的中點，則 AB AC |AD|典例剖析J類型一利用極化恒等式求值典例1.如圖在三角形 ABC中，D是BC的中點,E,F是AD上的兩個三等分點,uur uur

2、uuu uuinBA CA 4, BF CF1,則uuu uuuBE CE值為8【解析】uurr uurr uuu uur uuur _ uur_ r 2r 2設(shè) DCa,DFb, BACA | AD |2|BD129ba4uuu 2 |BD|22 b2解得b2 a138uuu uuuuuruuirr 227BE CE|ED | BD |4ba一8類型二利用極化恒等式求最值或范圍典例2在三角形ABC中，D為AB中點,C 90 , AC 4,BC3,E,F分別為BC,AC上的動點，且EF=1,uuur 則DEuuurDF最小值為151設(shè)EF的中點為M,連接CM則|CM | 1即點M在如圖所示的圓

3、弧上，uuur uuuruuur則 DE DF | DM |2uuuu uuuur| EM |2 | DM |21、 _-=|CD |4類型三利用極化恒等式求參數(shù)uuu uum uur . BF CF |FD rP,恒有典例3 設(shè)三角形 ABC, P0是邊AB上的一定點，滿足PoB=1AB,且對于邊 AB上任一點4uur uur uuir uuurPB PC FOB PC，則三角形ABC形狀為.【答案】C為頂角的等腰三角形【解析】取BC的中點D,連接PD,PoD.uuu uuu uuur uuur Q PB PC - F0B F0Cuuur 2 |PD |21 uuir 241BC11 uuu

4、r uu r 27BC |2-P)b4uuur r r| PD |P0DP0D AB,設(shè)。為BC的中點，OC AB AC BC即三角形ABC為以C為頂角的等腰三角形.藤 Ci-a*總 占 9看 oAi . 4> AZetQ精選名校模坂!uuu uur uur1.已知 ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點，則PA (PB PC)的最小值是【解析】uuuu i uuur2| PM |2 - | AO |2uuuu 2 21PM |2設(shè)BC的中點為 O, OC的中點為 M,連接OP,PM,uuu uuu uuur uuur uuuPA (PB PC) 2PO PA當(dāng)且僅當(dāng)M與P重

5、合時取等號2.直線 ax by c 0 與圓 0:x2 y2216相交于兩點M,N,若c22a b , P為圓O上任意一點，則uuuu uuurPM PN的取值范圍為【答案】6,10【解析】圓心O到直線ax by c 0的距離為d , |c|1, a2 b2設(shè)MN的中點為A,uuuu uuu uuu _ uuur _ uuu .PM PN |PA|2 |MA|2 |PA|2 15uuu uuu uuuQ|OP| |OA倒 |PA|uur|OP|uur|OA|uuu uuur uuur3蒯 |PA| 5,PM PNuuu|PA|15 6, 10uuur _3.如圖，已知 B,D是直角C兩邊上的動

6、點，AD BD,|AD| J3,uuuu uuu uuu1BAD -,CM 2 (CA CB)6uuur i uuin uuu uuur uuurCN - (CD CA),則CM CN的最大值為 【答案】1( .13 4) 4【解析】uuur uuur uur 1設(shè)MN的中點為G, BD的中點為H, CM CN | CG |2 -4uuuruult1| MN |2 |CG |216(、.13 4)4uuuruuuruuur1 . 13 uuuu uuur1T31Q|CG| 釧CH| | HG | CM CN 一242416uuuu lut所以CM CN的最大值為1(.1344)4.如圖在同一平

7、面內(nèi)，點A位于兩平行直線 m,n的同側(cè)，且A到m,n的距離分別為1, 3,點B,C分別在m,nuuir uur上，且| AB AC| 5,則uuu uuurAB AC的最大值為214【解析】uuu uur連接BC,取BC的中點D,則AB AC1 uur uur 5 又 AD -| AB AC | 一 22uur uuur 故 AB AC25BD2254-BC 4又因為BCmin 3 1 2uur uuur21所以（AB AC）max2r5.在半彳至為1的扇形AOB中,uuu uuuAOB 60 ,C為弧上的動點，AB與OC交于點P,則OP BP的最小值為【解析】uur取OB的中點D,連接PD,

8、則OPuuuBPPD2 OD2PD2 4于是只要求求PD的最小值即可,由圖可知，當(dāng)PD AB時，PDmin一 一一1即所求最小值為14uuu uur6.已知線段AB的長為2,動點C滿足CA CB., .一1為常數(shù))，且點C總不在以點B為圓心，12為半徑的圓內(nèi)，則負(fù)數(shù)的最大值為【解析】如圖取uuu uuuAB的中點為D,連接CD,則CA CBCD2 1CD 11,01 .又由點C總不在以點B為圓心，1為半徑的圓內(nèi), 21則負(fù)數(shù)2的最大值為 34uuir uur7.已知A(0,1),曲線C ：y log4x橫過點B,若P是曲線C上的動點，且AB AP的最小值為2,則如圖，B (1,0),則ABJ2

9、,連接BP,取BP的中點C,連接AC,2 (.2)2AB2uuu uuu因為AB AP的最小值為2,則有 AC2 BC2 max上式等價于 AB2 BC2, AC2,即 ABP 90當(dāng)且僅當(dāng)P與B重合時取等號，此時曲線C在B處的切線斜率等于1, rr 1即1 , a elnr r r r - r,r.r,8.若平面向量a, b滿足12a b | 3 ,則a b的最小值為 9【答案】98【解析】22 r r ,2r ,r ,2 =2 -2-r J (2 a b) (2a b) 12abi 12abi 039a b -8888rr& r r當(dāng)且僅當(dāng) 12a b 0,12a bi 3,即ai

10、 3,ibi -, a,b 42,r r =9時a b取最小值- 89.在正方形ABCN, AB=1, A,D分別在x,y軸的非負(fù)半軸上滑動，則ULUT UUUOC OB的最大值為如圖取BC的中點E,取AD的中點F,uur uuuuur uuu _umr uuu .4OC OB (OC OB)2 (OC OB)2uuir _uuu _uuui2(2OE)2 (2 BE)2 4OE 1uuur uuu uuuf2 1 所以 OC OB OE 4uur uuuruuu1 uuur uuu 13而1oe|of|FE|2|AD| |FE1 -1 2，uur uur當(dāng)且僅當(dāng)OF AD,OA OD時取等號

11、，所以 OC OB的最大值為210.已知正方形 ABCD的邊長為2,點E為AB的中點，以A為圓心，AE為半徑作弧交 AD于F,若P為劣弧uuur uurEF上的動點，則 PC PD的最小值為 【答案】5 2,5【解析】如圖取CD的中點M.uur uuruur uur o uuir4PC PD (PC PD)2 (PCuuur o uuur o uuur ouuurkPD)2 (2PM)2 (2DM )2 4PM 4uuir uur uuuu2所以 PC PD PM 1uuuu uuuu uuu uuur而|PM | 1 | PM | | AP | | AE | 百，當(dāng)且僅當(dāng)P,Q重合時等號成立uuiui unr_所以PC PD的最小值為（褥1）2 1 5 2亦MN的長度11.正方體ABCD-ABGDi的棱長為2, MN它的內(nèi)切球的一條弦，P為正方體表面上的動點,uuuu uur最大時，求PM PN的范圍.【答案】0,2【解析】如圖當(dāng)弦