第十九章四邊形知識(shí)與題型總結(jié)

1、第十九章四邊形知識(shí)與題型總結(jié)一.本章知識(shí)要求和結(jié)構(gòu)1. 掌握平行四邊二典型題型歸納（一）概念題1. Q ABCD中，/ A的平分線(xiàn)分BC成4cm和3cm兩條線(xiàn)段, 則QABCD的周長(zhǎng)為 .2. 在 Q ABCD 中，/ C=60o,DE丄 AB 于 E,DF丄 BC 于 F.(1) 則/ EDF=;(2) 如圖，若 AE=4 , CF=7 ,Q ABCD周長(zhǎng).貝U ABCD周長(zhǎng)=若AE=3 , CF=7 ,請(qǐng)作出對(duì)應(yīng)圖形，并求3. (1)在平行四邊形 ABCD中，若/ C=Z B+ / D,則/ A= .(2) 已知在 Q ABCD，/A比/ B小20o，則/ C的度數(shù)是 (3) 在QABCD

2、 中，周長(zhǎng)為 100cm, AB-BC=20cm，貝U AB=BC= .cm.(4) 在 ABCD 中，周長(zhǎng)為 30cm,且 AB : BC=3 : 2，貝V AB=（5）（2007河北?。┤鐖D， 若口A(yíng)BCD與 EBCF關(guān)于BC所在直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，/ABE = 90,則/ F = .4. （ 2007福建福州）下列命題中，錯(cuò)誤的是（）A 矩形的對(duì)角線(xiàn)互相平分且相等B 對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形是菱形C.等腰梯形的兩條對(duì)角線(xiàn)相等D 等腰三角形底邊上的中點(diǎn)到兩腰的距離相等5. （2007浙江義烏）在下列命題中，正確的是（）A 一組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形B .有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形C.有一組鄰邊

3、相等的平行四邊形是菱形D .對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分的四邊形是正方形6. （2007甘肅隴南）順次連結(jié)任意四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形一定是（A 平行四邊形B 菱形C 矩形D 正方形7. （2007四川眉山）下列命題中的假命題是（）A 一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形B 一組鄰邊相等的矩形是正方形C 一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形D 一組對(duì)邊相等且有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形8. （2007四川成都）下列命題中，真命題是（）A.兩條對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形是矩形E.兩條對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形是菱形C. 兩條對(duì)角線(xiàn)互相垂直且相等的四邊形是正方形D. 兩條對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形9. （2007浙

4、江嘉興）如圖，在菱形 ABCD中，不一定成立的（）A. Q ABCD E. AC 丄 BD C.等邊 ABD D./ CAB=Z CAD（二）圖形的性質(zhì)和判定方法10. 如圖，已知四邊形 ABCD是正方形，分別過(guò) A、C兩點(diǎn)作l !/1 2，作BM丄l 2于M ,DN丄1 2于N，直線(xiàn)MB、ND分別交1 i、1 2于Q、P,試判斷四邊形 PQMN的形狀.而且 AE=BF=CG=DH ,求證：四邊形EFGH為正方形.11. 如圖，在正方形ABCD中，E、F、G、H分別為正方形邊上的點(diǎn),A12. 如圖，在矩形 ABCD中，E是CD邊上一點(diǎn),AE=AB , AB=2AD，求/ EBC 的度數(shù)（三）轉(zhuǎn)

5、化 的思想一一 將梯形問(wèn)題 通過(guò)化歸、 分割、拼接轉(zhuǎn)化成三角形和平行四邊形問(wèn)題 如圖所示:13. 填空(1) 等腰梯形上底長(zhǎng)為 3cm，腰長(zhǎng)為4cm，其中銳角等于60o,則下底長(zhǎng)是 .(2) 等腰梯形一個(gè)底角是 60o它的上、下底分別是8和18,則這梯形的腰長(zhǎng)是，高是，面積是.(3) 在直角梯形中，垂直于底的腰長(zhǎng)5cm，上底長(zhǎng)3cm，另一腰與下底的夾角為 30o,則另一腰長(zhǎng)為 ，下底長(zhǎng)為 .(4) 等腰梯形兩對(duì)角線(xiàn)互相垂直，一條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為6，則高為 ,面積為.(5) 已知在梯形 ABCD中，AD/BC，若兩底AD、BC的長(zhǎng)分別為2、8, 兩條對(duì)角線(xiàn) BD=6 , AC=8，則梯形的面積為 .(

6、四) 推理論證的進(jìn)一步鞏固14. (2007恩施自治州)如圖，平行四邊形 ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O,E、F是直 線(xiàn)AC上的兩點(diǎn)，并且 AE=CF,求證：四邊形 BFDE是平行四邊形.DE相交于點(diǎn)15. 如圖，在平行四邊形 ABCD中，E、F分別是直線(xiàn) AB、CD的中點(diǎn), G, CE、BF交于點(diǎn)H .求證：四邊形 GEHF是平行四邊形.16平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、AD上，且 AF=CE ,求證:四邊形AECF是平行四邊形A17求證：正方形的兩條對(duì)角線(xiàn)將之分成四個(gè)全等的等腰直角三角形.18. 已知點(diǎn) E、F在正方形 ABCD的邊BC、CD上，(1 )若 BE=CF，如

