等差等比數(shù)列復(fù)習(xí)含答案

1、等差等比數(shù)列復(fù)習(xí)1 等差數(shù)列的有關(guān)定義(1) 一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的 等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列符號(hào)表示為 (n N*, d為常數(shù))數(shù)列a, A,b成等差數(shù)列的等價(jià)條件是 ，其中A叫做a,b的2 等差數(shù)列的有關(guān)公式*(1) 通項(xiàng)公式：an =, an= am+(m, n N).(2) 前 n項(xiàng)和公式： Sn =.3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系Sn =務(wù)2+ ai學(xué)門.,數(shù)列an是等差數(shù)列的等價(jià)條件是其前n項(xiàng)和公式Sn=4 等差數(shù)列的性質(zhì)*(1)若 m+ n= p + q (m, n, p, q N ),則有，特別地，當(dāng) m+ n = 2p 時(shí)

2、，等差數(shù)列中，Sm, S2m Sm, S3m S2m成等差數(shù)列.等差數(shù)列的單調(diào)性：若公差d>0,則數(shù)列為;若d<0,則數(shù)列為 若d= 0，則數(shù)列為5.等比數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列從第 2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)(不為零)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的 ，通常用字母 表示(q工0) 6等比數(shù)列的通項(xiàng)公式設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比為q，則它的通項(xiàng)an =.7.等比中項(xiàng)：如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù) G,使a, G, b成等比數(shù)列，那么 G叫做a與b的等比 中項(xiàng).&等比數(shù)列的常用性質(zhì)*(1) 通項(xiàng)公式的推廣：an= am (n, m N )(

3、2) 若 an為等比數(shù)列，且 k+1 = m+ n (k,l ,m, n N )，則若an ,bn(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則入a(將0),a；,anbn,詈仍是等比數(shù)列.(4)單調(diào)性:a1>0，亠 a1<0小,仁或 0<q<1 ? an是數(shù)列;®>0,0<q<1a1<0或&>1? an是數(shù)列；q = 1? an是數(shù)列；q<0? an是數(shù)列.9等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等比數(shù)列 an的公比為q (qz 0)，其前n項(xiàng)和為Sn,當(dāng)q= 1時(shí)，Sn= na;Sn =a1q 1.a1(1 qn = a1(qn- 1 = agn1

4、 - q q 1 q 110.等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)公比不為-1的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,則Sn, S?n - Sn , S3n S2n仍成等比數(shù)列, 其公比為探究點(diǎn)一等差數(shù)列的基本量運(yùn)算 例1等差數(shù)列 an的前n項(xiàng)和記為Sn.已知a10= 30, a?0= 50,(1)求通項(xiàng) an； (2)若 Sn= 242，求 n.例1解題導(dǎo)引(1)等差數(shù)列an中，a1和d是兩個(gè)基本量，用它們可以表示數(shù)列中的任何一項(xiàng)，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，列方程組解a1和d,是解決等差數(shù)列問題的常用方法；(2)由a1, d, n, an, Sn這五個(gè)量中的三個(gè)量可求出其余兩個(gè)量，需選用 恰當(dāng)?shù)墓剑?/p>

5、利用方程組觀點(diǎn)求解.解 (1)由 a* =玄丄 + (n 1)d, a10= 30, a?0= 50,ai + 9d= 30,得方程組|a1 + 19d= 50,解得ai = 12,d= 2.(2)由 Sn= nai +n(n 1)2d, Sn = 242.所以 an= 2n+ 10.得 12n+ n(n 1)X 2 = 242.解得n= 11或n= 22(舍去).探究點(diǎn)二等差數(shù)列的判定31*1*例 2.已知數(shù)列an中，a1 = ? an = 2(n > 2, n N ),數(shù)列bn滿足 bn= (n N ).5an-1an I(1)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an中的最大值和最

6、小值，并說明理由.例2解題導(dǎo)引1.等差數(shù)列的判定通常有兩種方法：第一種是利用定義，即an an-1= d(常數(shù))(n2)，第二種是利用等差中項(xiàng)，即2a. = a.+1 + an1 (n > 2).2.解選擇、填空題時(shí)，亦可用通項(xiàng)或前n項(xiàng)和直接判斷.(1)通項(xiàng)法：若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù)，即an= An+ B，則an是等差數(shù)列.前n項(xiàng)和法：若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn是Sn= An2+ Bn的形式(A, B是常數(shù)),則an 為等差數(shù)列.3.若判斷一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需說明任意連續(xù)三項(xiàng)不是等差數(shù)列即可.1 * 1(1)證明 t an = 2 (n>2, n N), bn=

