第四章Lebesgue積分的知識要點與復(fù)習(xí)自測

1、第四章Lebesgue積分的知識要點與復(fù)習(xí)自測一、非負(fù)簡單函數(shù)與非負(fù)可測函數(shù) L積分的知識要點：體會非負(fù)簡單函數(shù)、非負(fù)可測函數(shù)L積分的定義，理解為什么它們的L積分總是 存在的，并且為什么它們的L積分都可用下方圖形的測度來表示；能正確地區(qū)分非負(fù)簡單函數(shù)L積分存在與L可積的差異；非負(fù)可測函數(shù)L積分存 在與L可積的差異；熟練掌握非負(fù)簡單函數(shù)與非負(fù)可測函數(shù)L積分的常用基本運算性質(zhì)【數(shù)乘性、加法性、不等式性質(zhì)、集合的可加性和完全（可數(shù)）可加性、集合的單調(diào)性和唯一性（即 幾乎處處相等的非負(fù)簡單函數(shù)或非負(fù)可測函數(shù)的L積分必相等）】,并能熟練地運用這些性質(zhì)進(jìn)行積分的運算。熟練掌握并能正確地敘述非負(fù)可測函數(shù)列L

2、積分的兩個重要的極限定理（Levi定理和Fatou引理）；能正確地區(qū)分這兩個定理各自的適用范圍（Levi定理只適合于單 調(diào)遞增的非負(fù)可測函數(shù)列，而 Fatou引理對任意的非負(fù)可測函數(shù)列都適合）；會用Levi 定理證明非負(fù)可測函數(shù)項級數(shù)的逐項積分性（Lebesgue基本定理），會用Lebesgue基 本定理證明非負(fù)可測函數(shù)L積分的集合的完全可加性；會用 Levi定理證明非負(fù)可測函 數(shù)L可積的重要性質(zhì)一積分的絕對連續(xù)性。注意體會將非負(fù)可測函數(shù)根據(jù)集合的可數(shù)不交的可測分解，借助集合的示性函 數(shù)轉(zhuǎn)化為非負(fù)可測函數(shù)項級數(shù)的方法；注意體會將非負(fù)可測函數(shù)通過截斷函數(shù)轉(zhuǎn)化為單調(diào)遞增非負(fù)可測函數(shù)列的極限的方法。

3、會用積分的幾何意義簡潔地證明：非負(fù)可測函數(shù)的L積分與表示它的單調(diào)遞增非負(fù)簡單函數(shù)列的選取無關(guān)；以及 Levi定理掌握并會證明有關(guān)非負(fù)可測函數(shù) L積分的以下幾個重要的結(jié)論: 設(shè)f(x)為可測集E上的非負(fù)可測函數(shù)，貝U f(x)dx = O二f(x) = Oa.e.于E (稱E為非負(fù)可測函數(shù)積分值為零的特征); 設(shè)f (x)為可測集E上的非負(fù)可測函數(shù)，貝U f(x) L(E)= f(x)在E上幾乎處處有限(稱為非負(fù)可測函數(shù)L可積的有限性，注意L積分存在不具有這個性質(zhì)); mE ： : , f (x)為E上幾乎處處有限的非負(fù)可測函數(shù)，lyj滿足：yn L ， lim yn - ：， yo =0， y

4、n “ 一 yn ：、，rL-cQO則 f(x)E L(E)二 z ynmEx yn 蘭 f (x) <ynv 母；n=0 (非負(fù)可測函數(shù)L可積的積分絕對連續(xù)性)設(shè)f(x)為可測集E上的非負(fù)可測函數(shù)，若f(x) L(E)，則-A E，A為可測集，總有匹0.f(x)dx=0，A即-；.0,.0，使得-A E，A為可測集，當(dāng)mA：，時，總有0 一 f (x)dx ：；。A的另一種表示：若0乞f(x) L(E)，可測集enE，且lim me = 0，貝Un咨lim f(x)dx = 0。n -en將非負(fù)可測函數(shù)f (x)表示成單調(diào)遞增非負(fù)可測函數(shù)列的極限的幾種方法: 對任意自然數(shù)m，先將u k

