等比數(shù)列的前n項和例題解析

1、等比數(shù)列的前n項和例題解析【例1】設(shè)等比數(shù)列的首項為a(a> 0),公比為q(q > 0),前n項和為80,其中最大的一項為 54,又它的前2n項和為6560,求a和q.解 由 Sn=80 , S2n=6560，故 q 工 1:a(1-qn)1-q=80a(1-q2n)= 6560= qn = 81 a>0, q> 1，等比數(shù)列為遞增數(shù)列，故前n項中最大項為an.二 an=aq n-1 =54將代入化簡得 a=q 1化簡得3a = 2q由，聯(lián)立方程組解得a=2, q=3【例2】求證：對于等比數(shù)列，有S2 + S2n = Sn (S2n + Sj .證 J Sn=a1 +

2、 aq+ aq2 + + aqn-1 S?n=Sn + (a1qn + a1 qn+1 + aq2 n-1) =Sn+qn (a + aq + + aq n-1)=Sn+=Sn(1 + qn)類似地，可得 S3n=S n(1 + qn+q2n)-si+sg： + Sn(1 + qn)22n , 2n 、=Sn (2 + 2q + q )Sn0n + S)二 Sn0(1 + q") + &(1 + q" + q) = sn(2 + 2qn + q2n)二 S： + S； = Snd + Sgn )說明本題直接運用前n項和公式去解，也很容易.上邊的解法，靈活地 處理了

3、s2n、S3n與Sn的關(guān)系介紹它的用意在于讓讀者體會利用結(jié)合律、提 取公因式等方法將某些解析式變形經(jīng)常是解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵，并且變得好， 則解法巧.【例3】 一個有窮的等比數(shù)列的首項為1,項數(shù)為偶數(shù)，其奇數(shù)項的和為85，偶數(shù)項的和為170,求這個數(shù)列的公比和項數(shù).分析 設(shè)等比數(shù)列為an,公比為q,取其奇數(shù)項或偶數(shù)項所成的數(shù)列仍然是等比數(shù)列，公比為q2,首項分別為a1, a1q.解 設(shè)項數(shù)為2n(n N*)，因為a=1，由已知可得qM 1 .6(1 - q2n)1 -q2=85dq(1 -q2n).1-q2= 170得：q=2把q = 2代入1 _4n得=85二 4n =256 n = 41-4

4、即公比為2，項數(shù)為&說明 運用等比數(shù)列前n項和公式進行運算、 推理時，對公比q要分情況 討論有關(guān)等比數(shù)列的問題所列出的方程(組)往往有高次與指數(shù)方程，可采用兩式相除的方法達到降次的目的.【例4】選擇題：在等比數(shù)列an中，已知對任意正整數(shù)n,有Sn=2n-1,則 a1 + a； + a：等于A .(2n - 1)2C. 2n - 11 n2B . - (2n - 1)231 nD . 3(4 - 1)解 D. ai =S 1=1 , an=Sn Sn_1=2 n 1 -an=2n-1 bn=(a n)2=(2 n-1 )2=22 n-2=4 n-1. 2 2 2 bi + b2 + bn

5、 = ai + a2 + + a2=1 + 4+ 42 + + 4n【例5】-14 一1J(4n3-1)設(shè)0v V v 1, m為正整數(shù)，求證:(2m + 1)Vm(1 - V) v 1-V2m+1分析 直接作，不好下手變形:(2m + 1)V m v-V1 -V右邊分式的外形，使我們聯(lián)想到等比數(shù)列求和公式，于是有:(2 m + 1)Vmv 1 + V + V2+ V2m發(fā)現(xiàn)左邊有(2m + 1)個Vm,右邊有(2m + 1)項，變形：Vm + Vm+-+ Vmv 1 + V + V2 + + V2m .顯然不能左右各取一項比較其大小，試用“二對二”法，即左邊選兩項與 右邊的兩項相比較鑒于左、

6、右兩邊都具有“距首末等遠的任意兩項指數(shù)之和 均相等”的特點，想到以如下方式比較：Vm + Vm v 1 + V2m , Vm + Vm v V + V2m-1，Vm+ Vm< Vm-1 +Vm+1 , Vm=Vm.即 2Vmv 1 + V2m, 2VmvV + V2m-1 ,立.根據(jù)“兩個正數(shù)的算術(shù)平均值大于等于其幾何平均值”,這些式子顯然成(具體證法從略).說明 本題最大的特點是解題過程中需要多次用到“逆向思考”2m TC1 一 V要證A Bv C(B > 0)，改證 A v -；見到 _V ,去逆向運用Sn =1 -q化成 1+ V + V2 + + V2m ;要證 A + B

7、 v C+ D，先證 A vC, BvD，等等善于進行逆向思考，是對知識熟練掌握的一種表現(xiàn)，同 時也是一種重要的思維能力，平時應(yīng)注意訓(xùn)練.【例6】數(shù)列an是等比數(shù)列，其中Sn=48 , S2n=60，求S3n.解法一利用等比數(shù)列的前 n項和公式若 q=1,貝V Sn=na，即 na1 =48, 2na=96M 60,所以1 S = na,1 -qn)1 -q2nai(1q )1 -q印(1 qn)(1+ qn)i q= Sn(1 qn)ai(1 q3n)-qi -qnn 2na" -q )(1 q q )i -q=Sn(1 + qn+q2n)1 1S3n = 48(1 4 + 16)

8、= 63解法二 禾U用等比數(shù)列的性質(zhì)：Sn,Sn，S3n S2n仍成等比數(shù)列(60- 48)2=48 (S3n 60)S3n=63 解法三取特殊值法取 n=1,貝V S=a=48 , S?" =S2=a + 玄2=60a2=12an為等比數(shù)列a2aia3 = 3S3n=S3=a1 + a2 + a3=63【例7】已知數(shù)列an中，Sn是它的前n項和，并且Sn+1=4an+ 2(n N*) , a1=1(1)設(shè)bn=an+1 - 2an(n N*)，求證：數(shù)列b n是等比數(shù)列;設(shè)Cn=(n N*)，求證：數(shù)列cn是等差數(shù)列.解(1) sn+1=4an + 2Sn+2=4an+1+ 2兩式相減，得Sn+2 Sn+1 =4an+1=4an(n N*)即：an+2=4an+1- 4an變形，得 an+2 2an+1=2(a n+1 2an)v bn=an+1 2an(n N*)bn+1=2bn由此可知，數(shù)列bn是公比為2的等比數(shù)列.由 S2=a + a2=4a + 2, a=1可得 玄2=5, b=a2 2a=3bn=3 2n-1an- Cn 二尹(n N*)Cn+1 _'Cnan i annin2 2an 12an2n 1