第七章實數(shù)的完備性

1、第七章 實數(shù)的完備性教學(xué)目的：1. 使學(xué)生掌握六個基本定理，能準(zhǔn)確地加以表述，并深刻理解其實質(zhì)意義；2. 明確基本定理是數(shù)學(xué)分析的理論基礎(chǔ)， 并能應(yīng)用基本定理證明閉區(qū)間上連 續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)和一些有關(guān)命題，從而掌握應(yīng)用基本定理進(jìn)行分析論證的能 力。教學(xué)重點難點 ：本章的重點是實數(shù)完備性的基本定理的證明； 難點是基本定 理的應(yīng)用。教學(xué)時數(shù) ：14 學(xué)時§ 1 關(guān)于實數(shù)集完備性的基本定理（ 4 學(xué)時）教學(xué)目的：1. 使學(xué)生掌握六個基本定理，能準(zhǔn)確地加以表述，并深刻理解其實質(zhì)意義；2. 明確基本定理是數(shù)學(xué)分析的理論基礎(chǔ)。教學(xué)重點難點 ：實數(shù)完備性的基本定理的證明。一確界存在定理： 回顧確界

2、概念Th 1 非空有上界數(shù)集必有上確界 ；非空有下界數(shù)集必有下確界 .二 . 單調(diào)有界原理 : 回顧單調(diào)和有界概念 .Th 2 單調(diào)有界數(shù)列必收斂 .Cantor閉區(qū)間套定理1. 區(qū)間套：設(shè)/,：是一閉區(qū)間序列.若滿足條件i >對7,有一二.'，即打：宀亦即后 一個閉區(qū)間包含在前一個閉區(qū)間中；ii >. i |:.即當(dāng)* * :二時區(qū)間長度趨于零.則稱該閉區(qū)間序列為一個遞縮閉區(qū)間套，簡稱為區(qū)間套.簡而言之，所謂區(qū)間套是指一個“閉、縮、套” 區(qū)間列.區(qū)間套還可表達(dá)為：1 - ;' - 1 - ；.我們要提請大家注意的是，這里涉及兩個數(shù)列.和、:,其中.遞增，遞減.例如

3、；和一 都是區(qū)間套.但 In nk.沖肚.和' 都不是.2. Cantor區(qū)間套定理：Th 3設(shè)宀 是一閉區(qū)間套.則存在唯一的點 匚，使對 "有二簡言之，區(qū)間套必有唯一公共點.I '；四.Cauchy收斂準(zhǔn)則數(shù)列收斂的充要條件1. 基本列： 回顧基本列概念基本列的直觀意義基本列亦稱為Cauchy列.例1驗證以下兩數(shù)列為 Cauchy列：飛 I I " I - 'I 1- I I ':,3 52js-1解 ：,' - 1- 'i - - 71：' | -< 0 9*+1 + -+ 0 嚴(yán) < 0 9"

4、;*1 + + 09 十1-0.9U0.9；豈，易見只要-I '2（科十弓）-11 1+2« + 1 2w + 3當(dāng)d為偶數(shù)時，注意到上式絕對值符號內(nèi)有偶數(shù)項和下式每個括號均為正號 有1 1 12n + I 2m +32（斥 士 p）- 1f 11+f 11 14411 ®+ 12m+ 3l2m + 52w I*0532（川 + p）2(w + 7?) -5 2(母 4刃 _32(w + f)_戈旳十1當(dāng)口為奇數(shù)時1 _ 1 : -4r 1L 2« +1 2w + 3jk2(« + p)-52® + 7?) - 3J 2(沖+ 7?)

5、- 11 1 1加+ 12«+31 i 11 1r 1_ 1 1L 12w + l 2m+ 32甘斗'斗刃72(w斗刃-.2 + 1綜上,對任何自然數(shù)P,有X 1-1+亠（T嚴(yán)< 1 <11 .2對七12« + 32（科4歹）一加41nCauchy列的否定：例2、_二.驗證數(shù)列r不是Cauchy列.匸1蠱證 對K ,取二弓吒,有,1 1 11月十1越十2找+趣2島2因此，取1；,2.Cauchy收斂原理：Th 4數(shù)列 一收斂;是Cauchy列.（要求學(xué)生復(fù)習(xí)函數(shù)極限、函數(shù)連續(xù)的Cauchy準(zhǔn)則，并以Cauchy收斂原理為依 據(jù)，利用Heine歸并原則給出

6、證明）五.致密性定理：數(shù)集的聚點定義 設(shè)三是無窮點集.若在點.'.（未必屬于E ）的任何鄰域內(nèi)有 丘的 無窮多個點，則稱點：為三的一個聚點.數(shù)集三二.：有唯一聚點:,但 £開區(qū)間 .的全體聚點之 n集是閉區(qū)間-.；設(shè)】-.是一丨_中全體有理數(shù)所成之集，易見L.的聚點集 是閉區(qū)間丨丁丨.1. 列緊性：亦稱為Weierstrass收斂子列定理.Th 5 （ Weierstrass ）任一有界數(shù)列必有收斂子列2. 聚點原理： Weierstrass聚點原理.Th 6每一個有界無窮點集必有聚點.六.Heine - Borel有限復(fù)蓋定理：1.復(fù)蓋：先介紹區(qū)間族- I -"&

