新建九章算術(shù)

1、九章算術(shù)共收有246個(gè)數(shù)學(xué)問題,分為九章、它們的主要內(nèi)容分別是:第一章“方田”:主要講述了平面幾何圖形面積的計(jì)算方法。包括長方形、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圓形、扇形、弓形、圓環(huán)這八種圖形面積的計(jì)算方法。另外還系統(tǒng)地講述了分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算法則,以及求分子分母最大公約數(shù)等方法。第二章“粟米”:谷物糧食的按比例折換;提出比例算法,稱為今有術(shù);衰分章提出比例分配法則,稱為衰分術(shù);第三章“衰分”:比例分配問題;介紹了開平方、開立方的方法,其程序與現(xiàn)今程序基本一致。這是世界上最早的多位數(shù)和分?jǐn)?shù)開方法則。它奠定了中國在高次方程數(shù)值解法方面長期領(lǐng)先世界的基礎(chǔ)。第四章“少廣”:已知面積、體積,反求其一邊長

2、和徑長等;第五章“商功”:土石工程、體積計(jì)算;除給出了各種立體體積公式外,還有工程分配方法;第六章“均輸”:合理攤派賦稅;用衰分術(shù)解決賦役的合理負(fù)擔(dān)問題。今有術(shù)、衰分術(shù)及其應(yīng)用方法,構(gòu)成了包括今天正、反比例、比例分配、復(fù)比例、連鎖比例在內(nèi)的整套比例理論。西方直到15世紀(jì)末以后才形成類似的全套方法。第七章“盈不足”:即雙設(shè)法問題;提出了盈不足、盈適足和不足適足、兩盈和兩不足三種類型的盈虧問題,以及若干可以通過兩次假設(shè)化為盈不足問題的一般問題的解法。這也是處于世界領(lǐng)先地位的成果,傳到西方后,影響極大。第八章“方程”:一次方程組問題;采用分離系數(shù)的方法表示線性方程組,勾股定理求解相當(dāng)于現(xiàn)在的矩陣;解

3、線性方程組時(shí)使用的直除法,與矩陣的初等變換一致。這是世界上最早的完整的線性方程組的解法。在西方,直到17世紀(jì)才由萊布尼茲提出完整的線性方程的解法法則。這一章還引進(jìn)和使用了負(fù)數(shù),并提出了正負(fù)術(shù)正負(fù)數(shù)的加減法則,與現(xiàn)今代數(shù)中法則完全相同;解線性方程組時(shí)實(shí)際還施行了正負(fù)數(shù)的乘除法。這是世界數(shù)學(xué)史上一項(xiàng)重大的成就,第一次突破了正數(shù)的范圍,擴(kuò)展了數(shù)系。外國則到7世紀(jì)印度的婆羅摩及多才認(rèn)識負(fù)數(shù)。第九章“勾股”:利用勾股定理求解的各種問題。其中的絕大多數(shù)內(nèi)容是與當(dāng)時(shí)的社會生活密切相關(guān)的。提出了勾股數(shù)問題的通解公式:若a、b、c分別是勾股形的勾、股、弦,則,m>n。在西方,畢達(dá)哥拉斯、歐幾里得等僅得到了

4、這個(gè)公式的幾種特殊情況,直到3世紀(jì)的丟番圖才取得相近的結(jié)果,這已比九章算術(shù)晚約3個(gè)世紀(jì)了。勾股章還有些內(nèi)容,在西方卻還是近代的事。例如勾股章最后一題給出的一組公式,在國外到19世紀(jì)末才由美國的數(shù)論學(xué)家迪克森得出。編輯本段主要特點(diǎn)九章算術(shù)確定了中國古代數(shù)學(xué)的框架,以計(jì)算為中心的特點(diǎn),密切聯(lián)系實(shí)際,以解決人們生產(chǎn)、生活中的數(shù)學(xué)問題為目的的風(fēng)格。其影響之深,以致以后中國數(shù)學(xué)著作大體采取兩種形式:或?yàn)橹髯?或仿其體例著書;甚至西算傳入中國之后,人們著書立說時(shí)還常常把包括西算在內(nèi)九章算術(shù)的數(shù)學(xué)知識納入九章的框架。然而,九章算術(shù)亦有其不容忽視的缺點(diǎn):沒有任何數(shù)學(xué)概念的定義,也沒有給出任何推導(dǎo)和證明。魏景