7、圖 13(1).求證：AE=BF 并且 AE 丄 BF ;(2)若E、F分別是BC、EF的中點(diǎn)，如圖DF13(2)，求證：GD=AD .DBEF19. （2007浙江金華）國(guó)家級(jí)歷史文化名城一一金華，風(fēng)光秀麗，花木蔥蘢.某廣場(chǎng)上一個(gè)形狀是平行四邊形的花壇（如圖），分別種有紅、黃、藍(lán)、綠、橙、紫6種顏色的花.如果有AB / EF / DC , BC / GH / AD，那么下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（A 紅花、綠花種植面積一定相等B .紫花、橙花種植面積一定相等C.紅花、藍(lán)花種植面積一定相等D .藍(lán)花、黃花種植面積一定相等20. （ 06鹽城）已知 ABCD的面積為4,對(duì)角線(xiàn)交于 O,貝y Sa aob

8、= .21. 若A,B,C三點(diǎn)不共線(xiàn)，則以其為頂點(diǎn)的平行四邊形共有（A . 1個(gè)B . 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)紫G橙藍(lán)仏H22平行四邊形一邊長(zhǎng)為10，一條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為6,則它的另一條對(duì)角線(xiàn)a的取值范圍是（A.4a16B.4a26C. 12a20D.8a -S4的面積為S,則厶ABE的面積為（）第33題圖1 丄屮AD 丄 BD，/ A= / ABC，如果 AD=2 ,2，面積是.35.如圖，在矩形ABCD中，過(guò)BD上一點(diǎn)K分別作矩形兩邊的平行線(xiàn) MN和PQ,那么圖 中矩形AMKP的面積S1與矩形QCNK的面積S2的大小關(guān)系是S1 或“ ABC外角/ CAM的平分線(xiàn),CE丄AN,垂足為點(diǎn)E,ADC

9、E（1）求證：四邊形ADCE為矩形；（2）當(dāng) ABC滿(mǎn)足什么條件時(shí)，四邊形46. ( 05,青島)如圖，在等腰梯形F分別是BM CM的中點(diǎn).求證： ABMA DCM;B四邊形MENF是什么圖形？請(qǐng)證明你的結(jié)論；BC的中點(diǎn),E、若四邊形 MEN F是正方形，則梯形的高與底邊BC有何數(shù)量關(guān)系？并請(qǐng)說(shuō)明理由47. (2007四川資陽(yáng))如圖47(1)，已知P為正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC上一點(diǎn)(不與A、C重 合),PE丄BC于點(diǎn)E, PF丄CD于點(diǎn)F.(1)求證：BP=DP;如圖47(2),若四邊形 PECF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn) 過(guò)程中是否總有 BP=DP ?若是，請(qǐng)證明之；若不是， 請(qǐng)舉出反例；試選取正

10、方形 ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)，分別與四邊形 PECF的兩個(gè)頂點(diǎn)連結(jié)，使得到的兩條線(xiàn)段在旋轉(zhuǎn)的過(guò) 程中長(zhǎng)度始終相等，并證明之 第47題圖1第47題圖2(八)函數(shù)的思想在本章中的運(yùn)用48、(2007南充改編)等腰梯形 ABCD中，AB= 15, AD = 20,/ C= 30o. M、N同時(shí)以相同速度分別從點(diǎn) A、點(diǎn)D開(kāi)始在A(yíng)B、AD (包括端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng).(1 )設(shè)ND為X,用x表示出點(diǎn)N到AB的距離，并寫(xiě)出x的取值范圍.(2) 設(shè)t=10-x，用t表示 AMN的面積.(3) 求厶AMN的面積的最大值，并判斷取最大值時(shí)AMN的形狀.49. (2006泰州)將一矩形紙片 OABC放在直角坐標(biāo)系中，O為原

11、點(diǎn)，C在x軸上，OA=6 ,OC=10.(1)如圖1,在OA上取一點(diǎn)丘，將厶EOC沿EC折疊，使 O點(diǎn)落在A(yíng)B邊上的D點(diǎn)，求E點(diǎn)的坐標(biāo)；（2） 如圖2,在OA 、0C邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn) E、F，將 EOF沿EF折疊，使0點(diǎn)落在 A B 邊上的D點(diǎn)，過(guò)D作D G/A 0 交E F于T點(diǎn)，交0C于G點(diǎn)，求證：TG=A E .（3） 在（2）的條件下，設(shè) T （x, y）,探求：y與x之間的函數(shù)關(guān)系式并指出變量x的取 值范圍（4） 如圖3,如果將矩形 OABC變?yōu)槠叫兴倪呅?OA B C,使0C =10, 0C邊上 的高等于6,其他條件均不變，探求：這時(shí) T （x, y）的坐標(biāo)y與x之間是否仍然滿(mǎn)足（

