第四講導(dǎo)數(shù)題的解題技巧

1、第四講導(dǎo)數(shù)題的解題技巧金堂中學(xué)劉際成選編【命題趨向】 導(dǎo)數(shù)命題趨勢：綜觀20XX年全國各套高考數(shù)學(xué)試題，我們發(fā)現(xiàn)對(duì)導(dǎo)數(shù)的考查有以下一些知識(shí)類型與特點(diǎn)：（1 ）多項(xiàng)式求導(dǎo)（結(jié)合不等式求參數(shù)取值范圍），和求斜率（切線方程結(jié)合函數(shù)求最值）問題（2 ）求極值，函數(shù)單調(diào)性，應(yīng)用題，與三角函數(shù)或向量結(jié)合.分值在12-17分之間，一般為1個(gè)選擇題或1個(gè)填空題，1個(gè)解答題【考點(diǎn)透視】1了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景（如瞬時(shí)速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等）；掌握函數(shù)在一 點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義；理解導(dǎo)函數(shù)的概念.2 熟記基本導(dǎo)數(shù)公式；掌握兩個(gè)函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則了解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會(huì)求 某

2、些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（導(dǎo)3 理解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；了解可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件數(shù)在極值點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)）；會(huì)求一些實(shí)際問題（一般指單峰函數(shù)）的最大值和最小值.【例題解析】考點(diǎn)1 導(dǎo)數(shù)的概念對(duì)概念的要求：了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，掌握導(dǎo)數(shù)在一點(diǎn)處的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，理解導(dǎo)函數(shù)的1 3例1.（20XX年北京卷）f（X）是f（x）丄x3 2x 1的導(dǎo)函數(shù)，貝U f （ 1）的值是 3考查目的本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí)和能力2 2解答過程Q f （x）x2 2, f （ 1）123.故填3.例2.設(shè)函數(shù)f（x） l_a,集合M=x|f（x） 0,P=x| f

3、9;（x） 0，若 MP則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ x 1A. （- g ,1）B.（0,1）C.（1,+ g） D. 1,+ g）考查目的本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和集合等基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用能力解答過程由30,當(dāng)a>1時(shí),1 x a;當(dāng)a<1時(shí),a x 1.x 10.a 1.綜上可得M P時(shí)，a 1.考點(diǎn)2 曲線的切線(1) 關(guān)于曲線在某一點(diǎn)的切線求曲線y=f(x)在某一點(diǎn)P (x,y)的切線，即求出函數(shù) y=f(x)在P點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)就是曲線在該點(diǎn)的切線的斜率(2) 關(guān)于兩曲線的公切線若一直線同時(shí)與兩曲線相切，則稱該直線為兩曲線的公切線 典型例題1 3 1 2例3已知函數(shù)f(x) x3 -ax2

4、 bx在區(qū)間1,1)，(1,3內(nèi)各有一個(gè)極值點(diǎn).32(I) 求a2 4b的最大值；(II) 當(dāng)a2 4b 8時(shí)，設(shè)函數(shù)y f(x)在點(diǎn)A(1, f(1)處的切線為I，若I在點(diǎn)A處穿過函數(shù)y f (x)的圖象(即動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn) A附近沿曲線y f (x)運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，從I的一側(cè)進(jìn)入另一側(cè))，求函數(shù)f(x) 的表達(dá)式.思路啟迪：用求導(dǎo)來求得切線斜率1 312解答過程：(I)因?yàn)楹瘮?shù) f(x) x3ax2 bx在區(qū)間1,1) , (1,3內(nèi)分別有一個(gè)極值點(diǎn)，所以32f (x) x2 ax b0在1,1) , (1,3內(nèi)分別有一個(gè)實(shí)根，設(shè)兩實(shí)根為人，X2 ( xx2),則 x2 x-i a2 4b ,且

