第三章流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ).

1、第三章流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)流體的運(yùn)動(dòng)特性可用流速、加速度等物理量來(lái)表征，這些物理量通稱(chēng)為流體的運(yùn)動(dòng)要素。流體動(dòng)力學(xué)的 基本任務(wù)就是研究流體的運(yùn)動(dòng)要素隨時(shí)間和空間的變化規(guī)律，并建立它們之間的關(guān)系式。流體運(yùn)動(dòng)與其它物質(zhì)運(yùn)動(dòng)一樣，都要遵循物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的普遍規(guī)律，如質(zhì)量守恒定律，能量守恒定律、動(dòng)量 定理等。將這些普遍規(guī)律應(yīng)用于流體運(yùn)動(dòng)這類(lèi)物理現(xiàn)象，即可得到描述流體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的三個(gè)基本方程：連續(xù) 性方程、能量方程（伯努利方程）和動(dòng)量方程，并舉例說(shuō)明它們?cè)诠こ讨械膽?yīng)用。3.1研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法研究流體運(yùn)動(dòng)的方法有拉格朗日法和歐拉法兩種。3.1.1拉格朗日法拉格朗日法以流體質(zhì)點(diǎn)為研究對(duì)象， 追蹤觀(guān)測(cè)某一流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)

2、動(dòng)軌跡， 并探討其運(yùn)動(dòng)要素隨時(shí)間變化 的規(guī)律。將所有流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)匯總起來(lái)，即可得到整個(gè)流體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。例如在t時(shí)刻，某一流體質(zhì)點(diǎn)的位置可表示為x =x a，b，c，ty =y（a，b，c， t 卜（3-1）z =z（a，b，c，t L式中：a，b，c為初始時(shí)刻t0時(shí)該流體質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)。拉格朗日法通常用t= to時(shí)刻流體質(zhì)點(diǎn)的空間坐標(biāo)（a，b， c）來(lái)標(biāo)識(shí)和區(qū)分不同的流體質(zhì)點(diǎn)。顯然，不同的流體質(zhì)點(diǎn)有不同的（a，b，c）值，故將（a， b，c，t）稱(chēng)為拉格朗日變量。式（3-1）對(duì)時(shí)間t求偏導(dǎo)數(shù)，即可得任意流體質(zhì)點(diǎn)的速度山 一 m - Ux （a， b， c， t）a比= = Uy（a, b，c,

3、t（3-2）ctCZyUzt Uz a，b，c，t加速度Ux；：2xZt.：tax a,ay：UyT：2y.：t二ay a,az:Uz；：t?z.:t二 az a,b, c, t)b, c, t”b, c, t )(3-3)拉格朗日法與理論力學(xué)中研究質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)的方法相同，其物理概念明確，但數(shù)學(xué)處理復(fù)雜。所以，在流 體力學(xué)中，一般不采用拉格朗日法，而采用較為簡(jiǎn)便的歐拉法。3.1.2歐拉法與拉格朗日法不同，歐拉法著眼于流場(chǎng)中的固定空間或空間上的固定點(diǎn)，研究空間每一點(diǎn)上流體的運(yùn) 動(dòng)要素隨時(shí)間的變化規(guī)律。被運(yùn)動(dòng)流體連續(xù)充滿(mǎn)的空間稱(chēng)為流場(chǎng)。需要指岀的是，所謂空間每一點(diǎn)上流體的 運(yùn)動(dòng)要素是指占據(jù)這些位置的

4、各個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)要素。例如，空間本身不可能具有速度，歐拉法的速度指 的是占據(jù)空間某個(gè)點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)的速度。在流場(chǎng)中任取固定空間，同一時(shí)刻，該空間各點(diǎn)流體的速度有可能不同，即速度u是空間坐標(biāo)（x, y,z）的函數(shù)；而對(duì)某一固定的空間點(diǎn)，不同時(shí)刻被不同的流體質(zhì)點(diǎn)占據(jù)，速度也有可能不同，即速度u又是時(shí)間t的函數(shù)。綜合起來(lái)，速度是空間坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，即u = u x, y, z, tUx=Ux(x,y,z,t)(3-4)(3-5)(3-6)Uy=Uy(x,y,z,t)同理Uz=Uz(x,y,z,tp = p x, y, z, tP(x, y, z, t)式中x, y, z, t稱(chēng)為歐拉變量。同樣，歐