5、元四年(263年,劉徽給九章算術(shù)作注,才大大彌補(bǔ)了這個(gè)缺陷。劉徽是中國數(shù)學(xué)家之一。他的生平現(xiàn)在知之甚少。據(jù)考證,他是山東鄒平人。劉徽定義了若干數(shù)學(xué)概念,全面論證了九章算術(shù)的公式解法,提出了許多重要的思想、方法和命題,他在數(shù)學(xué)理論方面成績斐然。劉徽對數(shù)學(xué)概念的定義抽象而嚴(yán)謹(jǐn)。他揭示了概念的本質(zhì),基本符合現(xiàn)代邏輯學(xué)和數(shù)學(xué)對概念定義的要求。而且他使用概念時(shí)亦保持了其同一性。如他提出凡數(shù)相與者謂之率,把率定義為數(shù)量的相互關(guān)系。又如他把正負(fù)數(shù)定義為今兩算得失相反,要令正負(fù)以名之,擺脫了正為余,負(fù)為欠的原始觀念,從本質(zhì)上揭示了正負(fù)數(shù)得失相反的相對關(guān)系。九章算術(shù)的算法盡管抽象,但相互關(guān)系不明顯,顯得零亂。劉

6、徽大大發(fā)展深化了中算中久已使用的率概念和齊同原理,把它們看作運(yùn)算的綱紀(jì)。許多問題,只要找出其中的各種率關(guān)系,通過乘以散之,約以聚之,齊同以通之,都可以歸結(jié)為今有術(shù)求解。一平面(或立體圖形經(jīng)過平移或旋轉(zhuǎn),其面積(或體積不變。把一個(gè)平面(或立體圖形分解成若干部分,各部分面積(或體積之和與原圖形面積(或體積相等?；谶@兩條不言自明的前提的出入相補(bǔ)原理,是中國古代數(shù)學(xué)進(jìn)行幾何推演和證明時(shí)最常用的原理。劉徽發(fā)展了出入相補(bǔ)原理,成功地證明了許多面積、體積以及可以化為面積、體積問題的勾股、開方的公式和算法的正確性。編輯本段數(shù)學(xué)成就九章算術(shù)中的數(shù)學(xué)成就是多方面的:(1、在算術(shù)方面的主要成就有分?jǐn)?shù)運(yùn)算、比例問題

7、和“盈不足”算法。九章算術(shù)是世界上最早系統(tǒng)敘述了分?jǐn)?shù)運(yùn)算的著作,在第二、三、六章中有許多比例問題,在世界上也是比較早的?！坝蛔恪彼惴ㄐ枰o出兩次假設(shè),是一項(xiàng)創(chuàng)造,中世紀(jì)歐洲稱它為“雙設(shè)法”,有人認(rèn)為它是由中國經(jīng)中世紀(jì)阿拉伯國家傳去的.九章算術(shù)中有比較完整的分?jǐn)?shù)計(jì)算方法,包括四則運(yùn)算,通分、約分、化帶分?jǐn)?shù)為假分?jǐn)?shù)(我國古代稱為通分內(nèi)子,“內(nèi)”讀為納等等。其步驟與方法大體與現(xiàn)代的雷同。分?jǐn)?shù)加減運(yùn)算,九章算術(shù)已明確提出先通分,使兩分?jǐn)?shù)的分母相同,然后進(jìn)行加減。加法的步驟是“母互乘子,并以為實(shí),母相乘為法,實(shí)如法而一”這里“實(shí)”是分子?！胺ā笔欠帜?“實(shí)如法而一”也就是用法去除實(shí),進(jìn)行除法運(yùn)算,九章