12、3） 中所得的函數(shù)關(guān)系，若滿(mǎn)足，請(qǐng)證明之；若不滿(mǎn)足，寫(xiě)出你認(rèn)為正確的函數(shù)關(guān)系式X 0 G F C(3)_ nH50. （08 通州 22 改編）如圖，在 Q ABCD 中，AB=8 cm , AD=6 cm ,/ DAB=60。，點(diǎn) M是邊AD上一點(diǎn)，且 DM=2 cm，點(diǎn)E、F分別是邊 AB、BC上的點(diǎn),EM、CD的延長(zhǎng)線(xiàn)交于 G , GF交AD于O,設(shè)AE=CF=x ,試用含x的代數(shù)式表示 CGF的面積；G,g C當(dāng)GF丄AD時(shí)，求AE的值.S7 E 第50題圖（九）翻折問(wèn)題（特殊四邊形的折疊問(wèn)題）51沿特殊四邊形的對(duì)角線(xiàn)折疊（06.浙江嘉興）如圖，矩形紙片ABCD AB=2 / ADB=

13、30，沿對(duì)角線(xiàn) BD折疊（使 ABDD和厶EBD落在同一平面內(nèi)），貝U A、E兩點(diǎn)間的距離為 1DCAFB2第52題圖第51題圖52沿特殊四邊形的對(duì)稱(chēng)軸折疊如圖，已知矩形ABCD的邊 AB=2,ABM BC,矩形ABCD的面積為S,沿矩形的對(duì)稱(chēng)軸折疊一次得到一個(gè)新的矩形，則這個(gè)新矩形對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為53使特殊四邊形的對(duì)角頂點(diǎn)重合折疊（05,山東威海）如圖，梯形紙片ABCD / B=60 , AD/ BC, AB=AD=2BC=6將紙片折疊，使點(diǎn)AD BBECB與點(diǎn)D重合，折痕為D CEAE,貝y CE=第53題圖第54題圖第55題圖54使特殊四邊形一頂點(diǎn)落在其一邊上而折疊如圖，折疊矩形的一邊 CD,

14、使點(diǎn)C落在A(yíng)B上的點(diǎn)F處，已知AB=10cm BC=8cm,貝U EC的長(zhǎng)為 55使特殊四邊形兩頂點(diǎn)落在其一邊上而折疊（崇文）如圖，在梯形ABCD中，DC/ AB,將梯形對(duì)折，使點(diǎn)D、C分別落在A(yíng)B上的D、Ccm.處，折痕為 EF,若 CD=3cm EF=4cm 貝U AD +BC =56使特殊四邊形一頂點(diǎn)落在其對(duì)稱(chēng)軸上而折疊如圖，已知EF為正方形ABCD的對(duì)稱(chēng)軸，將/A沿DK折疊，使它的頂點(diǎn) A落在EF上的GM_第56題圖第57題圖57使特殊四邊形一頂點(diǎn)落在其對(duì)稱(chēng)軸上而折疊（2）如圖，有一塊面積為 1的正方形ABCD, M、N分別為AD BC邊的中點(diǎn)，將 C點(diǎn)折至MN上,落在點(diǎn)P的位置，折痕

15、為 BQ,連結(jié)PQ.丄（1求 MP的長(zhǎng)度； 求證：以PQ為邊長(zhǎng)的正方形的面積等于 s .58兩次不同方式的折疊（06.淄博市）如圖，將一矩形形紙片按如圖方式折疊,BC、BD為折痕，折疊后 AB與EB在同一條直線(xiàn)上 則/ CBD的度數(shù)為（）DCABA.大于90B.等于90C.小于90 D.不能確定59三次不同方式的折疊（03，山西）如圖，取一張矩形的紙片進(jìn)行折疊，具體操作過(guò)程如下：第一步：先把矩形ABCD對(duì)折，折痕為 MN,如圖；第二步：再把B點(diǎn)疊在折痕 MN上，折痕為AE,點(diǎn)B在MN上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 B,得RtA AB E, 如圖；第三步：沿EB線(xiàn)折疊得折痕 EF,如圖利用展開(kāi)圖探究：厶AEF是什么三角形？證明你的結(jié)論； 對(duì)于任意的矩形，按照上述方法是否都能折出這種三角形？并證明之CNDN（十）動(dòng)手操作實(shí)踐60. （2007湖南懷化）如圖，將一張等腰直角三角形紙片沿中位線(xiàn)剪開(kāi)可以拼成不同形狀的 四邊形，請(qǐng)畫(huà)出所有可能四邊形并寫(xiě)出的它的名稱(chēng)61. （05棗莊,9分）如圖1四邊形ABCD是等腰梯形，AB/ DC由四個(gè)這樣的等腰梯形可以拼出圖2所示的平行四邊形(1) 求出梯形ABCD四個(gè)內(nèi)角的度數(shù)；(2) 試探究梯形 ABCD四條邊之間存在的等量關(guān)系，并證明之；(3) 現(xiàn)有圖1中的等腰