5、 0 x2x! < 4 .于亍是0、a24b < 4,0a2 4b < 16 ,且當(dāng) x11 , x2 3 ,即 a2, b3時(shí)等號(hào)成立.故a2 4b的最大值疋16.(II)解法一一：由 f (1)1 a b知f (x)在點(diǎn)(1 , f (1)處的切線I的方程是2 1 y f (1) f (1)(x 1)，即 y (1 a b)xa,3 2因?yàn)榍芯€I在點(diǎn)A(1, f (x)處空過y f (x)的圖象，2 1 所以g(x) f (x)(1 a b)xa在x 1兩邊附近的函數(shù)值異號(hào)，則3 2x 1不是g(x)的極值點(diǎn).而 g(x)x31 2ax bx(1a b)x21口a ,且3

6、232g (x) x2 axb (1 ab)2x axa1 (x 1)(x 1 a)若11 a，則x 1和x 1 a都是g(x)的極值點(diǎn).所以 11 a，即 a 2，又由 a2 4b 8，得 b 1，故 f (x)1 x3 x2 x .32 1解法二：同解法一得 g(x) f (x) (1 a b)xa3212 3a3-(x 1)x 2 5(1 )x (2-a).322因?yàn)榍芯€I在點(diǎn)A(1, f(1)處穿過y f (x)的圖象，所以g(x)在x 1兩邊附近的函數(shù)值異號(hào)，于是存在 mi， m2 ( mi 1 m2).或當(dāng)m1設(shè) h(x)或當(dāng)m11 時(shí)，g(x) 0，當(dāng) 1 x1 時(shí)，g(x)m2

7、時(shí)，g(x) 0 ；x m)2時(shí)，g(x)x21 3a2，則1 時(shí)，h(x)m2 時(shí)，h(x) 0x 1 時(shí)，h(x) 0，當(dāng) 1x m2 時(shí)，h(x)由 h(1)所以a2，又由a2 4b8，得b1，故 f(x)例4.若曲線x4的一條切線l與直線xB.D .4y 80垂直,x 4yx 4y13-x3則I的方程為( )A. 4xC. 4x考查目的本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和直線方程等基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用能力 解答過程與直線x 4y 8 0垂直的直線l為4x y m 0，即yy x4在(1， 1)處導(dǎo)數(shù)為4，此點(diǎn)的切線為4x y 3 0.x4在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為 4，而y 4x3，所0知x 1是h(x)的一個(gè)極

8、值點(diǎn)，貝y h(1)2故選A.例5.過坐標(biāo)原點(diǎn)且與x2+y2 y 1-,圓心為 -4x+2y+ 5 =0相切的直線的方程為21111A. y=-3x 或 y= x B. y=-3x 或 y=_x C.y=-3x 或 y=_ x D. y=3x 或 y= x3333考查目的本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和圓的方程、直線方程等基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用能力解答過程解法1 ：設(shè)切線的方程為y kx, kx y 0.2,2k 1故選.53k2 8k 3 0. k2 121 x,或 y 3x.3A.*,k3.解法2:由解法1知切點(diǎn)坐標(biāo)為3) 3 J 由2), 2,2 ,C2有且只有一條公切線，求出此時(shí)公(x、22/52)y

9、1x2 x2(x2)2 y1/yx0,/x 2yxy 1.k1/yx13(2, 2)3, k2/yx3 1(2,2)3x1y,y -x.3故選A.例6已知兩拋物線C1:yx2132x,C2 : y x2 a, a取何值時(shí) G ,切線的方程思路啟迪：先對(duì)C1 : y x2 2x,C2： y x2 a求導(dǎo)數(shù)解答過程：函數(shù)y x2 2x的導(dǎo)數(shù)為y' 2x 2，曲線Ci在點(diǎn)P(xi,xi2 2x1 )處的切線方程為 y (x122x1)2(x12)(x x1)，即卩y2(x11)xx12曲線C1在點(diǎn)Q(x2, x22 a)的切線方程是y ( x2 a)2x2 (x x2)即2y2x2x x2a

10、若直線l是過點(diǎn)P點(diǎn)和Q點(diǎn)的公切線，則式和式都是I的方程，故得x1 1 x2,x12x221，消去 X2 得方程，2x)22x)1 a 0若厶=4 42(1a)0,即a 1時(shí)，解得x1丄，此時(shí)點(diǎn)P、Q重合2 2二當(dāng)時(shí)a 1，C1和C2有且只有一條公切線，由式得公切線方程為y x 1 2 4考點(diǎn)3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中學(xué)階段所涉及的初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是可導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的重要而有力的工具，特別是對(duì)于函數(shù)的單調(diào)性，以“導(dǎo)數(shù)”為工具，能對(duì)其進(jìn)行全面的分析， 為我們解決求函數(shù)的極值、 最值提供了一種簡明易行的方法，進(jìn)而與不等式的證明，討論方程解的情況等問題結(jié)合起來，極大地豐 富了中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法復(fù)習(xí)

