1998考研數(shù)二真題及解析

1、1998 年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學二試題一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分,把答案填在題中橫線上.)(1) .(2) 曲線與軸所圍成的圖形的面積 .(3) .(4) 設連續(xù),則 .(5) 曲線的漸近線方程為 .二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,共15分.在每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).)(1) 設數(shù)列與滿足,則下列斷言正確的是 ( )(A) 若發(fā)散,則發(fā)散 (B) 若無界,則必有界(C) 若有界,則必為無窮小 (D) 若為無窮小,則必為無窮小(2) 函數(shù)的不可導點的個數(shù)是 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D

2、) 3(3) 已知函數(shù)在任意點處的增量其中是比高階的無窮小,且,則 ( )(A) (B) (C) (D) (4) 設函數(shù)在的某個鄰域內(nèi)連續(xù),且為其極大值,則存在,當時,必有 ( )(A) (B) (C) (D) (5) 設是任一階方陣,是其伴隨矩陣,又為常數(shù),且,則必有 ( )(A) (B) (C) (D) 三、(本題滿分5分)求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的間斷點,并判斷其類型.四、(本題滿分5分)確定常數(shù)的值,使五、(本題滿分5分)利用代換將方程化簡,并求出原方程的通解.六、(本題滿分6分)計算積分.七、(本題滿分6分)從船上向海中沉放某種探測儀器,按探測要求,需確定儀器的下沉深度(從海平面算起)與下沉速

3、度之間的函數(shù)關系.設儀器在重力作用下,從海平面由靜止開始鉛直下沉,在下沉過程中還受到阻力和浮力的作用.設儀器的質(zhì)量為,體積為,海水比重為,儀器所受的阻力與下沉速度成正比,比例系數(shù)為.試建立與所滿足的微分方程,并求出函數(shù)關系式.八、(本題滿分8分)設是區(qū)間上的任一非負連續(xù)函數(shù).(1) 試證存在,使得在區(qū)間上以為高的矩形面積,等于在上以為曲邊的梯形面積.(2) 又設在區(qū)間內(nèi)可導,且,證明(1)中的是唯一的.九、(本題滿分8分)設有曲線,過原點作其切線,求由此曲線、切線及軸圍成的平面圖形繞 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積.十、(本題滿分8分)設是一向上凸的連續(xù)曲線,其上任意一點處的曲率為,且此曲線

4、上點處的切線方程為,求該曲線的方程,并求函數(shù)的極值.十一、(本題滿分8分)設,證明：(1) (2) 十二、(本題滿分5分)設,其中是4階單位矩陣,是4階矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣,求.十三、(本題滿分8分)已知,問：(1) 取何值時,不能由線性表示？(2) 取何值時,可由線性表示？并寫出此表達式.1998年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學二試題解析一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分,把答案填在題中橫線上.)(1)【答案】【解析】方法1：用四則運算將分子化簡,再用等價無窮小替換,原式.方法2：采用洛必達法則.原式.方法3：將分子按佩亞諾余項泰勒公式展開至項, ,從而 原式.(2)【答案】【分析】

5、求曲線與軸圍成的圖形的面積,應分清楚位于軸上方還是下方,為此,要先求此曲線與軸交點.【解析】與軸的交點,即的根為當時,；當時,從而(3)【答案】【解析】因為,所以 .(4)【答案】【解析】作積分變量代換,.【相關知識點】1.對積分上限的函數(shù)的求導公式：若,均一階可導,則.(5)【答案】【解析】題中未說什么漸近線,所以三類漸近線都要考慮.由曲線方程知,鉛直漸近線可能在兩處：及,但題設,所以不予考慮,考慮的情況.當時,所以無鉛直漸近線；因 故無水平漸近線.再考慮斜漸近線:,(時,)所以有斜漸近線.【相關知識點】1.鉛直漸近線：如函數(shù)在其間斷點處有,則是函數(shù)的一條鉛直漸近線；水平漸近線：當,則為函數(shù)