8、算術(shù)還注意到兩點(diǎn):其一是運(yùn)算結(jié)果如出現(xiàn)“不滿法者,以法命之”。就是分子小于分母時(shí)便以分?jǐn)?shù)形式保留。其二是“其母同者,直相從之”,就是分母相同的分?jǐn)?shù)進(jìn)行加減,運(yùn)算時(shí)不必通分,使分子直接加減即可。九章算術(shù)中還有求最大公約數(shù)和約分的方法。求最大公約數(shù)的方法稱為“更相減損”法,其具體步驟是“可半者半之,不可半者,副置分母子之?dāng)?shù),以少減多,更相減損,求其等也。以等數(shù)約之?！边@里所說的“等數(shù)”就是我們現(xiàn)在的最大公約數(shù)?？砂胝呤侵阜肿臃帜付际桥紨?shù),可以折半的先把它們折半,即可先約去2。不都是偶數(shù)了,則另外擺(即副置分子分母算籌進(jìn)行計(jì)算,從大數(shù)中減去小數(shù),輾轉(zhuǎn)相減,減到余數(shù)和減數(shù)相等,即得等數(shù)。在九章算術(shù)的第

9、二、三、六等章內(nèi),廣泛地使用了各種比例解應(yīng)用問題。粟米章的開始就列舉了各種糧食間互換的比率如下:“粟米之法:粟率五十,糲米三十,粺米二十七,糳米二十四,”(圖1-23這是說:谷子五斗去皮可得糙米三斗,又可舂得九折米二斗七升,或八拆米二斗四升,。例如,粟米章第一題:“今有粟米一斗,欲為糲米,問得幾何”。它的解法是:“以所有數(shù)乘所求率為實(shí),以所有率為法,實(shí)如法而一”。九章算術(shù)第七章“盈不足”專講盈虧問題及其解法其中第一題:“今有(人共買物,(每人出八(錢,盈(余三錢;人出七(錢,不足四(錢,問人數(shù)、物價(jià)各幾何”,“答曰:七人,物價(jià)53(錢?！薄坝蛔阈g(shù)曰:置所出率,盈、不足各居其下。令維乘(即交錯

10、相乘所出率,并以為實(shí),并盈,不足為法,實(shí)如法而一置所出率,以少減多,余,以約法、實(shí)。實(shí)為物價(jià),法為人數(shù)”。盈不足術(shù)是中國數(shù)學(xué)史上解應(yīng)用問題的一種別開生面的創(chuàng)造,它在我國古代算法中占有相當(dāng)重要的地位。盈不足術(shù)還經(jīng)過絲綢之路西傳中亞阿拉伯國家,受到特別重視,被稱為“契丹算法”,后來又傳入歐洲,中世紀(jì)時(shí)期“雙設(shè)法”曾長期統(tǒng)治了他們的數(shù)學(xué)王國。(2、九章算術(shù)總結(jié)了生產(chǎn)、生活實(shí)踐中大量的幾何知識,在方田、商功和勾股章中提出了很多面積、體積的計(jì)算公式和勾股定理的應(yīng)用。九章算術(shù)方田章主要論述平面圖形直線形和圓的面積計(jì)算方法。九章算術(shù)方田章第一題“今有田廣十五步,從(音縱zong十六步。問為田幾何?！薄按鹪?

11、一畝”。這里“廣”就是寬,“從”即縱,指其長度,“方田術(shù)曰:廣從步數(shù)相乘得積步,(得積步就是得到乘積的平方步數(shù)以畝法二百四十步(實(shí)質(zhì)應(yīng)為積步除之,即畝數(shù)。百畝為一頃?！碑?dāng)時(shí)稱長方形為方田或直田。稱三角形為圭田,面積公式為“術(shù)曰:半廣以乘正從”。這里廣是指三角形的底邊,正從是指底邊上的高,劉徽在注文中對這一計(jì)算公式實(shí)質(zhì)上作了證明:“半廣者,以盈補(bǔ)虛,為直田也?！薄耙嗫梢园胝龔囊猿藦V”(圖1-30。盈是多余,虛乃不足?！耙杂a(bǔ)虛”就是以多余部分填補(bǔ)不足的部分,這就是我國古代數(shù)學(xué)推導(dǎo)平面圖形面積公式所用的傳統(tǒng)的“出入相補(bǔ)”的方法,由上圖“以盈補(bǔ)虛”變圭田為與之等積的直田,于是得到了圭田的面積計(jì)算公式