11、時(shí)，應(yīng)高度重視以下問題 ：1.求函數(shù)的解析式；2.求函數(shù)的值域；3解決單調(diào)性問題；4.求函數(shù)的極值(最值)；5構(gòu)造函數(shù)證明不等式典型例題例7函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_區(qū)間(a,b)，導(dǎo)函數(shù)f (x)在(a,b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù) f (x)在開區(qū)間 (a,b)內(nèi)有極小值點(diǎn)()A. 1個(gè)的應(yīng)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)考查目的本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)圖象性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí) 用能力解答過程由圖象可見，在區(qū)間(a,0)內(nèi)的圖象上有一個(gè)極小值點(diǎn). 故選A.例8 設(shè)函數(shù)f(x) 2x3 3ax2 3bx 8c在x 1及x 2時(shí)取得極值.(I)求a、b的值；(U)若對(duì)于任意的x 0 ,，都有f(x)

12、 c2成立，求c的取值范圍.思路啟迪：利用函數(shù)f(x) 2x3 3ax2 3bx 8c在x 1及x 2時(shí)取得極值構(gòu)造方程組求 a、b的值.2解答過程：(I) f (x) 6x 6ax 3b ,因?yàn)楹瘮?shù)f (x)在x 1及x 2取得極值，則有f (1)0 , f (2)0 .口 6 6a 3b 0,即24 12a 3b 0.解得a 3, b 4 .32")由(I)可知， f (x) 2x 9x 12x 8c,f (x) 6x2 18x 126(x 1)(x 2).當(dāng) x (0,時(shí)，f (x)0 ；當(dāng) x (1,2)時(shí)，f (x)0 ;當(dāng) x (2,3)時(shí)，f (x)0 .所以，當(dāng) x

13、1 時(shí)，f(x)取得極大值 f (1)5 8c，又 f(0) 8c, f(3)9 8c .則當(dāng)x 0,3時(shí)，f (x)的最大值為f(3) 9 8c .因?yàn)閷?duì)于任意的x0,3，有f(x) c2恒成立，所以9 8c c2,解得 c 1或c 9 ,因此c的取值范圍為(,1)U (9,).例9.函數(shù)y V2 x 4 <x 3的值域是.思路啟迪：求函數(shù)的值域，是中學(xué)數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)，一般可以通過圖象觀察或利用不等式性質(zhì)求解，也可以利用函數(shù)的單調(diào)性求出最大、最小值。此例的形式結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，采用導(dǎo)數(shù)法求解較為容易。1y'、.2x 412x32.x 3 2x 42.、2x 4x3又2 x 3 2x

14、42x 82 x 3.2x 4解答過程：由2x 4 0得，x2，即函數(shù)的定義域?yàn)?,).x 30當(dāng) x 2 時(shí)，y' 0，函數(shù)y2x4x3在(2,)上是增函數(shù)，而f ( 2)1 ,y2x 4. x 3 的值域是1,).例10已知函數(shù)f x4x3 3x2!3其中xcoscosR,為參數(shù)，且02 .16(1)當(dāng)時(shí)cos0,判斷函數(shù)f x是否有極值；(2) 要使函數(shù)f(x)的極小值大于零，求參數(shù)的取值范圍；(3) 若對(duì)(2)中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù)，函數(shù)f x在區(qū)間2a 1,a內(nèi)都是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.考查目的本小題主要考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究三角函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性及極值、解不等式等基礎(chǔ)