5、拉法中某空間點(diǎn)的加速度是指某時(shí)刻占據(jù)該空間點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)的加速度。而求質(zhì)點(diǎn)的加速度就要追蹤觀(guān)察該質(zhì)點(diǎn)沿程速度變化，此時(shí)速度U = u x, y, z, t中的坐標(biāo)x, y, z就不能視為常數(shù)，而 是時(shí)間t的函數(shù)，即X =x t , y =y t , z =z t則速度可表示成u二u X t , y t , z t , 11因此，歐拉法中質(zhì)點(diǎn)的加速度應(yīng)按復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則導(dǎo)岀ducucu dxcudycudza =(3-7)dtctex dtdydtczdt.u；u；u；uUxUyUz-.t:x:y:z其分量形式azdUx-dt -；:tdUyUy一 dtdUz.：UzayaxUx.:u.：Uzdt

6、.:t；:u7；Uy由式（3-7）可見(jiàn)，歐拉法中質(zhì)點(diǎn)加速度由兩部分組成：第一部分UzUz；:u.Uz.z(3-8)表示空間某一固定點(diǎn)上流體質(zhì)點(diǎn):t4#:u:uUxUy :x:y圖3-1管路出流的速度對(duì)時(shí)間的變化率，稱(chēng)為時(shí)變加速度或當(dāng)?shù)丶铀俣?，它是由流?chǎng)的非恒定性引起的；第二部分 Uz丄表示由于流體質(zhì)點(diǎn)空間位置變化而引起的速度變化率，稱(chēng)為位變加速度或遷移加 :z速度，它是由流場(chǎng)的不均勻性引起的。例如，圖3-1所示的管路裝置，點(diǎn)a、b 分別位于等徑管和漸縮管的軸心線(xiàn)上。若水 箱有來(lái)水補(bǔ)充，水位 H保持不變，則點(diǎn)a, b處質(zhì)點(diǎn)的速度均不隨時(shí)間變化，時(shí)變加速 度、Ux =0，點(diǎn)a處質(zhì)點(diǎn)的速度隨流動(dòng)保持

7、不變，位變加速度Ux匹=0，而點(diǎn)b:x處質(zhì)點(diǎn)的速度隨流動(dòng)將增大，位變加速度Ux x 0，故點(diǎn)a處質(zhì)點(diǎn)的加速度ax = 0，點(diǎn)b處質(zhì)點(diǎn)的加速度 ex.:t有a點(diǎn)的位變加速度Ux =， b點(diǎn)的位變加速度Ux宀，故點(diǎn)a處質(zhì)點(diǎn)的加速度ax = x ；:x；:x;:t點(diǎn)b處質(zhì)點(diǎn)的加速度CUx丄xaxUx -盤(pán)dx若水箱無(wú)來(lái)水補(bǔ)充，水位 H逐漸下降，則點(diǎn)a, b處質(zhì)點(diǎn)的速度均隨時(shí)間減小，時(shí)變加速度dz = uzdt ”可得跡線(xiàn)微分方程(3-10)魚(yú)二魚(yú)二空二dtUx Uy Uz式中時(shí)間t是自變量，x, y, z是t的因變量。2.流線(xiàn)流線(xiàn)是指某一時(shí)刻流場(chǎng)中的一條空間曲線(xiàn)，曲線(xiàn)上所有流體質(zhì)點(diǎn)的速度矢量都與這條

8、曲線(xiàn)相切，如圖3-2所示。在流場(chǎng)中可繪出一系列同一瞬時(shí)的流線(xiàn)，稱(chēng)為流線(xiàn)簇，畫(huà)岀的流線(xiàn)簇圖稱(chēng)為流譜。設(shè)流線(xiàn)上某點(diǎn)M （x，y，z）處的速度為u，其在x，y，坐標(biāo)軸的分速度分別為Ux、Uy、Uz，ds為流線(xiàn)在M點(diǎn)的微元線(xiàn)u與ds共線(xiàn)，則U圖3-2流線(xiàn)dxdydz=0UxUyUz段矢量，ds= dxi + dyj+ dzk。根據(jù)流線(xiàn)定義,9#展開(kāi)上式，可得流線(xiàn)微分方程dxUxdyuydzUz(3-11)#式中Ux，Uy，Uz是空間坐標(biāo)和時(shí)間t的函數(shù)。因流線(xiàn)是對(duì)某一時(shí)刻而言，所以微分方程中的時(shí)間t是參變量,在積分求流線(xiàn)方程時(shí)應(yīng)作為常數(shù)。根據(jù)流線(xiàn)定義，可得岀流線(xiàn)的特性：（1）在一般情況下不能相交，否則位