12、。方田章第二十七、二十八題把直角梯形稱為“邪田”(即斜田它的面積公式是:“術(shù)曰:并兩邪(即兩斜,應(yīng)理解為梯形兩底而半之,以乘正從,又可半正從以乘并。”劉徽在注中說明他的證法仍是“出入相補(bǔ)”法。在方田章第二十九、三十題把一般梯形稱為“箕田”,上、下底分別稱為“舌”、“踵”,面積公式是:“術(shù)曰:并踵舌而半之,以乘正從”。至于圓面積,在九章算術(shù)方田章第三十一、三十二題中,它的面積計(jì)算公式為:“半周半徑相乘得積步”。這里“周”是圓周長,“徑”是指直徑。這個(gè)圓面積計(jì)算公式是正確的。只是當(dāng)時(shí)取徑一周三(即3。于是由此計(jì)算所得的圓面積就不夠精密。九章算術(shù)商功章收集的都是一些有關(guān)體積計(jì)算的問題。但是商功章并沒

13、有論述長方體或正方體的體積算法?？磥砭耪滤阈g(shù)是在長方體或正方體體積計(jì)算公式:V=abc的基礎(chǔ)上來計(jì)算其他立體圖形體積的。九章算術(shù)商功章提到城、垣、堤、溝、塹、渠,因其功用不同因而名稱各異,其實(shí)質(zhì)都是正截面為等腰梯形的直棱柱,他們的體積計(jì)算方法:“術(shù)曰:并上、下廣而半之,以高若深乘之,又以袤乘之,即積尺”。這里上、下廣指橫截面的上、下底(a,b高或深(h,袤是指城垣的長(l。因此城、垣的體積計(jì)算術(shù)公式V=1/2(a+bh. 劉徽在注釋中把對于平面圖形的出入相補(bǔ)原理推廣應(yīng)用到空間圖形,成為“損廣補(bǔ)狹”以證明幾何體體塹堵積公式。劉徽還用棋驗(yàn)法來推導(dǎo)比較復(fù)雜的幾何體體積計(jì)算公式。所謂棋驗(yàn)法,“棋”是指

14、某些幾何體模型即用幾何體模型驗(yàn)證的方法,例如長方體本身就是“棋”圖1-32(1斜解一個(gè)長方體,得兩個(gè)兩底面為直角三角形的直三棱柱,我國古代稱為“塹堵”(如圖,所以塹堵的體積是長方體體積的二分之一。九章算術(shù)商功章還有圓錐、圓臺(古代稱“圓亭”的體積計(jì)算公式。甚至對三個(gè)側(cè)面是等腰梯形,其他兩面為勾股形的五面體(古代稱“羨除”圖1-33(1,上、下底為矩形的擬柱體(古代稱“芻童”以及上底為一線段,下底為一矩形的擬柱體(古代稱“芻甍”(“甍”音“夢”等都可以計(jì)算其體積。(3、九章算術(shù)中的代數(shù)內(nèi)容同樣很豐富,具有當(dāng)時(shí)世界的先進(jìn)水平。1.開平方和開立方九章算術(shù)中講了開平方、開立方的方法,而且計(jì)算步驟和現(xiàn)在

15、的基本一樣。所不同的是古代用籌算進(jìn)行演算,現(xiàn)以少廣章第12題為例,說明古代開平方演算的步驟,“今有積五萬五千二百二十五步。問為方幾何”?！按鹪?二百三十五步”。這里所說的步是我國古代的長度單位?！伴_方(是指開平方,由正方形面積求其一邊之長。術(shù)曰:置積為實(shí)(即指籌算中把被開方數(shù)放置于第二行,稱為實(shí)借一算(指借用一算籌放置于最后一行,如圖1-25(1所示用以定位。步之(指所借的算籌一步一步移動超一等(指所借的算籌由個(gè)位越過十位移至百位或由百位越過千位移至萬位等等,這與現(xiàn)代筆算開平方中分節(jié)相當(dāng)如圖1-25(2所示。議所得(指議得初商,由于實(shí)的萬位數(shù)字是5,而且22<5<32,議得初商為2