15、知識(shí)，考查 綜合分析和解決問題的能力，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法解答過程(I)當(dāng)cos 0時(shí)，f(x) 4x3，貝y f(x)在(，)內(nèi)是增函數(shù)，故無極值(D) f '(x) 12x2 6xcos ，令 f'(x) 0，得 x, 0,%2由(I),只需分下面兩種情況討論.因此，函數(shù)f (x)在x2江 處取得極小值f(込)，且f (匹)_ 2 21 3cos4316要使f (空2必有cos (cos23)0，可得 0 cos4由于0 cos或2 211xcos(，-T)cos2cos(丁 ,。)0(0,)f '(x)+0-0+f(x)Z極大值極小值Z當(dāng)時(shí)cosf '

16、;(x)的符號(hào)及f(X)的變化情況如下表:620,隨x的變化,當(dāng) cos 0時(shí)，隨x的變化f '(x)的符號(hào)及f (x)的變化情況如下表:x(,0)0(0鳥)cos2(Cos(2 ,)f '(x)+0-0+f(x)/極大值極小值/若f (0)0，則cos 0 矛盾.所以當(dāng)cos綜上，要使函數(shù)f(x)在(因此，函數(shù)f(x)在x 0處取得極小值f(0)，且f (0)±cos160時(shí)，f(x)的極小值不會(huì)大于零)內(nèi)的極小值大于零，參數(shù)的取值范圍為(_ _)(乞竺(III )解：由(II )知，函數(shù)f (x)在區(qū)間(由題設(shè)，函數(shù)f(x)在(2a2a 1 aa 01,a)內(nèi)是增

17、函數(shù)，則1,)與(答，a須滿足不等式組)內(nèi)都是增函數(shù)。2a2aa1 cos2(_)(丄)時(shí),(6,2) ( 2 , 6 )有2a 1 -3，即4由(II),參數(shù)時(shí)cos-2 要使不等式2a2lcos關(guān)于參數(shù)恒成立，必2a8綜上，解得a 0或4a 1 8(6,?) (t,_t)所以a的取值范圍是(,0) 4).求f(x)的單調(diào)區(qū)間例 11.設(shè)函數(shù) f(x)=ax (a+1)ln(x+1)，其中 a -1,考查目的本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法，函數(shù)的極值的判定，考查了應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想分析問題解決問題的能力解答過程由已知得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1,)，且f'(x)1),x 1，(1 )當(dāng)

18、1 a 0時(shí)，f '(x) 0,函數(shù)f (x)在(1,)上單調(diào)遞減，(2)當(dāng)a 0時(shí)，由f (x)0,解得X !af'(x)、f(x)隨x的變化情況如下表x(1丄) a1 a1(,) af'(x)一0+f(x)極小值Z從上表可知(1丄)時(shí)，af'(x)0,函數(shù)f (x)在(1,丄)上單調(diào)遞減)時(shí),1(,a綜上所述：當(dāng) 1a 0時(shí)，函數(shù)f'(x) 0,函數(shù)f(x)在(1)上單調(diào)遞增a，a 0時(shí)，函數(shù)f (x)在(1,)上單調(diào)遞減.f(x)在(1!)上單調(diào)遞減，函數(shù)f(x)在(!,)上單調(diào)遞增，aa，例12.已知函數(shù)f (x)ax3 bx2 cx在點(diǎn)x0處取

19、得極大值5，其導(dǎo)函的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,0) , (2,0)，如圖所示求:()x0的值;數(shù) y f '(x)' a(D) a, b, c 的值.考查目的本小題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的極值的判定，閉區(qū)間上二次函數(shù)的最值,函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化等基礎(chǔ)知識(shí)的綜合應(yīng)用，考查了應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想分析問題解決問題的能力解答過程解法一：(I)由圖像可知，在,1上f'x 0，在1,2上f ' x 0，在2, 上f'x 0,故f(x)在(-,1),( 2 , + )上遞增，在(1,2)上遞減，因此f x在x 1處取得極大值，所以x01(u) f'(x) 3ax2 2bx

20、 c,由 f(1) =0, (2)= 0,( 1)= 5,3a 2b c 0,得12a 4b c 0,a b c 5,解得 a 2,b9,c 12.解法二：(I)同解法一(n)設(shè) f (x) m(x 1)(x 2) mx2 3mx 2m,又 f (x) 3ax2 2bx c,所以 m3所以 a -,bm,c 2m3 2f (x) mx3-mx21 2mx,3 2由 f(1) 5,即 m -m 2m 5,得 m 6,3 2所以 a 2,b9,c 12例13.設(shè)x 3是函數(shù)f x x2 ax b e3 x x R的一個(gè)極值點(diǎn).(I) 求a與b的關(guān)系式(用a表示b )，并求fx的單調(diào)區(qū)間；(H)設(shè)a