9、于交點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)，在同一時(shí)刻就有與兩條流線(xiàn)相切的兩個(gè)速度 矢量，這是不可能的。同樣道理，流線(xiàn)不能是折線(xiàn)，而是光滑的曲線(xiàn)或直線(xiàn)。流線(xiàn)只在一些特殊點(diǎn)相交，如 速度為零的點(diǎn)（圖3-3中的A點(diǎn)）通常稱(chēng)為駐點(diǎn)；速度無(wú)窮大的點(diǎn)（圖 3-4中的0點(diǎn)）通常稱(chēng)為奇點(diǎn)；以及 流線(xiàn)相切點(diǎn)（圖3-3中的B點(diǎn)）。AB#3-4奇點(diǎn)（源、匯）圖3-3駐點(diǎn)和相切點(diǎn)圖（2）不可壓縮流體中，流線(xiàn)的疏密程度反映了該時(shí)刻流場(chǎng)中各點(diǎn)的速度大小，流線(xiàn)越密，流速越大,#流線(xiàn)越稀，流速越小。（3）恒定流動(dòng)中，流線(xiàn)的形狀不隨時(shí)間而改變，流線(xiàn)與跡線(xiàn)重合；非恒定流動(dòng)中，一般情況下，流線(xiàn) 的形狀隨時(shí)間而變化，流線(xiàn)與跡線(xiàn)不重合。例3-2已知二維非恒定

10、流場(chǎng)的速度分布為：ux =x t，uy = -y t。試求：（1）t= 0和t = 2時(shí)，過(guò)點(diǎn)M （- 1，- 1）的流線(xiàn)方程；（2） t= 0時(shí)，過(guò)點(diǎn)M （ 1，- 1）的跡線(xiàn)方程。解：（1）由式（3-11），得流線(xiàn)微分方程dx _ dyx t 一 -y t式中t為常數(shù)，可直接積分得簡(jiǎn)化為In x t = -1 n y -t iTnCx t y - t =C當(dāng) t= 0，x=- 1，y=- 1 時(shí),C= 1。_則t= 0時(shí)，過(guò)點(diǎn)M （ 1，- 1）的流線(xiàn)方程為xy = 1當(dāng) t= 2，x=- 1，y=- 1 時(shí),C=- 3。_則t = 2時(shí)，過(guò)點(diǎn)M （ 1，- 1）的流線(xiàn)方程為由此可見(jiàn)，對(duì)非

11、恒定流動(dòng)，流線(xiàn)的形狀隨時(shí)間變化。（2）由式（3-10），得跡線(xiàn)微分方程dx dydt x t _y t式中x、y是t的函數(shù)。將上式化為空-x-t=O dt 業(yè)+ L.dty -t = 0解得tx = C1e_ t _1=C2e-t +t -1當(dāng) t= 0, x=- 1 , y=- 1 時(shí)，Ci= 0, C2 = 0。貝U t= 0 時(shí)，過(guò)點(diǎn) M ( 1, 1)的跡線(xiàn)方程為X = -t - 1、y = t1消去時(shí)間t,得x y - -2由此可見(jiàn)，t = 0時(shí)，過(guò)點(diǎn)M ( 1, 1)的跡線(xiàn)是直線(xiàn)，流線(xiàn)卻為雙曲線(xiàn)，兩者不重合。若將該題改為二維恒定流動(dòng)，其速度分布為ux二x，uy - -y，則可得過(guò)點(diǎn)

12、 m( 1，-1)的流線(xiàn)方程和跡線(xiàn)方程相同，說(shuō)明恒定流動(dòng)流線(xiàn)和跡線(xiàn)重合。3.2.4流面、流管、過(guò)流斷面1.流面在流場(chǎng)中任取一條不是流線(xiàn)的曲線(xiàn)，過(guò)該曲線(xiàn)上每一點(diǎn)作流線(xiàn)，由這些流線(xiàn)組成的曲面稱(chēng)為流面，如圖3-5所示。由于流面由流線(xiàn)組成，而流線(xiàn)不能相交，所以，流面就好像是固體邊界一樣，流體質(zhì)點(diǎn)只能順著流面運(yùn)動(dòng)，不能穿越流面。圖3-5流面圖3-6流管112.流管在流場(chǎng)中任取一條不與流線(xiàn)重合的封閉曲線(xiàn)，過(guò)封閉曲線(xiàn)上各點(diǎn)作流線(xiàn)，所構(gòu)成的管狀表面稱(chēng)為流管， 如圖3-6所示。由于流線(xiàn)不能相交，所以流體不能穿過(guò)流管流進(jìn)流岀。對(duì)于恒定流動(dòng)而言，流管的形狀不隨 時(shí)間變化，流體在流管內(nèi)的流動(dòng)，就像在真實(shí)管道內(nèi)流動(dòng)一樣