16、,而借算在萬位,因此應(yīng)在第一行置初商2于百位,如圖1-25(3所示。以一乘所借一算為法(指以初商2乘所借算一次為20000,置于“實(shí)”下為“法”,如圖1-25(4所示而以除(指以初商2乘“法”20000得40000,由“實(shí)”減去得:55225-40000=15225,如圖1-25(5所示除已,倍法為定法,其復(fù)除,折法而下(指將“法”加倍,向右移一位,得4000為“定法”因?yàn)楝F(xiàn)在要求平方根的十位數(shù)字,需要把“借算”移至百位,如圖1-25(6所示。復(fù)置借算步之如初,以復(fù)議一乘之,所得副,以加定法,以除(這一段是指:要求平方根的十位數(shù)字,需置借算于百位。因“實(shí)”的千位數(shù)字為15,且4×3&

17、lt;15<4×4,于是再議得次商為3。置3于商的十位。以次商3乘借算得3×100=300,與定法相加為4000+300=4300。再乘以次商,則得:3×4300=12900,由“實(shí)”減去得:15225-12900=2325。如圖1-25(7所示,以所得副從定法,復(fù)除折下如前(這一段是指演算如前,即再以300×1+4300=4600向右移一位,得460,是第三位方根的定法,再把借算移到個(gè)位,如圖1-25(8所示;又議得三商應(yīng)為5,再置5于商的個(gè)位如圖1-25(9所示,以5+460=465,再乘以三商5,得465×5=2325經(jīng)計(jì)算恰盡如圖

18、1-25(10所示,因此得平方根為235。 上述由圖1-25(1(10是按算籌進(jìn)行演算的,看起來似乎很繁瑣,實(shí)際上步驟十分清楚,易于操作。它的開平方原理與現(xiàn)代開平方原理相同。其中“借算”的右移、左移在現(xiàn)代的觀點(diǎn)下可以理解為一次變換和代換。九章算術(shù)時(shí)代并沒有理解到變換和代換,但是這對以后宋、元時(shí)期高次方程的解法是有深遠(yuǎn)影響的。九章算術(shù)方程章中的“方程”是專指多元一次方程組而言,與現(xiàn)在“方程”的含義并不相同。九章算術(shù)中多元一次方程組的解法,是將它們的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)用算籌擺成“方陣”(所以稱之謂“方程”。消元的過程相當(dāng)于現(xiàn)代大學(xué)課程高等代數(shù)中的線性變換。由于九章算術(shù)在用直除法解一次方程組過程中,不可避

19、免地要出現(xiàn)正負(fù)數(shù)的問題,于是在方程章第三題中明確提出了正負(fù)術(shù)。劉徽在該術(shù)的注文里實(shí)質(zhì)上給出了正、負(fù)數(shù)的定義:“兩算得失相反,要令正、負(fù)以名之”。并在計(jì)算工具即算籌上加以區(qū)別“正算赤,負(fù)算黑,否則以邪正為異”。這就是規(guī)定正數(shù)用紅色算籌,負(fù)數(shù)用黑色算籌。如果只有同色算籌的話,則遇到正數(shù)將籌正放,負(fù)數(shù)時(shí)邪(同斜放。宋代以后出現(xiàn)筆算也相應(yīng)地用紅、黑色數(shù)碼字以區(qū)別正、負(fù)數(shù),或在個(gè)位數(shù)上記斜劃以表示負(fù)數(shù),如(即1824,后來這種包括負(fù)數(shù)寫法在內(nèi)的中國數(shù)碼字還傳到日本。關(guān)于正、負(fù)數(shù)的加減運(yùn)算法則,“正負(fù)術(shù)曰:同名相除,異名相益,正無入負(fù)之,負(fù)無入正之。其異名相除,同名相益,正無入正之,負(fù)無人負(fù)之”。這里所說的“同名”、“異名”分別相當(dāng)于現(xiàn)在所說的同號、異號?！跋嘁妗?、“相除”是指二數(shù)相加、相減。術(shù)文前四句是減法運(yùn)算法則:(1如果被減數(shù)絕對值大于減數(shù)絕對值,即a>b0,則同名相除:(±a-(±b=±(a-b,異名相益:(±a-(b=±(a+b。(2如果被減數(shù)絕對值小于減數(shù)絕對值,即b>a0。如果兩數(shù)皆正則a-b=a-a+(b-a=-(b-a。中間一式的a和