7、#39;.定義（復(fù)蓋） 設(shè)E是一個數(shù)集，&是區(qū)間族若對. .則稱區(qū)間族復(fù)蓋了 E,或稱區(qū)間族匸是數(shù)集己的一個復(fù)蓋記為:-丄,；-：L若每個 I都是開區(qū)間，則稱區(qū)間族 匚是開區(qū)間族開區(qū)間族常記為定義（開復(fù)蓋） 數(shù)集三的一個開區(qū)間族復(fù)蓋稱為 芒的一個開復(fù)蓋， 簡稱為丘的一個復(fù)蓋子復(fù)蓋、有限復(fù)蓋、有限子復(fù)蓋.例3：-：._.-I| .復(fù)蓋了區(qū)間|一，但不能復(fù)蓋|）；弓-.：十；i - : ".復(fù)蓋丨心-：,但不能復(fù)蓋一.2. Heine - Borel有限復(fù)蓋定理：Th 7閉區(qū)間的任一開復(fù)蓋必有有限子復(fù)蓋§ 2 實數(shù)基本定理等價性的證明（4學(xué)時）證明若干個命題等價的一般方

8、法本節(jié)證明七個實數(shù)基本定理等價性的路線:證明按以下三條路線進(jìn)行：I :確界原理=，單調(diào)有界原理=區(qū)間套定理=Cauchy收斂準(zhǔn)則=確界原理n : 區(qū)間套定理=致密性定理=Cauchy收斂準(zhǔn)則；川:區(qū)間套定理=Heine - Borel有限復(fù)蓋定理=區(qū)間套定理一. “I”的證明：（“確界原理=單調(diào)有界原理”已證明過）.1. 用“確界原理”證明“單調(diào)有界原理”：Th 2單調(diào)有界數(shù)列必收斂.證2.用“單調(diào)有界原理”證明“區(qū)間套定理”：Th 3 設(shè) m 是一閉區(qū)間套.則存在唯一的點：，使對【吃有:.【令總證系1若:'f < .-是區(qū)間套：< :.確定的公共點,則對',I八當(dāng)

9、三廠時,總有J : J 系2 若：是區(qū)間套匸理二確定的公共點,則有3. 用“區(qū)間套定理”證明“ Cauchy收斂準(zhǔn)則”：Th 4 數(shù)列收斂='-是Cauchy列.引理 Cauchy列是有界列.（證）Th 4的證明：（只證充分性） 教科書P217 218上的證明留作閱讀 現(xiàn)采用3P70 71例2的證明,即三等分的方法,該證法比較直觀.4. 用“ Cauchy收斂準(zhǔn)則”證明“確界原理”：Th 1非空有上界數(shù)集必有上確界；非空有下界數(shù)集必有下確界證 （只證“非空有上界數(shù)集必有上確界”）設(shè) 己為非空有上界數(shù)集當(dāng)己為有限集時，顯然有上確界下設(shè)E為無限集，取J不是E的上界,I為上的上界對分區(qū)間;，

10、取I仁.熾：，使心不是丄的上界, 、為E的上界.依此得閉區(qū)間列.驗證r 為Cauchy列,由 Cauchy收斂準(zhǔn)則，收斂;同理二.收斂.易見：.設(shè)八門.有 :;、/人.下證門：工/.用反證法驗證.的上界性和最小性.二. “U” 的證明：1.用“區(qū)間套定理”證明“致密性定理”：Th 5 （ Weierstrass ）任一有界數(shù)列必有收斂子列.證 （突出子列抽取技巧）Th 6 每一個有界無窮點集必有聚點.證 （用對分法）2 用“致密性定理”證明“ Cauchy收斂準(zhǔn)則”：Th 4 數(shù)列/ 收斂=.,'是 Cauchy 列.證 （只證充分性）證明思路：Cauchy列有界有收斂子列驗證 收斂子

11、列的極限即為的極限.三. “川”的證明：1. 用“區(qū)間套定理”證明“ Heine - Borel有限復(fù)蓋定理”證2. 用“ Heine - Borel有限復(fù)蓋定理”證明“區(qū)間套定理”證采用3P72例4的證明.教學(xué)目的： 能應(yīng)用基本定理證明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)和一些有關(guān) 命題，從而掌握應(yīng)用基本定理進(jìn)行分析論證的能力教學(xué)重點難點：基本定理的應(yīng)用有界性:命題 1/.'.,= 在.上 F.二T： 證法一 （用區(qū)間套定理）反證法證法二（用列緊性）.反證法證法 三 （用有限復(fù)蓋定理）二 最值性：命題21在丨叭廣I上取得最大值和最小值（只證取得最大值）證 （用確界原理） 參閱1P226證法 二