13、。流管內(nèi)部的全部流體稱(chēng)為流束。斷面積無(wú)限小的流束，稱(chēng)為元流。由于元流的斷面積無(wú)限小，斷面上各 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)要素如流速、 壓強(qiáng)等可認(rèn)為是相等的。 斷面積為有限大小的流束， 稱(chēng)為總流。總流由無(wú)數(shù)元流組成, 其過(guò)流斷面上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)要素一般情況下不相同。3.過(guò)流斷面過(guò)流斷面可以是平面或曲面，流線(xiàn)互相平行在流束上取所有各點(diǎn)都與流線(xiàn)正交的橫斷面稱(chēng)為過(guò)流斷面。#3-7所示時(shí)，過(guò)流斷面是平面；流線(xiàn)相互不平行時(shí)，過(guò)流斷面是曲面，如圖12#圖3-8斷面平均流速圖3-7過(guò)流斷面3.2.5流量、斷面平均流速1.流量單位時(shí)間通過(guò)某一過(guò)流斷面的流體量稱(chēng)為流量。流量可以用體積流量Q（ m3/s）、質(zhì)量流量 Qm（ kg/s）和

14、重量流量Qg（ N/s）表示。涉及不可壓縮流體時(shí)，通常使用體積流量；涉及到可壓縮流體時(shí)，則使用質(zhì)量 流量或重量流量較方便。對(duì)元流來(lái)說(shuō)，過(guò)流斷面面積dA上各點(diǎn)的速度均為 u，且方向與過(guò)流斷面垂直，所以單位時(shí)間通過(guò)的體積流量 dQ為dQ = udA總流的流量q等于通過(guò)過(guò)流斷面的所有元流流量之和，則總流的體積流量對(duì)于均質(zhì)不可壓縮流體，密度為常數(shù)，則Q = Q， Qg 二gQ（3-12）2.斷面平均流速總流過(guò)流斷面上各點(diǎn)的流速 u般是不相等的，例如流體在管道內(nèi)流動(dòng)， 靠近管壁處流速較小， 管軸處流速大，如圖3-8所示。為了便于計(jì)算，設(shè)想過(guò)流斷面上各點(diǎn)的速度都相等，大小均為斷面平均流速v。以斷面平均流速

15、v計(jì)算所得的流量與實(shí)際流量相同，即Q udA 二 vAAq或V（ 3-13）A3.2.6均勻流與非均勻流流場(chǎng)中所有流線(xiàn)是平行直線(xiàn)的流動(dòng)，稱(chēng)為均勻流，否則稱(chēng)為非均勻流。例如，流體在等直徑長(zhǎng)直管道中流體在斷面沿程收縮或擴(kuò)大的管道中的流動(dòng)或在斷面形狀、大小沿程不變的長(zhǎng)直渠道中的流動(dòng)均屬均勻流; 流動(dòng)或在彎曲管道中流動(dòng)，以及在斷面形狀、大小沿程變化的渠道中的流動(dòng)均屬非均勻流。在均勻流中，過(guò)流斷面是平面，位于同一流線(xiàn)上的各質(zhì)點(diǎn)的流速的大小和方向相同，并且均勻流過(guò)流斷 面上的動(dòng)壓強(qiáng)分布服從流體靜力學(xué)規(guī)律。按非均勻程度的不同又將非均勻流動(dòng)分為漸變流和急變流，如圖3-9所示。凡流線(xiàn)間夾角很小接近于平行直線(xiàn)的流

16、動(dòng)稱(chēng)為漸變流，否則稱(chēng)為急變流。顯然，漸變流是一種近似的均勻流。因此，均勻流的性質(zhì)對(duì)漸 變流同樣適用。主要有：（1）漸變流的流線(xiàn)近于平行直線(xiàn)，過(guò)流斷面近于平面；（2）漸變流過(guò)流斷面上的動(dòng)壓強(qiáng)分布與靜止流體壓強(qiáng)分布規(guī)律相同，即z 二 C。ABII10A漸變流B急變流圖3-9漸變流和急變流由定義可知，漸變流與急變流沒(méi)有明確的界定標(biāo)準(zhǔn)，流動(dòng)是否按漸變流處理，以所得結(jié)果能否滿(mǎn)足工程 要求的精度而定。3.2.7有壓流、無(wú)壓流、射流邊界全部為固體（如為液體則沒(méi)有自由表面）的流體運(yùn)動(dòng)，稱(chēng)為有壓流。邊界部分為固體，部分為大氣, 具有自由表面的液體運(yùn)動(dòng)，稱(chēng)為無(wú)壓流。流體從孔口、管嘴或縫隙中連續(xù)射岀一股具有一定尺寸