21、 0 , g x a2空£若存在1, 2 0,4使得f , g 21成立，求a的取值范圍.4考查目的本小題主要考查函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力解答過程(I) f、(X) = x2+ (a- 2)x+ b- a e3_x,由 f '(3)=0，得 -32+ (a-2)3 + b-a e3-3 = 0,即得 b=- 3- 2a, 則 f '(x) = x2 + (a 2)x- 3 2a- a e3-x=-x2 + (a 2)x- 3-3a e3-x=- (x-3)(x+ a+ 1)e3-x.令f'(x) = 0，得X1= 3或

22、x2=- a- 1,由于x= 3是極值點(diǎn)，所以x+a+ 1工0,那么a 4.當(dāng) a< - 4 時(shí)，X2>3 = X1,貝U在區(qū)間(一a,3) 上, f '(x) <0, f (x)為減函數(shù)；在區(qū)間(3, a 1) 上, f '(x)>0 , f (x)為增函數(shù)；在區(qū)間(一a 1,+a)上，f '(x)<0 , f (x)為減函數(shù).當(dāng) a> 4 時(shí)，X2<3 = xi,貝U在區(qū)間( g, a 1) 上, f'(x)<0, f (x)為減函數(shù)；在區(qū)間(一a 1, 3) 上, f '(x)>0 , f (x

23、)為增函數(shù)；在區(qū)間(3,+)上，f '(x)<0, f (x)為減函數(shù).()由(I)知，當(dāng) a>0時(shí)，f (x)在區(qū)間(0, 3) 上的單調(diào)遞增，在區(qū)間(3, 4)上單調(diào)遞減，那么f (x)在區(qū)間0, 4上的值域是min(f (0) , f )，f (3),而 f (0) = ( 2a+ 3) e3<0 , f =(2a + 13) e1>0 , f =a + 6,那么f (x)在區(qū)間0, 4上的值域是(2a + 3) e3, a+ 6.又g(x) (a2 25®在區(qū)間0，4上是增函數(shù)，且它在區(qū)間0, 4上的值域是a2+ 25 , ( a2 + 25

24、) e4,4 4由于(a2 + 25 ) ( a+ 6)= a2 a+ 1 =( a 1) 2 >0,所以只須僅須4 2(a2+25 ) ( a+ 6)4<1 且 a>0,解得 0<a<_3.2故a的取值范圍是(0,例14已知函數(shù)f (x)13,2-ax bx3(2b)x 1在x X1處取得極大值，在 x X2處取得極小值，且0x11 x22.(1) 證明a 0 ；(2) 若z=a+2b,求z的取值范圍。解答過程求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f (x)2ax 2bx(I)由函數(shù)f (x)在x X1處取得極大值，在X2處取得極小值，知 x, X2是f (x)0的兩個(gè)根.所以f

25、(X)a(x x-i )(x x2)x X!時(shí),f (x)為增函數(shù)，f (x)0，由X1X2(n)在題設(shè)下,X1 1 X2 2等價(jià)于f (0)f (1)f2b 24a4b 22化簡得 a3b4a5b 2所圍成的 ABC的內(nèi)部，其三個(gè)頂點(diǎn)分別為:A 4，, B(2,)7 7C(4,2).z在這三點(diǎn)的值依次為16，所以z的取值范圍為小結(jié)：本題的新穎之處在把函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與線性規(guī)劃有機(jī)結(jié)合.考點(diǎn)4導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用建立函數(shù)模型，利用典型例題例15.用長為18 cm的鋼條圍成一個(gè)長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為 2： 1,問該長方體的長、寬、高各為多少時(shí)，其體積最大？最大體積是多少？考查目的本小題主

