2009年高考熱點：數列熱點預測

1、 2009年高考熱點：數列問題熱點預測江蘇省東臺市五烈中學 黃良懷一、 知識點梳理 等差、等比數列的概念、性質、通項公式及遞推關系式 判斷或者證明數列為等差數列（或等比數列）數列的四種常用方法：定義法、通項公式法、前n項和的公式法、等差（或等比）中項法 在等差數列中，有關的最值問題的解決方法：一是用相鄰項異號法求解；二是用關于n的二次函數，由配方求得最值；特別要注意各項絕對值的數列的前n項和的最值，必須使用轉化、化歸的思想方法來解決 數列求和的常用方法：通過數列的通項的構成可有拆項分組（適用數列的構成是由幾個等差或等比數列的和或差）；裂項相消（“裂”成某個數列的相鄰兩項的差，后疊加）；錯位相減

2、（適用于一個等差數列的各項與等比數列的各項的相應乘積構成的數列） 注意在數列中的函數思想、方程的思想、分類討論的思想方法在數列綜合題中的應用二、 高考考點綜述數列是高中數學的得要內容，是高考的熱點，也是進一步學習數學的基礎，因此高考對這部分知識的考查的題型多樣、解答題的難度也較高縱觀近幾年的高考，關于數列的考查主要有以三個方面的內容：一是數列本身的知識，主要是等差數列、等比數列概念、通項公式、性質、前n項和公式；二是數列與其它知識的交匯如：與函數、方程、不等式、三角函數、解析幾何等知識的結合；三是數列的應用問題，主要是增長率、分期付款等試題主要體現中低檔題為小題，數列與幾何、函數、三角、不等式

3、知識的結合為綜合性高難度大的解答題三、 例題精析1數列本身的知識考查例1若等比數列的前項和為，則公比 點拔：本題是等比數列中問題，常用的方法是以和為未知數建立方程，解出和解析：2或 Þ q2或點評：數列中的填空題與選擇題，常常是考查數列的概念、性質、通項公式等，解決問題的方法，基本上是轉化為等差或等比數列，再用方程與數列性質來解決，即建立以和（或）為未知數建立方程，解出和（或），問題基本就可以解決了2數列與函數相結合的考查例2已知數列滿足，且（1）求數列的通項公式；（2）數列是否存在最大項？若存在最大項，求出該項和相應的項數；若不存在，說明理由點拔：根據所給的條件，從方程的角度來思考

4、，將當成末知數，則可得到一個關于的一元二次方程，用求根公式可求得第（2）問建立關于n的函數，再利用導數來判斷函數的單調性，進而可求得最值解析：（1）由得 由一元二次方程求根公式得 （2）由知數列各項滿足函數 當時，當時，即函數在上為減函數即有數列有最大項，最大項為第一項點評：本題第（1）問是用方程的思想看待等式，則可以用解方程來求解，通常在解等差數列、等比數列的問題時，常常將題設條件轉化成關于和d（或q）的方程（組）通過求解方程（組）來解決問題求數列中的最值問題一般是建立n的函數，但要注意n的取值為正自然數3數列與向量相結合的問題例3設軸、軸正方向上的單位向量分別是、，坐標平面上點、分別滿足下

5、列兩個條件：且；且（1）求及的坐標；（2）若四邊形的面積是，求的表達式；（3）對于（2）中的，是否存在最小的自然數M，對一切都有M成立？若存在，求M；若不存在，說明理由點拔：本題首先利用有向線段的向量加法寫出向量及的坐標，（2）問中利用直角坐標平面內的四邊形面積轉化為三角形面積來求解，（3）問是開放性的問題，常是先假設存在，然后去尋找或證明解：（1）（2）（3） ， ，等等即在數列中，是數列的最大項，所以存在最小的自然數，對一切，都有M成立點評：本題是向量與數列的結合，其實這里的向量只是個“外衣”，是個載體，利用向量的運算，就可以將向量的問題轉化為數列的問題4數列與解析幾何結合問題的考查 例4

6、如圖，在直角坐標系中，有一組對角線長為的正方形，其對角線依次放置在軸上（相鄰頂點重合）. 設是首項為，公差為的等差數列，點的坐標為.（1）當時，證明：頂點不在同一條直線上；（2）在（1）的條件下，證明：所有頂點均落在拋物線上；（3）為使所有頂點均落在拋物線上，求與之間所應滿足的關系式.點拔：數列與解析幾何相結合，常常通過點的坐標來聯系（1）中要證三點不在同一直線上，只要說明它們的斜率不等就可以了，（2）說明點在曲線上，就是說明點的坐標滿足方程（3）說明所有的點在曲線上，只要說明第n個點的坐標滿足曲線方程，就可以尋找到關系式解析：（1）由題意可知， . ， 頂點不在同一條直線上. （2）由題意可知，頂點的橫坐標， 頂點的縱坐標. 對任意正整數，點的坐標滿足方程， 所有頂點均落在拋物線上. （3）解法一 由題意可知，頂點的橫、縱坐標分別是 消去，可得 . 為使得所有頂點均落在拋物線上，則有 解之，得 . 所應滿足的關系式是：. 解法二 點的坐標為 點在拋物線上， . 又點的坐標為 且點也在拋物線上， ，把點代入拋物線方程，解得 . 因此， 拋物線方程為. 又 所有頂點落在拋物線上. 所應滿足的關系式是：. 點評：對于數列與解析幾何相結合的問題，這