17、的流束，射 到足夠大的空間去繼續(xù)擴(kuò)散的流動(dòng)稱(chēng)為射流。例如，給水管道中的流動(dòng)為有壓流；河渠中的水流運(yùn)動(dòng)以及排水管道中的流動(dòng)是無(wú)壓流；經(jīng)孔口或管嘴 射入大氣的水流運(yùn)動(dòng)為射流。.3連續(xù)性方程連續(xù)性方程是流體運(yùn)動(dòng)學(xué)的基本方程，是質(zhì)量守恒定律在流體力學(xué)中的應(yīng)用。下面根據(jù)質(zhì)量守恒原理,推導(dǎo)三維流動(dòng)連續(xù)性微分方程，并建立總流的連續(xù)性方程。3.3.1連續(xù)性微分方程圖3-10連續(xù)性微分方程在流場(chǎng)中任取微元直角六面體ABCDEFGH作為控制體，其邊長(zhǎng)為dx、dy、dz,分別平行于x、y、z軸。設(shè)流體在該六面體形心O?（ x、y、z）處的密度為p，速度u= Uxi+ uyj + Uzk。根據(jù)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，并略去二階

18、以上的無(wú)窮小量，可得 x軸方向的速度和密度變化，如圖3-10所示。在x軸方向，單位時(shí)間流進(jìn)與流岀控制體的流體質(zhì)量差mx血孚呼dyd“円十列 Pux)dxlx ；x 2dydz 二些 dxdydz :x14#同理，在y、z軸方向，單位時(shí)間流進(jìn)與流岀控制體的流體質(zhì)量差. 負(fù) PUy)：mydxdydz丄 dxdydz:z込)+化)+ 込dxdydzdxcycz單位時(shí)間流進(jìn)與流岀控制體總的質(zhì)量差mxmymz =由于流體連續(xù)地充滿(mǎn)整個(gè)控制體，而控制體的體積又固定不變，所以，流進(jìn)與流岀控制體的總的質(zhì)量差只可能引起控制體內(nèi)流體密度發(fā)生變化。由密度變化引起單位時(shí)間控制體內(nèi)流體的質(zhì)量變化為-:tdxdydz

19、- dxdydz =cP珂#根據(jù)質(zhì)量守恒定律，單位時(shí)間流進(jìn)與流岀控制體的總的質(zhì)量差，必等于單位時(shí)間控制體內(nèi)流體的質(zhì)量變化。即6( PUx )亠( PUy )亠訊 Pu r- r-I cXcyz:zcPdxdydz dxdydz 竝化簡(jiǎn)得J：Ux： U ? ；?Uz c十十十=0:t :xjy:z(3-14)此式即為可壓縮流體的連續(xù)性微分方程。由方程的推導(dǎo)過(guò)程可以看岀：連續(xù)性方程實(shí)質(zhì)上是質(zhì)量守恒定律在流體力學(xué)中的應(yīng)用，因此，任何不滿(mǎn)足連續(xù)性方程的流動(dòng)是不可能存在的；在推導(dǎo)過(guò)程中不涉及流體的 受力情況，故連續(xù)性方程對(duì)理想流體和粘性流體均適用。幾種特殊情形下的連續(xù)性微分方程 對(duì)恒定流，=0，式（3-

20、14）可簡(jiǎn)化為aUxUy u 0.x:y：z 對(duì)不可壓縮均質(zhì)流體，p為常數(shù)，式（3-14）可簡(jiǎn)化為(3-15)-：Ux ：Uy ：Uz:x:y :z=0(3-16)此式適用于三維恒定與非恒定流動(dòng)。對(duì)二維不可壓縮流體，不論流動(dòng)是否恒定，上式可簡(jiǎn)化為-0(3-17)#柱坐標(biāo)系下，三維可壓縮流體的連續(xù)性微分方程為(3-18)6P 異（Pu）異嚴(yán)閔）異（PUz）+ Pu.t r rz r式中：Ur為速度的徑向分速；U為周向分速；Uz為軸向分速對(duì)不可壓縮均質(zhì)流體，式（3-18 ）可簡(jiǎn)化為（3-19）12柱坐標(biāo)系下的連續(xù)性微分方程可由直角坐標(biāo)系下的連續(xù)性微分方程經(jīng)坐標(biāo)變換得到，也可通過(guò)在流場(chǎng)中建立控制體的