6、的水平漸近線.斜漸近線：若有存在且不為,則為斜漸近線.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,共15分,在每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).)(1)【答案】(D)【解析】方法1:直接利用無窮小量的性質(zhì)可以證明(D)是正確的. 由及可知為兩個無窮小之積,故亦為無窮小,應選(D).方法2:排除法.(A)的反例:滿足題設,但不發(fā)散；(B)的反例:,滿足,但不是有界數(shù)列；(C)的反例:有界數(shù)列,滿足,但不是無窮??；排除掉(A)、(B)、(C),故選(D).(2)【答案】(B)【解析】當函數(shù)中出現(xiàn)絕對值號時,就有可能出現(xiàn)不可導的“尖點”,因為這時的函數(shù)是分段函

7、數(shù).,當時可導,因而只需在處考察是否可導.在這些點我們分別考察其左、右導數(shù).由 ,即在處可導.又,所以在處不可導.類似,函數(shù)在處亦不可導.因此只有2個不可導點,故應選(B).評注：本題也可利用下列結(jié)論進行判斷： 設函數(shù),其中在處連續(xù),則在處可導的充要條件是.(3)【答案】(A)【解析】由有令得是的高階無窮小,則,即 .分離變量,得 兩邊積分,得 ,即代入初始條件得所以,.故 【相關知識點】無窮小的比較：設在同一個極限過程中,為無窮小且存在極限 ,(1) 若稱在該極限過程中為同階無窮小；(2) 若稱在該極限過程中為等價無窮小,記為；(3) 若稱在該極限過程中是的高階無窮小,記為.若不存在(不為)

8、,稱不可比較.(4)【答案】(C)【解析】由是的極大點,知存在,當時,即.因此,當時,當時,.所以,(A)與(B)都不正確.已知在處連續(xù),由函數(shù)在一點連續(xù)的定義可知,再由極限四則運算法則可得.應選(C).(5)【答案】(B)【解析】對任何階矩陣都要成立的關系式,對特殊的階矩陣自然也要成立.那么,當可逆時,由,有.故應選(B).一般地,若,有,那么矩陣的第行列元素的代數(shù)余子式為即中每個元素的代數(shù)余子式恰好是相應元素的代數(shù)余子式的倍,因而,按伴隨矩陣的定義知的元素是對應元素的倍.【相關知識點】1.行列式的性質(zhì)：若是階矩陣,則2.矩陣可逆的充要條件是,且.三、(本題滿分5分)【分析】由間斷點的定義可

9、知,函數(shù)無定義的點一定是間斷點,故可以先找出函數(shù)無定義的點,再討論判斷出間斷點的類型.【解析】在區(qū)間內(nèi)的間斷點為無定義的點,即各點.在處,；在處,故為的第二類間斷點；在處,；在處,但相應的函數(shù)值在該點無定義,故在處為可去間斷點.【相關知識點】設,則.2.函數(shù)的間斷點或者不連續(xù)點的定義：設函數(shù)在點的某去心鄰域內(nèi)有定義,只要滿足一下三種情況之一即是間斷點.(1) 在沒有定義；(2) 雖在有定義,但不存在；(3) 雖在有定義,且存在,但3.通常把間斷點分成兩類：如果是函數(shù)的間斷點,但左極限及右極限都存在,那么稱為函數(shù)的第一類間斷點；不是第一類間斷點的任何間斷點,稱為第二類間斷點.四、(本題滿分5分)

10、【分析】解決這類問題,原則上與求極限差不多,但是因為其中含有某些參數(shù),比如在用洛必達法則前,極限是否為“”型或“”型,要先行討論,通過討論,有時就可以推斷出其中參數(shù)的特點,然后再求極限,這是一類?？嫉念}目.【解析】當時,又由題設所以應有(否則與矛盾),從而只有,因此滿足洛必達法則的條件,用洛必達法則求其極限.(當時,)如果,則右邊極限為,與原設左邊矛盾,故,于是上述等式成為(當時,)所以最后得五、(本題滿分5分)【解析】方法：由,有代入原方程,得. (*)先求其相應齊次方程的通解,由于其特征方程為,則特征方程的根為.所以通解為 (為任意常數(shù)).再求非齊次方程的特解,特解應具有形式,代入(*)式