7、1,an 1an 11 1.當(dāng) nA 2 時(shí)，bn bn 1 =1 一1an 1 an 1 1an-1an-1 一 11an 1 =1.又b1 =1_=a1 1二數(shù)列bn是以一2為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列.7 r1解 由(1)知，bn= n 2，貝V an= 1 +憶22x 72=1+，設(shè)函數(shù) f(x) = 1 +2n 7易知f(x)在區(qū)間一g, 2和2+內(nèi)為減函數(shù).當(dāng)n= 3時(shí)，an取得最小值一1; 當(dāng)n = 4時(shí)，an取得最大值3.探究點(diǎn)三等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用例3.若一個(gè)等差數(shù)列的前 5項(xiàng)之和為34,最后5項(xiàng)之和為146，且所有項(xiàng)的和為 360,求這 個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù).變式遷移已知數(shù)列an是等

8、差數(shù)列.(1)前四項(xiàng)和為21,末四項(xiàng)和為67，且前n項(xiàng)和為286,求n；若 Sn= 20 , S2n= 38,求 S3n；(3) 若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，且奇數(shù)項(xiàng)和為44,偶數(shù)項(xiàng)和為33,求數(shù)列的中間項(xiàng)和項(xiàng)數(shù).例3解題導(dǎo)引本題可運(yùn)用倒序求和的方法和等差數(shù)列的性質(zhì)：若m + n = p+ q (m, n,p, q N n = 4 n 13.-n 4, a*11.數(shù)列的中間項(xiàng)為11,項(xiàng)數(shù)為7.),貝U am+ an= ap+ aq,從中我們可以體會(huì)運(yùn)用性質(zhì)解決問題的方便與簡捷，應(yīng)注n 1意運(yùn)用；也可用整體思想 (把a(bǔ)i+ d看作整體).解 方法一 設(shè)此等差數(shù)列為an共n項(xiàng)，依題意有 a1+ a2 + a3+

9、 a4+ a5= 34,an+ an-1 + an -2+ an-3+ an- 4= 146.根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)，得a5 + an-4 = a4 + an- 3= a3+ an- 2= a2+ an-1 = a1+ an.將兩式相加，得(a1 + an)+ (a2 + an -1)+ (a3+ an-2)+ 4+ an-3)+ 5+ an-4)= 5(a1+ an) =180, a + an 36.由 Sn= n(a1； an)=穿=360,得 n= 20.所以該等差數(shù)列有20項(xiàng).方法二 設(shè)此等差數(shù)列共有 n項(xiàng)，首項(xiàng)為a1，公差為d,小5X 4則 S5= 5a1 + d = 34,Sn 一 Sn

10、-5 =n(n 1)d2na1 (n 5)a1+(n 5)( n 6)2d=5a1+ (5n 15)d= 146. 兩式相加可得10a1 + 5(n 1)d= 180,- a1 + 丄= 18,n(n 1)代入 Sn= na1 +2 d(n 1、=n a1 + = 360,得 18n= 360, n= 20.所以該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為 20項(xiàng).變式遷移3 解(1)依題意，知玄丄+ a?+ 83+ a4= 21,an-3 + an -2 + an-1 + an = 67 ,- a1 + a2 + a3+ a4+ an-3+ an-2+ an-1 + an = 88.88 a1 + an= 22.4_n(

11、a1 + an)/ Sn=2 n = 286, n = 26.(2) / Sn, S2n - Sn, S3n- S?n 成等差數(shù)列， S3n= 3(S2n Sn) = 54.n項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)有n- 1項(xiàng)，中間項(xiàng)為an,則設(shè)項(xiàng)數(shù)為2n - 1 (n N*)，則奇數(shù)項(xiàng)有(a1 + a2n-1)2an= 44,(a2+ a2n- 2)(n 1)2=(n 1) an= 33 ,探究點(diǎn)四等差數(shù)列的綜合應(yīng)用例4在等差數(shù)列an中，ai6+ ai7+ ai8= ag= 36,其前n項(xiàng)和為S. (1)求Sn的最小值，并求出Sn取最小值時(shí)n的值.求 Tn=pl|+ |a2| + |an|.ai,公差為d,變式遷移4解