21、方法導(dǎo)岀，限于篇幅，本書(shū)不再詳述。3.3.2總流的連續(xù)性方程不可壓縮流體總流的連續(xù)性方程，可由連續(xù)性微分方程式（3-16）導(dǎo)出。如圖3-11，以過(guò)流斷面1-1 ,根據(jù)高斯定理，上式的體積積分可用曲面積分來(lái)表示，即圖3-11總流連續(xù)性方程f if if V x :y :zz dV 二 undA 二 0 -：zA(3-20)2-2及側(cè)壁面圍成的固定空間為控制體V，對(duì)其空間積分可得16#(3-21)(3-22)式中A為體積V的封閉表面，un是u在微元面積dA外法線(xiàn)方向的投影。因側(cè)表面上un = 0，故式（3-20）可簡(jiǎn)化為-U1dAi 亠 I U2dA2 0上式第一項(xiàng)取負(fù)號(hào)是因?yàn)樗俣萓1的方向與dA

22、1的外法線(xiàn)方向相反。由此可得A1A2wA =v2A2式（3-21）稱(chēng)為總流的連續(xù)性方程。 對(duì)不可壓縮均質(zhì)流體， 不論是恒定還是非恒定流動(dòng)，上式均可適用對(duì)非恒定流動(dòng)，它表示同一時(shí)刻通過(guò)管道任意斷面的流量相等，而對(duì)恒定流動(dòng)，它還表示流量的大小不隨時(shí) 間變化。如圖3-12 （a）、（b）所示，對(duì)于有分流或匯流的情況，根據(jù)質(zhì)量守恒定律，總流連續(xù)性方程可表示為Qi = Q2 + Q3Q223QiQ2Q3(a)(b)圖3-12分流和匯流例3-3如圖3-12 ( b)所示，輸水管道經(jīng)三通管匯流，已知流量33Q1 =1.5m /s，Q3 = 2.6m /s，過(guò)流斷面面積A2 = 0.2m2，試求斷面平均流速

23、v2解：流入和流岀三通管的流量相等，即則斷面平均流速Q(mào)2v2 :A 2Q3 - Q1A22.6 -1.50.2= 5.5m/s3.4元流的伯努利方程17#3.4.1理想流體元流的伯努利方程為了推導(dǎo)方便，將理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程式(2-)寫(xiě)成# duxdtdUyy p=dT1duzz ? ：:zdt該方程為非線(xiàn)性偏微分方程，只有特定條件下才能求得其解。這些特定條件為: 恒定流動(dòng)，有u = u x，y, z，p X，y，z因此dp 二-dx 4 dy 土 dzex dy czdx、dy、dz分別乘理想流體運(yùn)動(dòng)微分方 沿流線(xiàn)積分，設(shè)流線(xiàn)上的微元線(xiàn)段矢量ds= dxi + dyj + dzk，將程的三個(gè)

24、分式，然后將三個(gè)分式相加得(fxdx + fydy + fzdz)1 土 dx+土 dy + = dz P (xcyczP.:z叫x %dtdtdZ (3-23)dt對(duì)于恒定流動(dòng)，流線(xiàn)與跡線(xiàn)重合，所以沿流線(xiàn)下列關(guān)系式成立,dx不一比，虬udtdzdt 質(zhì)量力有勢(shì)，并以 W（x，y，z）表示質(zhì)量力的勢(shì)函數(shù)，則:W:x，:y所以fxdx fydy fzdz 二 Wexdx:W ,一 dy y：WdzW；z根據(jù)以上積分條件，式（3-23 ）可簡(jiǎn)化為1dWdp =uxdux UydUy uzduzdW -丄dp -d-0(3-24) 不可壓縮均質(zhì)流體，p=常數(shù)。上式可寫(xiě)為=0積分得W-衛(wèi)2-u Cr

25、2(3-25)若流動(dòng)在重力場(chǎng)中，作用在流體上的質(zhì)量力只有重力，所選z軸鉛垂向上，則質(zhì)量力的勢(shì)函數(shù)W = gz，代入式（3-25），整理得2g 2g(3-26)對(duì)同一流線(xiàn)上的任意兩點(diǎn)1、2,有2Ul g 2g2p2u2(3-27)=z22-82g式（3-25）為理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程沿流線(xiàn)的伯努利積分，式（3-26）、（ 3-27）為重力場(chǎng)中理想流體沿流線(xiàn)的伯努利積分式，稱(chēng)為伯努利方程。由于元流的過(guò)流斷面面積無(wú)限小，所以沿流線(xiàn)的伯努利方程也適用于元流。推導(dǎo)方程引入的限定條件， 就是理想流體元流（流線(xiàn)）伯努利方程的應(yīng)用條件，歸納起來(lái)有：理想流體；恒定流動(dòng)；質(zhì)量力只有重力； 沿元流（流線(xiàn)）積分；不可壓