11、,得解得,因此.故(*)的通解為,(為任意常數(shù)).所以,原微分方程的通解為.方法：由,于是原方程化為(以下與方法相同)【相關知識點】兩函數(shù)乘積的求導公式：.六、(本題滿分6分)【解析】當時,被積函數(shù)的極限,即是被積函數(shù)的無窮間斷點,故所給的是廣義積分. 其中, 求：設則,于是, .七、(本題滿分6分)【解析】先建立坐標系,取沉放點為原點,鉛直向下作為軸正向,探測器在下沉過程中受重力、浮力和阻力的作用,其中重力大小：,浮力的大?。海蛔枇Γ?則由牛頓第二定律得 (*)由,代入(*)得與之間的微分方程.分離變量得 ,兩邊積分得 , (第一類換元法) .再根據(jù)初始條件即.故所求與函數(shù)關系為八、(本題滿

12、分8分)【解析】(1)要證,使；令,要證,使.可以對的原函數(shù)使用羅爾定理：,又由在連續(xù)在連續(xù),在連續(xù),在可導.根據(jù)羅爾定理,使.(2) 由,知在內(nèi)單調(diào)增,故(1)中的是唯一的.評注：若直接對使用零點定理,會遇到麻煩：.當時,對任何的結(jié)論都成立；當時,但,若,則難以說明在內(nèi)存在.當直接對用零點定理遇到麻煩時,不妨對的原函數(shù)使用羅爾定理.【相關知識點】1.羅爾定理：如果函數(shù)滿足(1) 在閉區(qū)間上連續(xù)；(2) 在開區(qū)間內(nèi)可導；(3) 在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等,即,那么在內(nèi)至少有一點(),使得.九、(本題滿分8分)1 2 x(2,1)Oy1【解析】先求切線方程：處的切線為.以代入切線方程,解得,切線方

13、程為.(見右圖)由曲線段繞軸的旋轉(zhuǎn)面面積而由曲線段繞軸的旋轉(zhuǎn)面面積由此,旋轉(zhuǎn)體的表面積為十、(本題滿分8分)【解析】由題設及曲率公式,有(因曲線向上凸,),化簡得.改寫為 ,兩邊積分得 ,解得 .由題設,曲線上點處的切線方程為,可知.以代入上式,得.于是有,故有(上式中注明區(qū)間是的原因：本題中使正切函數(shù)有意義的區(qū)間有很多,一般可以寫成,本題選擇是因為題設曲線在處有值,又已知曲線是一條連續(xù)曲線,因此解的范圍應該包含在內(nèi)并且使連續(xù)的一個區(qū)間.)再積分得又由題設可知,代入確定,于是所求的曲線方程為由于且在定義域內(nèi)是增函數(shù),所以當且僅當時,即時取得最大值,由于,所以此時也是取極大值,極大值為；顯然在沒

14、有極小值.【相關知識點】曲線在其上任意一點處的曲率公式：.十一、(本題滿分8分)【分析】不等式的證明一般用單調(diào)性來證明,除此之外,還可以用拉格朗日中值公式、拉格朗日余項泰勒公式、最大(小)值來證明.【解析】(1)方法1：利用單調(diào)性證明.令則在內(nèi)單調(diào)遞增,；在內(nèi)單調(diào)遞增,；在內(nèi)單調(diào)遞增,即.方法2：改寫原不等式,當時,故可在不等式兩邊同時除以,有,兩邊開平方, .令,故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)減少,由,可知當時,即,從而原不等式成立,證畢.方法3：由方法1,已證于是由的1階麥克勞林公式(拉格朗日余項)有即,證畢.(2)令,由(1),在單調(diào)減,而,且,故即證畢.十二、(本題滿分5分)【解析】由矩陣運算法則

15、,將等式兩邊左乘,得,即.對上式兩端取轉(zhuǎn)置,有.由可逆矩陣及逆矩陣的定義,可知矩陣均可逆,因為是4階方陣,故. 十三、(本題滿分8分)【分析】能由(不能由)線性表出為列向量的非齊次線性方程組有解(無解),從而將線性表出的問題轉(zhuǎn)化為方程組解的情況的判定與求解.【解析】令,作方程組,并對此方程組的增廣矩陣進行初等變換：其中,變換：將第1行乘以-4加到第2行,再將第1行乘以-2加到第4行；變換：第2行加到第1行,再將第2行乘以-1加到第4行,最后3,4行互換.由非齊次線性方程組有解的判定定理,可得(1)當時,線性方程組無解,此時不能由線性表出.(2)當時,線性方程組有唯一解,下面求此唯一解.由以上增廣矩陣變換可得線性