12、(1)設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a6+ a仃 + a8= 3a7 = 36,ai7 a9-a仃=一 12 ,- - d=17 9 = 3,-an = a9 + (n 9) d = 3n 63,an+1 = 3n 60,|an= 3n 63 w 0令，得 20< nW 21,|an+1 = 3n 600S20= S21 = 630, n= 20或21時(shí)，Sn最小且最小值為 630.由(1)知前20項(xiàng)小于零，第21項(xiàng)等于0,以后各項(xiàng)均為正數(shù). 當(dāng) nw21 時(shí)，Tn= Si= |n2 + n.當(dāng) n>21 時(shí)，Tn= Sn 2Sn =器2 n* 1 260.3 123*尹 n (nw21,

13、 n N )綜上，Tn=.3 2123*.2n 牙 n+ 1 260 (n>21, n N )探究點(diǎn)五等比數(shù)列的基本量運(yùn)算例 5.在等比數(shù)列an中，a1 + an = 66, a2 an-1= 128, Sn= 126,求 n 和 q. 由題意得a2 an 1 = a1 an= 128, 曲 + an = 66,a1= 64,解得/|an= 2a1 = 64,a1= 2, 或 an= 64.an= 2,1解得q = 2則看巳=警=126,此時(shí),an= 2 = 64 - n= 6. a1 = 2, lan= 64,則 5=蘭=126,q= 2. an= 64 = 2 2n 1. n = 6

14、.1綜上n= 6, q = 2或探究點(diǎn)六等比數(shù)列的判定例 6.設(shè)數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn,已知 a1 + 2a?+ 3a3+ na“= (n 1)Sn+ 2n(n N*). (1)求a2, a3的值；求證：數(shù)列Sn+ 2是等比數(shù)列.*解T a1 + 2a2+ 3a3+ + nan= (n 1)Sn + 2n(n N), .當(dāng) n= 1 時(shí)，a1 = 2x 1= 2;當(dāng) n = 2 時(shí)，a1 + 2a2 = (a1 + a2) + 4, a2= 4;當(dāng) n = 3 時(shí)，ai + 2a2 + 3a3= 2(ai + a2+ a3)+ 6, a3= 8.證明 / ai + 2a2+ 3a3 +

15、 + nan=(n 1)Sn+ 2n(n N*),當(dāng) n2 時(shí)，ai + 2a?+ 3a3+ + (n 1)an i=(n 2)Sn-1 + 2(n 1).得 nan= (n 1)Sn (n 2)Sn-1+ 2= n(Sn Sn-1) Sn+ 2Sn 1 + 2 = na* Sn+ 2Sn-1 +2. 一 Sn+ 2Sn1+ 2= 0,即卩 Sn= 2Sn-1+ 2, Sn+ 2= 20-1+ 2)./ S1 + 2= 4工 0, Sn-1+ 2豐 0,.Sn+ 2 Sn-1 + 2 = 2，故Sn + 2是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.探究點(diǎn)七等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用11111a1a2a3a4a

16、5例 7在等比數(shù)列an中，a1 + a2 + a3+ a4+ a5= 8，且 1 + 1 + 1 + + 丄=2,求 a3.變式遷移(1)已知等比數(shù)列an中，有a3an = 4a?,數(shù)列bn是等差數(shù)列，且 b7= a?,求b5 + bg的值; 在等比數(shù)列an中，若a1a2a3a4= 1,玄仙倔燒花=8,求a41a42a43a44.解題導(dǎo)引在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時(shí)，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若 m+ n = p + q,則am an= ap aq”，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度.解由已知得11111+_+_+_+_a1 a2 a3 a4 a5a1 + a5 a2 + a4 a3

17、=+ pa1a5a2a4 a3a1 + a2 + a3+ a4+ a58=2=t=2,a3a3 a2= 4, a3= ±.若a3= 2，設(shè)數(shù)列的公比為 q,2 22則 F + 2 2q 2q2= 8,q q112即+一+1 + q+ qq q此式顯然不成立，經(jīng)驗(yàn)證，a3= 2符合題意，故a3= 2.變式遷移 3 解(1) / a3a11 = a7= 4a7,T 玄7工 0, a7= 4, b7= 4,T bn為等差數(shù)列， b5+ b9= 2b7= 8. (2)a1a2a3a4= a1 a1q a1q2 a1q3= a4q6= 1.12131415a13a14a15a16= a1q a