5、 k 10,鬥0, m) 一 m：=壯歹，)- m,二，Am2m2Ex f(x)2m=Em,kk=£再利用逆象集的保持集合的運算性得m2m 4E = Ex 0 蘭 f (x)蘭+比=匕 Ex作非負(fù)簡單函數(shù)列；m(X)二kk+1“m歹-O,1，"2 -1k2mx 乏 E x f (x) Z m則m(X)L，且m (m)x (1)x(將非負(fù)可測函數(shù)表示成單調(diào)遞增非負(fù)簡單函數(shù)列的極m_ac限的方法) 對任意自然數(shù)n，取fn(x) = minn, f (x) = f(x)， f(x) 一門稱為n截斷函E， f(x)> n數(shù)，則fn(X)L ，且 lim fn(x) = f(X

6、)。n(將非負(fù)可測函數(shù)表示成單調(diào)遞增非負(fù)可測函數(shù)列的極限的截斷函數(shù)法) 若0< f (xH : a.e.于 E，取f(x)n = f(x)，f(x)"，則n 0, f(x) n'fn(x)L ，且 lim fn (x) = f (x) a.e.于 E。 若f(x)在可測集E上非負(fù)可測，記En二E、B(0, n)(顯然En，且En收斂于E)， fn(x Kf x(En x，其中%En(X)為En的特征函數(shù)，則fn(x)，且 lim fn (x f (x)。二、一般可測函數(shù)L積分的知識要點：掌握一般可測函數(shù)L積分的定義，理解為什么并非可測集上的任何可測函數(shù)都有L積分，并知道

7、一般可測函數(shù)L可積的含義，以及與L積分存在的區(qū)別；熟練掌握L可積函數(shù)的常用性質(zhì)【絕對可積性、有限性、唯一性、線性性、不等式性、集合的完全可加性、積分的絕對連續(xù)性】熟習(xí)積分絕對連續(xù)性的三種表現(xiàn)形式: f(x) L(E)= - ； V , 0，使得-A E，A為可測集，當(dāng)mA"時，總 有 f f (x)dx £ 名；A f(x) L(E)= - A E , A為可測集，總有f(x)dx = O ;A f(x) L(E)= -enE , en為可測集，只要 lim me 0 ,總有，lim f(x)dx=0。nn_c *en熟練掌握L積分的控制收斂定理的兩種形式：=幾乎處處收斂意

8、義下的Lebesgue控制收斂定理：依測度收斂意義下的Lebesgue控制收斂定理：以及在mE ： :下的有界控制收斂定理。并能利用控制收斂定理解決一些簡單的問題(如：求某些由積分定義的數(shù)列的極限，證明一般可測函數(shù)L 積分的逐項積分性(P112 第37題)等。通過幾乎處處收斂意義下的Lebesgue控制收斂定理的證明仔細(xì)體會 Fatou引理 在討論可測函數(shù)列L積分與極限可交換性問題中的作用，進(jìn)而明白并掌握合理利用 Fatou引理討論積分與極限可交換性問題的方法。通過依測度收斂 意義下的Lebesgue控制收斂定理的證明仔細(xì)體會反證法和 F.Riesz定理的聯(lián)合試使用在討論可測函數(shù)列 L積分與極

9、限可交換性問題中的作用，進(jìn) 而明白并掌握合理利用反證法和 F.Riesz定理討論積分與極限可交換性問題的方法。R 積分與L 積分的關(guān)系的知識要點:掌握R 正常積分與L積分的關(guān)系；在一定條件下的R 反常積分與L 積分 的關(guān)系；并能利用這些關(guān)系來求某些函數(shù)的 L積分的值(注意：在求值時，往往需要 先利用積分的惟一性將所求積分轉(zhuǎn)化為某 R 可積函數(shù)的L 積分，然后再利用關(guān)系)， 判斷某些函數(shù)的L 可積性。理解函數(shù)R可積與函數(shù)連續(xù)的關(guān)系，并能利用這種關(guān)系判斷某些函數(shù)R 不 可積四、Fubini定理的知識要點：能正確理解并掌握Fubini定理的條件，正確敘述Fubini定理(包括 非負(fù)可測函 數(shù)的情形與