26、要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基本知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的 能力解答過程設(shè)長方體的寬為x ( m),則長為2x(m)，高為18 12x3h4.5 3x(m)CK x v4 2故長方體的體積為22333V(x) 2x (4.5 3x) 9x 6x (m )(0< xv-).從而 V(x) 18x 18x當(dāng)汽車以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地要耗油多少升？ (II) 當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？(4.5 3x) 18x(1 x).令V'( x)= 0，解得x=0 (舍去)或x=1，因此x=1.當(dāng) 0< x<

27、 1 時(shí)，V'( x)> 0 ;當(dāng) 1< x< 2 時(shí)，V'( x)< 0,3故在x=1處V (x)取得極大值，并且這個(gè)極大值就是V (x)的最大值。從而最大體積 V= V'( x)= 9X 12-6 x 1考查目的本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基本知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的 能力. ( m3),此時(shí)長方體的長為 2 m，高為1.5 m. 答：當(dāng)長方體的長為 2 m時(shí)，寬為1 m，高為1.5 m時(shí)，體積最大，最大體積為 3 m3。 例16統(tǒng)計(jì)表明，某種型號(hào)的汽車在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量y (升)關(guān)于行駛速度 x (千米/小時(shí)

28、)的函數(shù)解析式可以表示為：13x128000詁8(0x 120).已知甲、乙兩地相距100千米.解答過程(I)當(dāng)x 40時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了100 25小時(shí)，40要耗沒(_1403 40 8) 2.5 17.5 (升)128000 80答：當(dāng)汽車以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油17.5升。(II)當(dāng)速度為x千米/小時(shí)時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了100小時(shí)，設(shè)耗油量x1331001280015h(x) (xx8).x(0 x120),12800080x 1280x4x80033x 80h'(x)2-(0 x 120).640x640x2令 h'(x)0,得

29、x80.當(dāng) x (0,80)時(shí)，h'(x)0, h(x)是減函數(shù)；當(dāng)x (80,120)時(shí)，h'(x)0, h(x)是增函數(shù)當(dāng)x 80時(shí)，h(x)取到極小值h(80) 11.25.因?yàn)閔(x)在(0,120上只有一個(gè)極值，所以它是最小值.答：當(dāng)汽車以80千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升.【專題訓(xùn)練與高考預(yù)測 4】、選擇題1. y=esinxcos(sinx),貝U y'(0)等于()A.0B.1C. 1D.22. 經(jīng)過原點(diǎn)且與曲線 y= U 相切的方程是x 5A. x+y=0 或 A+y=025B. x y=0 或+y=025C. x

30、+y=0 或y=025D. x y=0 或y=0253. 設(shè) f(x)可導(dǎo)，且 f'(0)=0,又 |im_La)= 1,則 f(0)()x 0 xA. 可能不是f(x)的極值B. 一定是f(x)的極值C. 一定是f(x)的極小值D.等于04. 設(shè)函數(shù)fn(x)= n2x2(1 x)n(n為正整數(shù))，貝U fn(x)在0,1上的最大值為()A.0B.1 C.(1 旦)nD.4(丄)n12 nn 2A、有極大值B、無極值C、有極小值D、無法確定極值情況6.f(x)=ax 3+3x2+2 , f' (-1)=4，貝U a=()A、10B、13C、16D、1933337.過拋物線y=

31、x2上的點(diǎn)m (2,2)2 4的切線的傾斜角是()A、30°B、450C、 600D、 9008. 函數(shù)f(x)=x 3-6bx+3b在(0,1)內(nèi)有極小值，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是()A、(0，1) B、( -a, 1) C、(0, +R) D、( 0, 1)29. 函數(shù)y=x3-3x+3在?,?上的最小值是()2 2A、89 B、1C、33D、58810. 若 f(x)=x 3+ax2+bx+c，且 f(0)=0 為函數(shù)的極值，則()A、cm0B、當(dāng)a>0時(shí)，f(0)為極大值C、b=0D、當(dāng)a<0時(shí)，f(0)為極小值11. 已知函數(shù)y=2x3+ax2+36x-24在x=2