18、q aq aq=a1 q54= 8.454乜：= q48 = 8? q16 = 2,又 a41a42a43a44= ag40 a1q41 a1q42 a1q43416646160,4616 10=a1 q= a1 q q = (a1 q ) (q )=1 2 .解(1)設(shè)等差數(shù)列 an的首項(xiàng)為a1，公差為d，由于a3= 7, a5+ a?= 26, 所以 a1 + 2d= 7,2a1+ 10d = 26,解得 a1= 3,d= 2.= 1 024.作業(yè)1.已知an是等差數(shù)列，a1 = 9 , S3 = S7,那么使其前n項(xiàng)和Sn最小的(2.在等差數(shù)列an中，若 a4+ a6+ a8 + a10

19、 + a12 = 120,3.4.D . 71則a9 -an的值為D . 17A. 14B. 15C.在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列an中，a1= 3,前三項(xiàng)的和S3= 21,則a3+ a4+ a5等于(CA. 33B. 72C.等比數(shù)列an前n項(xiàng)的積為Tn，若a3a6a1816D . 189是一個(gè)確定的常數(shù)，那么數(shù)列T10, T13, T17,(C )84曰T25中也是常數(shù)的項(xiàng)是A. T10B . T13C. T175.記等比數(shù)列D . T25S10an的前n項(xiàng)和為Sn,若S3= 2, Se= 18,則忑等于(D )D . 33C. - 31A . 3等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和滿足S20= S40,下

20、列結(jié)論中正確的是A . S30是Sn中的最大值B . Ro是Sn中的最小值C . S30 = 0D . S60 = 01207(4分)設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若S3= 3, S6 = 24,則ag=15.&設(shè)an是公比為正數(shù)的等比數(shù)列， 若a1= 1, a5 = 16,則數(shù)列an前7項(xiàng)的和為_127 9.在等比數(shù)列an中，公比q = 2,前99項(xiàng)的和S99= 30 ,則a3+ a6+ ag+ a99 =.10. 在等比數(shù)列an中，若公比q= 4，且前3項(xiàng)之和等于 21，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式an =n 1.411. 等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn,已知 am-1 + am +1

21、 am = 0, S>m-1= 38,則 m= 10.12. 已知等差數(shù)列an滿足：a3= 7 , a5+ a7= 26, an的前n項(xiàng)和為Sn. E人1*(1)求an及Sn； (2)令bn= 口 (n N )，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.n(a1+ a*)由于 an= a1 + (n 1)d , Sn=2所以 an= 2n+ 1, Sn= n(n+ 2). 因?yàn)?an= 2n+ 1,所以 a* 1 = 4n(n+ 1),1il丄)n +1丿(6分)因此bn=14n(n+ 1)4 故 Tn= b1 + b2+ + bn=111+1 -丄+丄- 4 .=11-1n n+12 23-J =_n

22、n+ 1 .尸 4(n+ 1)'所以數(shù)列 bn的前n項(xiàng)和Tn= n4(n + 1)(8分)an 113. 已知數(shù)列l(wèi)og 2(an 1)為等差數(shù)列，且ai= 3, a2= 5.(1)求證：數(shù)列an 1是等比數(shù)列;1a3 a2飛的值.an+ 1 an證明 設(shè) log2（an 1） log2（an-1 1） = d （n>2），因?yàn)?3, a?= 5，所以 d= log2（a2 1）log2（a1 1） = log24 log22 = 1, （3分）所以 log2（an 1）= n,所以 an 1 = 2“,an 1所以一 =2 （n > 2），所以an 1是以2為首項(xiàng)，2為公

23、比的等比數(shù)列. （6 分）an 1 1（2）解 由（1）可得 an 1 = （a1 1） 2n 1, 所以 an= 2n+ 1, （8分）1 1 1a2 a1 a3 a2an + 1 an12n+1 2n所以 + + + 1一J + 2+ +22 2 23 22（12 分）1 1 1 1=2+尹+尹=1 尹14已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)a1= 1，公差d>0,且第2項(xiàng)、第5項(xiàng)、第14項(xiàng)分別是等比數(shù)列bn的第2項(xiàng)、第3項(xiàng)、第4項(xiàng).(1)求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式；設(shè)數(shù)列 Cn對(duì)n N均有+ + = an + 1成立，求 6+ C2 + C3+ C2 010.b1 b2bn解 (1)由已知有 a2= 1 + d, a5= 1 + 4d, a14= 1 + 13d,2(1 + 4d)2= (1 + d)(1 + 13d).解得 d= 2（d= 0舍）. （2分） an = 1 + （n 1） 2=