10、一般可測函數(shù)的情形),并了解利用Fubini定理解決概率論中的一些簡單的 問題的方法(如：卷積不等式，利用分布函數(shù)將重積分轉(zhuǎn)化為單積分)，并會用Fubini定理證明一些累次積分的可交換性。五、幾種常用的轉(zhuǎn)換方法:將可測子集上的積分轉(zhuǎn)化為Rn上的積分的方法設(shè)f(x)是Rn上的可測函數(shù),E Rn是可測集,.f(x)dx存在，記RnF(x) = f(x) e(x)斗0(X)，x：E0,x老 E，則 J fx)d Fx jxdERn(將子集上的積分轉(zhuǎn)化為Rn上的積分的方法);將可測函數(shù)表示成一列可測函數(shù)列的極限的幾種有效方法 設(shè)f (x)為可測集E上的可測函數(shù)， 記 En = EB(0, n)， fn

11、(x) = f (x) En(x)，其中En(x)為 En 的特征函數(shù)，貝Ulim fn (x)二 f (x) , x E;注意 B(0, n)也可記為 B(0,n)二x| x| ；： n。一般地，任取 ynL 址，記 En=ECB(0 y，fn(X)= f(X)En(X)，其中/呂(刈為 En 的特征函數(shù)，貝則 nm fn(x) = f(X), X E。注意 B(0, yn)也可記為 B(0, %)二x|x : yn。 設(shè)f (X)是可測集E上的可測函數(shù)， En是E的一列收斂于E的可測子集，記 fn(x) = f (x) En(x) ( XE )，其中 ZEn(x)為 En 的特征函數(shù)，貝

12、Ulim fn(x) = f (x), x E。n i:E En，En單調(diào)遞 n=1 設(shè)fn(x)(n =1211() , f(x)都是可測集E上的可測函數(shù),增,En為E的一列可測子集，且lim fn(x)二f(x), x E，記 n_cfn(X)= fn(X)撫En(X)( XE E)，其中En(X)為En的特征函數(shù)，則仍有nimfn(X)=f(x), XE E。 設(shè)f (x)是可測集E上的可測函數(shù)， En是E的一列收斂于E的可測子集，且lim fn(X)=f(X), XEE，記 fn(X=fn)X 電 X( XE),其中戈十)為 En 的特征函數(shù)，n i ：n則仍有 lim f n (x)

13、二 f (x), x E。n_ic 由”戈口仁3-f(X)dx = O可以推出|fn(x)- f(x*于E，進(jìn)而推出f n ( x)- f ( X于 E。復(fù)習(xí)自測題:1、據(jù)理說明下面所列的結(jié)論是否成立:(1)設(shè)E Rn為可測集，f (x)為E上的非負(fù)簡單函數(shù)或非負(fù)可測函數(shù)，則f (x)為E上的Lebesgue可積函數(shù);(2)設(shè)E Rn為可測集，f (x)為E上的可測函數(shù)，則 f (x)為E上的Lebesgue可積函數(shù)；(3)設(shè)E Rn為零測集，f (x)為E上的可測函數(shù)，則 f (x)為E上的Lebesgue可積函數(shù)；(3)設(shè)ERn為可測集，且mE ： :, f (x)為E上的可測函數(shù)，則f(

14、x)為E上的Lebesgue可積函數(shù)；(4)設(shè)ERn為可測集，且mE：，若f (x)為E上的有界可測函數(shù)，則f (x)為E上的Lebesgue可積函數(shù);od(5)設(shè)ERn為可測集，fk(x) ,k=1,2|l為E上的一列非負(fù)可測函數(shù)，則f(x)=v fk(x)k=1為E上的Lebesgue可積函數(shù);(6 )設(shè)E Rn為可測集，fk(x) , k =1,2川1為E上的一列非負(fù)可測函數(shù)，且lim fk(x)二 f (x)，則 f (x)為 E 上的 Lebesgue可積函數(shù)；j(7) 設(shè)ERn為可測集，fk(x) ( k =1,2,|l )為E上的一列非負(fù)可測函數(shù)，則lim fk(x)和k_scl

15、im fk (x)為E上的Lebesgue可積函數(shù)；k_ ：:(8) 設(shè)ERn為可測集，f (x)為E上的非負(fù)可測函數(shù)，貝Uf (x)在E上幾乎處處有限；2、利用積分的絕對連續(xù)性解決下面的問題： 設(shè) EuRn 為可測集,f(x)L(E)，記 Ek =Ex|f (x)岸 k，k=1,2川，則(1) limmEk=O， limkmEk=O, lim f(x)dx = O ； k咨k護(hù)k_咨 Ek(2) 0 蘭 f (x)| < p a.e.于 E。 設(shè)E Rn為可測集，f(x) L(E)，則(1) 對任意；0，存在Rn上的連續(xù)函數(shù)；(x)，使得，JeFX)- f(x) dx<E ；提示