32、處有極值，則該函數(shù)的一個(gè)遞增區(qū)間是()A、(2, 3)B、(3, +a)C、(2, + a)D、(-a, 3)12. 方程6x5-15x4+10x3+仁0的實(shí)數(shù)解的集合中()A、至少有2個(gè)元素B、至少有3個(gè)元素C、至多有1個(gè)元素D、恰好有5個(gè)元素二、填空題13. 若 f'(X0)=2, lim f(x° k) f(x。) =.k 02k14. 設(shè) f(x)=x(x+1)(x+2)(x+ n),則 f'(0)=.15. 函數(shù) f(x)=loga(3x2+5x 2)(a>0 且 a工1)的單調(diào)區(qū)間 .16. 在半徑為R的圓內(nèi)，作內(nèi)接等腰三角形，當(dāng)?shù)走吷细邽?時(shí)它的面

33、積最大.三、解答題17. 已知曲線C: y=x3 3x2+2x,直線l:y=kx,且I與C切于點(diǎn)(X0,y0)(x0丸)，求直線I的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)18. 求函數(shù) f(x)=p 2x2(1-x)P(p N+)，在0, 1內(nèi)的最大值.19. 證明雙曲線xy=a2上任意一點(diǎn)的切線與兩坐標(biāo)軸組成的三角形面積等于常數(shù)20. 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)y=(x2 2x+3)e2x；y=3 x .I11 x21. 有一個(gè)長度為5 m的梯子貼靠在筆直的墻上，假設(shè)其下端沿地板以3 m/s的速度離開墻腳滑動(dòng)，求當(dāng)其下端離開墻腳1.4 m時(shí)，梯子上端下滑的速度.22. 求和 Sn=12+22x+32x2+ n2xn 1,(

34、x0,n N*).23. 設(shè)f(x)=ax3+x恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，試確定 a的取值范圍，并求其單調(diào)區(qū)間24. 設(shè)x=1與x=2是函數(shù)f(x)=alnx+b/+x的兩個(gè)極值點(diǎn).(1) 試確定常數(shù)a和b的值；(2) 試判斷x=1,x=2是函數(shù)f(x)的極大值還是極小值，并說明理由25. 已知a、b為實(shí)數(shù)，且b> a>e,其中e為自然對(duì)數(shù)的底，求證：ab> ba.26. 設(shè)關(guān)于x的方程2x2- ax 2=0的兩根為a、 aV卩),函數(shù)f(x)= 4x a .x21(1) 求f( %) (卩)的值；(2) 證明f(x)是a,旳上的增函數(shù)；(3) 當(dāng)a為何值時(shí)，f(x)在區(qū)間a,旳上的

35、最大值與最小值之差最??？【參考答案】、1.解析：y'=esinx cosxcos(sinx) cosxsin(sinx) ,y'(0)=e°(1 0)=1.答案：B2. 解析：設(shè)切點(diǎn)為(xo,yo),則切線的斜率為k=西,另一方面，y'J9)*_，故Xox 5 (x 5)2y'(xo)=k,即卩4y°_x0_9 或x02+18x0+45=O得 x0(1)= 3,y0二一15,對(duì)應(yīng)有 y0=3,y0(2)=_9 3 ,因筑5)2X。x°(x° 5)1555此得兩個(gè)切點(diǎn) A( 3, 3)或B( 15, 3),從而得y'

36、(A)=4= 1及y'(B)= 41，由于切線過5 ( 3 5)3( 15 5)225原點(diǎn)，故得切線：lA：y= x或lB：y=.25答案：A3. 解析：由|im_L0 = 1,故存在含有0的區(qū)間(a,b)使當(dāng)x (a,b),x丸 時(shí)_L(0) V 0,于是當(dāng)x (a,0)時(shí)f (0) > 0,x 0 xx當(dāng)x (0,b)時(shí)，f'(0) V 0,這樣f(x)在(a,0)上單增，在(0,b)上單減.答案：B2(1 x) nx,令 f n(x)=0,得 X1=O,X2=1,X3=2Fn易知fn(x)在=2時(shí)取得最大值，最大值fn( 2)=n2( 2 )2(1 2)n=4( 2

