初中數(shù)學(xué)因式分解教學(xué)之淺見(jiàn)

1、初中數(shù)學(xué)因式分解教學(xué)之淺見(jiàn)泰州市民興實(shí)驗(yàn)中學(xué) 賀 眉摘要：初中數(shù)學(xué)中，運(yùn)算是十分重要的環(huán)節(jié)，因式分解常被廣泛用于初等教學(xué)中。只有掌握好因式分解，方能夠簡(jiǎn)化運(yùn)算步驟，使運(yùn)算速度有一個(gè)質(zhì)的飛躍。學(xué)好因式分解，可以為以后的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)，學(xué)生在未來(lái)的學(xué)習(xí)中會(huì)更加如魚得水，得心應(yīng)手。關(guān)鍵詞： 因式分解 公因式 靈活性 平方差初中數(shù)學(xué)中，因式分解常被廣泛用于初等教學(xué)中。比如，在初中數(shù)學(xué)八年級(jí)的教學(xué)中，分式中處處都能體現(xiàn)出因式分解的重要，不管是在分式運(yùn)算中的通分、約分等各種運(yùn)算中，都需要使用到因式分解。所以，學(xué)好它，可以為以后的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)，又可以培養(yǎng)學(xué)生的觀察、注意、分析能力。因式分解常用的方法有提公因式

2、法、公式法，一些特殊的因式分解問(wèn)題還會(huì)用到分組分解法、配方法、十字相乘法等，其中分組和配方的目的是為了可以產(chǎn)生新的公因式和可以使用公式法分解的形式，從而達(dá)到分解因式的目的。一、在實(shí)際教學(xué)中因式分解常用方法1、提公因式法如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么就可以把各項(xiàng)含有的這個(gè)公因式提到括號(hào)外，把多項(xiàng)式寫成公因式與另一個(gè)多項(xiàng)式的積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。 ab+ac+ad = a(b+c+d)例1：-3x3+6x2-12x = -(3x3-6x2+12x)=-3x(x2-2x+4)上題多項(xiàng)式的第一項(xiàng)是負(fù)的，這里負(fù)指的“負(fù)號(hào)”，一般要把負(fù)號(hào)提出來(lái)，使括號(hào)里的第一項(xiàng)是正的。但是，也不是看

3、見(jiàn)負(fù)號(hào)就把它提出來(lái)，要對(duì)題目進(jìn)行全面分析。2、運(yùn)用公式法根據(jù)因式分解的概念，可以看出，如果把乘法公式反過(guò)來(lái)應(yīng)用，就可以對(duì)多項(xiàng)式分解因式。這種使用公式分解因式的方法稱為運(yùn)用公式法。（1）完全平方公式 a2-2ab+b2 = (a-b)2 ， a2-2ab+b2 = (a-b)2（2）平方差公式 a2-b2 = (a+b) (a-b)例2: 4x2-16 = 4(x2-4) = 4(x+2)(x-2)上題里學(xué)生容易忽略這個(gè)多項(xiàng)式可以先提一個(gè)公因式，直接使用平方差公式。公示的套用容易使學(xué)生的思維僵化，導(dǎo)致在運(yùn)算過(guò)程中思維僵化，不能靈活運(yùn)用公式，隨機(jī)應(yīng)變。而我們?cè)谧鲆蚴椒纸獾臅r(shí)候，應(yīng)該首先考慮使用提公

4、因式法，然后再考慮使用公式法。3、分組分解法當(dāng)一個(gè)多項(xiàng)式?jīng)]有公因式可以提取，而且又無(wú)法直接使用公式時(shí)，就可以考慮利用分組分解法來(lái)分解因式。分組分解法：把一個(gè)多項(xiàng)式先分組，再進(jìn)行因式分解的方法。通常有兩種類型：一種是分組后提公因式；另一種是分組后利用公式分解。分組分解法的關(guān)鍵就是如何恰當(dāng)?shù)姆纸M。例3：a2+2b-ab-2a = (a2-ab)+(-2a+2b) =a(a-b)-2(a-b) =(a-b)(a-2)題中可以發(fā)現(xiàn)，前面的提公因式法和公式法不好直接使用，通過(guò)觀察我們可以把這個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行分組，然后就可以提取公因式，進(jìn)行因式分解，特別注意分組分解必須有明確的分組。4、十字相乘法十字相乘法的

5、對(duì)象是一個(gè)二次三項(xiàng)式：x2+(p+q)x+pq，它的特點(diǎn)是二次項(xiàng)系數(shù)是1，常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)積，一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)的和。所以，對(duì)于這類特殊的二次三項(xiàng)式我們可以進(jìn)行因式分解：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。例4：x2+5x+6=(x+2)(x+3)上題中，常數(shù)項(xiàng)6可以分解成2和3兩個(gè)因數(shù)，并且2和3的和恰好等于這個(gè)一次項(xiàng)的系數(shù)，所以我們可以采用十字相乘法。上面就是我們因式分解中的四個(gè)常用的方法，而我們進(jìn)行因式分解的時(shí)候，一般按照先提公因式，再使用公式，十字相乘試一試，分組分解要合適。因式分解是數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，數(shù)學(xué)運(yùn)算中離不開(kāi)因式分解，因此必須扎實(shí)地打好基礎(chǔ)。二、因式分解中存