16、：注意恰當(dāng)利用延拓形式的魯金定理。(2)存在Rn上的一列連續(xù)函數(shù);：k(x)，使得，1JE|®k(x)-f(X)dx<，進(jìn)而 kmEPk(x)-f (x) dx = 0。設(shè)E Rn為可測集，0乞f(x)L(E)，記0 蘭九=JE f(x)dx£ 母，F(xiàn)(0)=0, F(r) =鼻宀©。f(x)dx，其中 B(0,r) - ;x d(x,0) ： r ，貝U(1) limF(r)=0, F(r)在(0,：)上單調(diào)遞增且連續(xù)；rT0十(2) lim F (r)二 f (x)dx ；E = E1E2,E f(x)dx=E2 f (x)dx。提示：(1 )利用積分的

17、絕對連續(xù)性以及集合的單調(diào)性;(2) 注意到極限的歸結(jié)原則以及qQE 二 E - 0 一 ” E - B(0, k)二 lim E' B(0, k),fk(x)二 f(x) E B(0,k) L f(x),用 Live 定理可得，lim F(n) f (x)dx ;J和'E(3) 對F(r)用連續(xù)函數(shù)的介值性得出，存在可測子集EiE，使1e f (x)dx =再取E2二E Ei注意到積分的集合可加性即可得出.f(x)dx二3、利用Live定理解決下面問題:設(shè)E Rn是可測集，f (x)為E上的非負(fù)可測函數(shù)，且f (x) ”駐*于E，記Ek = E x ( X ,證明：(1) En

18、L ，且 EEk = lim Ek ;k 斗k(2) fk(x) = f(x)0EK(x)L，且 lim fk(x) = f (x)，其中 3ek(x)為 Ek 的示性函數(shù);17f(x)dx f(x)dx。4、利用Fatou引理解決下面的積分與極限的可交換性問題： 設(shè)ERn為可測集，fk(x),k =1,2川|為E上的可測函數(shù)，若lim fk(x) = f (x) a.e.于 E，且存在 0 蘭 g(x)乏 L(E)，使得，fk(x)蘭 g(x) a.e.于 E，貝U k f(x), fk(x) L(E),k=1,2,川,Pm 口 fk(x)f(x)dx = 0，進(jìn)而kmJE fk(x)dx=

19、 JE f (x)dx。提示：取 Fk(x) =2g(x) - fk(x) - f (x)用 Fatou 引理。 設(shè) ERn 為可測集,f(x), fk(x) L(E),k =1,2,11，若kim fk (x f (x) a.e.于 E，且 kimf J fk(x) dx= f J f (x) dx ,則 lim fk(x) _ f (x) dx =0，進(jìn)而 lim f fk(x)dx= f (x)dx。 ko 'EkQ L E E提示：取 Fk(x) =| fk (x)| +| f (x) - fk(x) - f (x)用 Fatou 引理。設(shè)ERn為可測集，fk(x),k =1,

20、2,|為E上的可測函數(shù)，若lim fk(x) = f (x) a.e.于 E，且存在 0 zgk(x), g(x) L(E)，使得， k_ ：:fk(x) <gk(x) , pm gk(x) =g(x) a.e.于 E , Ijm JE gk(x)dx = J g(x)dx ,則 f (x), fk(x) E L(E), k =1,2，川,lim fE f/x) f (x) dx =0，進(jìn)而* EE fk(x)dx = JE f (x)dx。提示：取 Fk(x) =gk(x)+g(x) - fk(x) - f (x)用 Fatou 引理。5、利用幾乎處處收斂意義下的Lebesgue控制收

21、斂定理和 F.Riesz定理以及反證法解決下面的積分與極限的可交換性問題：設(shè)EuRn為可測集，fk(x)( k=1,2,|)， f (x)為E上幾乎處處有限的可測函數(shù)，若 fk(x)二 f(x)于 E，且存在 0 蘭g (x) L (E,)使得，| fk(x)| 蘭 g(x) a.e.于 E，貝U f (x), fk(x)E L(E),k =1,2,川,lim JE | fk(x) f (x)| dx = 0,進(jìn)而k邊 EE fk(x)dx = Je f (x)dx。設(shè) ERn 為可測集,f(x), fk(x) L(E),k =1,2,11，若fk(x)二 f (x)于 E，且 kimfj f