37、 )2 n2 n2 n2 n2 n答案:D5、B， 6、A7、B8、D9、B 10、C 11、B12、C、13.解析:根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義：f'(X0)=limf【(x。(k)心0)(這時(shí)xk)4解析：f'n(x)=2x n2(1 x)n n3x2(1 x)n-1=n 2x(1 x)n-1k okkimo1 f (xo k)2 kf(xo)limf(xo k) f(xo)k 02k2k 0k答案：114.解析：設(shè) g(x)=(x+1)(x+2)(x+n),則 f(x)=xg(x),于是 f'(x)=g(x)+xg '(x).f'(0)=g(0)+0 '

38、(0)=g(0)=1 2 - n=n!答案：n!15.解析：函數(shù)的定義域是若a> 1則當(dāng)x> 1時(shí),3x> 1 或 xv 2,f '(x)=logae.(3x2+5x 2) '= (6x 5)如乞33x2 5x 2(3x 1)(x 2)logae> 0,6x+5 >0,(3x 1)(x+2) > 0,.f'(x)> 0,二函數(shù) f(x)在(J ,+)上是增函數(shù), 3v 2時(shí)，f (x) v 0.函數(shù)f(x)在(一8, 2)上是減函數(shù).若0v av 1,則當(dāng)x> 1時(shí)，f'(x) v 0,/.f(x)在(1 ,+a)

39、上是減函數(shù)，當(dāng)xv 2時(shí),3f '(x)> 0, Af(x)在( a, 2)上是增函數(shù).答案：(一a， 2)16.解析：設(shè)圓內(nèi)接等腰三角形的底邊長為h=AO+BO=R+ R2 x2 ,解得x"=h(2R h),于是內(nèi)接三角形的面積為S=xh= (2Rh h2) h(2Rh3 h4),1從而 S 1 (2Rh3 h4) 2(2Rh3 h4)2134223(2Rh h ) (x xo),(6Rh 4h )h2(3R 2h)(2R h)h3令S'=0,解得h= xo R,由于不考慮不存在的情況，所在區(qū)間(0,2R)上列表如下:2h(o, ?R)23r2(2,2R)2S

40、'+oS增函數(shù)最大值減函數(shù)由此表可知，當(dāng)x=3R時(shí)，等腰三角形面積最大2答案：3 R2三、17.解：由 I 過原點(diǎn)，知 k= 21(X0丸),點(diǎn)(xo,yo)在曲線 C 上，yo=xo3- 3xo2+2xo, Xo=xo2 3xo+2,y'=3x2 6x+2,k=3xo2 6xo+2Xo又 k=, J3xo2 6xo+2=xo2 3xo+2,2xo2 3xo=o, /-xo=o 或 xo=_3 .Xo2由XM0,知xo= 3,2yo=(|)33(|)2+l = 32 2 8.k= yo =Xo'J方程y=切點(diǎn)(2 ,42p 1p x(1 x)p 2|).18.f'

41、;(x)令 f' (x)=o 得，x=o ,在0,1上，f(0)=0 , f(1)=0 ,(2 P)x,X=1 , x= 22 P24(冷2J f(X)max 4£2P19設(shè)雙曲線上任一點(diǎn)2 a2" xok y |x xoP (xo,yo),切線方程yy02a /令 y=o ,則 x=2x令x=o ,則yo2a2X o. 1- S 2|XHyl2a22o解：(1)注意到y(tǒng)> o,兩端取對(duì)數(shù)，得Iny=ln(/ 2x+3)+ln e2x=ln(x2 2x+3)+2x,12(x 2x 3) yx2 2x 322x222(x2x2)yx2 2x 32x22x3.y2

42、2( x x 2) yx2 2x 32(x22 xx2x2) / 23 (x2x 3)2x e .22x2(x x 2) e .(2)兩端取對(duì)數(shù)，得In |y|= 1 (l n|x| ln|1 x|),3兩邊解x求導(dǎo)，得21.解:又s'=3G rx)1 13 x(1 x)設(shè)經(jīng)時(shí)間1 13 x(1 x),13x(1 x).t秒梯子上端下滑 s米，則s=5 25 9t2 ,當(dāng)下端移開1.4 m時(shí)，to=d 73151 (25 9t2) 2 ( 9 2t)=9t2.25 9t2所以 s'(to)=9 X 71525 91=0.875(m .7 2(15)22.解：(1)當(dāng) x=1 時(shí)，Sn=1 2+22+32+