12、后半段三.介值性：證明與其等價的“零點定理 ” 命題3 （零點定理）證法一（用區(qū)間套定理）證法 二 （用確界原理）不妨設(shè)令. I I ,則三非空有界，= 巨有上確界設(shè)二-,有 I二丄_ 現(xiàn)證：七 -,（ 為此證明 j二丄且丄J）. 取工-上 匸且- ；.由/在點匸連續(xù)和',，易見有丄=和J .由.= 八于是：-=:一:.由.在點I連續(xù)和.因此只能有；'.證法 三 （用有限復(fù)蓋定理）.四 一致連續(xù)性：命題4（ Cantor定理）證法一（用區(qū)間套定理）.證法二（用列緊性）.參閱1P229 230 證法一參閱1P229 230 證法二習(xí)題課（2學(xué)時）實數(shù)基本定理互證舉例:例1 用“區(qū)

13、間套定理”證明“單調(diào)有界原理”證 設(shè)數(shù)列.遞增有上界取閉區(qū)間:二，使心不是 一的上 界，是的上界易見在閉區(qū)間:內(nèi)含有數(shù)列|的無窮多項， 而在:外僅含有 J的有限項對分2:,取，使有 Z ” : |的性質(zhì).于是得區(qū)間套,有公共點匚.易見在點：的 任何鄰域內(nèi)有數(shù)列-,:的無窮多項而在其外僅含有, .：的有限項，=例2用“確界原理”證明“區(qū)間套定理”.證門為區(qū)間套.先證每個-'為數(shù)列鳥'二的下界，而每個為數(shù)列的上界.由確； < .界原理， 數(shù)列':有上確界，數(shù)列.有例3 用“有限復(fù)蓋定理”證明“聚點原理”.證 （ 用反證法） 設(shè):為有界無限點集，I _.反設(shè)一 ，二的每

14、一點都不是E的聚點,則對7 -'. _,存在開區(qū)間廠.,使在：二:內(nèi)僅有三的有限個點.例4 用“確界原理”證明“聚點原理”.證 設(shè)為有界無限點集.構(gòu)造數(shù)集1中大于:的點有無窮多 個.易見數(shù)集 三非空有上界，由確界原理，三有上確界.設(shè):I :. 則對二三：:,由，-不是巨的上界，=己中大于,-的點有無窮多個； 由_是己的上界,= 二中大于 匚的點僅有有限個.于是,在.訂-：-；'內(nèi)有土的無窮 多個點，即二是丘的一個聚點.實數(shù)基本定理應(yīng)用舉例:例5 設(shè)是閉區(qū)間q糾上的遞增函數(shù)，但不必連續(xù). 如果 一“，_： 一，則廠_“上_,使.（山東大學(xué)研究生入學(xué)試題）證法一（用確界技術(shù). 參閱

15、3 P76例10證法1 ）設(shè)集合" I /' ' . / - ' ：' '.則一心嚴(yán)，2-不空；T 二一一，F(xiàn)有界.由確界原理,F有上確界.設(shè)-7 ,則i > 若 i - F ,有;又廠；"，得匕./'.由，遞增和 /.,有.<.：'，可見5."由|門，=二.于是,只能有'、；_、.ii >若 _ “ F ,則存在P內(nèi)的數(shù)列.:,使“ /二、也存在數(shù)列,1 ：，:.: ,.由“遞增， 一匚以及就有式.'，:'.，:對任何址成立令些一：，得二于是有；-證法二（用區(qū)間套技

16、術(shù),參閱3 P77例10證法2 ） 當(dāng)_一.或:時，主或打就是方程一一 .，.在_ “一：-上的實根以下總設(shè)1'對分區(qū)間| -!宀.，設(shè)分點為：.倘有 U ' ,:就是方程門 在一 一上的實根（為行文簡練計，以下總設(shè)不會出現(xiàn)這種情況）若J，,取一-_ -;若廠？1 -，取i ，丄-,如此得-級區(qū)間丨：/ !依此構(gòu)造區(qū)間套丨 , . -,對:,有,由區(qū)間套定理,- ,使對任何J有'I-',/,/現(xiàn)證- 1事實上，注意到"時一/ 工:和1 “以及.遞增,就有令'Ji:,得.汽'V.乞于是有. 例6 設(shè)在閉區(qū)間. '上函數(shù)連續(xù),y；遞增, 且有1 :I：.,L'''.試證明：方程1 : L 在區(qū)間打丨內(nèi)有實根（西北師大2001年碩士研究生入學(xué)試題）證構(gòu)造區(qū)間套二；,使I :.由區(qū)間套 定理,:,使對 ，有 現(xiàn)證.-：-：-.：.事實上,由 二.在一 一上的遞增性和.的構(gòu)造以及一j /匕和 有- :- = - .注意到.在點_連續(xù)，由He