6、在的誤區(qū)在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，運(yùn)算是十分重要的環(huán)節(jié)，而因式分解又是運(yùn)算技巧中不可或缺的環(huán)節(jié)，只有掌握好因式分解，方能簡(jiǎn)化運(yùn)算步驟，使運(yùn)算速度有一個(gè)質(zhì)的飛躍。學(xué)好因式分解，學(xué)生在未來(lái)的學(xué)習(xí)中會(huì)更加如魚得水，得心應(yīng)手。但由于不少學(xué)生在因式分解過(guò)程中容易走進(jìn)誤區(qū)，產(chǎn)常犯錯(cuò)誤，對(duì)因式分解還不能熟練掌握，導(dǎo)致運(yùn)算結(jié)果出現(xiàn)不理想。1、 概念理解錯(cuò)誤概念是運(yùn)算必須遵循的法則，是架起因式分解的靈魂橋梁。因式分解的概念是把多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成整式乘積的形式。例如=x（x2）+1，結(jié)果不是兩個(gè)整數(shù)乘積的形式，而仍舊是和的形式1。正確的解法應(yīng)當(dāng)是化為積的形式；因式分解的最終結(jié)果就是整式乘積，而學(xué)生會(huì)忽略整式兩個(gè)字，例如=x（

7、x-2x），常?？荚嚂r(shí)也會(huì)失分。2、 分解不徹底在因式分解的過(guò)程中，常常需要分解多次，提公因式法和運(yùn)用公式法混合使用，不少學(xué)生沒(méi)有分解完全就不再做下去了。在考試時(shí)出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤，這樣白白丟分不免遺憾。例如4x2-16 = 4(x2-4) 做到這里就不再進(jìn)行分解了，而實(shí)際上多項(xiàng)式x2-4我們還能夠使用平方差公式進(jìn)行因式分解，正確應(yīng)該是4x2-16 = 4(x2-4) = 4(x+2)(x-2)3、 相同因式不合并相同的因式指的就是像（a+b）和（a+b）這樣兩個(gè)一模一樣的公式，在運(yùn)算的最后，一定要將這樣相同的因式進(jìn)行合并，力求讓結(jié)果最簡(jiǎn)，寫成冪的形式。大多數(shù)的錯(cuò)誤，都是由于學(xué)生的粗心造成的，仔細(xì)

8、檢查是可以避免的2。4、 符號(hào)出錯(cuò)符號(hào)問(wèn)題主要出現(xiàn)在正負(fù)號(hào)上，不少學(xué)生容易犯的錯(cuò)誤，在提公因式時(shí)需要將括號(hào)里的符號(hào)改變過(guò)來(lái)，學(xué)生做的時(shí)候，容易忘記變號(hào)或者沒(méi)有括號(hào)內(nèi)每一項(xiàng)都改變符號(hào)。例如-2a-abc就要轉(zhuǎn)變?yōu)?a（2+bc）的形式，符號(hào)提到括號(hào)外了，應(yīng)當(dāng)符號(hào)轉(zhuǎn)變?yōu)檎?hào)，如果仍是負(fù)號(hào)，運(yùn)算結(jié)果就是錯(cuò)誤的。三、巧用因式分解，靈活解決問(wèn)題因式分解方法的靈活性、技巧性較強(qiáng)，就初中數(shù)學(xué)而言，掌握這些方法和技巧極其重要。不僅是掌握因式分解的基礎(chǔ)內(nèi)容，還有發(fā)展學(xué)生的思維能力和解題技巧。因式分解是初中必學(xué)的運(yùn)算技巧，也對(duì)今后更高難度數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有很大影響。1、整除問(wèn)題例：248-1能被60和70之間的兩個(gè)數(shù)整

9、除。這兩個(gè)數(shù)各是多少？分析：因?yàn)?8=224，所以248=(224)2，這樣就可以使用平方差公式進(jìn)行因式分解。解： 248-1=(224)2-1=(224+1) (224-1) =(224+1)(212)2-1 =(224+1) (212+1) (212-1)=(224+1) (212+1) (26)2-1 =(224+1) (212+1) (26+1) (26-1)=(224+1) (212+1) (26+1) (23)2-1 = (224+1) (212+1) (26+1) 97= (224+1) (212+1) 6563 因?yàn)?，整除的兩個(gè)數(shù)在60和70之間，606570，606370，所

10、以這兩個(gè)數(shù)分別是65和63。2、條件求值問(wèn)題例：已知a=2009x+2008，b=2009x+2009，c=2009x+2010，求多項(xiàng)式a2+b2+c2abbcac的值。分析：解題過(guò)程中，觀察題目的特點(diǎn)。由a=2009x+2008，b=2009x+2009，c=2009x+2010，求得ab=1，ac=2，bc=1，然后把多項(xiàng)式a2+b2+c2abbcac合理分成兩組，各組再進(jìn)行因式分解，整體代入法求值。解：a=2009x+2008，b=2009x+2009，c=2009x+2010ab=1，ac=2，bc=1 ，a2+b2+c2abbcac= ( a22ab+b2 )+ (abacbc +

11、c2 ) =(ab)2 + (ac)(bc) = (1)2+(2)(1) =1+2=33、圖形形狀問(wèn)題例：已知ABC的三邊a、b、c滿足關(guān)系式：a2-c2+2ab-2bc=0，求證：這個(gè)三角形是等腰三角形。分析：此題實(shí)際上考察多項(xiàng)式因式分解，先對(duì)等號(hào)左邊多項(xiàng)式因式分解，分解的時(shí)，先進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆纸M，把a(bǔ)2和-c2分為一組，2ab和-2bc分為一組，然后提公因式3。證明：a2-c2+2ab-2bc=0 ， (a2-c2)+(2ab-2bc)=0 ， (a+c)(a-c)+2b(a-c)=0 ， (a-c) (a+c+2b)=0 ， a、b、c是ABC的三條邊， a+c+2b0 a-c=0，即a=c， ABC為等腰三角形?？偠灾寣W(xué)生掌握好因式分解，熟練運(yùn)用因式分解