26、縮流體。3.4.2理想流體元流伯努利方程的意義在理想流體元流的伯努利方程中：Z表示單位重量流體對(duì)某一基準(zhǔn)面具有的位置勢(shì)能，又稱(chēng)位置高度或位置水頭，單位為m ；丘表示單位重量流體具有的壓強(qiáng)勢(shì)能，又稱(chēng)測(cè)壓管高度或壓強(qiáng)水頭，單位為m；8Hp =Z *表示單位重量流體具有的總勢(shì)能，又稱(chēng)測(cè)壓管水頭，單位為 m；p 巾2U 表示單位重量流體具有的動(dòng)能，又稱(chēng)流速高度或速度水頭，單位為m ；2gP u2 一、亠、亠H =Z表示單位重量流體具有的機(jī)械能，又稱(chēng)總水頭，單位為m。pg 2g因此，伯努利方程式（3-26）、（3-27）的物理意義為：當(dāng)理想不可壓縮流體在重力場(chǎng)中作恒定流動(dòng)時(shí)， 沿同一元流（沿同一流線(xiàn)）單

27、位重量流體的位置勢(shì)能、壓強(qiáng)勢(shì)能和動(dòng)能在流動(dòng)過(guò)程中可以相互轉(zhuǎn)化，但它們 的總和保持不變，即單位重量流體的機(jī)械能守恒，故伯努利方程又稱(chēng)為能量方程。伯努利方程式（3-26）、（3-27）的幾何意義為：當(dāng)理想不可壓縮流體在重力場(chǎng)中作恒定流動(dòng)時(shí)，沿同一 元流（沿同一流線(xiàn)）流體的位置水頭、壓強(qiáng)水頭和速度水頭在流動(dòng)過(guò)程中可以互相轉(zhuǎn)化，但各斷面的總水頭 保持不變，即總水頭線(xiàn)是與基準(zhǔn)面相平行的水平線(xiàn)，如圖3-13所示。3.4.3理想流體元流伯努利方程的應(yīng)用畢托管是一種測(cè)量點(diǎn)流速的儀器，是理想流體元流伯努利方程在工程中的典型應(yīng)用。直接測(cè)量流場(chǎng)某點(diǎn)的速度大小是比較困難的，但該點(diǎn)的壓強(qiáng)卻可以通過(guò)測(cè)壓計(jì)容易地測(cè)岀。通過(guò)

28、測(cè)量點(diǎn)壓強(qiáng)，再應(yīng)用伯努利方程間接得岀點(diǎn)速度的大小，這就是畢托管的測(cè)速原理。如圖3-14所示，現(xiàn)欲測(cè)定均勻管流過(guò)流斷面上 A點(diǎn)的流速u(mài)，可在A點(diǎn)所在斷面設(shè)置測(cè)壓管，測(cè)岀該點(diǎn)的壓強(qiáng)p，稱(chēng)為靜壓。另在 A點(diǎn)同一流線(xiàn)下游取相距很近的0點(diǎn)，在該點(diǎn)放置一根兩端開(kāi)口的L型細(xì)管，使一端管口正對(duì)來(lái)流方向，另一端垂直向上，此管稱(chēng)為測(cè)速管。來(lái)流在 0點(diǎn)由于受測(cè)速管的阻滯，速度為零，動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為壓能，測(cè) 速管中液面升高 丄。0點(diǎn)稱(chēng)為駐點(diǎn)，該點(diǎn)的壓強(qiáng)稱(chēng)為總壓或全壓。pg以A0所在流線(xiàn)為基準(zhǔn)，忽略水頭損失，對(duì)A、0兩點(diǎn)應(yīng)用理想流體元流伯努利方程20#2 *p u = P 02g22g g g則A點(diǎn)的流速為(3-28)考