22、k(x) dx= f J f (x) dx,則 limh fk(x) - f (x) dx =0，進(jìn)而 pm L fk(x)dx = fE f (x)dx。設(shè)EuRn為可測集，fk(x) ( k=1,2川I), f (x)為E上幾乎處處有限的可測函數(shù)，若fk(x)= f(x)于 E，且存在 0 5k(x),g(x) L(E)，使得,fk(x) gk(x)，Pmgk(x) =g(x) a.e.于 E，kim fE gk(x)d f g(x)dx，kEE則 f (x), fk(x)乏 L(E), k =1,2,川，kim Je | fk(x) - f (x) dx =0，進(jìn)而k EE fk(x)d

23、x 二 e f (x)dx。設(shè)EuRn為可測集，f/x)( k=1,2川|)，f (x)為E上幾乎處處有限的可測函數(shù)，若fk(x)= f(x)于 E，且存在 0 “k(x),g(x) L(E)，使得,fk(x) <gk(x)于 E，”殳鼻2*以)一g(x) dx = 0，則(1)e g(x)dx ；g/x)二 g(x)于 E，且 lim e gk(x)dx 二L E(2)f(x), fk(x) L(E),k =1211(，lim fE fk(x) - f (x) dx =0，進(jìn)而kim，Efk(x)dx 二 ef (x)dx。提示：(1)注意到JEgk(x)dx JEg(x)dx 蘭 J

24、E gk(x)g(x)dx 和戛鼻 gk(x) g(x) dx = 0，立即可得,E gk(x)dx 二 E g(x)dx。對任意；.o，注意到wmEx|gk(x) g(x)啟司蘭陰畑(刈恥)期冰儀)一g(x) dx =0 童 JE|gk(xHg(x) dx和 lim J |gk(x)g(x) dx =0可得，k l _ EX- - E m s lim;(x) g(x)啟可=0,即 kimmEx|gk(x) g(x)蘭引=0 ,所以 gk(x)= g(x)于 E。(2)用反證法，并利用(1) , F.Riesz和即可。6、利用Lebesgue控制收斂定理或Live定理解決下面的極限問題:證明:

25、f kxkm(0,1rT7sinkxdx"；3k2xlim十 sinkxdx 二 0 ；k.-' (0,1 1 k2x2kx2(0，1 1 k2x2sin kxdx = 0。(2) limkc樸0,耳(1 匚)km1下甘處1。7、利用L積分與R積分的關(guān)系計算下面的 L積分:- 2xex ,(1)設(shè)Q為0,1上的有理數(shù)全體，f(x)=EJn(1 +x2)esine ,xQsin exx 0,1Q，求0,1 f(x)dx ；(2)設(shè)Q為0J上的有理數(shù)全體，f(x)"2,l n(1+x2)esx 0, ：) Qsin ex0,：)f (x)dx;(3)設(shè)P為0,1上的三分

26、Cantor集,x 0,1'3 x2lx e ,f (x)2sin ex.sin 1+1 n(1 +x ) le ,Px 0, ：) E0,1 f(x)dx ；xe»,(4)設(shè) E 0)，mE° f(x)*sinx2)esinex,x E0, ：) f(x)dx。8、用Fubini定理解決下面的問題:設(shè)E Rp為可測集，F(xiàn)Rq為可測集，若f(x,y)為E F Rp Rq上的非負(fù)可測函數(shù)(或Lebesgue可積函數(shù))，則e f f(x, y)dxdy 二 e dx .F f (x, y)dy。9、(第3、4章的綜合題)設(shè)E Rn，mE f (x, y)為E R1上的實函數(shù)，1 1(1)若對幾乎所有的 x E， f (x, y)都是y在R上的連續(xù)函數(shù)；對任取的 y R ， f (x, y)都是x在E上的可測函數(shù)，證明：對于任何E上的實值可測函數(shù) g(x)，F(xiàn)(x)L f (x,g(x)也是E上的可測函數(shù)。(2)設(shè)f (x, y)還滿足：存在常數(shù) 0 _ C ： :，使得，對任意x三E, y三R1,f(x, y)乞 C 1 y ,若 gn(x), g(x)是 E 上的可積函數(shù)，lim gn(x) =g(x) a.e.于 E，且n_icnimfE gn(x)dx=