29、慮到粘性的存在以及畢托管置入流場(chǎng)后對(duì)流動(dòng)的干擾等因素的影響，引入修正系數(shù)c,則(3-29)式中c是修正系數(shù)，數(shù)值接近于 1，由實(shí)驗(yàn)測(cè)定。根據(jù)上述原理，將測(cè)速管和測(cè)壓管組合成測(cè)量點(diǎn)流速的儀器，稱(chēng)為畢托管，其剖面如圖3-15所示。兩端開(kāi)口的管1為測(cè)速管，用來(lái)測(cè)量總壓。側(cè)壁設(shè)有幾個(gè)均勻分布小孔的管2為測(cè)壓管，用來(lái)測(cè)量靜壓。將管1、2分另U與壓差計(jì)的兩端連接，即可測(cè)得總壓和靜壓的差值，從而求岀測(cè)點(diǎn)的流速。22圖3-14點(diǎn)流速測(cè)量圖3-15畢托管剖面圖3.4.4實(shí)際流體元流的伯努利方程實(shí)際流體都具有粘性，在流動(dòng)過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生流動(dòng)阻力，克服阻力做功，流體的一部分機(jī)械能將不可逆地 轉(zhuǎn)化為熱能耗散，因此，實(shí)際流

30、體的機(jī)械能沿程減小，總水頭線(xiàn)沿程下降。根據(jù)能量守恒原理，實(shí)際流體元 流的伯努利方程為2+ u1 =z +22g2P2 . U2;?g2ghw(3-30)#式中：hw為實(shí)際流體元流單位重量流體從1-1過(guò)流斷面流到2-2過(guò)流斷面的機(jī)械能損失，稱(chēng)為元流的水頭 損失，m。3.5總流的伯努利方程上一節(jié)最后已得到實(shí)際流體元流的伯努利方程，但實(shí)際工程中，研究的是流體在整個(gè)流場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，其 中很大一部分是關(guān)于流體在管道和渠道內(nèi)的流動(dòng)。所以，從工程應(yīng)用的角度，有必要將實(shí)際流體元流的伯努 利方程進(jìn)行擴(kuò)展，建立實(shí)際流體總流的伯努利方程。3.5.1總流的伯努利方程圖3-16總流伯努利方程圖3-16所示為實(shí)際流體恒定總

31、流，過(guò)流斷面1-1、2-2為漸變流斷面，面積為A1、A?。在總流中任取元dA1 z1、p1、u1； dA2、z2、p2、u2。流，其過(guò)流斷面的微元面積、位置高度、壓強(qiáng)及流速分別為將實(shí)際流體元流伯努利方程式（3-30）兩邊同乘重量流量 PgdQ = PgudA = Pgu2dA，得單位時(shí)間通過(guò)元流兩過(guò)流斷面的能量方程Z12 、+ _Pl+UlPg 2g 丿:gu2A1 =hw PgdA )23#對(duì)上式積分，可得單位時(shí)間通過(guò)總流兩過(guò)流斷面的能量方程A12：:gu1dA I 虹：、gu1dA1 二a1 2gA2:：gu2dA22U2+A? 2g：、gu2dA2 亠 I hw gdQzQ2#(3-31

32、)下面分別確定上式中三種類(lèi)型的積分(1)( z +A 2 =1.0，則上式簡(jiǎn)化為列1-1、2-2斷面連續(xù)性方程代入前式，得則通過(guò)文丘里管的流量Q = VAZi2V22g22gdi11 二d p2表示。由于氣流的密度同外部大氣的密度具有相同的數(shù)量級(jí)，不能簡(jiǎn)單地將上式等號(hào)兩邊的絕對(duì)壓強(qiáng)值減去同一大小的大氣壓強(qiáng)值，而是必須考慮外部大氣壓在不同高度的差值。設(shè)高程z1處的大氣壓強(qiáng)為pa1,高程z2處的大氣壓強(qiáng)為pa2, pa1 pa2。假設(shè)大氣壓強(qiáng)沿高程按靜壓強(qiáng)分 布，則Pa2 = Pa1 -ag Z2 乙氣流在過(guò)流斷面1-1、2-2處的絕對(duì)壓強(qiáng)P1abs 二 P1Pa1P2abs 二 P2Pa2 二 P|Pa 訂9 Z Z1將 p1abs、p2abs代入式（3-38），得- g Z2 V 二 P2?+Pw2(3-39)33#式（3-39）是以相對(duì)壓強(qiáng)表示的不可壓縮氣體的伯努利方程。式中各項(xiàng)的意義類(lèi)似于總流伯努利方程式（3-32）中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)。在專(zhuān)業(yè)中，習(xí)慣上稱(chēng)P1、P2為靜壓,為動(dòng)壓,2#為位壓。3-39)中的當(dāng)氣流的密度和外界大氣的密度